www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90phút Đề luyện tập số Câu Tìm khai triển Taylor f ( x, y ) = 2x + y điểm (2,1) đến cấp x+ y Câu Tìm cực trị hàm z = x + y + xy − 12 x − y 2 n ∞ u   2  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n với un=  +  vn= 1 +  n    n n =1 v n n2 (−1)n −1 x n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n n =1 (3n − 1) Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ dxdy , D miền phẳng giới 2 D x + y ∞ hạn x ≤ x + y ≤ x, y ≥ x , 2 ( Câu Tính tích phân I = ∫ e C x2 ) + xy dx + ( y cos y + x )dy với C chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ Câu Tính I = ∫ ydx + ( z + x)dy + xdz , với C giao x + y = z = y + , chiều kim đồng C hồ theo hướng dương trục 0z ( Câu Tính tích phân mặt loại I = ∫∫ x + y nằm hai mặt phẳng z = 0, z = S 2 ) dS , S phần mặt nón z = x + y2 , Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y ) = xe xy 2 Tính d f (2,1) Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) = ( y − x )e1− x + y2 miền D = {( x, y ) | x + y ≤ 4}  n −1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số: a/ ∑   n=2  n +  ∞ n ( n+ 2) 1.3.5 (2n − 1) n +1 n =1 2.4.6 ( n) ∞ b/ ∑ (−1)n ( x − 3)n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 2n + ln n ∞ Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ e − x2 − y2 dxdy , D miền phẳng giới hạn D ≤ x + y ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x , 2 Câu Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y )dy , với C phần đường cong y = x + sin x , từ A(0,0) đến B(π , π ) C Câu Tìm diện tích phần mặt cầu z = R − x − y nằm hình trụ x + y = Rx Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S biên vật thể giới hạn S x + y + z ≤ 4, z ≥ x + y , phía 2 2 Đề luyện tập số x Câu Cho hàm f ( x, y ) = (2 x + y )ln Tính d f (1,1) y + với x > 0, y > x y Câu Tìm cực trị hàm số z = xy + ⋅ ⋅ 7⋯ (3n − 2) (2n − 1)!! n =1 ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n!( x − 4) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ nn n =1 Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + 2) dxdy , D miền phẳng giới hạn ∞ D 2 x y + ≤ 1, y ≥ Câu Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x + y ) dy , C biên miền phẳng giới bở i C hạn y = − x , y = − x , chiều kim đồng hồ Câu Tìm diện tích phần mặt z = x + y nằm hình cầu x + y + z = z Câu Tính I = ∫∫ xdS , với S phần mặt trụ x + y = nằm hai mặt phẳng z = 1, z = S Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y ) = y + sin ( x − y ) Tính d f (0,0) 2 Câu Tìm cực trị hàm z = x y + 12 x − y 2 ⋅ ⋅ 8⋯ (3n − 1) n =1 ⋅ ⋅ 9⋯ (4n − 3) ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ (−1)n ( x + 1) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ 3n n =1 (n + 1)ln( n + 1) ∞ Câu Tính tích phân ∫∫ x + y ln( x + y 2) dxdy với D miền ≤ x2+y2 ≤ e2 D Câu Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(y) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] L đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều L ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2) Câu Tìm diện tích phần mặt z + x + y = nằm hình paraboloid z = x + y Câu Tính I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S nửa mặt cầu x + y + z = z , phía S Đề luyện tập số  f = f (u ) = u + sin u; ∂2 f , với  x ∂x∂y u = xy + e Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = x + 12 xy + y ; x + y = 25 Câu Tính ∞  2n  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n +   n =1  n −1 Câu Tính tích phân ∫∫ arctg ( ∞ (−1) n+1 n +1 ( x − 5) n n =1 (n + 1) ln(n + 1) ∑ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi: 3n ) x + y dxdy với D hình tròn: x2+y2 ≤ D Câu Chứng tỏ tích phân I = ∫ e x− y C [(1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] không phụ thuộc đường x2 y2 Tính tích phân I với C phần ellipse + = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Câu Tìm thể tích vật thể giới hạn y = − x , y = 1, z = 0, z = x , lấy phần z ≥ Câu Tính I = ∫∫ xdydz + ( y + z ) dxdz + z dxdy , với S phần mặt phẳng x + y + z = nằm S hình trụ x + y = y , phía 2 Đề luyện tập số ∂2z (1,1) ∂x∂y Câu Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Câu Cho hàm biến z = z(x, y) = 3e x y Tính dz(1,1) ⋅ ⋅ 9⋯ n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n =1 (4n − 3)!! ∞ ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (−1) n n +1 ∑4 n =0 n+2 n +1 ( x − 1) n Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ − x − y dxdy , D miền phẳng giới hạn 2 D x + y = 1, y ≤ x 2 Câu Tính tích phân I = ∫ ( x y + x − y ) dx + ( y − x − xy ) dy , với C nửa bên phải đường 2 C tròn x + y = y , chiều kim đồng hồ 2 Câu Tính tích phân đường loại I = ∫∫ x + y dl , với C nửa đường tròn x + y = y C Câu Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ ( x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C giao C x + y + z = x + y + z = , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z Đề luyện tập số Câu Cho hàm biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1) ∂2z ( ,1) ∂x Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = − x − y; x − y = ∞ 2n n! Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n n =1 n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Câu Tính tích phân ∫∫ dxdy 3+ x + y ∞ (n + 2)(x + 1)n n =0 n + n + ∑ với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường x2+y2= 1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ ), y=x, y = x Câu Cho hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny α số Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với α vừa tìm được, tính tích phân đường ∫ [( x, y ) − y ]dx + [Q( x, y ) + x ]dy ( γ ) đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương γ (ngược chiều kim đồng hồ) Câu Tính tích phân mặt loại I = ∫∫ x dS , với S nửa mặt x + y + z = S Câu Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ (3x − y )dx + (3 y − z )dy + (3 z − x )dz , với C giao C z = x + y z = − y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z 2 Đề luyện tập số Câu Tìm zx' , zy' hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x + y + yz = ln z Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) = x + y + x y + miền D = {( x, y ) | | x |≤ 1,| y |≤ 1} ∞  2n  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số a/ ∑   n =  2n +  ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 Câu Tính tích phân kép ∫∫ n ( n −1) ∞ b/ 1.4.9 n n + ∑ n =1 1.3.5 ( n − 1) n! (−1) n ( x − 2) n 3n +1 n4 + n2 + − x − y dxdy với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường D tròn x + y = 9, y ≥ đường thẳng y = x, y = -x 2 −y Câu Cho hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(x) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] L đường tròn x2 + y2 = nằm bên phải trục L tung, chiều từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3) Câu Tính I = ∫∫∫ zdxdydz , với V giới hạn x + y + z ≤ z z + x + y = V Câu Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + y )dydz + ( y + z ) dxdz + ( z + x ) dxdy , với S phần mặt S paraboloid z = x + y , bị cắt z = − x , phía 2 Đề luyện tập số  2−1  x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu Tìm miền xác định miền giá trị f ( x, y ) = e  −3, if ( x, y ) = (0, 0) 2 Câu Tìm cực trị hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4 ∞ Câu Khảo sát hội tụ ∑ (u n + v n ) với u n n =1 ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =0  4n −  =   4n +  ( x + 3) n n ( n +1) , = 2.4.6 (2n).n n 4.7.10 (3n + 1).n! n + 2.4 n + ∫∫ dxdy với D miền phẳng giới hạn đường tròn x +y Câu Tính J= = 2x, x2+y2 = 6x D đường thẳng y = x, y = Câu Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = để tích phân đường sau không phụ thuộc đường I= ∫ h( x − y ) x( x + y )dy − y ( x + y )dx với AB cung không cắt đường x2 = y2 [ ] AB Câu Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn z = x + y z + x + y = V Câu Tính tích phân mặt I = ∫∫ xdydz + ( y + z ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S phần mặt S paraboloid x + y + z = x , phần z ≤ , phía 2 Đề luyện tập số 10  xy , if ( x, y ) ≠ (0, 0)  Câu Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) =  x + y  0, if ( x, y ) = (0, 0)  // Câu Tìm cực trị hàm z = x + y − x − y − xy, x ≠ 4 2 2n  n +1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑   n =1  2n +  ∞ ( x − 4) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 n n + Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + | y |) dxdy , D miền phẳng giới ∞ D hạn x + y ≤ 4, x ≥ 2   x y y 1 − dx + + ∫(1,1)  x + y x   x + y x dy , theo đường cong C     (2,3) Câu Tính tích phân I = không qua gốc O không cắt trục tung Câu I = ∫∫∫ dxdydz , với V giới hạn x + y + z ≤ z ≥ x + y 2 x + y + z V Câu Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z )dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S phần mặt S paraboloid z = x + y nằm mặt x + z = , phía 2 www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90 phút Hình thức thi: Tự luận Thang điểm: câu 1: điểm, câu lại: 1.5 điểm Đề luyện tập số 11 Câu Vẽ khối Ω giới hạn x + y + z ≤ y , y ≥ x + z Câu Trên mặt phẳng x + y − z = tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x + z − = y + z − = nhỏ ∞ (3n − 1)! Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ 3 n =1 ⋅ ⋅⋅⋅ n ⋅ 2 (−5) n ( x + 2) n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n n =1 (2n + 1) n + ∞ Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ hạn −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ y − x dxdy , D miền phẳng giới D Câu Tính tích phân bội ba I = ∫∫∫ ( y + z )dxdydz , V vật thể giới hạn V z = x + y , x + y = 4, z = + x + y 2 2 Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ (2 x + y )dydz , với S phần mặt z = x + y bị cắt mặt z = , phía theo hướng trục Oz S Đề luyện tập số 12 hàm f ( x, y ) = + − x − y biểu diễn hình học đạo hàm riêng Câu Tính hệ số góc tiếp tuyến Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) = x3 + y − xy miền ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ f x' (1,1) (−1)n n n =1 n + ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số: ∑ ∞ Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 (2n + 1)( x − 3) n 3n3 + n ⋅ ln n Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ max { x, y} dxdy , D miền phẳng giới hạn D ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ Câu Tính tích phân bội ba I = ∫∫∫ xdxdydz , V vật thể giới hạn V x + y + z ≤ 0, x + y + z ≤ 2 2 Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x3dydz + y 3dxdz + z 3dxdy với S mặt phía vật thể S giới hạn x + z ≤ y , ≤ y ≤ 2 Đề luyện tập số 13 Câu Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y ) = − x − y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến xy Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z = ( x + y )e miền −2 ≤ x + y ≤ (−1)n n + (−1) n ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑ n =1 Câu Tìm chuỗi Taylor f ( x) = 2x + , x0 = tìm miền hội tụ chuỗi x − 5x + Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ xy dxdy , D miền phẳng giới hạn ≤ x + y ≤ D ( Câu Tính thể tích vật thể giới hạn x + y ) 2 = xy, z = x + y, z = ( x > 0) Câu Tính tích phân mặt loại I = ∫∫ xds với S phần mặt phẳng x + y + z = nằm hình S cầu x + y + z = 2 Đề luyện tập số 14 Câu Vẽ khối Ω giới hạn y ≤ − x , y ≥ − x , z ≥ 0, z ≤ x Câu Một hộp (hình hộp chữ nhật, nắp phía trên) làm từ 12m2 bìa carton Tìm thể tích lớn hộp ∞ n =1 n (n + 1)( n + 2) Câu Tính tổng S = ∑ x dt Câu Tìm chuỗi Maclaurint f ( x) = ∫ tìm miền hội tụ chuỗi 1− t x2 y + ≤ 1, x + y ≥ Câu Tính tích phân ∫∫ y dxdy với D miền 16 D 2 Câu Tìm diện tích phần mặt cầu x + y + z = 18 nằm hình nón x + y = z Câu Tính tích phân mặt loại I = ∫∫ yds , với S phần mặt trụ x + y = nằm hai mặt S phẳng z = 0, z = Đề luyện tập số 15 Câu Cho f = f (3 x + y , e xy ) Tính ∂f ∂ f , ∂x ∂x∂y Câu Tìm điểm M hình nón z = x + y , cho MA nhỏ nhất, với A(4,2,0) 2n + n n =1 ∞ Câu Tính tổng ∑ x+3 tìm bán kính hội tụ chuỗi x −3 Câu Tính tích phân ∫∫ max {sin x,sin y}dxdy với D miền ≤ x ≤ π , ≤ y ≤ π Câu Tìm chuỗi Maclaurint hàm f ( x) = arctan D ( ) ( ) ( ) Câu Tính tích phân đường I = ∫ y + z dx + z + x dy + x + y dz , với C giao mặt C phẳng x + y + z = mặt cầu x + y + z = ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ zdxdy với S nửa mặt cầu x + y + z = , phần y ≥ , S phía (phía theo hướng trục Oy) Đề luyện tập số 16 u ∂2 f Câu Cho f = f (u, v) = arctan , u = u ( x, y ) = x3 + y , v = v( x, y ) = x + y Tính v ∂x∂y Câu Cho hình hộp chữ nhật góc phần tám thứ hệ trục Oxyz, có mặt nằm mặt phẳng tọa độ đỉnh nằm mặt phẳng x + y + z = Tìm thể tích lớn (−2)n Câu Tính tổng ∑ n +1 n =1 n ( n + 2) ⋅ ∞ ) ( Câu Tìm chuỗi lũy thừa hàm f ( x) = ln x + + x tìm bán kính hội tụ chuỗi  x2 y  Câu Tính tích phân kép I = ∫∫   +  dxdy , D miền phẳng giới hạn D  16  x = 0, y = 0, x = 4sin t , y = 3cos t , t ∈ [ 0,π / 2] Câu Tính tích phân đường I = ∫ zdx + xdy + ydz , với C giao mặt phẳng x + z = mặt C cầu x + y = theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz 2 Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x3dydz + y 3dzdx , với S mặt nửa ellipsoid S 2 x z + y2 + = 1, 16 ( z ≥ 0) Đề luyện tập số 17 ) ( Câu Cho f ( x, y ) = y + ln + x y Tìm ∂f ∂f (0, 0), (0, 0) ∂x ∂y Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = e xy ; x3 + y = 16 (n − 1) n =1 ⋅ ⋅ 6⋯ (2n) ∞ Câu Tính tổng ∑ +∞ Câu Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính ∫ ( ) xdx ex +1 Câu Tính tích phân ∫∫ sign x − y + dxdy với D ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 2 ( ) ( ) ( ) Câu Tính tích phân đường I = ∫ y + z dx + z + x dy + x + y dz , với C giao mặt nón C y + z = x mặt cầu x + y + z = ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox .Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , với S mặt vật thể S giới hạn ≤ x + y + z ≤ 4, y ≥ x + z Đề luyện tập số 18  x −y , ( x, y ) ≠ (0, 0) ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f  xy 2 Câu Cho f ( x, y ) =  x + y Tìm (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) ∂y∂x ∂x∂y ∂x ∂y  0, ( x, y ) = (0, 0)  Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y ) = x + y với điều kiện x + y = 13 2 (−2) n n n =1 ⋅ ⋅ ⋅ 5⋯ (2n + 1) ∞ Câu Tính tổng S = ∑ Câu Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính ∫ ln dx 1− x Câu Tìm diện tích miền phẳng giới hạn x + y ≤ 1, y ≥ 0, y ≥ x ( ) ( ) Câu Tính tích phân I = ∫ x3 + ye xy dx + y + xe xy dy , C phần elip C x2 y2 + = từ 16 điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ ( x − 1)3 dydz + ydzdx + zdxdy , với S mặt nửa S mặt cầu x + y + z = x, z ≤ 2 Đề luyện tập số 19 Câu Vẽ khối Ω giới hạn z = + x , x + y = y, x + y + z = Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) = x + y + 10 z với điều kiện x + y + z = 35 ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi ∑ n n = n + ( −1) n x ln(1 + 3t ) Câu Tìm chuỗi Maclaurint f ( x) = ∫ dt tìm bán kính hội tụ chuỗi t Câu Tính diện tích miền phẳng giới hạn x ≤ x + y ≤ x, y ≤ x 3, y + x ≥ Câu Tính tích phân đường I = ∫ y dl , C cung Cycloid x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ), ≤ t ≤ 2π C Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ z dxdy , S mặt nửa mặt cầu S ( x − 1) + ( y − ) + z = 4, z ≥ 2 Đề luyện tập số 20 Câu Tìm vi phân cấp hai hàm z = z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x + y + z = e z Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) = x + y + z với hai điều kiện x − y + z = x + y = ∞ 2n − Câu Tính tổng ∑ 2 n =1 n ( n + 1) ∞ ( −1)n −1 ( x + 2)2n n =1 n + n +1 Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ Câu Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x − y ) dxdy , D miền phẳng giới D hạn đường astroid x = a cos t , y = a sin t , ≤ t ≤ π / , trục tọa độ Câu Tính tích phân đường loại I = ∫ ( x + y )dl , C cung bên phải đường Lemniscate có C phương trình tọa độ cực r = a cos 2ϕ , a > Câu Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ yzdydz + zxdxdz + xydxdy , với S biên vật thể giới hạn 2 S x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ , định hướng phía