Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! KHOÁ LUYỆN GIẢI ĐỀ 2016 MÔN TOÁN – THẦY: ĐẶNG THÀNH NAM ĐỀ SỐ 23 – Ngày phát hành: 23/04/2016 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + x − 5x Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − tuyến vuông góc với đường thẳng y = −x + Câu (1,0 điểm) x +1 , biết tiếp a) Cho số phức z = + 3i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết w − z + 2z = b) Giải phương trình: log (x + 2) + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = log (x + 2)2 = ∫ (x + 2e )x dx x ⎛ ⎞⎟ ⎜ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(2;0;−1), B ⎜⎜1;1;− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2⎟⎠ đường thẳng d : x −1 y−2 z +1 Chứng minh d AB cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm I 2 −3 chúng Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm O qua I Câu (1,0 điểm) ⎛ π ⎞⎟ sin3 α + cos α ⎜ a) Cho góc α ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟⎟ tan α − cot α = Tính giá trị biểu thức: A = ⎜⎝ ⎟⎠ cos 3α b) Một thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, câu hỏi gồm phương án trả lời có phương án trả lời Với câu, chọn phương án trả lời thí sinh điểm, chọn phương án sai thí sinh bị trừ điểm Tính xác suất (làm tròn đến bốn chữ số thập phân sau dấu phẩy) để thí sinh làm cách lựa chọn ngẫu nhiên đáp án 26 điểm Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA vuông góc với = = mặt đáy SC = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM, BN Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Điểm ⎛ 21 ⎞⎟ ⎜ M ⎜⎜ ;−1⎟⎟⎟ cạnh BC, đường thẳng AM cắt CD N thoả mãn BM.DN = 50 Tìm toạ độ ⎜⎝ ⎠⎟ đỉnh hình chữ nhật cho, biết A có tung độ dương đường thẳng AB có phương trình 3x + y −18 = ⎧⎪ ⎪⎪(x + 1)(3y2 + − y3 ) + y = (x + 4) y2 (x + 1) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎪ x(y2 + 1) + y x = x + ⎩⎪ Câu 10 (1,0 điểm) Với a, b, c số thực thoả mãn a + b2 + c2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab + bc + ca + (a + b + 3c) − a − b2 − c2 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! _Hết Để chuẩn bị tâm lý làm thi tốt cho kì thi thức em nên tự làm đề thi 180 phút LUYỆN GIẢI ĐỀ 2016 MÔN TOÁN GV: Đặng Thành Nam Mobile: 0976 266 202 Fb: MrDangThanhNam Links đăng ký: http://goo.gl/MNBtt6 Nguồn: www.vted.vn Các khoá học Môn Toán chuyên sâu theo chuyên đề em tham khảo website: www.vted.vn (1) Làm chủ bất đẳng thức, toán cực trị: http://goo.gl/Ym6OG5 (2) Làm chủ Hệ phương trình: http://goo.gl/WYQXTI (3) Làm chủ Phương trình, bất phương trình vô tỷ: http://goo.gl/s3Ksvs (4) Làm chủ Hình phẳng Oxy tư hình học: http://goo.gl/nUciWe (5) Làm chủ tổ hợp, xác suất: http://goo.gl/stPIQ1 (6) Thủ thuật Casio giải toán: http://goo.gl/jV8nXW (7) Luyện giải đề 2016 Môn Toán: http://goo.gl/MNBtt6 (8) Tổng ôn kiến thức điểm Môn Toán: http://goo.gl/4MulDp Các gói tập, video hữu ích giúp em thử sức thực tế với kiến thức học (1) Tuyển chọn bất đẳng thức, toán cực trị đề thi 2015 – 2016: http://goo.gl/wHtgVx (2) Tuyển chọn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đề thi 2015 – 2016: http://goo.gl/d9K1o1 (3) Tuyển chọn Hình phẳng Oxy đề thi 2015 – 2016: http://goo.gl/WLp4Zl (4) [Free] Giải toán thực tế cách lập phương trình, hệ phương trình: http://goo.gl/WmqN2L (5).[Free] Quà tặng tết âm lịch Bính Thân 2016 – Tuyển chọn câu phân loại đề thi: http://goo.gl/MLdGmB Nguồn: www.vted.vn Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Hướng dẫn giải đề số 23 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + x − 5x Học sinh tự giải Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − tuyến vuông góc với đường thẳng y = −x + x +1 , biết tiếp *Đường thẳng cho có hệ số góc k1 = −1 *Gọi tiếp điểm M(x0 ; − x0 + ) , tiếp tuyến M có hệ số góc k = y'(x0 ) = (x0 + 1)2 *Theo giả thiết toán ta có: k.k1 = −1 ⇔ ⎡x = ⎢ (−1) = −1 ⇔ (x0 + 1)2 = ⇔ ⎢ ⎢ x0 = −2 (x0 + 1) ⎣ +) Với x0 = ⇒ M(0;1) tiếp tuyến y = 1(x − 0) + = x + +) Với x0 = −2 ⇒ M(−2;3) tiếp tuyến y = 1(x + 2) + = x + *Vậy có hai tiếp tuyến y = x + 1; y = x + Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z = + 3i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết w − z + 2z = b) Giải phương trình: log (x + 2) + a) Đặt w = x + yi(x, y ∈ !) log (x + 2)2 = *Suy ra: w − z + 2z = (x + yi) − (2 − 3i) + 2(2 + 3i) = (x + 2) + (y + 9)i *Theo giả thiết toán ta có: (x + 2)2 + (y + 9)2 = ⇔ (x + 2)2 + (y + 9)2 = *Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn (C) có tâm I(−2;−9) , bán kính R = ⎧⎪ x > −2 ⎪ b) *Điều kiện: ⎨ ⎪⎪log (x + 2)2 ≠ ⎪⎩ *Phương trình tương đương với: log (x + 2) + log (x + 2) = ⇔ log (x + 2) + 10 log (x + 2) = ⎡t = = ⇔ t − 7t + 10 = ⇔ ⎢⎢ t ⎢⎣ t = ⎡ log (x + 2) = ⎡x + = ⎡x = ⎢ ⇔ ⎢⎢ ⇔ ⎢⎢ *Vậy ⎢ ⎢ log (x + 2) = x + = 32 x = 30 ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ ⎣ *Nghiệm phương trình x = 2, x = 30 *Đặt t = log (x + 2) ⇒ t + 10 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (x + 2e )x dx x *Ta có: I = ∫x dx + 2∫ 1 x3 1 xe dx = + 2∫ xe x dx = + 2∫ xe x dx 3 0 x ⎧⎪u = x ⎧⎪du = dx ⎪⎨ *Đặt ⎪ ; suy ra: ⇒ ⎨ ⎪⎪dv = e x dx ⎪⎪v = e x ⎩ ⎩ 1 ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎜⎜ x ⎜ x x 2∫ xe dx = 2⎜ xe − ∫ e dx⎟⎟⎟ = 2⎜⎜e − e x ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 0 ⎝ ⎠ *Vậy I = +2= ⎞ ⎟⎟ ⎟ = e − (e −1) = 0⎟⎟⎠ ( ) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 = y−2 = z +1 2 −3 ⎛ ⎞ 1⎟ ⎜ hai điểm A(2;0;−1), B ⎜⎜1;1;− ⎟⎟⎟ Chứng minh d AB cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm I ⎜⎝ 2⎟⎠ chúng Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm O qua I ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ x = 2− t ⎪ !!!" ⎪ ⎪ *Ta có: AB = (−1;1; ) phương trình đường thẳng AB ⎨ y = t ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z = −1 + t ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ *Khi toạ độ giao điểm AB d có nghiệm hệ: ⎧⎪ ⎪⎪t = ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎧⎪ x = − t ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ x −1 = y − ⎪⎪1 − t = t − ⎪⎪ ⎪⎪ y = t ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ x= ⎪⎪−3(x −1) = 2(z + 1) ⎪⎪−3(1 − t) = t ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎪⎨ x = − t ⇔ ⎪⎨ x = − t ⇔ ⎪⎨ ⎨ z = −1 + t ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ y = t ⎪⎪ y = t ⎪⎪ y = ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ x −1 y− z +1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 1 = = ⎪⎪ ⎪⎪ z = −1 + t ⎪⎪ z = −1 + t ⎪ −3 ⎪⎩ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ z = − 2 ⎪⎪⎩ ⎛ ⎞⎟ ⎜ *Vậy AB d cắt điểm I ⎜⎜ ; ;− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ *Vì (S) có tâm O qua I nên có bán kính R = OI = *Vậy mặt cầu cần tìm (S) : x + y2 + z2 = 41 16 + Câu (1,0 điểm) Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn + 16 = 41 Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎛ π ⎞⎟ sin3 α + cos α ⎜ a) Cho góc α ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟⎟ tan α − cot α = Tính giá trị biểu thức: A = ⎜⎝ ⎟⎠ cos 3α b) Một thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, câu hỏi gồm phương án trả lời có phương án trả lời Với câu, chọn phương án trả lời thí sinh điểm, chọn phương án sai thí sinh bị trừ điểm Tính xác suất (làm tròn đến bốn chữ số thập phân sau dấu phẩy) để thí sinh làm cách lựa chọn ngẫu nhiên đáp án 26 điểm ⎛ π ⎞⎟ ⎜ a) *Với α ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟⎟ ⇒ tan α > theo giả thiết có: ⎜⎝ ⎟⎠ ⎡ tan α = −1(loai) tan α − = ⇔ tan2 α − tan α − = ⇔ ⎢⎢ tan α ⎢⎣ tan α = 2(t / m) sin3 α + 3 sin α + cos α tan3 α + tan2 α + 13 cos α cos α *Khi đó: A = = = =− cos α − cos α − 3(tan α + 1) 11 4− cos α b) *Gọi x số câu trả lời đúng, (10 –x) số câu trả lời sai *Số điểm thí sinh: 5.x + (10 − x).(−1) = 26 ⇔ 6x = 36 ⇔ x = *Vậy thí sinh trả lời câu sai câu, với câu xác suất trả lời 0,25; xác suất trả lời sai 0,75 (0, 25)6 (0,75)4 ! 0,0162 *Vậy xác suất cần tính P = C10 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA vuông góc với mặt đáy SC = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM, BN * SABC = AB.AC sin 600 = 2a.2a = a 2 *Vì SA ⊥ (ABC) nên theo pitago ta có: SA = SC − AC = 5a − 4a = a *Vì VS ABC = SA.SABC = a a = a3 3 +) Để tính d(AM; BN) ta dựng hai mặt phẳng song song với chứa AM, BN *Gọi P trung điểm SN; kẻ NQ || AP (Q thuộc AC) ta có (APM)||(BNQ) *Vì d(AM; BN) = d((AMP); (BNQ)) = d(A; (BNQ)) (1) *Gọi H trung điểm AC ta có NH ||SA ⇒ NH ⊥ (ABC) theo Talets ta có: CQ CA = CN CP = SC / 3SC / *Và AQ = AH − QH = = CA − ⇒ QH = CQ − CH = CA = 1 CA − CA = CA CA Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Do đó: d(A; (BNQ)) = AQ d(H; (BNQ)) = 2d(H; (BNQ)) (2) QH *Kẻ HK ⊥ BQ(K ∈ BQ), HI ⊥ NK (I ∈ NK ) ⇒ HI ⊥ (BNQ) ⇒ HI = d(H; (BNQ)) (3) * Ta có NH = SA = a tam giác BHQ vuông H có BH = BA sin 600 = a 3, HQ = *Do HK = HQ2 + BH *Tam giác NHK vuông H có = CA a2 HI = + = a = 3a NH *Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: d(AM; BN) = 28 3a + HK = a + 28 3a = 40 3a ⇒ HI = a 30 20 a 30 (4) 10 Cách 2: Kéo dài BC, kẻ đường thẳng qua M song song với BN cắt BC L; ta có BN || (AML) đó: d(AM; BN) = d(BN; (AML)) = d(B; (AML)) Cách 3: Chọn hệ toạ độ Oxyz cho Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Điểm ⎛ 21 ⎞⎟ ⎜⎜ M ⎜ ;−1⎟⎟⎟ cạnh BC, đường thẳng AM cắt CD N thoả mãn BM.DN = 50 Tìm toạ độ ⎜⎝ ⎟⎠ đỉnh hình chữ nhật cho, biết A có tung độ dương đường thẳng AB có phương trình 3x + y −18 = *Đường thẳng BC qua M, vuông góc AB có PT: 4x − 3y − 24 = *Toạ độ điểm B nghiệm hệ: ⎧⎪4x − 3y − 24 = ⎪⎨ ⇒ B(6;0) ⎪⎪3x + y −18 = ⎩ *Khai thác giả thiết tích độ dài, suy nghĩ đến tam giác đồng dạng ⎧ ! ! ⎪ ⎪ DAN = BMA(so le) ⎪ *Xét ΔADN,ΔMBA có ⎨ ! ! ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ADN = MBA = 90 suy ra: ΔADN ∽ ΔMBA(g − g) ⇒ AD DN MB = BA ⇒ BM.DN = AB.AD = 2AB *Vậy ta có phương trình 2AB = 50 ⇔ AB = 25 ⎧⎪3x + y −18 = ⎡ x = 2, y = ⎢ *Vì toạ độ điểm A nghiệm hệ: ⎪ ⇔ ⎨ ⎢ ⎪⎪(x − 6)2 + y2 = 25 x = 10, y = −3 ⎢ ⎩ ⎣ *Đối chiếu A có tung độ dương nên nhận A(2;3) !!!" !!!!" BM *Tính BM = , BC = AD = 10 ⇒ = = ⇒ BC = 8BM = (−6;−8) ⇒ C(0;−8) BC 4.10 !!!" !!!" *Vì DC = AB ⇒ D(−4;−5) 2 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Vậy A(2;3), B(6;0),C(0;−8), D(−4;−5) ⎧⎪ ⎪⎪(x + 1)(3y2 + − y3 ) + y = (x + 4) y2 (x + 1) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎪ x(y2 + 1) + y x = x + ⎪⎩ *Điều kiện: x > *Vì ta phải có: x+ *Từ phương trình thứ hai hệ ta có: x y2 + + y ≥ ⇔ y ≥ x ≥2 x = *Vậy ta có x > 0, y > *Phương trình thứ hệ tương đương với: y3 − 3y2 −1 = y ⇔ y2 − 3y − *Ta có y y −(x + 4) x + + = x +1 ( x + 1) − x +1 − x + (*) x + thuộc khoảng (0;+∞) *Xét hàm số f (t) = t − 3t − t (0;+∞) , ta có: f '(t) = 2t + t2 −3 = (t −1)2 (2t + 1) t2 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⇔ y = x + ⎟⎟⎠ ≥ 0, ∀t > ⎛ ⎜⎜ (*) ⇔ f (y) = f *Do f(t) đồng biến ⎜⎜ ⎜⎝ x +1 *Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ x + x+2 1 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ + = x+ ⇔⎜ − − x ⎟⎟⎟ = ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟⎠ ⎜⎝ x + x +1 x +1 x x ⎟⎠ ⎜⎝ x + ⇔ x + 2x − x + + (1 − x + x) = ⇔ x ⎡ x + x −1 = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ x ( x + 2x + x + 1) = x + x + ⎡ x + x −1 = −1 + x>0 ⇔ ⎢⎢ ←⎯ ⎯→ x = ⎢⎣ x x + = ⎛ ⎜⎜ −1 + *Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ⎜⎜ ; ⎜⎜ ⎝ x + x −1 x ( x + 2x + x + 1) + − x2 − x x + x +1 =0 ⎞ −1 ⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ Câu 10 (1,0 điểm) Với a, b, c số thực thoả mãn a + b2 + c2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab + bc + ca + (a + b + 3c) − a − b2 − c2 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Khoá học: Luyện giải đề 2016 môn Toán – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Sử dụng bất đẳng thức xy ≤ x + y2 ta có: P = (a + b)(c + − a − b2 − c2 ) + ab + 3c − a − b2 − c2 a + b2 − a − b2 ≤ a + b2 − a − b2 + + = f (t) = (4t − t + − 2t ) 2 *trong t = a + b2 ∈ ⎡⎢0;1⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ = + ⎜⎜ *Dễ có max f (t) = f ⎟ ⎜⎜ t∈⎡⎢0;1⎤⎥ 10 ⎟⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a=b ⎪ ⎪ ⎪ 2 *Dấu đạt ⎪ ⎨c = − a − b − c (rõ ràng hệ phương trình có nghiệm) ⎪ ⎪ ⎪ 5− ⎪ ⎪ a + b2 = ⎪ ⎪ 10 ⎪ ⎩ *Vậy giá trị lớn P + Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn