01 cac van de trong tam ve ham bac ba p2 BG(2016)

8 397 0
01 cac van de trong tam ve ham bac ba p2 BG(2016)

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Các vấn đề trọng tâm hàm số bậc ba – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ [Video]: Cho hàm số y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − m3 có đồ thị ( Cm ) , với m tham số thực a) Tìm m để ( Cm ) có hai điểm cực trị A B thỏa mãn OA2 + OB = 20, O gốc tọa độ b) Tìm m để d : y = ( m − 3) x − m3 cắt ( Cm ) ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn xA2 + xB2 + xC2 = c) Viết phương trình tiếp tuyến ( Cm ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( Cm ) qua E ( 0; −1) d) Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng d : y = −3 x đồ thị ( Cm ) Ví dụ [Video]: Cho hàm số y = x − x + mx − m + có đồ thị ( Cm ) , với m tham số thực a) Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 + x1 + x2 = − x1 x2 b) Tìm m để d : y = x − cắt ( Cm ) ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn C điểm có hoành độ không đổi, A, B AB = 2 c) Khi m = 1, tìm hai điểm A B thuộc đồ thị ( Cm ) cho tiếp tuyến A B ( Cm ) song song với tích hoành độ A B −3 d) Tìm m để phương trình x3 − x + mx − m + = có nghiệm Ví dụ [Video]: Cho hàm số y = x3 − 2mx − ( m − 1) x có đồ thị ( Cm ) , với m tham số thực a) Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ; x2 chứng minh x1 ; x2 không đồng thời thời nguyên b) Tìm m để d : y = x cắt ( C ) ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn C điểm có hoành độ không đổi M (1; −1) trung điểm AB c) Khi m = 0, tìm hai điểm A B thuộc đồ thị ( Cm ) cho tiếp tuyến A B ( Cm ) song song với AB = d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 2mx − ( m − 1) x = 1 x − x + x − Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx − cắt đồ 3 thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = tam giác OAB Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng ∆ : y = mx − (C) :  1  x = ⇒ A  0; −  1  2 3 x − x + 3x − = mx − ⇔ x( x − x + − 3m) = ⇔   3  x − x + − 3m = 0, (1) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Đường thẳng ∆ : y = mx − cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C phương trình (2) có hai nghiệm phân ∆, > 3m > m > biệt x1; x2 khác ⇔  ⇔ ⇔ m ≠ m ≠ 9 − 3m ≠ 1  1  Khi B  x1 ; mx1 −  , C  x2 ; mx2 −  3  3  1 Ta có SOBC = SOAB ⇔ d (O, ∆).BC = d (O, ∆) AB ⇔ BC = AB ⇔ BC = AB 2 2 2 2 2 ⇔ ( x2 − x1 ) + m ( x2 − x1 ) = x1 + m x2 ⇔ m2 + ( x2 − x1 ) = m2 + x12 ⇔ ( x2 − x1 ) = x12 ( ) ( ) ( )  x = 3x1 ⇔ ⇒ x2 = 3x1  x2 = − x1 , ( L)  x1 + x2 = Mà x1; x2 nghiệm phương trình (2) nên   →m =  x1 x2 = − 3m Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x − x + , có đồ thị ( C ) Tìm M ∈ ( C ) cho tiếp tuyến với ( C ) M vuông góc với đường thẳng x + y − = ( Lời giải: ) Gọi M m; 2m − 2m + y = x − x + ⇒ y ' = x − x ⇒ phương trình tiếp tuyến M có hệ số góc k = 6m − 4m x Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + y − = hay y = − + nên 6m − 4m = 2  m = ⇒ M (1;5 )  ⇔ m − 4m − = ⇔   −1 127  m=− ⇒M ;    27  Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x + x − m + ( Cm ) Gọi ∆ tiếp tuyến ( Cm ) giao điểm ( Cm ) với trục tung Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ A ( 2; −1) đến ∆ 34 Lời giải: x = ⇒ y = − m suy B ( 0;1 − m ) giao điểm ( Cm ) với trục tung Ta có: y ' = 3x − x ( m + 1) + ⇒ y ' ( ) = suy phương trình tiếp tuyến ( Cm ) qua B là: ∆ : y − (1 − m ) = ( x − ) ⇔ x − y + − m = ⇒ d ( A; ∆ ) = ( −2 ) − ( −1) + − m 42 + ( −1)  m = −6 + 17 = 34 ⇒ m + = 17 ⇔   m = −6 − 17 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: x − y + − 17 = x − y + + 17 = Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 + x − x + ( C ) a) Tìm toạ độ giao điểm ( C ) trục Ox b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) trục Ox là: x3 + x − x + = ⇔ ( x + ) ( x − x + 1) = ⇔ x = −2 Vậy toạ độ giao điểm ( C ) trục Ox A ( −2;0 ) b) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Trong ta có: x0 = −2; y0 = f ' ( x ) = 3x + x − ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( −2 ) = Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − ) x + ( m − 1) x − 4m ( 3m − 1) x + Tìm m để hàm số có cực 2 đại, cực tiểu x1 , x2 cho x1 + x2 = Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = Lời giải: Ta có: y ' = x + ( m − 1) x − 4m ( 3m − 1) ; ∀x ∈ R Đặt f ( x ) = x + ( m − 1) x − 2m ( 3m − 1) Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm tọa độ hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương phân biệt ⇔ ∆ f ( x ) > ⇔ ( m − 1) + 8m ( 3m − 1) > ⇔ 25m − 10m + > ⇔ ( 5m − 1) > ⇔ m ≠ Khi gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 )  x1 + x2 = − m trình f ( x ) = suy   x1 x2 = 2m (1 − 3m ) ( ∗) Từ giả thiết, ta có x12 + x22 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = , kết hợp với ( ∗) ta m = (1 − m ) − 4m (1 − 3m ) = ⇔ m − 2m + + 12m − 4m = ⇔ 13m − 6m − = ⇔  −7 m= 13  −7 Đối chiếu với điều kiện m ≠ nên m = 1; m = giá trị cần tìm 13 x2 Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 + ( m − 3) − m2 − m x + Tìm m để hàm số có cực đại, −16 cực tiểu cho x12 x2 + x1.x22 = Lời giải: 2 Ta có: y ' = x + ( m − ) x − ( m − m ) ; ∀x ∈ R 2 2 ( ) Đặt f ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − m ) Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm ( ) tọa độ hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương phân biệt ⇔ ∆ f ( x ) > ⇔ ( m − 3) + 24 m − m = 25m − 30m + = ( 5m − 3) > ⇔ m ≠ Khi gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) 3− m 2m − m ; x1 x2 = ( ∗) 3 −16 16 Từ giả thiết, ta có x12 x2 + x1.x22 = ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Kết hợp với ( ∗) ta 9 2m − 2m − m 16 + = ⇔ 2m − 2m2 ( − m ) + 16 = 3 2 ⇔ 6m − 2m − 6m + 2m3 + 16 = ⇔ 2m3 − 8m2 + 6m + 16 = ⇔ m = −1 trình f ( x ) = suy x1 + x2 = ( Đối chiếu với điều kiện m ≠ ) nên suy m = −1 giá trị cần tìm Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số y = FB: LyHung95 −1 x2 x + ( 2m − 1) + m − m x Tìm m để hàm số có cực đại, ( ) 2 cực tiểu cho xCT + xCD ⇔ ( 2m − 1) − m2 − m = > ⇔ m ∈ R Khi gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) tọa độ hai điểm cực trị, ta có  −b + ∆ m − + = =m  x1 = a  ⇒ x1 > x2 ( > −1 ⇒ m > m − 1)  −b − ∆ m − − = = m −1  x2 = 2a  −1 Mặt khác, hệ số hàm số bậc ba a = < suy x1 = xCT = m − 1; x2 = xCD = m 2 Từ giả thiết, ta có xCT + xCD < Kết hợp với ( ∗) ta ( m − 1) + m < ⇔ 4m − 6m + < ⇔ ( ∗) < m ⇔ ( m2 + 2m + 1) − 5m > 2 1 11  ⇔ 3m + m + > ⇔  m +  + 2m + > ⇔ m ∈ ℝ 2  (*)  x1 + x2 = ( m + 1)  Khi x1 ; x2 nghiệm (1), theo Viet  5m  x1 x2 =  Do x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) = 16 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 16 2 ⇔ ( m + 1) − ( 20m = 16 ⇔ 12 ( m + 1) − 20m = 48 ) ⇔ m + 2m + − 5m = 12 ⇔ 3m + m − = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔m= Đ/s: m = FB: LyHung95 −1 ± 109 thỏa mãn (*) −1 ± 109 b) Hoành độ giao điểm ( C ) d nghiệm phương trình x3 − ( m + 1) x + 5mx + = 2mx + ( (1) ) ( ) ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) − m ( x − 1)( x − ) = ⇔ ( x − 1) ( x − x − − 3mx + 2m ) = ⇔ x3 − 3x + − m 3x − x + = 2 x = ⇔ (2)  x − ( 3m + ) x + 2m − = ( C ) d cắt điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ( ) có nghiệm phân biệt khác 9m2 + 4m + 12 > ∆ = ( 3m + ) − ( 2m − ) > ⇔ ⇔  m ≠ −3 1 − ( 3m + ) + 2m − ≠ ( 2m + 1) + 5m + 11 > ⇔ ⇔ m ≠ −3 (*) m ≠ −  Với x = ⇒ y = ⇒ A (1; ) ứng với đề cho  xB + xC = 3m + Khi xB ; xC nghiệm phân biệt (2), theo Viet có   xB xC = 2m − Do B, C ∈ d ⇒ yB = 2mxB + 1; yC = 2mxC + (2) Khi A (1;0 ) nằm B C ⇔ yB yC < ⇔ ( 2mxB + 1)( 2mxC + 1) < ⇔ 4m xB xC + 2m ( xB + xC ) + < ⇔ 4m ( 2m − ) + 2m ( 3m + ) + < ⇔ 8m − m + m + < c) Phương trình tiếp tuyến ( C ) B có dạng d1 : y = y ' ( xB ) ( x − xB ) + yB ⇔ y = ( xB2 − ( m + 1) xB + 5m ) ( x − xB ) + 2mxB + ⇔ y = ( xB2 − ( m + 1) xB + 5m ) x − xB3 + ( m + 1) xB2 − 3mxB + Tương tự, phương trình tiếp tuyến ( C ) B có dạng d : y = ( xC2 − ( m + 1) xC + 5m ) x − xC3 + ( m + 1) xC2 − 3mxC + 3 xB2 − ( m + 1) xB + 5m = xC2 − ( m + 1) xC + 5m Ta có d1 / / d ⇔  3 −3 xB + ( m + 1) xB − 3mxB + ≠ −3 xC + ( m + 1) xC − 3mxC +  xB2 − xC2 − ( m + 1)( xB − xC ) = ⇔ 3  xB − ( m + 1) xB + mxB ≠ xC − ( m + 1) xC + mxC ( xB − xC )( xB + xC − 6m − ) = ⇔ 2 ( xB − xC ) ( xB + xB xC + xC − ( m + 1)( xB + xC ) + m ) ≠ Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95  x + x = 6m +  B C ⇔  xB ≠ xC  ( xB + xC ) − xB xC − ( m + 1)( xB + xC ) + m = 3m + = 6m +  Kết hợp với (2) ta  xB ≠ xC ⇔ m = − thỏa mãn (*)  ( 3m + ) − ( 2m − ) − ( m + 1)( 3m + ) + m ≠ Đ/s: m = − d) TXĐ: ℝ YCBT ⇔ x3 − x + = − m có nghiệm ⇔ ℝ đồ thị hàm số y = x3 − x + cắt đường thẳng y = − m điểm x = Xét hàm số y = x3 − x + 3, x ∈ ℝ có y ' = x − x = x ( x − ) ; y ' = ⇔  x = Lập bảng biến thiên ta y ( ) < − m < y ( ) ⇔ −1 < −m < ⇔ m < ⇔ −1 < m < Đ/s: −1 < m < Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − 2(m + 1) x + (5m − 2) x − 2m + Tìm m để đồ thị cắt Ox điểm phân biệt A, B, C biết a) A(2 ; 0) trung điểm BC b) B, C có hoành độ nhỏ c) Độ dài BC ngắn Lời giải: Hoành độ giao điểm ( C ) Ox nghiệm phương trình x3 − 2(m + 1) x + (5m − 2) x − 2m + = (1) ⇔ ( x − x − x + ) − ( 2mx − 5mx + 2m ) = ⇔ ( x − 2) ( x2 − 2) − m ( 2x2 − 5x + 2) = ⇔ ( x − ) ( x − ) − m ( x − )( x − 1) = x = ⇔ ( x − ) ( x − − 2mx + m ) = ⇔   x − 2mx + m − = (2) Đồ thị ( C ) cắt Ox điểm phân biệt A, B, C ⇔ (1) có nghiệm dương phân biệt ⇔ ( ) có nghiệm dương phân biệt khác 2  1 ∆ ' = m2 − ( m − ) >  m −  + >  2   x1 + x2 = 2m >  ⇔ ⇔ m > ⇔m>2 x x = m − >  m > 22 − 2m.2 + m − ≠   3m ≠ (*) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 a) x = ⇒ y = ⇒ A ( 2;0 ) ứng với đề cho  xB + xC = 2m Khi xB ; xC nghiệm phân biệt (2), theo Viet có   xB xC = m −  xB + xC  2m =2  =  Ta có A(2 ; 0) trung điểm BC ⇔  ⇔ ⇔ m = 2, không thỏa mãn (*) y y + + C  B  =0 =0   Đ/s: m ∈ ∅ b) B, C có hoành độ nhỏ ⇔ (1) có nghiệm phân biệt nhỏ Đặt x = t + ( t < ) (1) thành ( t + 1) − 2m ( t + 1) + m − = ⇔ t − ( m − 1) t − m − = (2) YCBT ⇔ ( ) có nghiệm phân biệt nhỏ ∆ ' = ( m − 1)2 − ( − m − 1) > m − m + >  1    m−  + > ⇔ t1 + t2 < ⇔ 2 ( m − 1) < ⇔  ⇔ m < −1 2 t t > −m − >  m < 1, m < −1    Kết hợp với (*) ta m ∈ ∅ Đ/s: m ∈ ∅ c) Ta có B ( xB ; ) , C ( xC ; ) ⇒ BC = ( xC − xB ; ) ⇒ BC = ( xC − xB ) ⇒ BC = ( xB + xC ) − xB xC = ( 2m ) − ( m − ) = ( 2m − 1) + ≥ 2 ⇒ BC ≥ 7, dấu " = " xảy ⇔ m = , ko thỏa mãn (*) Đ/s: m ∈ ∅ Ví dụ 13 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x − mx − x + m + 3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15 Lời giải: Hoành độ giao điểm ( C ) trục hoành nghiệm phương trình x − mx − x + m + = ⇔ x3 − 3mx − x + 3m + = 3 ⇔ x − x + − 3mx − 3m = ( ( ⇔ ( x − 1) ( x ) ( ) ) ⇔ ( x − 1) x + x − − 3m ( x − 1)( x + 1) = ) + x − − 3mx − 3m = (1) x =1 ⇔ (2)  x − ( 3m − 1) x − 3m − = Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∆ = ( 3m − 1) − ( −3m − ) > ⇔ 1 − ( 3m − 1) − 3m − ≠ 3 ( m + 1)2 + 6m + > 9m + 6m + > ⇔ ⇔ ⇔m≠0 m ≠ m ≠ Không tính tổng quát, giả sử x3 = x1 ; x2 nghiệm phân biệt FB: LyHung95 (*)  x1 + x2 = 3m − Theo viet có   x1 x2 = −3m − Khi x12 + x22 + x32 > 15 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + > 15 m > ⇔ ( 3m − 1) − ( −3m − ) > 14 ⇔ 9m > ⇔ m > ⇔   m < −1 m > Kết hợp với (*) ta  thỏa mãn  m < −1 Ví dụ 14 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − 3mx + (3m − 1) x + 6m − Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 Lời giải: Hoành độ giao điểm ( C ) trục hoành nghiệm phương trình x3 − 3mx + (3m − 1) x + 6m − = Ta có x3 − 3mx + (3m − 1) x + 6m − = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )  x1 + x2 + x3 = 3m  = x − x ( x1 + x2 + x3 ) + x ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − x1 x2 x3 ⇒  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 3m −  x x x = − 6m  3 Khi x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 ⇔ ( x1 + x2 + x3 ) − ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + x1 x2 x3 = 20 m = ⇔ 9m − ( 3m − 1) + − 6m = 20 ⇔ 9m − 12m − 12 = ⇔  m = −  Thử lại ta thấy m = m = − 2 ta thấy thỏa mãn Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Ngày đăng: 02/06/2016, 12:52

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan