SỞ GD&ĐT TP CẦN THƠ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2015-2016 TRƯỜNG THPT CHÂU VĂN LIÊM Môn thi : TỐN **** Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x - x + Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y= 2x + x- có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến −5 Câu (1,0 điểm) a Tìm mơđun số phức z biết (2 + i ) z + + 3i = z + i b Giải phương trình 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = Câu (1,0 điểm) a Cho sin α = 13 với π π  < α < π Tính giá trị cos  α + ÷ 4  18 ỉ 1ư b Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn çççx - ÷ ÷ ÷ è x ø Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I= ∫x (x + ) dx Câu (1,0 điểm) Trong Không gian với hệ tọa độ x − y + z + = đường thẳng (d): x −1 y z − = = Oxyz cho A(2;0;1), mp (P): a.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) b Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng (d) Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC a Tính thể tích khối tứ diện theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD,đường chéo AC có phương trình: x +2y −11= 0, 9 9 M ; ÷ 2 2 trung điểm đoạn AB.Tìm tọa độ cá điểm A,B,C,D biết xA ≤ Câu (1,0 điểm) a)Một xí nghiệp có thề dùng ba loại ngun liệu A; B; C để sản xuất loại sản phẩm theo hai công nghệ khác CN1 CN2 Cho biết tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại xí nghiệp có, định mức tiêu thụ loại nguyên liệu sản xuất theo công nghệ bảng Tổng khối lượng Định mức tiêu thụ Nguyên liệu có CN1 CN2 A 200 B 280 C 350 Sản lượng 30 36 Tìm kế hoạch sản xuất cho tổng số sản phẩm thu nhiều b) Giải phương trình sau tập số thực + 12 x + x − x − 3x + x + x + + 12 x + = x4 x +1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn : ab + ac + bc = Tìm giá trị lớn Câu 10: biểu thức : P= a 1+ a + b 1+ b + c + c2 -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Câu ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi : TOÁN Đáp án Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x - x + Tập xác định: D = ¡ Điểm Sự biến thiên: (1,0 điểm) y ' = x3 − x 0,25 x = y'= ⇔   x = ±1 Các khoảng đồng biến: (−1;0) (1;+∞) ,khoảng nghịch biến : (-∞; - 1) (0;1) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại: x = ⇒ y CĐ = Hàm số đạt cực tiểu tại: x = ±1 ⇒ y CT = 0,25 y = +∞ , lim y = −∞ - Giới hạn vô cực: xlim → −∞ x → +∞ Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y’ y -1 - 0 +∞ +∞ + - + 0,25 1 Đồ thị: 0,25 Câu Đáp án Điểm y x -2 -1 -1 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết x- hệ số góc tiếp tuyến −5 - Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Ta có: y ' = x - 2 ( ) (1,0 điểm) 0,25 - Hệ số góc tiếp tuyến - Û y '( x0 ) = - Û ( x - 2) = - Û éx0 = ê êx0 = ë Với x0 = Þ y0 = - : M (1; - 3) Þ Phương trình tiếp tuyến: y = - x + y0 = : M (3;7) Þ Phương trình tiếp tuyến : y = - x + 22 Với x0 = Þ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa đề là: y = - x + 0,25 0,25 0,25 y = - x + 22 a Tìm môđun số phức z biết (2 + i ) z + + 3i = z + i Ta có (2 + i ) z + + 3i = z + i ⇔ (2 − i) z − z = −1 − 3i + ⇔ z = −3i 3 ⇔z= − i 1− i 2 0,25 3 Do | z |=| z |=  ÷ +  ÷ = 2 2 0,25 Giải phương trình 6.9 − 13.6 + 6.4 = (1) Vì > , chia hai vế phương trình (1) cho x x x x 4x ta x x éỉư ỉư ÷ù 3÷ ê ú ç ç ( 1) Û êçç ÷ ÷ ç ữỳ - 13.ố ữ+ = ỗ2 ứ ố ø ê ú ë û (2) 0,25 x (1,0 im ổử t t = ỗỗỗ ữ vi t > , phương trình (2) trở thành 6t - 13t + = ÷ ÷ è2 ø é ê= t ê Û ê ê êt = ê ë x ỉư 3÷ Ã Vi t = thỡ ỗ ữ = x =1 ỗ ỗ ố2 ữ ứ 0,25 Câu Đáp án Điểm x · Với t = ỉư = x =- thỡ ỗỗỗ ÷ ÷ ÷ è2 ø Vậy nghiệm phương trình x = - 1; x = 4a Cho sin α = 13 với π π  < α < π Tính giá trị cos  α + ÷ 4    144 Ta có cos α = − sin α = −  ÷ =  13  169 0,25 −12 π Suy cos α = (vì < α < π nên cos α < ) 13 π π π −12 −17  − = Do đó: cos  α + ÷ = cos α.cos − sin α.sin = 4 4 13 13 26  4b Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn 2 18 ổ 1ử ữ ỗ xữ ỗ ữ ç è x2 ø 18 18 k ∈ ¥ ỉ 1÷ ỉ 1ư k k 18- k k 18- k ữ ỗ ỗ x- ữ = C x = C x ( ) Ta cú: vi ữ ỗ ỗ 18 18 ữ k =0 ỗ ỗ x2 ứ ố x ÷ ø è k =0  k ≤ 18 Để có số hạng khơng chứa x : 18 - 3k = Û k = 18 k Vậy hệ số số hạng không chứa x khai triển là: ( - 1) C186 = 18564 5 I = ∫0 x ( x + 4) dx (1,0 Tính tích phân điểm) Đặt t = ( x + 4) = x + Suy t = x + Do tdt = xdx x = ⇒ t = 2, x = ⇒ t = 3 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy I = ∫ (t − 4)t.tdt = ∫ (t − 4t )dt 0,25  t 4t  63 64 253 I = − ÷ = + =   15 15 0,25 Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;1), mp (P): x − y + z + = đường thẳng (d): x −1 y z − = = Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R (S) khoảng cách từ tâm A (S) đến mp (P) R= R = − +1+1 22 + (−2) + 12 =2 0,25 Phương trình mặt cầu (S): ( x − ) + y + ( z − 1) = Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng (d) cắt r (1,0 đường thẳng (d) M M ∈ (d) nên M (1 + m; 2m; + m) , m ∈ ¡ u vec điểm) tơ phương (d) r uuur Vì d⊥ ∆ nên u AM = ⇔ 4m = ⇔ m = 0,25 => véc tơ phương ∆ AM = (−1;0;1) Phương trình đường thẳng ∆ 0,25 2 uuur 0,25 Câu Đáp án Điểm x = − t  cần tìm :  y = , t ∈ ¡ z = 1+ t  Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a (1,0 đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC điểm) a Tính thể tích khối tứ diện theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM A a Tính thể tích khối tứ diện OABC Diện tích tam giác OBC : 1 a2 = OB.OC = a (a 3) = 2 SOBC 3, (a>0) 0,25 a H Thế tích khối tứ diện O N 1 a2 a3 V = SOBC OA = ( )(a 3) = (đvtt) 3 2 C a K 0,25 M a B b.Khoảng cách hai đường thẳng AB OM Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) ⇒ OM // (ABN) ⇒ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)) Dựng OK ⊥ BN , OH ⊥ AK ( K ∈ BN ; H ∈ AK ) Ta có: AO ⊥ (OBC ); OK ⊥ BN ⇒ AK ⊥ BN 0,25 BN ⊥ OK ; BN ⊥ AK ⇒ BN ⊥ ( AOK ) ⇒ BN ⊥ OH OH ⊥ AK ; OH ⊥ BN ⇒ OH ⊥ ( ABN ) ⇒ d (O; ( ABN ) = OH Từ tam giác vng OAK; ONB có: OH Vậy, = OA + OK = d (OM ; AB ) = OH = OA + OB + ON = 3a + a + 3a = 3a ⇒ OH = a 15 0,25 a 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD , đường chéo AC có phương (1,0 9 9 trình x +2y -11 = 0, M  ; ÷ trung điểm đoạn AB.Tìm tọa độ cá điểm) 2 2 điểm A,B,C,D biết xA ≤ Câu Đáp án Điểm 4 4   AB : A  x − ÷+ B  y − ÷ = ( A2 + B > 0) 5 5   r r n AB n AC A + 2B cos45o = r = r A2 + B n AB n AC 0,25  AB : x − y + = ⇒ A(3; 4) ( N ) ⇒ B (6;5) ⇒  AB : 3x + y − 18 = ⇒ A(5;3) ( L) 7 5 Gọi N điểm đối xứng M qua AC ⇒ N  ; ÷ 2 2 7 5 Gọi N điểm đối xứng M qua AC ⇒ N  ; ÷ N Là trung điểm 2 2 ⇒ D (4;1) AD 0,25 0,25 BD: 2x –y -7 = ⇒ AC ∩ BD = I ( 5;3) I trung điểm AC ⇒ C (7; 2) 0,25 9a Một xí nghiệp có thề dùng ba loại nguyên liệu A; B; C để sản xuất loại sản (1,0 phẩm theo hai công nghệ khác CN1 CN2 Cho biết tổng khối lượng điểm) nguyên liệu mỗi loại xí nghiệp có, định mức tiêu thụ loại nguyên liệu sản xuất theo công nghệ bảng Tổng khối lượng Định mức tiêu thụ Nguyên liệu có CN1 CN2 A 200 B 280 C 350 Sản lượng 30 36 Tìm kế hoạch sản xuất cho tổng số sản phẩm thu nhiều Gọi x, y thời gian ( giờ) sản xuất theo công nghệ CN1; CN2 ( x ≥ 0; y ≥ ) Tổng khối lượng nguyên liệu loại sử dụng để sản xuất A: 4x + 3y (đơn vị nguyên liệu) B: 3x + 5y (đơn vị nguyên liệu) C: 9x + 5y (đơn vị nguyên liệu) Để không bị động sản xuất tổng khối lượng nguyên liệu loại sử dụng để sản xuất vượt tổng khối lượng nguyên liệu loại xí nghiệp có nên ta có điều kiện:  x + y ≤ 200 3 x + y ≤ 280   9 x + y ≤ 350  x ≥ 0; y ≥ Yêu cầu tốn: Tìm giá trị lớn hàm F = 30x + 35y Xác định miền nghiệm Ta có miền nghiệm tứ giác OABC kể cạnh Với O(0;0) suy F =  Với A  350  3500 ;0 ÷ suy F =    Với B  35  ; 49 ÷ suy F = 2065   0,25 0,25 Câu Đáp án Điểm 9.b   Với C  0; theo ÷suy F = 1960 Vậy sản xuất theo phương án :   công nghệ CN1 49 theo công nghệ CN2 tổng số sản phẩm thu nhiều F = 2065 Giải phương trình sau tập số thực 280 35 x4 + 12 x + x − x − 3x + x + x + + 12 x + = x +1 x4 + 12 x + x − x − 3x + x + x + + 12 x + = x +1 3 ⇔ ( x + 1)(6 + x − x ) − ( x + 1)(3x + x + 1) + 12 x + = x4 (*) x +1 ( x + 1)(6 + x − x ) ≥  Đk ( x + 1)(3 x + x + 1) ≥ ⇔ − 15 ≤ x ≤ + 15 x +1 ≠  0,25 Chia vế pt (*) cho x + (x + > 0) ta phương trình tương đương + 6x − x2 3x + x + x x4 − +4 +8= x +1 x +1 x +1 ( x + 1) ⇔ 6− x2 x2 x x4 x2 − +1 + +8= = t; t ≥ đặt x +1 x +1 x +1 ( x + 1) x +1 Phương trình trở thành phương trình ẩn t: t − 4t − + 3t + − − t = ⇔ t − 4t − + ( 3t + − 4) + (1 − − t ) = 3(t − 5) t−5   + = ⇔ (t − 5)  t + + + ÷= 3t + + + − t 3t + + + − t   0,25 + > Ta có ⇔ t = (nhận) t + + 3t + + + − t x 5±3 = ⇔ x − 5x − = ⇔ x = (nhận) x +1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn : ab + ac + bc = Tìm giá trị lớn a b c + + biểu thức : P = + a2 + b2 + c2 Từ điều kiện: ab + ac + bc = , ta suy ra: + a = a + ab + bc + ac = (a + b)(a + c ) 0,25 2 + c = ( a + c )( b + c ) + b = ( a + b)(b + c) ⇔ (t + 1)(t − 5) + 10 (1,0 điểm) ; Ta có: P = a ⇒ P≤ 1 +b +c (a + b)(a + c) (a + b)(b + c ) (c + b)(a + c ) a 1  b 1  c 1  + + +  ÷+  ÷+  ÷  a +b a +c   a +b b +c  2 c +b a +c  (áp dụng BĐT 0,25 Cauchy) ⇔ P≤ 0,25 Vậy max P = a = b = c = 0,25 SỞ GD & ĐT THÀNH PHỐ CẦN THƠĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRƯỜNG THPT NGUYỄN VIỆT DŨNG MÔN: TỐN Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = - x + 8x + Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = x+1 có đồ thị ( H ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ x- thị ( H ) điểm có hồnh độ Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos2 2x + sin 2x + = b) Giải phương trình z + 4z + = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò x ( ) x + + e x dx Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình log22 x - log4 x + = ỉ2 ÷ b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển ca biu thc ỗ x - ữ ỗ ỗ ÷ x÷ è ø Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 7; 4; 6) mặt phẳng ( P ) : x + 2y - 2z + = a) Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) b) Tìm tọa độ tiếp điểm ( P ) ( S ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S A BCD có đáy A BCD hình thoi cạnh a, A· BC = 60°, cạnh SA vng góc với đáy SC tạo với đáy góc 60° Tính theo a thể tích khối chóp S A BCD khoảng cách hai đường thẳng A B SD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác A BC nội tiếp đường tròn tâm O ( 0; 0) Biết chân đường cao hạ từ đỉnh A C M ( - 1; 0) N ( 1;1) Hãy tìm tọa độ đỉnh tam giác, biết đỉnh B nằm đường thẳng 3x + y - = Câu (1,0 điểm) a) Một nhà máy dùng hai loại ngun liệu khoai mì ngơ để chế biến 140 kg thức ăn cho gà 90 kg thức ăn cho cá Từ khoai mì giá triệu đồng, chế biến 20 kg thức ăn cho gà kg thức ăn cho cá Từ ngô giá triệu đồng, chế biến 10 kg thức ăn cho gà 15 kg thức ăn cho cá Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí nguyên liệu biết kho nguyên liệu nhà máy lại 10 khoai mì ngơ ( 2x + 3x − 14x )   = 4x + 14x + 3x +  − ÷ x +2 x +2   Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn a + b2 + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + b) Giải phương trình: -HẾT - ĐÁP ÁN Câu Nội dung Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số Điểm 1,0 y = - x + 8x + TXĐ: D = ¡ éx = ê y ' = - 4x + 16x , y ' = Û ê x = ±2 ê ë lim y = - ¥ , lim y = - ¥ 0,25 x đ- Ơ x đ+ Ơ Bng bin thiên x -2 - ¥ +¥ y' y + 12 - + 12 - 0,25 - ¥ - ¥ Hàm số đồng biến khoảng ( - ¥ ; - 2) , ( 0;2) Hàm số nghịch biến khoảng ( - 2; 0) , ( 2; + ¥ Hàm số đạt cực đại x = ±2, y = 12 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, y = Đồ thị ) 0,25 y 0,25 x x+1 có đồ thị ( H ) Viết phương trình tiếp x- tuyến đồ thị ( H ) điểm có hồnh độ Cho hàm số y = Có y ' = - ( x - 1) 0,25 Ta có x = Þ y = 3, y ' ( x ) = - 1,0 0,25 Phương trình tiếp tuyến y = y ' ( x ) ( x - x ) + y 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm 1 x - 2) + hay y = - x + ( 2 Giải phương trình: cos 2x + sin 2x + = cos2 2x + sin 2x + = Û - sin 2x + sin 5x + = ésin 2x = 3(V N ) ê Û ê ê sin 2x = - ê ë é é ê2x = - p + k 2p êx = - p + k p ê ê 12 Û ê Û ê (k Ỵ ¢ ) p p ê2x = ê + k 2p ê êx = 12 + k p ë ë 0,25 Giải phương trình z + 4z + = 0,5 y =- 3a 3b 0,25 Tính tích phân I = ị x Có I = ị x ( x ( 0,25 0,25 ) x + + e x dx ) x + + e dx = òx 1,0 x + 1dx + ò xe dx = I x Suy I = ò t 2dt = t 3 = Suy I = xe x Vậy I = x òe dx + I2 0,25 0,25 2- ìï u = x ïì du = dx ïï ï Þ í Đặt íï x ïï v = e x ïïỵ dv = e dx ïỵ 1 Đặt t = x + Þ t = x + Þ tdt = xdx Đổi cận: x = Þ t = 1; x = Þ t = 5a 0,25 éz = - ê z + 4z + = Û ê êz = - ë é z = ±i Û ê ê z = ± 3i ê ë 4 0,5 0,25 x ổ 3ử ữ t =ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2 ứ 2+ 0,25 Giải phương trình log22 x - log x + = ĐK: x > log22 x - log x + = Û log22 x - log2 x + = élog x = Û ê êlog x = ê ë 10 0,5 0,25 * Suy ra: A(2; 4) AP: 2x + y – = 0, DN vng góc AP qua I nên: AI: x – 2y =  16  Ta có DN ∩ AP = H  ; ÷⇒ D(2;1) ⇒ C (5;1) ⇒ B(5; 4)  5 Vậy A(2; 4), B(5; 4), C (5;1), D(2;1) x ≤  y ≥ −4 ĐK:  Từ (1) ta có ( x + y )3 + 3( x + y ) = ( y + ) + ( y + ) ( *) 0,5 f ( t ) = t + 3t ⇒ f ' ( t ) = 3t + > ∀t ( *) ⇔ 0,25 f ( x + y) = f ( y + ) ⇔ y = x − x + + − x = x + x − x − ( −2 ≤ x ≤ 3) Thế vào (2) ta ⇔ x + − ( x + 4) + − x − (− x + 5) = ( x − x − 2)( x + 2) 3 0,5 1   ⇔ ( x2 − x − 2)  3( x + 2) + + ÷= x + + x + 3− x +5− x   x = ⇔ ( x − ) ( x + 1) = ⇔   x = −1 S = { ( −1; − 3) , ( 2;0 ) } bc bc 0,25 bc Với a + b + c = ta có 3a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) ≤ Câu 10 0.25 bc  1  +  ÷  a +b a+c  1 Theo BĐT Cô-Si: a + b + a + c ≥ (a + b)(a + c) , dấu đẳng thức xảy ⇔ b = c ca ca  1  ab ab  1  ≤  + ≤ + ÷  ÷ b+a b+c   c +a c +b  3b + ca 3c + ab bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c Suy P ≤ 2(a + b) + 2(c + a) + 2(b + c) = = Tương tự Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = 0.25 0.25 0.25 a = b = c =1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2016 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THI THAM KHẢO (Đề có 01 trang) Câu (1,0điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x - 3x - Câu (1,0điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) = x - 3x - điểm có 55 hồnh độ x , biết f '' ( x ) = Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn ( - 3i ) z + ( + i ) z = 21 - 5i Tìm phần thực, phần ảo số phức z 2x + x+3 b) Giải phương sau: - - 64 = 0, x Ỵ ¡ p/ Câu (1,0điểm) Tính tích phân I = ị x ( x + cos x ) dx p < a < p sin a - cos a = Tính Câu (1,0điểm) a) Cho góc a thỏa mãn A = cos ( 2016p + 2a ) b) Trong cụm thi để xét cơng nhận tốt nghiệp THPT năm học 2016, thí sinh phải thi mơn có mơn bắt buộc Tốn, Văn, Ngoại ngữ mơn thí thi tự chọn số mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường Việt Mỹ có 40 học sinh đăng kí dự thi, có 20 học sinh chọn mơn Vật lí 10 học sinh chọn mơn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường Việt Mỹ, tính xác suất để học sinh ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học Câu (1,0điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;0) mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y - z + = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Câu (1,0điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông cân A, biết A B = a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC Câu (1,0điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I ( 2;2) , điểm D chân đường phân giác góc R BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm M (khác điểm A) Tìm tọa độ điểm A, B, C biết J ( - 2;2) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD phương trình đường thẳng MC : x + y - = Câu (1,0điểm) a) Thầy Tuấn muốn mua quà tặng bạn gái nhân ngày sinh nhật Thầy Tuấn định bỏ ống heo 1000 đồng, ngày tháng năm 2016 Tiếp theo ngày sau cao ngày trước 500 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật bạn gái ngày tháng năm 2016, thầy Tuấn có đủ tiền mua quà cho bạn gái khơng? Biết q thầy Tuấn dự định mua giá khoảng 900.000 đồng (x Ỵ ¡ ) b) Giải phương trình sau: 15x = x + x + x + + 2 Câu 10 (1,0điểm) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y + z ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (1 + x) + (1 + y) + (1 + z) + (1 + x) (1+ y) (1+ z) HƯỚNG DẪN CHẤM 56 Câu Đáp án – cách giải Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x - 3x - Tập xác định D = ¡ y = - ¥ , lim y = + ¥ Gii hn ti vụ cc: xlim đ- Ơ x đ+ ¥ Điểm 1,0 0,25 Sự biến thiên Chiều biến thiên y ' = 3x - ; y ' = Û x = ±1 Các khoảng đồng biến: ( - ¥ ; - 1) ( 1;+ ¥ ) ; khoảng nghịch biến ( - 1;1) 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = - 1, yCD = ; đạt cực tiểu x = 1, yCT = - Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị 0,25 Câu (1,0điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) = x - 3x - điểm có hồnh độ x , biết f '' ( x ) = 1,0 0,25 Ta có f ' ( x ) = 3x - 57 f '' ( x ) = 6x f '' ( x ) = Û x = Þ y ( 0) = - Þ M ( 0; - 2) 0,25 0,25 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) M ( 0; - 2) y = f ' ( 0) ( x - 0) - Û y = - 3x - 0,25 a) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức ( - 3i ) z + ( + i ) z = 21 - 5i Tìm phần thực, phần ảo số phức z 0,5 z = a + bi ( a, b Ỵ ¡ ) , ta có z = a - bi Khi ( - 3i ) z + ( + i ) z = 21 - 5i Û ( - 3i ) ( a + bi ) + ( + i ) ( a - bi ) = 21 - 5i 0,25 Û ( 3a + 5b - 21) + ( - a - b + 5) i = ìï 3a + 5b = 21 ìï a = Û ïí Û ïí ïï a + b = ïï b = ỵ ỵ 0,25 Vậy phần thực z 2, phần ảo z 2x + x+ Giải phương sau: - - 64 = 0, x Ỵ ¡ 0,5 0,25 x Đặt t = , t > ét = - ( l ) Phương trình cho tương đương t - 4t - 32 = Û ê êt = ê ë 0,25 x Với t = Û = Û x = Vậy nghiệm phương trình cho x = p/ Tính tích phân I = ò x ( x + cos x ) dx 1,0 p Ta có I = ị x 2dx + p ò x cos xdx p Với I = ò x dx = x 0,25 p 0,25 p3 = 24 0,25 p Với I = ò x cos xdx 58 ïì u = x ïì du = dx ï ï Đặt íï dv = cos xdx Þ íï v = sin x ï ï î î I = x sin x p p - ò sin xdx = p + cos x p p - = 0,25 p p + - 24 Vậy I = p < a < p sin a - cos a = Tính a) Cho góc a thỏa mãn A = cos ( 2016p + 2a ) ổ p ỗ ữ a ẻ ; pữ ị sin a > ç Với ÷ ç ÷ è ø 0,5 0,25 A = cos ( 2016p + 2a ) = cos 2a = - sin a ìï sin a - cos a = ï Ta có íï sin a + cos2 a = Þ sin a + ( sin a - 1) = ùù ợ ị sin a - sin a = Þ sin a = 0,25 ỉư ÷ =Suy A = - sin a = - ỗỗ ữ ữ ữ ỗ 25 ố5 ứ Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT năm học 2016, thí sinh phải thi mơn có mơn bắt buộc Tốn, Văn, Ngoại ngữ mơn thí thi tự chọn số mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường Việt Mỹ có 40 học sinh đăng kí dự thi, có 20 học sinh chọn mơn Vật lí 10 học sinh chọn mơn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường Việt Mỹ, tính xác suất để học sinh ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học Số phần tử không gian mẫu n ( W) = C 40 = 9880 Gọi A biến cố “3 học sinh chọn ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học” Khí đó, số phần tử biến cố A 0,5 0,25 1 n ( A ) = C 20 C 102 + C 202 C 101 + C 20 C 10 C 101 = 4800 Vậy xác suất để xảy biến cố A P ( A ) = n ( A) n ( W) = 120 247 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;0) mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y - z + = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) 1,0 Khoảng cách từ điểm A(1;3;0) mặt phẳng (P) : 0,25 59 d= | 2.1 + 2.3 - + | 22 + 22 + = =3 Đường thẳng AA’ qua A nhận vecto pháp tuyến mp(P) ur n P = ( 2;2; - 1) làm vecto phương 0,25 ìï x = + 2t ïï Ta có phương trình tham số đường thẳng AA’ ïíï y = + 2t ïï z = - t ïỵ Gọi I giao điểm đường thẳng AA’ mặt phẳng (P) Do I thuộc đường thẳng AA’ nên I ( + 2t ; + 2t ; - t ) Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên 0,25 0,25 ( + 2t ) + ( + 2t ) - ( - t ) + = Û t = - Þ I ( - 1;1;1) Vì I trung điểm AA’ nên ta có A ' ( - 3; - 1;2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông cân A, biết A B = a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC 1,0 0,25 BC =a Gọi H trung điểm BC Þ A H ^ BC A H = Tam giác AA’H vng H Þ A ' H = A A '2 - A H = a Thể tích lăng trụ V = A ' H S A BC = A ' H A B A C = a 3 ìï BC ^ A H ï Ta có íï BC ^ A ' H Þ BC ^ ( A ' A H ) ïỵ Trong mặt phẳng ( A ' A H ) , kẻ HK ^ A ' A K (1) ìï BC ^ (A ' A H ) ï Do íï HK Ì (A 'A H ) Þ BC ^ HK (2) ïỵ Từ (1) (2) suy HK = d ( A ' A, BC ) Tam giác A’AH vuông H 1 = + = Þ HK = a 2 HK AH A 'H 3a 60 0,25 0,25 0,25 Vậy d ( A ' A, BC ) = a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I ( 2;2) , điểm D chân đường phân giác góc R BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm M (khác điểm A) Tìm tọa độ điểm A, B, C biết J ( - 2;2) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD phương trình đường thẳng MC : x + y - = 1,0 0,25 Ta có R CJD = 2R CAD (do tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I) Mặt khác R CAD = R BAD = R BCM ⇒ R CJD = 2R BCM Mà ∆CJD cân J ⇒ R CJD + 2R JCD = 1800 ⇒ 2R BCM + 2R JCD = 1800 ⇒ R BCM + R JCD = 900 ⇒ CM ⊥ CJ Do CM ⊥ CJ , phương trình CJ qua J ( - 2;2) nên CJ : x − y + = 0,25 Ta có C giao điểm CJ CM nên tìm C ( - 1; 3) uur C 1; ( ) IJ AC qua nhận = ( - 4; 0) làm vector pháp tuyến nên có phương trình A C : x + = Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ( I ) : ( x - 2) 2 + ( y - 2) = 10 2 ìï éx = - 1, y = ïï ( x - 2) + ( y - 2) = 10 Þ ê Tọa độ A, C nghiệm hệ íï êx = - 1, y = ê ïïỵ x + = ë Do C ( - 1; 3) nên nhận A ( - 1;1) 2 ìï ïï ( x - 2) + ( y - 2) = 10 Tọa độ M, C nghiệm hệ íï ïïỵ x + y - = éx = - 1, y = Þ ê êx = 3, y = - ê ë Do C ( - 1; 3) nên nhận M ( 3; - 1) 61 0,25 uuur Khi BC qua C nhận IM = ( 1; - 3) làm vtpt có phương trình 0,25 x - 3y + 10 = 2 ìï ïïí ( x - 2) + ( y - 2) = 10 Tọa độ B, C nghiệm hệ ï ïïỵ x - 3y + 10 = éx = - 1, y = ê Þ ê 19 êx = , y = 23 ê 5 ổ 19 23 ỗ ữ C 1; B ỗ ( ) Do nờn nhn ỗ ; ÷ ÷ ÷ è5 ø ỉ 19 23 ö ÷ C ( - 1; 3) Vậy tọa độ điểm cần tìm A ( - 1;1) , B ỗỗỗ ; ữ ữ ữ, ố5 ứ a) Thầy Tuấn muốn mua quà tặng bạn gái nhân ngày sinh nhật Thầy Tuấn định bỏ ống heo 1000 đồng, ngày tháng năm 2016 Tiếp theo ngày sau cao ngày trước 500 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật bạn gái ngày tháng năm 2016, thầy Tuấn có đủ tiền mua quà cho bạn gái khơng? Biết q thầy Tuấn dự định mua giá khoảng 900.000 đồng Từ ngày tháng đến ngày tháng có tổng số ngày 31 + 30 + = 64 ngày Số tiền bỏ ống thầy Tuấn ngày tăng theo cấp số cộng với cơng sai 500 đồng Do đó, tổng số tiền có thầy Tuấn đến ngày tháng 0,5 0,25 0,25 64 é ´ 1000 + ( 64 - 1) ´ 500ù = 1072000 đồng ú ë û ê Vậy thầy Tuấn có đủ tiền mua quà sinh nhật cho bạn gái b) Giải phương trình sau: 15x = x + x + x + + (x Ỵ ¡ ) Phương trình cho tương đương với ( ( ) 3x - x - + 2x - ( Û ) 3x - x - Û ( ) x2 + x + = ( ) + 3x - x - = x + x + + 2x ổ ữ ỗ ữ 3x - x - ỗ + =0 ữ ỗ ữ ữ ỗ ố x + x + + 2x ø ) TH1 3x - x - = ìï 15x - x - > ï Þ 4x > Þ x > Theo đề ta có íï ïïỵ 3x - x - = Do 3x - x - = Û x = + 13 62 0,5 0,25 TH2 x + x + + 2x 0,25 + = (2) Û 10x + x + x + + = Û x + x + = - - 10x Û x = - - 29 10 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = + 13 , x = - 10 29 10 2 Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y + z ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (1 + x) + (1 + y) + 1 (1 + z) + (1 + x) (1 + y) (1 + z) 0,25 Chứng minh a + b2 ³ (*) ( a + b) Dấu “=” xảy a = b Đặt t = y + z , áp dụng (*) ta có (1 + y) + ³ 0,25 = (1 + z) (2 + y + z) (2 + t) ( + y + z ) ( t + 2) = (1 + y) (1 + z) £ 4 Như P ³ (1+ x) + 2 (2 + t) + 0,25 16 ( + x ) ( t + 2) Mặt khác từ giả thiết ( y + z = x y2 + z2 ) x (y + z) ³Û 2 x ( y + z ) £Û£ x t Từ ta suy P ³ ổ 2ử ữ ỗ 1+ ữ ỗ ữ ç ÷ è tø f '( t ) = + 16 t + 2t + 24t + 16 + = = f (t ) ỉ 2ư ữ t + ỗ ( ) 1+ ữ t + 2) ỗ ữ ỗ ữ( ố tứ (2 + t) 0,25 4t - 24t - 144t - 160t ( t + 2) f ' ( t ) = Û t - 6t - 36t - 40t = Û t ( t - 10) ( t + 2) = Û t = 10 Bằng bảng biến thiên, ta thấy f ( t ) đạt giá trị nhỏ t = 10 f ( 10) = 91 106 Kết luận P = f ( 10) = 91 đạt x = , y = z = 106 63 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN THI: TỐN Thời gian làm bài:180 phút, khơng kể thời gian phát đề ĐỀ THI THAM KHẢO (Đề có 01 trang) Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x + x + x 3 Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = x − mx + ( 2m − 1) x + Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung Câu (1,0 điểm) + cos x + cos x + cos3 x a) Rút gọn biểu thức P = 2cos3 x − cos x − cos x b) Giải bất phương trình log x 64 + log x 16 ≥ Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình x − x − = tập số phức 28 n −   n n −1 n−2 b) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x x + x 15 ÷ , biết Cn + Cn + Cn = 79   π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( x + sin x ) cos x dx 64 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang cân ( BC / / AD ) Biết đường cao SH = a với H trung điểm AD , AB = BC = CD = a , AD = 2a Tính theo a thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AD x − 2z = Câu (1,0 điểm) Cho đường thẳng ∆ :  mặt phẳng 3x − y + z − = ( P) : x − y + z + = a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( P ) b) Viết phương trình mặt cầu qua gốc tọa độ có tâm giao điểm ∆ ( P ) Câu (1,0 điểm) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết đường thẳng chứa cạnh AB, BC , CD, DA theo thứ tự qua điểm P ( 2;1) , Q ( 0;1) , R ( 3;5 ) , S ( −3; −1) 12 x − a) Giải bất phương trình x + − 2 − x > tập số thực x + 16 b) Thành phố Cần Thơ có 10 ứng cử viên đại biểu Quốc hội khóa XIV đại biểu hội đồng nhân dân TP Cần Thơ nhiệm kỳ 2016 – 2020 (được thông qua hội nghị hiệp thương lần Ủy ban MTTQ Việt Nam TP Cần Thơ tổ chức vào chiều ngày 15 tháng 4) Cùng với ứng cử viên trung ương giới thiệu, đơn vị bầu cử TP Cần Thơ có 13 ứng cử viên có người cơng tác ngành giáo dục đào tạo Tính xác suất để đại biểu bầu có người công tác ngành giáo dục đào tạo Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b ∈ R Chứng minh ( a.22015 + b.32016 + 1) ≤ ( 42015 + 92016 + 1) ( a + b2 + 1) Hết 65