PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1 Một Số Công Thức Cần Nhớ 1- Độ dài đoạn thẳng Nếu A(x1; y1; z1 ), B(x ; y2 ; z ) AB = ( x1 − x )2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z )2 2- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nếu điểm M (xo ; yo ; zo ) mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = Axo + Byo + Czo + D = d( A;( P ) ) = A2 + B + C 3- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng JJJJG ⎡ AM , uG ⎤ ⎧⎪qua A ⎢ ⎥ Nếu điểm M đường thẳng (d): ⎪⎨ G d( A;(d ) ) = ⎣ G ⎦ ⎪⎪ vtcp u u ⎩ 4- Khoảng cách hai mặt phẳng song song Là khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (Q): Ax + By + Cz + D ' = D −D' d( ( P ),(Q ) ) = A + B2 + C 5- Khoảng cách hai đường thẳng + Nếu hai đường thẳng song song khoảng cách chúng khoảng cách từ điểm đường tới đường kia, ta dùng công thức để tính ⎧⎪qua A ⎧⎪qua B + Nếu hai đường thẳng (d1): ⎪ JJG hai đường thẳng chéo JJG (d2): ⎪ ⎨ ⎨ ⎪⎪ vtcp u2 ⎪⎪ vtcp u1 ⎩ ⎩ JJJG JJG JJG AB.[ u1, u2 ] d(d1;d2 ) = JJG JJG [ u1, u2 ] 6- Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng + Nếu đường thẳng mặt phẳng có điểm chung khoảng cách + Nếu đường thẳmg song song với mặt phẳng khoảng cách chúng khoảng cách từ điểm đường thẳng tới mặt phẳmg, sử dụng công thức để tính 7- Góc hai đường thẳng JG JJG Nếu (d1), (d2) có VTCP u1, u2 góc α ( α ∈ [ 0;90o ]) chúng xác JJG JJG u1.u2 định theo công thức cos α = JJG JJG u1 u2 8- Góc hai mặt phẳng JJG JJG Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) có hai vtpt n1, n2 góc α JJG JJG n n2 ( α ∈ [ 0;90o ] ) chúng xác định theo công thức cos α = JJG JJ G n1 n2 9- Góc đường thẳng mặt phẳng G JG Nếu đường thẳng (d) có vtcp u mặt phẳng (P) có vtpt n góc α Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học G JG u.n ( α ∈ [ 0;90o ] ) chúng xác định theo công thức sin α = G JG u n 10- Diện tích số đa giác thường gặp i/ Diện tích tam giác ABC S+ABC = ii/ Diện tích hình bình hành ABCD SABCD = 11- Thể tích hình chóp JJJG JJJG ⎡ AB, AC ⎤ ⎣⎢ ⎦⎥ JJJG JJJG ⎡ AB, AD ⎤ ⎣⎢ ⎦⎥ h.S day + Nếu hình chóp tam giác ( tứ diện) ABCD JJJG JJJG JJJG VABCD = AB ⎡⎢ AC , AD ⎤⎥ ⎣ ⎦ Vchop = 12- Thể tích hình trụ ( đa diện có hai đáy // nhau, mặt bên hình bình hành) Vlang tru = h.Sday + Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ JJJG JJJG JJJG Vhop = AA ' ⎡⎢⎣ AB, AD ⎤⎥⎦ §2 Phương Trình Mặt Phẳng Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm phân biệt Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cắt Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm đường thẳng Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng không phương Bài toán 7: Cho hai đường thẳng chéo Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Bài toán 8: Cho đường thẳng mặt phẳng không vuông góc với Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài toán 9: Cho điểm phân biệt A, B Viết phương trình mặt phẳng qua A cách B khoảng lớn Bài toán 10: Cho mp(P) điểm A Viết phương trình mp(Q) đối xứng với mp(P) qua A Bài toán 11: Cho mặt phẳng phân biệt (P1), (P2) Viết phương trình mặt phẳng (P3) đối xứng với (P1) qua (P2) Bài toán 12: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M ( khác gốc O) cắt trục toạ độ điểm A, B, C cho a b c đạt giá trị nhỏ ( a, b, c > ) + + OA OB OC2 Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học Chú ý: Trong trường hợp đề yêu cầu viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) thỏa mãn thêm điều kiện Ngoài cách giải trực giác cách mô trên, ta sử dụng phương trình chùm mặt phẳng m(A1x + B1y + C 1x + D1 ) + n(A2x + B2y + C 2x + D2 ) = Sau sử dụng điều kiện (gt) để tìm cặp (m, n ) §3 Phương Trình Đường Thẳng Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm phân biệt Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm vuông góc với mặt phẳng Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng // với hai mặt phẳng cắt Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung đường thẳng chéo Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cắt vuông góc với đườn thẳng Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cắt đường thẳng chéo Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng Bài toán 8: Cho đường thẳng chéo (d1), (d2) điểm A không nằm đ/t Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt (d1) vuông góc với (d2) Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo vuông góc với mp(P) Bài toán 10: Viết phương trình đường phân giác góc cho truớc Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc với đường thẳng (d), song song nằm mp(P) Bài toán 13:Cho mp(P), hai đường thẳng phân biệt không song song với Viết phương trình đường thẳng nằm (P) cắt hai đường thẳng cho Chú ý1: Để viết phương trình đường thẳng có hai phương án: 1- Tìm hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng cần tìm 2- Tìm tọa độ điểm đường thẳng véctơ phương Chú ý 2: Khi mô tả hình vẽ cần ý rằng: Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến, đường thẳng có điểm véctơ phương §4 Phương Trình Mặt Cầu A- Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Trong không gian mặt cầu tập hợp tất điểm cách điểm I cho trước khoảng không đổi R > Kí hiệu mặt cầu S(I; R) Phương trình mặt cầu 2.1 Phương trình tắc mặt cầu Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm I( a;b; c ) Khi S(I; R) có phương trình tắc (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R (1) 2.2 Phương trình tổnq quát mặt cầu x + y + z + ax + by + cz + d = (2) Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học Vị trí tưong đối đường thẳng mặt cầu Xét mặt cầu S(I; R) đường thẳng (d) Ta có - Đường thẳng (d) nằm mặt cầu ⇔ d(I;(d )) > R - Đường thẳng (d) tiếp tuyến mặt cầu ⇔ d(I;(d )) = R - Đường thẳng (d) cắt mặt cầu hai điểm phân biệt ⇔ d(I;(d )) < R Chú ý: i/ Với hai đoạn thẳng có điểm đầu mút mặt cầu đoạn thẳng lớn gần tâm ii/ Cho điểm A, B mặt cầu Khi hình chiếu vuông góc tâm I lên AB trung điểm AB ngược lại Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Xét mặt cầu S(I; R) mặt phẳng (P) Ta có - Mặt phẳng (P) nằm mặt cầu ⇔ d(I;( P )) > R - Mặt phẳng (P) tiếp diện mặt cầu ⇔ d(I;( P )) = R - Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đương tròn (C) ⇔ d(I;( P )) < R Chú ý: i/ Trong không gian người ta coi đường tròn giao mặt phẳng mặt cầu Do đường tròn không gian có phương trình hệ gồm phương trình mặt cầu phương trình mặt phẳng chứa ii/ Nếu (C)= S(I; R) ∩ (P) tâm J đường tròn (C) hình chiếu vuông góc I lên mp(P) ta có hệ thức R2 = IJ2 + r B Một số toán viết PT mặt cầu Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu qua đỉnh tứ diện Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu cho trước qua điểm đường thẳng mặt phẳng Bài toán 3: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P1), (P2) đường thẳng (d) không nằm mặt phẳng mặt phẳng cho Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm (d)và tiếp xúc với mặt phẳng Bài toán 4: Cho điểm I đường thẳng (d) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (d) điểm có khoảng cách h Bài toán 5: Cho điểm I mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu a/ tâm I tiếp xúc với mp(P) b/ tâm I cắt (P) theo đường tròn có (bán kính là…hoặc chu vi …hoặc diện tích ) Bài toán 6: Cho đường thẳng (d), điểm A, mp(P) Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm (d) qua A tiếp xúc với (P) Bài toán 7: Cho đường thẳng (d) hai điểm A, B phân biệt Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm nằm (d) Bài toán 8: Cho mặt cầu (S1) mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S2) chứa đường tròn (C)= S(I; R) ∩ (P) thỏa mãn điều kiện a/ qua điểm A b/ có tâm nằm mặt phẳng (Q) Chú ý “ mở rộng khái niệm chùm ứng dụng” Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học BÀI TẬP MẶT CẦU Bài 1: Cho điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) a/ Viết phương trình đường vuông góc chung AC BD b/ Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D Bài 2: Cho điểm A(1;-1;0), B(2;1;1); C(3;0;0); D(-2;-1;2) a/ Viết phương trình đường thửng (d) qua D, song song với mp(ABC) vuông góc với CD b/ Viết PT mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, tìm tâm bán kính (S) Bài 3: Cho đường thẳng ⎧x − y − z + = (d): ⎨ mặt cầu (S) : x + y + z − x + z − = x − y + z − = ⎩ a/ Viết phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu, cắt vuông góc với (d) b/ Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua (d) x y −1 z +1 Bài 4: Cho đường thẳng (d): = = hai mặt phẳng 2 (P): x + y − z + = (Q): x − y + z + = a/ Gọi A, B giao điểm (d) với (P) (Q) Tính AB b/ Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và(Q) ⎧x + y + z +1 = Bài 5: Cho đường thẳng (d): ⎨ , hai mặt phẳng ⎩ x − y + z −1 = (P): x + y + z + = (Q): x + y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm (d) tiếp xúc với (P), (Q) x y −1 z +1 Bài 6: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;-1) cắt đường thẳng (d): = = 2 hai điểm A, B AB = Bài 7: Cho điểm I(2;-1;1) mp(P): x − y + z + = Viết phương trình mặt cầu a/ Tâm I tiếp xúc với (P) b/ Tâm I cắt (P) theo đường tròn có bán kính Bài 8: Cho điểm I(1;2;-2) mp(P): x + y + z + = a/ lập PT mặt cầu (S) có tâm I cho giao (S) (P) đường tròn có chu vi 8π b/ Chứng minh (S) tiếp xúc với đường thẳng (d): x − = y + = z x y −1 z +1 = = , qua điểm Bài 9: Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm đường thẳng (d): −1 A(0;1;0) tiếp xúc với mp(P): 3x + y − = Bài 10: Viết phương trình mặt cầu qua điểm A(1;2;0); B(3;0;2) có tâm nằm đường thẳng ⎧x = t ⎪ (d): ⎨ y = + t (t ∈ \) ⎪ z = −t ⎩ ⎧⎪{ x + ( y − 3) + ( z − 4) = 36 Bài 11: Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C): ⎨ qua ⎪⎩ x − y − z + = A(0;1;1) Tìm tâm bán kính mặt cầu Bài 12: Cho mặt cầu (S) : x + y + z − x + y + z − = mặt phẳng (P): x − y + z − 14 = a/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học b/ Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho lhoảng cách từ M đến mp(P) lớn Bài 13: Cho mặt cầu (S) ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = mp(P): x + y + z + 11 = Tìm điểm M Trên (S) cho khoảng cách từ M đến mp(P) ngắn Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ⎧8 x − 11y + z − 30 = (d): ⎨ ⎩x − y − 2z = tiếp xúc với mặt cấu (S) : x + y + z + x − y + z − 15 = ================================================================= GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PP GẮN HỆ TOẠ ĐỘ Bài 1: (Khối A-2002) Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạch SB, SC Tính theo a diện tích +AMN , biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC) Bài 2: (Khối B-2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a a/ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b/ Gọi M, N, P trung điểm cạnh A1B, CD, A1D1 Tính góc MP C1N Bài 3: (Khối D-2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a cạnh bên SA vuông góc với a mp(ABC) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a , biết SA = Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy SA = a Gọi E trung điểm CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng DE Bài 6: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) 60o Tính theo a độ dài đoạn thẳng SA Bài 7: (Khối A-2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ hệ toạ độ Oxyz với A trùng với gốc toạ độ B( a ; 0; 0), D(0; a ; 0); A’(0;0; b ) ( a > 0, b > ) Gọi M trung điểm CC’ a/ Tính thể tích tứ diện BDA’M a b/ Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b Bài 8: (Khối B-2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc n = 60o Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’ CMR bốn điểm BAD B’, M, D, N đồng phẳng Tính độ dài AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vuông Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , BC =2 a , cạnh SA vuông góc với đáy SA = a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học M tính diện tích Bài 10: (Khối B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB = a , AD = a , SA = a SA vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mp(SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 11: (Khối B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính khoảng cách MN AC Bài 12: (Khối D-2007) n = BAD n = 90o , BA = BC = a , AD = a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mp(SCD) -*** - Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học