Đang tải... (xem toàn văn)
kĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trình kĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trìnhkĩ thuật casio giúp bạn nhanh nhẹn xử lí hệ phương trình và phương trình
KỸ THUẬT ÉP TÍCH LÂM MINH CASIOer Team 2016 CÁC KỸ THUẬT F-TIK Đây hầu hết kỹ thuật công khai mạng, phương pháp tới phổ biến có nhiều người nghiên cứu, nói vắn tắt, việc cụ thể hóa toán mời bạn xem phần giải tập mẫu 1.1 Liên hợp ngược Đây kỹ thuật F-tik phổ biến nhất, việc thực đơn giản, trị PT thức dạng: u(x) + v(x) f (x) = (Tất nhiên phải tìm nhân tử) Đối với PT nhiều hơn, chẳng hạn dạng: u(x) + p(x) f (x) + q(x) g(x) + r(x) f (x)g(x) = phức tạp chút ta có nhiều lựa chọn liên hợp ngược, luyện tập nhiều quen lựa đường biến đổi đơn giản 1.2 Chia biểu thức chứa Đây kỹ thuật đặc trưng CASIO, ta phải đụng đến giấy bút, kiểu cuối để hỗ trợ cho việc chia máy nhanh tốt Hiện có cách để chia căn, là: Áp dụng CT đổi dấu trước Bùi Thế Việt Xem đây: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/02/hot-phuong-phap-moi-phan-tich-bieu-thuc.html Phương pháp hay, chưa mạnh việc gán giá trị X không thực tập xác định x không mong muốn, trường hợp bạn áp dụng ý tưởng sau: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/05/hot-y-tuong-chia-can-moi-kha-hay.html Áp dụng CT số phức Đỗ Hoàng Việt Xem đây: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/02/hot-phuong-phap-moi-phan-tich-bieu-thuc.html Sử dụng đồng hệ số cách thay giá trị x thích hợp vào (cái biết rồi!) Có thể phải kết hợp giấy nháp để hỗ trợ máy tìm hệ số Việc chia biểu thức chứa f (x) (bậc lẻ nói chung) CASIO khó, PT chứa bậc 3, phương pháp sử dụng CT số phức ĐH.Việt khả thi, CT ta thay toàn f (x) i không cần quan tâm đến giá trị Tuy nhiên gặp f (x), hướng mà nhiều người nghĩ đến đặt ẩn phụ 1.3 Đặt ẩn phụ Đặt hoàn toàn √ Trước hết, ta thấy kỹ thuật khả dụng PT chứa nhị thức bậc nhất: n ax + b, đa thức bậc cao phải xem thứ bên có may mắn rơi vào trường hợp "đẹp" không đặt Ngoài việc làm giảm bớt PT chứa nhiều căn, biến nghiệm √ x0 từ hữu tỉ (là loại nghiệm gây khó khăn cho việc tìm nhân tử xác có 1) thành vô tỉ: t0 = n ax0 + b, giúp ta tìm nhân tử cho PT ẩn t Đặt không hoàn toàn Đây phương án gỡ nốt vướng mắc việc "cố" đặt hoàn toàn, tất đa thức bậc từ trở lên, việc chấp nhận để lại ẩn x (PT nhiều ẩn) 1.4 Đặt nhiều ẩn phụ Cũng có loại: Đặt hoàn toàn Đặt không hoàn toàn 1.5 Ghép nhân tử Đây kỹ thuật không đảm bảo cho lắm, chủ yếu dựa vào việc so sánh bậc PT ban đầu bậc nhân tử tìm kiểm tra lại độ trùng khớp, đòi hỏi nhân tử phải xác, không hay áp dụng Câu số 21 phần tập mẫu câu sử dụng kỹ thuật này, F-tik kinh điển! Lưu ý lại bậc n f (x), kí hiệu là: deg n f (x) = deg f (x) n CÁC KỸ THUẬT TÌM NHÂN TỬ Việc tìm nhân tử đóng vai trò quan trọng việc F-tik, không đơn giản để tìm nhân tử, nghiệm có "độ xấu" cao! Đối với nghiệm hữu tỉ, có khó tìm nhân tử xác, đổi lại ta Ép PT theo nhân tử tự chọn có vô số cách Ép, nói chung loại biết xử lí Nhắc lại chút, "nhân tử xác" nhân tử mà chia PT cho cho nhân tử chia hết Nếu không chia hết, ta phải nhân thêm PT với biểu thức α(x) để chia hết (như câu 1, 8, 10, 13, phần tập mẫu) Việc tìm α(x) phải dựa vào liên hợp ngược, hay áp dụng liên hợp ngược để F-tik biết Ở nhắc lại số kỹ thuật tìm nhân tử cho nghiệm vô tỉ 2.1 Các dạng nghiệm tìm nhân tử √ Dạng nghiệm x = a ± b c Đây dạng nghiệm PT bậc nên việc xuất đề thi Toán chuyện bình thường Cách chuẩn để tìm dạng từ dạng "số điện thoại" Viet đảo, với điều kiện phải tìm "nghiệm liên hợp" PT nghiệm liên hợp nghiệm PT bậc đó, PT không chứa nghiệm ta phải đổi dấu trước PT (căn được), để dò nghiệm liên hợp lại Dấu hiệu để nhận nghiệm có dạng đơn giản, tổng tích Viet đảo chúng số S = 2a đẹp (hữu tỉ): P = a2 − b2 c √ Dạng nghiệm x = ± a ± b c Đây dạng nghiệm PT bậc 4, đề thi ĐH loại Nghĩa có thành phần tổng tích Viet đảo số vô tỉ, nghiệm rơi vào dạng này, √ √ S=± a+b c+ a−b c thành phần vô tỉ có dạng dạng nghiệm trường hợp 1: √ P = a2 − b2 c Để dò nghiệm dạng tất nhiên ta phải dò dạng thành phần vô tỉ trên, việc sử dụng TABLE tốt √ √ Ta thấy, S hữu tỉ a ± b c = (m ± n c) , mặt khác √ S = 2a + a2 − b2 c = 2(a + P ) P = a2 − b2 c Vậy thấy P hữu tỉ chắn dạng √ √ Dạng nghiệm x = a + b c ± d ± e c Dạng PT bậc 4, mở rộng dạng trên, chưa thấy đề thi bao giờ, chủ yếu dành cho kẻ thích nghiên cứu F-tik giải PT đa thức √ S √ a + b c = S = (a + b c) 2 Tổng quát ta có: ⇔ √ √ √ S P = (a + b c)2 − (d ± e c) = −d∓e c d ± e√c = S − P 4 2 Vậy dạng S lẫn P số vô tỉ, nhiên việc tìm chúng làm TABLE Nói thêm chút, PT bậc ta cần thu nghiệm mò PT bậc đó, biết nghiệm dạng PT bậc liệu có tìm PT đó? Xét trường hợp: √ √ x1 = a + b c + d + e c √ √ (a) nghiệm biết x2 = a + b c − d + e c √ S1 = (a + b c) Ta có: P1 = (a + b√c)2 − (d + e√c) = S1 − d − e√c chứa nghiệm này, nghĩa biết số e c nên sử dụng TABLE mò nhân tử bậc √ S2 = S1 d−e c √ có P2 = S − d + e √ c d−e c Vậy ta tìm nhân tử bậc 2, nghĩa tìm PT bậc ban đầu √ √ x =a+b c+ d+e c √ √ (b) nghiệm biết x2 = a + b c + d − e c √ √ √ S1 = (a + b c) + d + e c + d − e c √ √ √ √ Ta có: P1 = a + b c + d + e c a + b c + d − e c √ x3 = a + b c + √ Mặt khác nghiệm lại x4 = a + b c − ⇒ (P2 − P1 )2 = 4e2 c Rõ ràng biết nghiệm khó tìm PT bậc gốc Nếu cho a = b = ta dạng nghiệm đề cập: ⇒ S12 = 2(d + P1 ) ⇔ d = S12 − P1 ⇒ e2 c = d2 − P12 Nhân tử lại ứng với S2 = −S1 P2 = P1 √ d ± e c, lúc , xong! √ S1 = d + e c + √ P1 = d2 − e2 c √ d−e c Đây nói thêm để bạn nghiên cứu, thực tế mò nghiệm ta dùng Viet bậc không chơi kiểu tìm nhân tử bậc Nhược điểm chung dạng nghiệm vô tỉ mò dạng đủ nghiệm liên hợp Ngoài có nghiệm dạng lượng giác, chưa có kỹ thuật CASIO để mò dạng này, thường xuất đề thi HSG phải lượng giác hóa PT từ đầu 2.2 Cách sử dụng TABLE Muốn sử dụng tốt TABLE cần phải biết linh hoạt, thay đổi biểu thức f (X) nhập vào tùy tình VD tìm PT bậc chứa nghiệm vô tỉ PT ban đầu lưu vào A, ta có cách nhập TABLE: αA2 + X αA + X , α hệ số nguyên ta tự điều chỉnh f (X) = αA2 + XA; f (X) = , f (X) = A A2 khoảng nhỏ [1; 5] Nếu giá trị X0 ta thu f (X0 ) số hữu tỉ, ứng với cách nhập trên, PT bậc thu là: αA2 + X0 A − f (X0 ) = 0; αA2 − f (X0 )A + X0 = f (X0 )A2 − αA − X0 = Việc tìm nghiệm thực chất không ứng dụng cho việc tìm nhân tử PT vô tỉ, mặt khác PT đa thức ta có nghiệm liên hợp nên dùng Viet đảo thay TABLE Đôi khi, từ nhân tử dạng PT bậc để suy nhân tử chứa PT vô tỉ, hầu hết không làm thế, thay vào từ nghiệm A ta tìm trực tiếp nhân tử chứa Các bạn biết cách nhập thông dụng sau đây: f (X) = α dùng để tìm nhân tử có dạng tương ứng α có cách tổng quát để tìm dạng: α f (A) + XA f (X) = α f (x) + ax + b α f (x) + ax + bx + c α f (x) + a f (x) + a f (A) + X g(A), g(x) + b , chưa g(x) + bx + c , dạng dễ gặp F-tik Nói chung, TABLE tìm biểu thức mà có nhiều hệ số cần tìm Nhân tử α f (x) + ax2 + bx + c phù hợp với dạng nghiệm (vì liên hợp thu PT bậc 4, với deg f (x) ≤ 4), ta sử dụng TABLE với f (X) = α f (A) + βA2 + XA để tìm nhân tử này, phần lớn β = 1, cần chỉnh α ∈ [1; 5] dạng khác Tương tự, để tìm nhân tử dạng α f (x) + a g(x) + bx + c nhập f (X) = α f (A) + β g(A) + XA Thầy Võ Trọng Trí có xây dựng công thức để chống việc mò mẫm số α trên, phức tạp, đặt vào tình thực tế cách chỉnh α đơn giản chiếm xác suất thành công đến 70% TABLE có tác dụng kiểm tra xem nghiệm PT F (x) = có bội mấy: PT F (k−1) (x) = có nghiệm kép x0 , x0 nghiệm bội k PT ban đầu, ta tính F (k−1) (x) sử dụng TABLE 2.3 Nhân tử cho nghiệm bội Nghiệm bội kiểm tra đạo hàm nhân tử tìm đạo hàm, công thức tổng quát để −−−−→ f (i) (x0 ) = i = 0, k − kiểm tra xem PT F (x) = chứa nghiệm x0 bội k là: f (k) (x0 ) = Như nghiệm bội k ta phải đạo hàm PT tay k − lần kiểm tra −−−−→ F (x) lim = i = 1, k − i x→x (x − x ) Ngoài ra, kiểm tra TABLE mục dùng CT giới hạn: F (x) lim =0 x→x0 (x − x0 )k Nghiệm kép nhân tử α α f (x) + ax + b α f (x) + ax2 + bx + c α f (x) + a f (x) + a g(x) + b , bội nhân tử g(x) + bx + c , biết tìm dạng qua việc giải −−−−→ hệ F (i) (x0 ) = i = 0, k − rồi, nên phải bàn thêm 2.4 Nhân tử vô nghiệm Việc F-tik PT vô nghiệm chưa thể dựa vào tìm nhân tử (vì có nghiệm quái đâu mà tìm!), dạng có sẵn công thức Ép Tuy nhiên, có số nguyên tắc Ép PT vô nghiệm, chẳng hạn 4, 12 phần tập mẫu Đó đặt ẩn phụ, việc đặt ẩn phụ tác dụng giảm căn, biến PT từ vô nghiệm thành có nghiệm, điều xảy đặt ẩn phụ phải chứa phần điều kiện PT gốc, đặt ẩn điều kiện cũ phá bỏ PT Có thể xem khoảng xác định mở rộng thu nghiệm Chẳng hạn sau đặt ẩn phụ, PT vô tỉ ban đầu chuyển thành PT đa thức ẩn, việc F-tik PT đa thức bàn (nếu Ép chứng tỏ PT đầu không F-tik được, kỹ thuật sai) Ngoài ra, đổi dấu trước F-tik giải pháp, dấu đổi phải ngược lại PT sau F-tik Và PT sau đổi dấu có nghiệm, ta cần F-tik đổi lại dấu tương ứng kết F-tik cho PT ban đầu Lưu ý bước kiểm tra lại CALC 2.5 Một số kinh nghiệm khác Nhìn chung lý thuyết có nhiêu phía thôi, muốn có kinh nghiệm cần phải luyện tập nhiều Sau số kinh nghiệm xử lí số vô tỉ: Lũy thừa lên Ngay mục 2.1 cho thấy bạn cần phải thử phép bình phương số vô tỉ thu để xem có dò dạng đẹp hay không Nhìn phần thập phân đoán √ dạng √ Các bạn lập hẳn bảng riêng giấy liệt kê phần thập phân số số vô tỉ hay gặp ; ; , trình làm tra bảng bổ sung, cảm 2 thấy quen thuộc nhiều số xấu Tìm liên quan thử phép tính cộng trừ nhân chia Mỗi số vô tỉ nhận liên quan đến số trước đó, thử đem số biết cộng trừ nhân chia với số này, kết hợp với kinh nghiệm để dò dạng BÀI TẬP GIẢI MẪU Các lấy chủ yếu diễn đàn k2pi, số group CASIO Facebook, lại zuni.vn, tự giải theo cách Cách chi tiết F-tik, có thêm nhiều cách khác Không biết lần cập nhật tài liệu hoàn chỉnh cho 99er học F-tik, thường xuyên cập nhật lời giải full cho bạn có thời gian, link download cố định thôi: https://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/02/tiet-lo-bi-mat-ep-tich.html 3x − BÀI 2x − + √ =0 − 2x2 + − x √ ĐK: |x| ≤ F-tik chỗ chơi cho phân thức, trước hết ta quy đồng lên: √ PT ⇔ 2x2 − 10x + − (2x − 3) − 2x2 = Dễ thấy nghiệm đơn x = 1, tạo vô số nhân tử, chọn đơn giản − tiến hành LHN (liên hợp ngược): PT ⇔ 2x2 − 12x + 10 + (2x − 3) − √ − 2x2 = √ − 2x2 √ √ Ta có: − − 2x2 + − 2x2 thêm PT với (x + 1) LHN được: = 2(x − 1)(x + 1), mà 2x2 − 12x + 10 = 2(x − 1)(x − 5), cần nhân PT ⇔ (x + 1)(2x2 − 12x + 10) + (x + 1)(2x − 3) − ⇔ (x − 5) − ⇔ 1− √ √ − 2x2 − 2x2 1+ √ √ − 2x2 = − 2x2 + (x + 1)(2x − 3) − √ − 2x2 = √ √ 2x2 − + (x − 5) − 2x2 = ⇔ − 2x2 − = ⇔ x = √ √ Dễ thấy 2x − + (x − 5) − 2x2 √ 6 < ∀x ∈ − ; 2 Cách khác: liên hợp bình phương đơn giản Bình luận: PT việc nhân thêm đáng nói, có vô số cách để nhân thêm, toán PT mà BPT ta cần lựa biểu thức nhân thêm không đổi dấu TXĐ x, đỡ phải đánh giá biểu thức nhân thêm, mục tiêu ta F-tik BÀI 8x2 + 3x − + 4x2 + x − √ x+4=0 ĐK: x ≥ −4 X = −0, 8827822185 Solve nghiệm đơn vô tỉ, nghiệm liên hợp: Do sử dụng TABLE tìm X = 0, 5687293044 √ √ nhân tử 2x + x + 2x + − x + Chia nhân tử lại + Vậy: PT ⇔ + √ x+4 2x + √ √ x+4 x+4 1− √ 65 x= √ ⇔ 2x + − x + = ⇔ √ √ 2x + − x + = −3 + 57 x= 2x + √ x+4=0 Cách khác: bình phương BÀI 6x3 + 15x2 + x + − X Ta tìm nghiệm đơn: X X √ 2x + + x2 − x + 3x2 + 9x + √ x2 − x + = = 0, 4342585459 √ = −2, 618033989 , nghiệm vô tỉ thuộc nhân tử 2x − x2 − x + =0 √ 6X + 15X + X + − 3X + 9X + X − X + √ √ Tiến hành chia căn: 2X − X − X + 2X + + X − X + √ √ Cho X = −1 −1 − 3, cho tiếp X = 1000 tính Ans + X − X + = 2001 = 2X + Vậy: √ x2 − x + √ x2 − x + 2x + − √ −1 + 13 √ 2x − x2 − x + = x = √ √ ⇔ 3+ 2x + + x − x + = ⇔ x = − √ 2x + − x2 − x + = x=0 PT ⇔ 2x − 2x + + √ x2 − x + = Cách khác: bình phương Bình luận: việc chia trên, bạn áp dụng CT BT.Việt phương pháp thành công (khi có ý tưởng Hoàng Xuân Tuyển), trường hợp lâu đồng hệ số, tốt thử đồng trước (quen việc thử giá trị nguyên nhanh thôi), không gán 1000 √ √ BÀI (x + 2) x2 − 2x + = (x − 1) x2 + 4x + ĐK: x ≤ −2 x≥1 Bài thú vị chỗ vô nghiệm, không sao, có cách xử lí dễ dàng √ x2 − 2x + = a ≥ 1 √ , PT trở thành: a(b2 − a2 + 9) = b(b2 − a2 − 9), ta dễ dàng phân tích: Đặt 6 x2 + 4x + = b ≥ PT ⇔ (a + b)(a − b + 3)(a − b − 3) = √ √ √ √ √ √ ⇒ x − 2x + + x2 + 4x + x2 − 2x + − x2 + 4x + + x2 − 2x + − x2 + 4x + − = Ngoài ra, ta đổi dấu trước căn, PT có nghiệm − , suy nhân tử PT đổi dấu √ √ √ √ x2 − 2x + − x2 + 4x + , PT ban đầu có nhân tử x2 − 2x + + x2 + 4x + Cách khác: bình phương, đánh giá hàm số sau: (x − 1)2 + (x + 2)2 + = x−1 x+2 √ t +3 Xét hàm f (t) = nghịch biến, với x − < x + ⇒ f (x − 1) > f (x + 2) ⇒ PT cho vô nghiệm t PT ⇔ Bình luận: thực thi dám cá không đến 1% số người nghĩ đến việc F-tik PT vô nghiệm, thứ điều không chắn làm được, thứ hầu hết có phương pháp khác nhanh F-tik để xử PTVN Ngay việc định F-tik phòng thi Ép dễ dàng mà Nói tóm lại, việc F-tik PTVN hay có nghiệm khủng làm nhà, dùng để "giải trí" đánh đố cho vui! Còn thi có liên hợp, hàm số bình phương ổn BÀI x3 + 22x2 − 11x − x2 + 2x − ĐK: x ≥ √ 2x − = Tương tự 2, 3: PT ⇔ x − √ 2x − √ x − 2x − √ x=1 x − 2x − = √ √ √ x − 2x − = ⇔ x − 2x − = ⇔ x = ± √ √ x − 2x − = x=9±6 Cách khác: bình phương 2 + = √ √ x + 11 3+ x+2 + −5x − 1 ĐK: −2 ≤ x ≤ − √ √ nghiệm −2; −1 tìm nhân tử x + + −5x − − BÀI √ √ PT ⇔ 12x + 51 + (2x − 5) x + + (2x − 5) −5x − − (−5x − 1)(x + 2) = Bây ta chia căn, phương pháp đồng hệ số hay CT số phức Việt Kynl thất bại! Do ta dùng U − V − W − T BT.Việt kết hợp với ý tưởng Hoàng Xuân Tuyển Vào MODE (số phức), tính giá trị phép chia X = 1000 kết 136, 0522278 − 100, 7236318i → A Đổi dấu trước Đổi dấu trước √ √ X + 2123, 944726 − 318, 2298697i → B −5X − 1839, 055274 + 318, 2298697i → C Đổi dấu trước 2123, 944726 + 318, 2298697i → D 3963 4X − 37 A+C −B−D A+B+C +D √ =− = = ;V = 2 X +2 A+B−C −D A+D−B−C √ W = =− ;T = =0 −5X − (X + 2)(−5X − 1) √ √ √ √ √ √ x = −2 PT ⇔ x + + −5x − − 4x − 37 − x + − −5x − = ⇔ x + + −5x − − = ⇔ x = −1 √ √ Rõ ràng 4x − 37 − x + − −5x − < ∀x ∈ −2; − √ x+2=u≥0 ⇒ PT: 27u2 + 3v − u(3u2 + v ) − v(3u2 + v ) − 9uv = Cách khác: đặt √ −5x − = v ≥ Vậy: U = √ √ BÀI 4x2 + (2x − 5) 4x + + 17 = 4x + (2x + 3) − 4x ĐK: − ≤x≤ 2 Dò nghiệm kép x = √ √ nên dễ dàng tìm nhân tử − 4x + 4x + − , thứ lại giống 6: √ √ √ √ − 4x + 4x + − 32 − (2x − 9) 4x + + (2x + 7) − 4x + (4x + 2)(6 − 4x) = √ √ ⇔ − 4x + 4x + − = ⇔ x = √ √ Rõ ràng 32 − (2x − 9) 4x + + (2x + 7) − 4x + (4x + 2)(6 − 4x) > ∀x ∈ − ; 2 PT ⇔ BÀI √ x+1+ √ √ √ x − = x − + x2 − 2x + Xét x = (TM) Xét x = 1: √ √ PT ⇔ (x − 1) = (x − 1) √ x−1+1 x−1+1 √ x−1+1 x−1+1 √ √ x+1+ x−1+ √ √ x−1 x2 − 2x + √ √ x − + x + + (x − 1) x − + x=1 √ √ ⇔ x2 − 2x + − x + = ⇔ x=2 ⇔ x2 − 2x + − √ √ x+1 √ √ (x − 1) + (x − 1) x − + x2 − 2x + =0 Kinh khủng chưa??? Chờ full nhé! (Không tự full dễ mà!) BÀI x3 + = 3x2 + √ x+2 √ Có tới nghiệm: x = −2; x = −1; x = 6; x = −2 ± 2 nên dễ dàng tìm nhân tử, trước tiên nên tìm nhân tử cho nghiệm vô tỉ trước √ Dễ thấy nghiệm vô tỉ có chung nhân tử x + − x + , nhân tử lại chứa nghiệm −2, √ cho nghiệm lại thuộc nhân tử dùng hệ bậc dễ dàng tìm x + − x + PT cho có bậc√3, nhân tử tìm bậc 1, phải nhân tử thứ vô nghiệm bậc nhất, nghĩa dạng ax + b + c x + √ Nhưng nhân tử cần tìm vô nghiệm ax + b + c x + = ⇔ (ax + b)3 = −c3 (x + 2), PT bậc (nếu a = 0) bậc (nếu a = 0) nên có nghiệm thực Vậy nghiệm −1 phải thuộc nhân tử khác nhau, giả sử sau F-tik PT là: √ √ √ a1 x + b1 + c1 x + a2 x + b2 + c2 x + x + − x + = Khi khai triển ta hệ số bậc a1 a2 = 1, chọn a1 = a2 = cho đẹp, đồng thời thay nghiệm vào suy b1 = − c1 , b2 = −2c2 − 6, ta được: √ √ √ x3 + − 3x2 + x + 3 √ x + − c1 + c1 x + x − 2c2 − + c2 x + = x+2−23x+2 √ X + − 3X + X + √ Ta đồng hệ số để tìm c1 , c2 : nhập sau cho giá trị X để lập hệ Chọn X +2−23X +2 −10 −2 cho đẹp Thay X = −10 ta (−9 − 3c1 )(−16 − 4c2 ) = 96 ⇔ (c1 + 3)(c2 + 4) = (1) √ Nhưng X = −2 thay trực tiếp nghiệm nhân tử x + − x + , ta thay X = −2+10−10 , thu (−c1 − 1)(−2c2 − 8) = ⇔ (c1 + 1)(c2 + 4) = (2) Chia (1) cho (2) thu c1 = ⇒ c2 = −2 Vậy: PT ⇔ x + √ x+2 √ x−2−23x+2 √ x+2=0 x = −1 √ √ x =6 x+2−23x+2 =0⇔ x − − x + = ⇔ x = −2 √ √ x = −2 ± 2 x+2−2 x+2=0 x+ Ok! Bài nói chung dễ, nhiên khó hay, thực ta F-tik với số nhân tử gấp đôi trên, nghĩa tới tận nhân tử Các bạn thấy hay khai thác cách F-tik ẩn phụ đây: √ Đặt x + = t ⇔ √ x = t − 2, PT trở thành t − 3t − 6t + 12t + 12t − 16t = 0, có nghiệm t = 0; t = 1; t = 2; t = ± nên dễ dàng phân tích thành: t(t − 1)(t − 2)(t2 − 2)(t4 + 3t3 + 6t2 + 6t + 4) = Đa thức bậc vô nghiệm, ta thử phân tích thành tam thức bậc xem Cách đơn giản mò TABLE, hệ số bậc hệ số tự có số ước Ai chưa biết mò xem đây: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2015/12/co-le-phai-gan-5-thang-sau-khi-xuat-ban.html Gán A = 100 sau TABLE nhập f (X) = A4 + 3A3 + 6A2 + 6A + , cho X chạy khoảng [−14; 14] ta không A2 + XA + tìm giá trị nguyên f (X) A4 + 3A3 + 6A2 + 6A + , lần thu giá trị nguyên: A2 + XA + 2 f (1) = 10202 = A + 2A + f (2) = 10102 = A2 + A + Do đó, sửa lại: f (X) = Vậy: t4 + 3t3 + 6t2 + 6t + = (t2 + 2t + 2)(t2 + t + 2) = (t + 1)2 + Tức là: PT ⇔ t(t − 1)(t − 2)(t2 − 2) (t + 1)2 + PT ⇔ √ x+2 √ x+2−1 √ x+2−2 t+ 2 + √ (x + 2)2 − t+ 2 + = 0, thay ngược t = x+2+1 +1 √ √ x + dãy tích đẹp: x+2+ 2 + =0 Cách khác: lập phương vế đưa PT đa thức bậc Bình luận: loại nhiều nghiệm đẹp này, sử dụng ẩn phụ cách F-tik triệt để (ra tối đa số nhân tử) Nói riêng, có f (x), chia khó, nên dùng ẩn phụ đưa PT đa thức hợp lí BÀI 10 ⇔ ⇔ ⇔ √ √ √ √ √ √ + x + + 3x = + 2x + 1 + 3x + 1 + 2x − + 2x − BÀI 11 √ √ √ + 3x + 1+x √ √ √ √ + x + + 3x = + 3x + 1 + 2x + √ 1+x √ + 2x + √ 1+x − √ √ √ + 2x + 1 + 3x + 1 + 3x + √ + 3x + =0 1+x=0⇔x=0 √ 3x − 2x2 − 5x + √ x−1+ √ 2x − 3 ≤x=2 √ √ √ PT ⇔ 16 2x − − x − = 3x − 2x2 − 5x + = √ √ 2x − − x − + 16(x − 2) ĐK: − √ 2x − − √ x−1+2 Ta mò X = 26 X = 6, 610958788 → A, nghiệm vô tỉ nhìn không đẹp Thực vậy, TABLE với f (X) = αA2 + XA (α ∈ [1; 5]) ta không mò PT bậc chứa Khả nghiệm căn, muốn tìm cần đổi dấu trước để kiếm nghiệm liên hợp nó: + Đổi dấu trước + Đổi dấu trước √ √ 2x − X = 5, 296644362 → B x − X = X = 1, 506790218 → C + Đổi dấu trước X = 138, 5856066 → D Trường hợp nguyên vô tỉ PT ban đầu, ta quan tâm trường hợp trước, liệu C có nghiệm liên hợp với nghiệm PT cho? √ √ Nhận thấy (AC)2 xấu, có lẽ dạng x = a +b c ± d ± e c, lý thuyết S P dạng √ S = (a + b c) tìm chúng có kiểu nghiệm PT bậc 2: , nhiên ta làm sau: P = S − d ∓ e √c 4√ A + C = 76 − 48 A + B + C + D = 152 (A + C)(B + D) = 1168 B + D = 76 + 48√2 √ Ta thấy: ⇒ , ABCD = 7312 AC = 93 − 64 √ BD = 93 + 64 AC + BD = 744 √ √ √ A + C = 76 − 48 A = 38 − 24 + 139 − 98 √ √ √ ⇒ AC = 93 − 64 C = 38 − 24 − 139 − 98 Qua bước giải nghiệm muốn nhắc lại cách giải loại PT bậc mà thôi, dạng đẹp không giúp ích cho việc tìm nhân tử PT đề cho! Tìm nghiệm kiểu đáng để làm trò giải trí! √ √ Ta lấy nghiệm A C để lập hệ tìm nhân tử dạng a + b 2x − + x − , lưu ý C nghiệm PT đổi dấu nên hệ là: √ √ √ √ √ √ √ a + b 2A − + A − = C −1+ A−1 √ √ √ ⇒b= √ = −1 ⇒ a = 2C − + C − = −2 + 2 a + b 2C − − C − = 2C − − 2A − √ √ √ ⇒ nhân tử cần tìm: x − − 2x − − + 2 10 √ √ Tương tự, ta sử dụng nghiệm B D để tìm nhân tử thứ α + β 2x − + x − , lưu ý B D nghiệm PT nhân tử tìm vô nghiệm PT ban đầu: √ √ α − β 2B − + B − = √ √ α − β 2D − − D − = ⇒ √ x−1− √ ⇒ β = −1 √ α = −2 − 2 √ 2x − − − 2 nhân tử vô nghiệm cần tìm Nhân tử cuối chứa nghiệm 26 chia xong, bạn tự chia: √ √ √ √ √ √ √ 2x − − x − − 2 − 2 + 2x − − x − + 2 + 2x − − x − = √ x = 26 2x − − x − − = ⇔ ⇔ √ √ √ √ √ − 2 + 2x − − x − = x = 38 − 24 + 139 − 98 PT ⇔ √ √ Bình luận: nhờ có CASIO, học sinh ngày giải PT có nghiệm phức tạp (và đặc biệt có Việt Nam!) Sau đọc câu bạn thử full câu số 21 xem sao, loại nghiệm thế, F-tik dễ gây "nhụt chí" cho phần lớn người có ý định full sau chiêm ngưỡng tích! Và chọn làm ảnh bìa cho group CASIOer: F-tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ Nói dễ lắm! x3 =x− BÀI 12 √ x x3 + ĐK: −1 < x = ⇔x= 1− x2 x+ ⇔ x2 √ 3√ BÀI 13 x − 3x + + √ √ 3− 3+ ĐK: ⇔ √ √ 3x − + 3x2 − BÀI 19 √ √ x + − x2 − √ + 15 1 ≤ x < √ x + − x2 − > ⇔ √ √ − 15 < x ≤ −1 √ >0⇔ √ √ x2 + + (x − y + 1) x2 + = (x + 1)y (2x + 3) 3x + y + + = 2x 16y − 13 + √ √ √ PT1 ⇔ y − x2 + x + + x2 + = ⇔ y = x2 + √ √ ⇒ PT2: (2x + 3) x2 + 3x + + = 2x 16x2 + + √ √ ⇔ (6x + 3) (2x + 3) x2 + 3x + + = 2x(6x + 3) 16x2 + + ⇔ √ √ 16x2 + − x2 + 3x + 6x(2x + 1) + ⇔ √ √ 16x2 + − x2 + 3x + = ⇔ x=− x= √ √ 16x2 + + x2 + 3x + 3 12 1+ √ x2 + 3x + =0 BÀI 20 x3 + 2x2 − 6x + 12 = 3 9(x + 2) ⇔ (x + 26) x3 + 2x2 − 6x + 12 = 3(x + 26) 9(x + 2) ⇔ x + − 3 9(x + 2) x + 26 + (x + 4) 81(x + 2)2 + (x + 8) 9(x + 2) + (x + 8)2 =0 ⇔ x + − 3 9(x + 2) = ⇔ x = √ x + + x2 + + x X = −0, 3540065019 → A Solve, ta thu được: X = −0, 3542486889 → B X = −8, 474420623 → C BÀI 21 12 + √ √ 3x2 + + 2 x + = Thử tích tổng nghiệm, ta thấy AC = A + C vô tỉ, nghiệm rồi! Gán A + C √ → D sau vào TABLE nhập f (X) = D2 + XD tìm f (12) = −28, nghĩa D2 + 12D + 28 = ⇒ D = −6 − 2 Từ suy ra: A = −3 − √ 2+ √ C = −3 − − √ 8+6 √ 8+6 Đối với nghiệm B, ta vào TABLE nhập f (X) = B + XB dễ dàng tìm B = −3 + √ Nghiệm B trông đơn giản ta nên tìm nhân tử cho nghiệm "có đôi" trước, A C, giả sử √ nhân tử 3x2 + + 2 x + + ax + b , ta có: √ →M 3X + + 2 X + X=A √ √ M −Y ⇒a=− = ⇒ b = −M − A = A−C √ 3X + + 2 X + →Y X=C Vậy nhân tử thứ là: √ √ 3x2 + + 2 x + + 2x Nếu nhân tử thứ có dạng chứa nghiệm B, sau liên hợp lên ta thu PT bậc 2, √ lấy nghiệm liên hợp B −3 − để tìm nhân tử giống trên, nghiệm lấy thêm nghiệm PT sau đổi dấu trước Và kết quả: √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − thứ ta tìm được! Cả nhân tử bậc nhất, PT ban đầu có bậc 3, nhân tử vô nghiệm, ta chia tìm Nếu nhập phép chia vào máy thông thường phải nhập biểu thức √ 3X + + 2 X + tới lần, để cần nhập lần, bạn nhập sau: Y = √ 3X + + 2 X + : 12 + √ √ X + + X2 + + X Y √ √ Y + 2X Y − 2X − (Dấu chấm phép chia, mà chức "liên hoàn tính" máy, nhập dấu cách nhấn ALPHA phím tích phân) Bấm CALC cho X = 0, máy cho kết phép tính nhấn "=" liên hoàn lần: giá √ √ √ trị (bằng 3), sau giá trị phép chia cần: + = 3X + + 2 X + + aX + Do đó, quay lại phép tính liên hoàn trên, sửa lại thành: Y = √ 12 + 3X + + 2 X + : √ √ X + + X2 + + X Y √ √ −3−Y Y + 2X Y − 2X − Tiếp tục, cho X nhiều giá trị khác nhau, không cần quan tâm đến giá trị Y (căn), biết kết phép tính phía 13 √ 3x2 + + 2 x + + sau nhận 0, từ kết luận nhân tử là: Hơi dài dòng xíu, tóm lại ta được: PT ⇔ ⇔ √ √ √ √ 3x2 + + 2 x + + 2x 3x2 + + 2 x + − 2x − √ x = −3 + √ √ 3x2 + + 2 x + + 2x = √ √ ⇔ x = −3 − − + √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − = √ √ x = −3 − + + √ 3x2 + + 2 x + + =0 Cách Ép khác sau: √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − PT ⇔ √ √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − − − √ √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − − + √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − = √ √ √ ⇔ 3x2 + + 2 x + − 2x − − − √ √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − − + √ 4+3 √ 4+3 =0 √ x = −3 + √ √ + = ⇔ x = −3 − − √ √ x = −3 − + 4+3 2=0 √ 8+6 √ 8+6 Bình luận: cách thứ làm sau cách thứ tầm tháng! Chẳng hiểu dễ mà trước lại Ép xấu vậy, không tác giả chế đề (một bạn Zuni.vn) chế từ cách thứ mà Không biết bạn có cần full cách không, tốt không nên vì: Để cho bí ẩn! Không phải "ăn may" cách thứ 2, nên có full không dùng cho khác Đây toán mang tính giải trí cao! Và xa xỉ đề thi ĐH, mà cho làm biểu tượng Group F-tik hợp lí! √ √ BÀI 22 (x − 1) x = (x + 3) x − ⇔ √ √ x− x−5−1 √ √ x+5+2 x+ x−5− x(x − 5) = ⇔ √ x− √ √ BÀI 23 4x2 − 18x − 12 + 5x + + x + > ⇔ 4+ √ x+4 √ √ 4x2 − 18x − 12 + 5x + + x + > √ √ √ √ 5x + − x + − 5x + + x + − √ √ 7x + 12 + (2x + 6) x + + 5x + + (x + 4)(5x + 4) > − ≤x ⇔ ⇔ √ + 21 x> ⇔ BÀI 24 3(1 − x)3 1+2 2+3 3(2x − 1) =1−x ⇔ + 2(1 − x) 3(1 − x) = (1 − x) + 3 3(2x − 1) 14 √ x−5−1=0⇔x=9 ⇔ 3 3(2x − 1) + 64 3(1 − x) − 2(1 − x) 25 + 3(2x − 1) + + 3(2x − 1) + 3 9(2x − 1)2 ⇔ 3 3(2x − 1) + 3(1 − x) − = ⇔ x = BÀI 25 x4 − 12x3 + 38x2 − 12x − 67 + 3(2x − 1) − 3(1 − x) − √ x+1+ √ 7−x=0 √ √ √ √ x + + − x − + (x + 1)(x − 7) x + − − x − √ √ ⇔ x+1+ 7−x−4=0⇔x=3 ⇔ 2+ √ x+1 =0 √ BÀI 26 x3 + 5x2 − 9x − + 4x x3 − 7x + = Cách 1: PT ⇔ (x2 − ⇔ ⇔ √ √ √ 5x − 2)(x3 + 5x2 − 9x − 5) + 4x(x2 − x3 − 7x + − − x3 − 7x + − − √ √ √ x3 − 7x + + + √ √ √ 5x − 2) x3 − 7x + = x2 + (5 − √ 5)x − √ + 4x x2 − √ 5x − =0 √ 5=0⇔x=− Cách 2: PT ⇔ x + x − 4y = 5x2 + 6y + BÀI 27 x+1 x − x2 − y − 2x2 y + 2xy + xy = x=1 PT2 ⇔ (x − 1)(x − y)2 = ⇔ y=x √ √ − 65 Nếu x = ⇒ PT1: − 2y = 6y + 11 ⇔ y = √ Nếu y = x ⇒ PT1: x + x − 4x = (x + 1) 5x + 6x + ⇔ √ √ √ 5x + 6x + − 3x − − √ √ √ √ √ √ √ 3x + + x2 + + x + + + x2 + + x + + 5x2 + 6x + = √ 3− x= √ √ √ ⇔ 5x + 6x + − 3x − − = ⇔ √ x= 3+ Cách 2: √ 3−1 √ 3− y= ⇒ √ √ 3−1 y= 3+ √ √ x4 + x3 − 4x = (x + 1) 5x2 + 6x + ⇔ x2 + − 5x2 + 6x + √ x= 3− √ ⇔ x + − 5x2 + 6x + = ⇔ √ 3+ x= BÀI 28 ⇔ 1+ 1+ √ √ 2x − x2 + 2x − x2 + 1− √ 1− x2 + x + + √ 3−1 √ 3−1 √ 2x − x2 = 2(1 − x)4 (2x2 − 4x + 1) 2x − x2 − 15 √ √ 3−1 √ 3−1 5x2 + 6x + = =0 + (2x4 − 8x3 + 13x2 − 10x + 4) ⇔ 1+ √ 2x − x2 + 1− √ 1+ √ 2x − x2 − 1− √ 2x − x2 − 1+ 1+ √ 2x − x2 =0 x=0 x=2 2x − x2 − = ⇔ √ √ BÀI 29 2(x − 2) − x2 + (x + 1) + x2 < 7x − ⇔ BÀI 30 √ x2 + x − + √ −x2 + x + = x2 − x + Cách 1: F-tik túy √ PT ⇔ x2 + x − + √ −x2 + x + − 2(x3 + x2 − x − 5) + x ⇔ √ x2 + x − + √ √ x2 + x − + √ √ −x2 + x + + −x4 + 3x2 − − x + =0 −x2 + x + − = ⇔ x = Cách 2: Kiểu S.O.S PT ⇔ (x − 1)2 + √ 1 − x2 + x − 2 + √ 1 − −x2 + x + 2 1=0 x − √ = ⇔ − x2 + x − = √ − −x2 + x + = ⇔x=1 Cách 3: Liên hợp √ √ PT ⇔ x2 + x − − 3x + + −x2 + x + + x − = 2(x2 − 2x + 1) 5 ⇔ (x − 1)2 + √ + √ 2 x + x − + 3x − −x + x + − x + =0⇔x=1 Cách 4: Bình phương dồn PT ⇔ √ x2 + x − + √ −x2 + x + √ = (x2 − x + 2)2 ⇔ x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + − −x4 + 3x2 − = √ ⇔ (x + 1)2 (x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + 4) − 2(x + 1)2 −x4 + 3x2 − = ⇔ x− √ −x4 + 3x2 − 2(x + 1)2 + (x2 + 4) x + √ −x4 + 3x2 − =0⇔x− √ −x4 + 3x2 − = ⇔ x = Cách 5: Bình phương triệt để √ PT ⇔ x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + = −x4 + 3x2 − ⇒ (x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + 4)2 = 4(−x4 + 3x2 − 1) ⇔ (x − 1)2 47 x4 (x − 1)2 + x2 (4x − 3)2 + 2 x− 47 + 908 47 =0⇔x=1 Cách 6: Đánh giá AM-GM √ x2 + x − + √ −x2 + x + ≤ (x2 + x − 1) + (−x2 + x + 2) + + = x + ⇒ x2 − x + ≤ x + 2 ⇔ (x − 1)2 ≤ ⇔ x = Cách 7: Bẻ đôi phương trình 2x2 − √ = x2 − x + x2 + x − − −x2 + x + √ √ ⇔ (x2 − x + 2) x2 + x − − (x2 − x + 2) −x2 + x + = 2x2 − PT ⇒ √ 16 Kết hợp PT cho ⇒ √ 2 2(x − x + 2) x + x − = x − 2x + 7x − 4x + √ 2(x2 − x + 2) −x2 + x + = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + √ √ 3x − − x2 + x − x2 − x + + (x2 − 3x + 4) 3x − + x2 + x − ⇔ √ √ − x − −x2 + x + x2 − x + + (x2 + x) − x + −x2 + x + √ 2+x−1=0 3x − − x ⇔x=1 ⇔ √ − x − −x + x + = BÀI 31 x3 + (1 − x2 ) + =0 =0 √ x − 3x2 = ĐK: −1 ≤ x ≤ Solve thu nghiệm vô tỷ đơn X = −0, 3568220898 → A √ √ √ √ 4 Do PT ⇔ x + + x−x − x2 = nên đổi dấu trước căn: x − + x − x2 − x2 = 0, 3 X = −0, 3945492899 → B nghiệm khác: X = −0, 9188747781 → C X = 0, 934172359 → D Nhận thấy AD = − A + D xấu, nghiệm ta có dạng căn, mặt khác (A + D)2 = √ √ 3− 3+ từ ta A = − ;D= (tìm nghiệm cho vui chả có tác dụng gì!) 6 √ √ √ 2+ √ − A aA + b = − − D − A2 √ Giả sử nhân tử PT ax + b + − x2 , suy =1 ⇒a= D−A aD + b = − D √ √ √ 3 √ b = − D − D = −0, 5773502692, bình lên thu , b = − , nhân tử x − + − x2 3 3 ta , ⇒ Tiến hành F-tik: √ √ √ √ 3 √ PT ⇔ 2x − x + x+ + 1+ x−x x− + − x2 = 3 3 √ √ √ √ 3 3 √ 2 ⇔ x− 2x − x− + 1+ x−x x− + − x2 = 3 3 √ √ √ √ √ 3 √ √ √ 2 ⇔ x− x− + 1−x x− − 1−x + 1+ x−x x− + − x2 3 3 √ √ √ √ √ 3 √ 2 ⇔ x− + 1−x x− x− − 1−x +1+ x − x2 = 3 √ √ √ √ 3 √ 3 + 1−x x+ + −x ⇔ x− − x2 = 2 √ √ √ 3 x+ + −x Dựa vào ĐK dễ dàng c/m − x2 > 2 =0 √ BÀI 32 x4 − 2x2 − x − + (x2 + 3x − 1) x2 + x + = Solve nghiệm vô tỷ đơn: X = −1, 866760399 → A X = 0, 8667603992 → B Nhận thấy A + B = −1 AB xấu, nghiệm ta có dạng căn, mặt khác AB = −1, 618033989 17 số vô tỷ quen thuộc, sử dụng TABLE để dò ra, nhiên dễ dàng thử thấy AB + √ + −1 − A = √ −1 − AB = , ta √ B = −1 + + √ √ aA + b = − A2 + A + √ Giả sử nhân tử cần tìm có dạng ax + b + x + x + ⇒ aB + b = − B + B + √ √ √ √ √ 1+ A2 + A + − B + B + 1+ x +x+1− ⇒a= =0⇒b=− , nhân tử B−A 2 = , Tiến hành F-tik: √ √ √ √ √ 3− 1+3 5+ 1+ 2 PT ⇔ x − x + x− + (x + 3x − 1) x +x+1− =0 2 2 √ √ √ √ 1+ 1+ 2 2 =0 ⇔ x +x− x − x + + (x + 3x − 1) x +x+1− 2 √ √ √ √ √ √ √ 1+ 1+ 1+ 2 2 ⇔ x +x+1− x +x+1+ x − x + + (x + 3x − 1) x +x+1− 2 √ √ √ √ √ 1+ 1+ x2 + x + − x2 + x + + ⇔ x2 − x + + x2 + 3x − = 2 √ √ √ √ √ √ √ 1+ 3+ 5− 3+ ⇔ x +x+1− x + x+ + x2 − x + x2 + x + = 2 2 √ √ √ √ √ 3+ 5− 3+ Dễ thấy x + x+ + x2 − x + x2 + x + > 2 √ √ Ngoài ta F-tik sau: PT ⇔ x2 + x + − x2 − x x2 − x + + x2 + x + = √ BÀI 33 5x2 − 6x + + (5x − 6) x2 + = Solve nghiệm vô tỷ đơn: X = 1, 038750305 → A √ √ Dùng TABLE với f (X) = A2 + + XA tìm nhân tử 3x − + x2 + Tiến hành F-tik: √ PT ⇔ − x2 + 18x − 16 + (5x − 6) 3x − + x2 + = 2 √ √ √ 1 ⇔ − 3x − + x2 + 3x − − x2 + + (5x − 6) 3x − + x2 + = 2 √ √ √ √ 18 − 41 ⇔ 3x − + x2 + x + x2 + = ⇔ 3x − + x2 + = ⇔ x = BÀI 34 ĐK: √ √ x3 − 9x + ≤ x2 − x + x −3 < x < x≥3 Solve ta nghiệm đơn đẹp X = nghiệm kép vô tỷ X = 3, 541381265 → A √ √ x2 (x − 9) √ ≤ x − ⇔ (x − 9) x2 − x3 − 9x − x2 − x ≤ − 9x + x − x √ √ A3 − 9A = A 1 √ √ ta tách tiếp: (x − 9) − x2 − x + x − 9x − x 2 x A −A=3 BPT ⇔ √ Ta thấy x3 18 ≤ (∗) =0 Nếu x ≥ 3: (∗) ⇔ x ≤ ⇒ x ∈ [3; 9] Nếu −3 < x < 0: (∗) ⇔ − ⇔ 3− ⇔ 3− √ √ x2 − x x2 − x − √ − √ √ − x2 − − x2 + x2 − x √ √ −x −x − √ √ √ √ −x − x2 − −x −x −x ≥0 ≥0 3− √ x2 − x + √ − x2 − √ −x ≥ Các bạn tiếp tục xử nốt nhé, full cập nhật mới! √ √ BÀI 35 3x − + − x2 − 4x − x2 = ĐK: ≤ x ≤ Nghiệm x = 2! Hiện thấy cách liên hợp đơn giản mà hay nên làm trước, F-tik cập nhật sau: √ √ √ 2(2 − x)2 6x − x 2 √ √ + =0 PT ⇔ − x − 3(2 − x) + 2 − 4x − x = ⇔ √ + x + − x + 4x − x2 √ (2 − x)3 6x √ √ ⇔ 2−x √ + =0⇔x=2 + x + − x + 4x − x2 BÀI 36 x3 − 2x2 + 10x − + x2 − 8x + 10 √ √ x − − 2(x + 1) x3 − = ĐK: x > Mò nghiệm vô tỉ có tích tổng đẹp, dễ dàng vạch "chân tướng" chúng sau Nói chung, sử dụng TABLE ta dễ dàng tìm nhân tử cho nghiệm là: PT ⇔ ⇔ √ √ x3 − − 3x + √ √ √ x − + x − + x3 − + x2 + x + + x3 − − 3x + = ⇔ x = ± √ √ x3 − − 3x + x2 + x + x−1 =0 Dễ dàng thấy ngoặc thứ vô nghiệm x − + √ x2 + x + > −1 + √ > ∀x > Chắc nhiều người thắc mắc cách để Ép thành phải không? Phần lớn cho liên hợp ngược, đăng lên nhóm CASIOer: F-tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ nói chia! Hãy suy nghĩ xem nhé! √ √ BÀI 37 (x − 1) x2 − 2x + − 4x x2 + ≥ 2(x + 1) Liên hợp có lẽ hay đấy! (3x − 1) 5x2 − 2x + √ ≤ (∗) 4x x2 + + (x − 1) x2 − 2x + √ √ Xét hàm f (x) = 4x x2 + + (x − 1) x2 − 2x + 5, rõ ràng có nghiệm x = , mặt khác ta có: 2 √ √ 4x (x − 1) f (x) = x2 + + √ + x2 − 2x + + √ > ⇒ f (x) đồng biến x2 + x2 − 2x + (3x − 1) 5x2 − 2x + 1 √ Do ∀x ∈ −∞; ; +∞ ta có + √ >0 3 4x x2 + + (x − 1) x2 − 2x + BPT ⇔ (x + 1) + √ Vậy (∗) ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ −1 19 √ 3x + +2 1−x 2x + = √ x − 2x − √ ĐK: −3 ≤ x < − BÀI 38 √ Tôi thường không dùng TABLE để đoán trước khoảng nghiệm trước Solve, Solve bị lâu, có lúc tưởng PT vô nghiệm! Nhưng cuối thu X = −1, 826459154 → A Đổi dấu trước bên trái ta lại X = −0, 415198233 → B Vì A + B AB xấu, ta chuyển qua hướng TABLE (hi vọng cuối cùng) sau: √ 25 25 − 14 + Nhập f (X) = (AB) + XAB thu f (−9) = − ⇒ (AB) − 9(AB) + = ⇒ AB = 4 √ − 14 + Nhập f (X) = (A + B)2 + X(A + B), tương tự tìm A + B = √ √ √ √ 1 Vậy: A = − 14 − 14 − B = − 14 + 14 − 4 Sau bước ta có nghiệm để nói trước cho cần đáp số! (2x + 6) (x2 − 2x − 1) = 3x + + (1 − x) (x2 − 2x − 1) PT ⇔ Nhiều quá, muốn F-tik khó, ta bình cmn lên cho dễ xử: (2x + 6) x2 − 2x − = 3x + + (1 − x) (x2 − 2x − 1) √ ⇔ (3x + 1) 2x2 − 7x − − −x3 + 3x2 − x − = x=− nghiệm ngoại lai rồi, xét lại, nên F-tik hay liên hợp? Rõ ràng nghiệm tìm thuộc dạng PT bậc nên lý thuyết, cần liên hợp toàn nhân tử PT bậc cần giải: √ 2x2 − 7x − − −x3 + 3x2 − x − = ⇔ 4x4 − 12x3 − 11x2 + 58x + 25 √ =0 2x2 − 7x − + −x3 + 3x2 − x − √ √ √ √ ⇔ 2x2 − − 14 x + − 14 2x2 − + 14 x + + 14 = √ √ √ ⇔ 2x2 − − 14 x + − 14 = ⇔ x = − 14 ± √ 14 − Done! Nói chung ta F-tik thay liên hợp, chắn hệ số không đẹp (và người chấm muốn hướng giả sử có đề thi!), F-tik cho bạn nhìn thôi, không cần full đâu: √ (x + 3) 2x2 − 7x − − −x3 + 3x2 − x − = √ √ √ √ + 14 − 14 √ − 14 + 14 √ x+ + −x + 3x2 − x − x+ + −x + 3x2 − x − 2 2 PT ⇔ ⇔ √ √ BÀI 36 + (1 + x) + x = x + + x 1+ √ 1+x ĐK: x ≥ −1 BÀI 37 x2 + BÀI 38 x2 1+ √ x2 + x + + + x2 = √ x+1+ 1+ √ + x2 x2 − x + + √ x+1=2 1+ ĐK: x ≥ −1 20 √ x+1 =0 √ √ √ BÀI 39 3x x2 − + 3x2 − = 3x4 − 3x2 − BÀI 40 + (x2 + x + 1) x + + x2 + x + √ √ BÀI 41 x x2 + x − + 3x x5 − = BÀI 42 2(x2 + x + 1) BÀI 43 3 − x3 + 1+ x2 + x + √ = (1 − x3 ) − x (x2 + 3)(3x7 − 2x2 + x − 2) √ √ √ x + x2 − x + = (2 + 3x) x2 + x− =1 √ √ BÀI 44 x2 + x2 + x + = x + + x4 + x2 + √ √ BÀI 45 6(x − 1) x + + (x2 + 2) x − − = x(x2 + 2) BÀI 46 3x(2x − 1)(x2 − x + 1) + 3x −3=0 √ √ BÀI 47 x4 − 2x3 + 3x2 + 6x + − (x − 2) 2x + − (x + 1) 4x + = BÀI 48 x3 + x2 + x + √ √ √ x4 + x2 + = (x + 1) x2 + x + + x2 − x + Tài liệu soạn thảo LATEX Admin VNCTeam, chép xin vui lòng ghi rõ nguồn! Mọi thắc mắc gửi địa chỉ: Nhóm Facebook VNCTeam: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam Facebook cá nhân tác giả: facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST Hộp thư tác giả: sherlockttmt@gmail.com 21 [...]... tại Việt Nam!) Sau khi đọc câu này các bạn hãy thử full câu số 21 xem sao, cùng 1 loại nghiệm như thế, đó là 1 bài F-tik dễ gây "nhụt chí" cho phần lớn những người có ý định full sau khi đã chiêm ngưỡng 3 cái tích! Và vì thế tôi đã chọn nó làm ảnh bìa cho group CASIOer: F-tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ Nói thế thôi chứ bài đó dễ lắm! 1 x3 =x− BÀI 12 √ x x3 + 1 ĐK: −1 < x = 0 ⇔x= 1− 2 1 x2 x+ 1 ⇔ x2 √ 3√... BÀI 48 x3 + x2 + x 1 + √ √ √ x4 + x2 + 1 = (x + 1) x2 + x + 1 + x2 − x + 1 Tài liệu được soạn thảo bằng LATEX bởi Admin của VNCTeam, sao chép xin vui lòng ghi rõ nguồn! Mọi thắc mắc có thể gửi về 1 trong 3 địa chỉ: 1 Nhóm Facebook của VNCTeam: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam 2 Facebook cá nhân tác giả: facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST 3 Hộp thư tác giả: sherlockttmt@gmail.com 21 ... 2 + √ x2 + x + 1 > −1 + √ 3 > 0 ∀x > 1 Chắc nhiều người rất thắc mắc cái cách để Ép thành được như trên phải không? Phần lớn sẽ cho rằng liên hợp ngược, nhưng khi đăng bài này lên nhóm CASIOer: F-tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ tôi đã nói là chia! Hãy suy nghĩ xem nhé! √ √ BÀI 37 (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2(x + 1) Liên hợp có lẽ hay hơn đấy! (3x − 1) 5x2 − 2x + 5 √ ≤ 0 (∗) 4x x2 + 1 + (x − 1) x2 −... chỉ cần đáp số! (2x + 6) (x2 − 2x − 1) = 3x + 1 + 2 (1 − x) (x2 − 2x − 1) PT ⇔ Nhiều căn quá, muốn F-tik sẽ khó, ta bình cmn lên cho dễ xử: (2x + 6) x2 − 2x − 1 = 3x + 1 + 2 (1 − x) (x2 − 2x − 1) 2 √ ⇔ (3x + 1) 2x2 − 7x − 3 − 4 −x3 + 3x2 − x − 1 = 0 x=− 1 là nghiệm ngoại lai rồi, xét cái còn lại, nên F-tik hay liên hợp? 3 Rõ ràng 2 nghiệm đã tìm được đều thuộc dạng của PT bậc 4 nên về lý thuyết, chỉ... + 2 14 = 0 √ √ √ 1 ⇔ 2x2 − 3 − 2 14 x + 9 − 2 14 = 0 ⇔ x = 3 − 2 14 ± 4 √ 4 14 − 7 Done! Nói chung là ta cũng có thể F-tik cái đấy thay vì liên hợp, nhưng chắc chắn là hệ số không đẹp (và không có người chấm nào muốn đi hướng như thế nếu giả sử bài này có trong đề thi!), do đó tôi F-tik cho các bạn nhìn thôi, không cần bản full đâu: √ 1 (x + 3) 2x2 − 7x − 3 − 4 −x3 + 3x2 − x − 1 = 0 2 √ √ √ √ 2 + 14... 5 Dễ thấy x + x+ + x2 − x + 5 x2 + x + 1 > 0 2 2 2 √ √ Ngoài ra ta có thể F-tik như sau: PT ⇔ x2 + x + 1 − x2 − x x2 − x + 1 + 2 x2 + x + 1 = 0 4 √ BÀI 33 5x2 − 6x + 2 + (5x − 6) x2 + 1 = 0 Solve được 1 nghiệm vô tỷ đơn: X = 1, 038750305 → A √ √ Dùng TABLE với f (X) = 2 A2 + 1 + XA tìm được nhân tử 3x − 6 + 2 x2 + 1 Tiến hành F-tik: √ 1 5 PT ⇔ − x2 + 18x − 16 + (5x − 6) 3x − 6 + 2 x2 + 1 = 0 2 2 √ √... xử nốt cái này nhé, tôi sẽ full khi cập nhật bản mới! √ √ BÀI 35 3x − 2 + 3 4 − x2 − 2 4x − x2 = 0 ĐK: 0 ≤ x ≤ 2 Nghiệm duy nhất x = 2! Hiện tại thấy cách liên hợp đơn giản mà cũng hay nên làm trước, F-tik tôi sẽ cập nhật sau: √ √ √ 2(2 − x)2 6x 2 − x 2 2 √ √ + =0 PT ⇔ 3 4 − x − 3(2 − x) + 2 2 − 4x − x = 0 ⇔ √ 2 + x + 2 − x 4 + 2 4x − x2 √ 2 (2 − x)3 6x √ √ ⇔ 2−x √ + =0⇔x=2 2 + x + 2 − x 4 + 2 4x −... x2 + 1− √ 1+ √ 2x − x2 − 1− √ 2x − x2 − 2 1+ 1+ √ 2 2x − x2 =0 x=0 x=2 2x − x2 − 2 = 0 ⇔ √ √ BÀI 29 2(x − 2) 5 − x2 + (x + 1) 5 + x2 < 7x − 5 ⇔ BÀI 30 √ x2 + x − 1 + √ −x2 + x + 1 = x2 − x + 2 Cách 1: F-tik thuần túy √ PT ⇔ x2 + x − 1 + √ −x2 + x + 1 − 2 2(x3 + x2 − x − 5) + x ⇔ √ x2 + x − 1 + √ √ x2 + x − 1 + √ √ −x2 + x + 1 + 2 −x4 + 3x2 − 1 − x + 2 =0 −x2 + x + 1 − 2 = 0 ⇔ x = 1 Cách 2: Kiểu S.O.S... của PT là ax + b + 1 − x2 , suy ra =1 ⇒a= 2 D−A aD + b = 1 − D √ √ √ 1 3 3 √ 2 b = 1 − D − D = −0, 5773502692, bình lên thu được , vậy b = − , do đó nhân tử là x − + 1 − x2 3 3 3 3 ta 1 , 3 ⇒ Tiến hành F-tik: √ √ √ √ 3 3 √ 5 3 2 1 4 3 2 PT ⇔ 2x − x + x+ + 1+ x−x x− + 1 − x2 = 0 3 3 3 3 3 √ √ √ √ 3 2 3 2 4 3 3 √ 2 2 ⇔ x− 2x − x− + 1+ x−x x− + 1 − x2 = 0 2 3 3 3 3 √ √ √ √ √ 4 3 3 3 √ 3 √ 3 √ 2 2 2 ⇔ x−... + A + 1 2 √ Giả sử nhân tử cần tìm có dạng ax + b + x + x + 1 ⇒ aB + b = − B 2 + B + 1 √ √ √ √ √ 1+ 5 A2 + A + 1 − B 2 + B + 1 1+ 5 2 x +x+1− ⇒a= =0⇒b=− , vậy nhân tử là B−A 2 2 2 = 5 , do 4 Tiến hành F-tik: √ √ √ √ √ 3− 5 2 1+3 5 5+ 5 1+ 5 2 2 PT ⇔ x − x + x− + (x + 3x − 1) x +x+1− =0 2 2 2 2 √ √ √ √ 1+ 5 1+ 5 2 2 2 2 =0 ⇔ x +x− x − x + 5 + (x + 3x − 1) x +x+1− 2 2 √ √ √ √ √ √ √ 1+ 5 1+ 5 1+ 5 2 2