Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN  + =  y −1 x2 + y Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình  x +   y − x + ( y − ) ( x − ) = Lời giải: y >1 1 2 ĐK:  Đặt a = x + 1; b = y − ta có + = a b a + b2 x + y > 1 1 2 a + b ≥ a + b Mặt khác với a; b > ⇒  ⇒ + ≥ Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b > a + b2  2a + 2b ≥ ( a + b ) a b  ( ) Khi đó: x = y − vào PT(2) ta có x − x + x x − = 2, (1) Do x = nghiệm nên ta có: (1) ⇔ x − + x − (1) ⇒ t + t − = ⇔ t = ⇒ x − 2 = Đặt t = x − ta có: x x x  x = −1 ⇒ y = =1⇔  x x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương tình ( x; y ) = {( −1;3) ; ( 2; )} Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình x + + x − x − ≤ 3x − Lời giải: ĐK: x ≥ ⇔ (*) Khi (1) ⇔ x + − x − + x − x − ≤ ( x − 2) x + − 3x + + ( x + 1)( x − ) ≤ ⇔ ( x + 1)( x − ) − ≤0 x + + 3x − x + + 3x − 2   ⇔ ( x − 2)  x + − ≤0 x + + 3x −   Với x ≥ 2 ⇒ x +1− ≥ +1− x + + 3x − (2) 2 +2 +0 Do ( ) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với (*) ta = 10 − > ≤ x ≤ thỏa mãn 2  Vậy (1) có nghiệm T =  ;  3  ( Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình ( x + 1) < ( x + 10 ) − x + ) Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x + 10 )(1 − x − 3) ĐK: x ≥ − (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) < 2 1+ 2x + ( ⇔ ( x + 1) < ( x + )( x + 1) (1 + x +1 ≠  ⇔  + x + ( ) 2x + ) 2 ) ( ⇔ ( x + 1) + x + Facebook: Lyhung95 ) < ( x + 1) ( x + )  x ≠ −1 ⇔ < ( x + 5) 2 x + + 2 x + < x + 10  x ≠ −1  x ≠ −1  x ≠ −1  ⇔ ⇔ ⇔  x + < 0 ≤ x + < − ≤ x < Kết hợp với (*) ta x ≠ −1 − ≤ x < thỏa mãn   Vậy (1) có nghiệm T =  − ;3  \ {−1}    x ( x − y ) + y ( y − x ) = x + y Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ( x + y + ) − y + ( x − y − ) x − + x = y Lời giải: 2 x ( x − y ) ≥  2 y ( y − x ) ≥ Điều kiện:  5 − y ≥ 0, x − ≥  x ≥ 0, y ≥  Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 2x ( x − y ) + y ( y − x) = x ( 2x − y ) + y ( y − x) ≤ ( x + y )( x − y + y − x ) = x + y x 2y = ⇔ xy − x = xy − y ⇔ x = y ⇔ x = y 2x − y y − x Với x = y thay vào phương trình (2) ta ta có: ⇒ ( x + 3) − x + ( x − ) x − + x = x ⇔ ( x + 3) − x + ( x − ) x − = (*) Đặt a = − x , b = x − phương trình (*) trở thành (b + ) a − ( a + ) b = ⇔ ab + 4a − a b − 4b = a = b ⇔ ab ( b − a ) − ( b − a ) = ⇔ ( b − a )( ab − ) ⇔   ab = +) Với a = b ⇒ − x = x − ⇔ − x = x − ⇔ x = ⇒ y = +) Với ab = ⇒ Ta có ( − x )( x − 1) = (**) ( − x )( x − 1) = (10 − x )( x − 1) ≤ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) 2 < ⇒ (**) VN Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ( x + y + 3) xy + y = y ( y + x + ) Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình   − x + x − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 Lời giải: ĐK: y ≥ 1; xy + y ≥ 0; − x + x − 24 y + 417 ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + y + 3) y x + = y ( y + x + ) Đặt x + = a ≥ 0; y = b ≥ ⇒ (1) trở thành (a + 6b ) ab = b ( 8b + 3a ) ⇔ b ( a + 6ab − 8b3 − 3a 2b ) = ⇔ b ( a − 2b ) ( a − ab + 4b ) = (3) b  15b  Với b ≥ có a − ab + 4b =  a −  + > Do ( 3) ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b 2  2 ⇒ x + = y ⇒ x + = y ⇔ x = y − Thế vào (2) ta − ( y − 3) + ( y − 3) − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ −16 y + 32 y + 384 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ − y + y + 24 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔4 ( y + )( − y ) = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ y + − y = ( y + ) y − + y + 16 Áp dụng BĐT Cô-si ta có y + − y ≤ ( y + ) + ( − y ) = 20 Với y ≥ ⇒ ( y + ) y − + y + 16 ≥ + + 16 = 20 Do y + − y ≤ ( y + ) y − + y + 16 Dấu " = " xảy ⇔ y = ⇒ x = 4.1 − = Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình ( x + ) x − x + > x + x − Lời giải: ĐK: x − x + ≥ ⇔ ( x − 1) + ≥ ⇔ x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x + x − − ( x + ) x − x + < ) ( ⇔ ( x2 − x − ) + ( x + 2) − ( x + 2) x2 − x + < ⇔ ( x2 − x − ) + ( x + 2) − x2 − x + < ⇔ ( x − 2x − 7) + ( x + 2) (9 − x2 + x − 2) + x2 − x + < ⇔ ( x − 2x − 7) −   x+2 ⇔ ( x2 − x − ) 1 −  < ⇔ ( x − 2x − 7)  + x − 2x +  Với ∀x ∈ ℝ có x2 − x + = (1 − x ) +1 > (1 − x ) ( ( x + ) ( x2 − x − ) + x2 − x + ) x2 − 2x + +1 − x < Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Do ( ) ⇔ x − x − < ⇔ − 2 < x < + 2 ( ) Vậy (1) có nghiệm T = − 2;1 + 2 17 − x = x + x + 63 − 14 x − 18 y  Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình  y  x x + x + + 12 y = 34 + (13 − y ) 17 − y )  ( ( ) Lời giải 17 Điều kiện ≤ y ≤ ; x ≥ 0;63 − 14 x − 18 y ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3 + x + x = (17 − y ) 17 − y + (17 − y ) + 17 − y Xét hàm số f ( t ) = t + 2t + 9t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + 4t + = ( t + ) + 2t + > 0, ∀t ∈ ℝ Suy hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực ℝ Hơn  x = 17 − y f ( x ) = f 17 − y ⇔ x = 17 − y ⇔  x ≥ Phương trình thứ hệ lúc trở thành 6y = x + x + 63 − 14 x + ( x − 17 ) ⇔ = 3x + x + 3x − 14 x + 12 y ( ) ( − x ) − x = ( x2 − x + 4) − x ⇔ ( − x ) − x = ( − x ) − x Đặt − x = u; x = v ( v ≥ ) thu 3u − v ≥ 3u − v = 3u − 2v ⇔  2 2 9u − 6uv + v = 12u − 8v 3u − v ≥ 3u − v ≥ 3u − v ≥  ⇔ ⇔ ⇔  u = v ( u − v )( u + 3v ) = u + 2uv − 3v =  u = −3v  0 ≤ x ≤ 3u − v ≥ u ≥ 0; v ≥ 0 ≤ x ≤ •  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = x +2 =0 u = v u = v 2 − x = x  x − 3u − v ≥ −10v ≥ v ≤ v = x = •  ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ (Hệ vô nghiệm) u = −3v u = −3v u = −3v u = x =  8 Từ đến kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = 1;   3 ( Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình ( 35 − 12 x ) )( ) x − > 12 x Lời giải: Bất phương trình ⇔ 35 x − > 12 x(1 + x − 1) Với x ∈ ( −∞; −1] nghiệm bất phương trình Với x = không nghiệm Với x ∈ (1; +∞ ) chia hai vế cho 12 x − ta : x x −1 +x< 35 12 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2  x   35 2 x4 x2  35  ⇔ + x <   ⇔ + −  < x −1 x −  12   x −1   12  x2 25 25 25 5 ⇔ < ⇔ 144 x − 625 x + 625 < ⇔ < x2 < ⇔ < x< 16 x − 12 5 5 5 Với x > nên < x < Vậy bất pt có nghiệm : x ∈ ( −∞; −1] ∪  ;   3 Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!