Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ LỚP I / PHẦN MỞ ĐẦU Mơn tốn môn học phong phú đa dạng , niềm say mê người u thích tốn học Đối với học sinh để có kiến thức vững , đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện , học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên làm để trang bị cho em có đầy đủ kiến thức ? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân II/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chun đề giải phương trình tích học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn cần tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu , góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung ; tách hạng tử ; phương pháp thêm bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chun đề học sinh thích thú có ví dụ đa dạng , có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số tốn khó III/ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 1/ Mục tiêu giải pháp - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích “ Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó sau - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? dạng tập vận dụng vận dụng ? Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải 2/ Nội dung phương pháp thực G/V ? : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số - Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – ) ( x + ) = ( I ) Phương pháp giải Tính chất phép nhân viết ab = ⇔ a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình (I)ta có : ( 2x – ) ( x + ) = ⇔ 2x – = x + = Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = ⇔ x = ⇔ x = 1,5 2/ x + = ⇔ x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = { 1,5; −1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = (1) A( x ) = (2) …………………… A ( xn ) = (n) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ) Với giá trị x thỏa mãn điềukiện phương trình ( II ) VÍ DỤ ÁP DỤNG I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN VÍ DỤ 1: Giải phương trình (x+1)(x+4)=(2–x)(2+x) Nhận xét : Hai tích khơng có nhân tử chung thi ta phải khai triển thu gọn để tìm cách đưa dạng tích , để giải phương trình ta cần thực hai bước Bước : Đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách chuyển tất hạng tử từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử ; vế phải ; áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) ⇔ (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0 ⇔ x + x + x + − 22 + x = ⇔ x + x = ⇔ x (2 x + 5) = Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x = x = x = ⇔ ⇔ x ( 2x + ) = ⇔  x = − x + = x = −    5  Vậy nghiệm phương trình : S = 0; −  2  x − = x ( 3x − ) 7 Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : VÍ DỤ 2: Giải phương trình : ⇔ 3  3 x − − x + x = ⇔  x − x ÷− ( − x ) = 7  7 ⇔ 3  x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ ( − x )  x − 1÷ = 7  1 − x =  x −1 ⇔ 3 ⇔  x −1 = x = 7   7 Vậy nghiệm phương trình : S = 1;   3 VÍ DỤ : Giải phương trình : x − x + − = Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức Giải : Ta có : x2 − 2x + − = ⇔ ( x − x + 1) − = ⇔ ( x − 1) − 22 = ⇔ ( x −1 − 2) ( x −1 + 2) = ⇔ ( x − 3) ( x + 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x +1 =  x = −1 Vậy nghiệm phương trình S = { −1;3} VÍ DỤ 4: 2 Giải phương trình : ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B ⇒ phương trình có dạng ( A + B ) = 2 Giải : ta có ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1+ x + 2) = ⇔ 2x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = −   Vậy nghiệm phương trình : S = −   2 VÍ DỤ : Giải phương trình : − x 2x + = ( )( ) Đây phương trình tích có chứa thức bậc hai , Để tránh cho học sinh hiểu tốn mơt cách phức tạp phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thơng thường 2; 3; coi hệ số thông thường Giải : ta có ( )( ) − x 2x +1 =  x =  3−x =0 ⇔ ⇔   x + = x =  −1 2   −1   Vậy nghiệm phương trình : S =  ;  2     II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ : Giải phương trình : x3 + 3x + x = Đối với phương trình học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau 2 Cách : Ta có : x + 3x + x = ⇔ x ( x + 3x + = ) ⇔ x ( x + x + x + ) = ( tách 3x = x + 2x ) Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp ( ) ⇔ x  x + x + ( x + )  = ( nhóm hạng tử ) ⇔ x  x ( x + 1) + ( x + 1)  = ( đặt nhân tử chung ) ⇔ x ( x + 1) ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x = x = ⇔  x + = ⇔  x = −1  x + =  x = −2 Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} Cách2: Ta có x3 + x + x = ⇔ x + x + x + x = ( tách 3x = x + x ) ⇔ ( x3 + x ) + ( x + x ) = ⇔ x ( x + 1) + x ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + x ) = ⇔ ( x + 1) x ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x +1 =  x = −1 ⇔  x = ⇔  x =  x + =  x = −2 Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x − 19 x − 30 = phương trình chưa xuất nhân tử chung ; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) Ở ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x3 − 19 x − 30 = ⇔ x − x − 10 x − 30 = ⇔ ( x − x ) − ( 10 x + 30 ) = ⇔ x ( x − ) − 10 ( x + ) = ( ) ⇔ x x − 32 − 10 ( x + 3) = ⇔ x ( x − 3) ( x + 3) − 10 ( x + 3) = ( ) ⇔ ( x + 3)  x ( x − 3) − 10  = ⇔ ( x + 3) x − x − 10 = ( ) ⇔ ( x + 3) x − x + x − 10 = ⇔ ( x + 3) ( x − x ) + ( x − 10 )  = ⇔ ( x + 3)  x ( x − ) + ( x − )  = ⇔ ( x + 3) ( x − ) ( x + ) = x + =  x = −3  ⇔  x − = ⇔  x =  x + =  x = −2 Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; −2;5} VÍ DỤ : Giải phương trình : x + x − = Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + x − x − = ⇔ ( 3x + x ) − ( x + ) = ⇔ 3x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( 3x − 1) =  x = −2 x + = ⇔ ⇔ x = 3 x − =   1 Vậy nghiệm phương trình : −2;   3 VÍ DỤ : Giải phương trình : x + 14 x + x = Đối với phương trình bước ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản sau dùng phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích 2 Giải : Ta có : x + 14 x + x = ⇔ x x + x + = ( ) ⇔ x ( x + x + x + 3) = ⇔ x ( x + x ) + ( x + )  = ⇔ x  x ( x + 3) + ( x + 3)  = ⇔ x ( x + 3) ( x + 1) =  x = 2 x =  ⇔  x + = ⇔  x = −3   x + = x = −  1   2  VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x + x + 20 = Vậy : nghiệm phương trình : S = 0; −3; − Đối với phương trình vế trái chưa xuất nhân tử chung Do ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x + x + 20 = ⇔ x + x + x + 20 = ⇔ x + x + ( x + 20 ) = ⇔ x ( x + ) + ( x + ) = ( ) Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp x + =  x = −4 ⇔ ( x + ) ( x + 5) = ⇔  ⇔ x + =  x = −5 Vậy nghiệm phương trình : S = { −4; −5} VÍ DỤ 6: Giải phương trình : x + x − = Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + 3x − x − = ( ) ⇔ x + 3x − ( x + ) = ⇔ x ( x + 3) − ( x + 3) = x + =  x = −3 ⇔ ( x + 3) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; 2} VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x − x + = Đối với phương trình có nhiều cách giải khác Sau số cách giải Cách 1: Ta có : Tách hạng tử -3x = -2x - x x − 3x + = ⇔ x − x − x + = ⇔ ( x − x ) − ( x − ) = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) =  x −1 = x = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + Ta có : x − 3x + = ⇔ x − 3x − + = ⇔ ( x − ) − ( 3x − ) = ⇔ ( x + ) ( x − ) − ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + ) − 3 = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = x − = x = ⇔ ⇔  x −1 = x =1 Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp −3 x = 2.x Cách : Biến đổi Ta có : ; 2= − 4 x − 3x + = ⇔ x − x + − = 4 2  9 3  1  ⇔  x − x + ÷− = ⇔  x − x +  ÷  −  ÷ = 4        2  3 1    3 1  ⇔  x − ÷ −  ÷ = ⇔  x − ÷+   x − ÷+  = 2 4     2    1  ⇔  x − + ÷ x − − ÷ = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = 2  2   x −1 = x = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} III/ DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x − 13 x + 36 = Đây phương trình bậc ẩn x để giải dạng phương trình ta cần đặt biến phụ sau tìm giá tri biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm Ở ta đặt x = a ta có cách giải sau Giải :Ta có : x − 13 x + 36 = ⇔ a − 13a + 36 = ⇔ a − 4a − 9a + 36 = ⇔ a − 4a − ( 9a − 36 ) = ( ) ⇔ a ( a − 4) − ( a − 4) = ⇔ ( a − 4) ( a = 9) = a = a − = ⇔ ⇔ a − =  a2 = Vì ta đặt  x =4  x = ±2 x2 = a ⇒  ⇔  x = ±3  x = Vậy nghiệm phương trình : S = { ±2; ±3} VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x + x + = Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ : Đặt x = a nên ta có cách giải sau Giải :Ta có : x + x + = ⇔ 2a + 5a + = ⇔ 2a + 4a + a + = ⇔ 2a + 4a + ( a + ) = ( tách 5a = 4a + a ) ( ) ⇔ 2a ( a + ) + ( a + ) = ⇔ ( a + ) ( 2a + 1) = ( nhóm đặt NTC )  a = −2 a + = ⇔ ⇔  a + = a = −    x2 − 2 Vì đặt x = a ⇒  x = −  Điều xẩy x ≥ với giá trị x phương trình cho vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = φ VÍ DỤ : Giải phương trình : x + x + = ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = a để đưa dạng tích Giải : Ta có : x + x + = ⇔ 9a + 6a + = ⇔ ( 3a ) + 2.3a + 12 = ⇔ ( 3a + 1) = 2 ⇔ 3a + = ⇔ a = − Trường hợp xẩy Vì đặt x2 = a ⇒ x2 = − Vì x ≥ với giá trị x Vậy phương trình vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = φ VÍ DỤ 4: Giải phương trình : x + x − = Đặt x = a Ta có cách giải sau x − x − = ⇔ 2a − 7a − = ⇔ 2a − 8a + a − = ⇔ ( 2a − 8a ) + ( a − ) = ⇔ 2a ( a − ) + ( a − ) = ⇔ ( a − ) ( 2a + 1) = Trang Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp a = a − = ⇔ ⇔ a = −  2a + =  Vì đặt x = a ⇒ x = ⇒ x = ±2 Và : x = − Loại Vậy nghiệm phương trình : S = { ±2} VÍ DỤ : Giải phương trình : x − 20 x + 18 = Đặt x = a nên ta có cách giải sau x − 20 x + 18 = ⇔ 2a − 20 x + 18 = ⇔ ( a − 10a + ) = ⇔ ( a − 9a − a + ) = ⇔ ( a − 9a ) − ( a − )  = ⇔  a ( a − ) − ( a − )  = a − = a = ⇔ ( a − ) ( a − 1) = ⇔  ⇔ a − = a = Vì đặt x = a ⇒ x = ⇒ x = ±3 Và : x = ⇒ x = ±1 Vậy nghiệm phương trình : S = { ±1; ±3} IV/ DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau số ví dụ dạng phương trình VÍ DỤ 1: Giải phương trình : x+2 − = x − x x ( x − 2) (I) x ≠ x ≠ ⇔ x − ≠ x ≠ Điều kiện xác định phương trình :  Giải : Ta có ( x + 2) x − ( x − 2) = x+2 − = ⇔ (I) ⇔ x − x x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = ⇔ x2 + 2x − x + = Trang 10 Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp x = x = ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 1) = ⇔  ⇔ x +1 =  x = −1 Vì điều kiện xác định phương trình : x ≠ x ≠ Nên với x = loại Do nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ 2: Giải phương trình : Giải : Ta có : (II) ⇔ ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 { −1} ( II ) ĐKXĐ: x ≠ ±2 ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) Quy đồng mẫu hai vế ⇔ ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ⇔ ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) ( Nhân hai vế với ( x + ) ( x − ) khử mẫu ) Khai triển chuyển vế thu gọn ta ⇔ x − x + 20 = ⇔ x − x − x + 20 = ( tách -9x = - 4x – 5x ) ⇔ ( x − x ) − ( x − 20 ) = ⇔ x ( x − ) − ( x − ) = x − = x = ⇔ ( x − ) ( x − 5) = ⇔  ⇔ x − = x = Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : Giải : Ta có : (III) { 4;5} 2x −1 = −x x−2 x−2 ( III) ĐKXĐ : x≠2 2x −1 − x ( x − 2) 2x −1 = −x⇔ = x−2 x−2 x−2 x−2 ⇔ = x − − x + x ( nhân hai vế với x – khử mẫu ) ⇔ ⇔ x2 − x + = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x−2=0⇔ x = (Loại x = khơng thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Trang 11 Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : x + 1 = x2 + x x φ ( IV ) ĐKXĐ : x ≠ x3 + x x + ( IV ) ⇔ = ⇔ x3 + x = x4 + x x ⇔ x3 − x − + x = ⇔ ( x3 − x ) − ( − x ) ( ) ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1) = x + x 12 + 14 + 43 =  x + 2.x 12 + 14 ÷ + 43 ⇔ x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ (1 − x) x − = 2 Vì 2 2 1  =x+ ÷ + >0 2  nên ( x − 1) (x ) + x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Thỏa mãn điều kiện toán Vậy nghiệm phương trình : S = { 1} V/ MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ I: Giải phương trình : 2− x 1− x x −1 = − 2001 2002 2003 Đây phương trình áp dụng cách giải thơng thường gặp nhiều khó khăn Do để giải phương trình ta sử dụng phương pháp sau Để biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau 2− x 1− x x 2− x  1− x   −x  −1 = − ⇔ +1 =  + 1÷+  + 1÷ 2001 2002 2003 2001  2002   2003  ⇔ 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x = + ⇔ − − =0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1   ⇔ ( 2003 − x )  − − ÷ = ⇔ 2003 − x = ⇔ x = 2003  2001 2003 2003  Trang 12 Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Vì : 1 − − ≠0 2001 2002 2003 Vậy nghiệm phương trình : S = { 2003} x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  + 1÷ +  + ÷+  + 1÷ =  + 1÷ +  + 1÷+  + 1÷   94   93   92   91   90   89  VÍ DỤ : Gi ải phương trình : x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 ⇔ + + − − − =0 94 93 92 91 90 89 1 1   ⇔ ( x + 95 )  + + − − − ÷ =  94 93 92 91 90 89  ⇔ ⇔ x + 95 = ⇔ x = −95 1 1 1 + + − − − ≠0 Vì : 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S = { −95} VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49 Đối với phương trình ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái tách thành hạng tử , hạng tử đơn vị nên ta có cách giải sau 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49  59 − x   57 − x   55 − x   53 − x   51 − x  ⇔ + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ =  41   43   45   47   49  100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x ⇔ + + + + =0 41 43 45 47 49 1 1   ⇔ ( 100 − x )  + + + + ÷=  41 43 45 47 49  ⇔ 100 − x = ⇔ x = 100 Trang 13 Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp Vì : 1 1 + + + + ≠0 41 43 45 47 49 Vậy nghiệm phương trình : S = { 100} VÍ DỤ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54 Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình tách thành nhóm sau x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  ⇔ + ÷+  + 1÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ 59 58 57 56 55 54             x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + = + + 59 58 57 56 55 54 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 ⇔ + + − − − =0 59 58 57 56 55 54 1 1   ⇔ ( x + 60 )  + + − − − ÷ =  59 58 57 56 55 54  ⇔ ⇔ x + 60 = ⇔ x = −60 1 1 1 + + − − − ≠0 Vì : 59 58 57 56 55 54 Vậy nghiệm phương trình : S = { −60} VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị tách phần ta có cách giải sau x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + Giải : 1990 1980 1970 15 25  x −   x − 15   x −   x − 1990   x − 1980   x − 1970  ⇔ − 1÷+  − 1÷+  − 1÷ =  − 1÷+  − 1÷+  − 1÷  1990   1980   1970     15   25  x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 ⇔ + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Trang 14 Chuyên đề:Một số kinh nghiệm giải phương trình quy dạng phương trình tích Đại số lớp ⇔ x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + + − − − =0 1990 1980 1970 15 25 1 1   ⇔ ( x − 1995 )  + + − − − ÷=  1990 1980 1970 15 25  ⇔ x − 1995 = ⇔ x = 1995 1 1 1 + + − − − ≠0 Vì : 1990 1980 1970 15 25 Vậy nghiệm phương trình : S = { 1995} IV/ PHẦN KẾT LUẬN Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư ,sự nhận thức nhanh ,nhìn nhận vấn đề sâu rộng ,chắc chắn Học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp Trong q trình thực khơng thể tránh khỏi điều thiếu sót Nên chúng tơi mong đóng góp ý kiến q báu từ thầy giáo nói chung thầy giáo mơn tốn nói riêng để giáo viên tổ có nhiều kinh nghiệm q trình dạy học giải phương trình tích Xin chân thành cảm ơn Tổ: Toán -Tin Trang 15