Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 BỘ CÂU HỎI ÔN LUYỆN ĐIỂM 9, 10 Môn TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 – 2016 Biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275 HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900 AB2 Chứng minh AC BD = 4 Chứng minh: OC // BM Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Chứng minh MN  AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A N P E F O H B D ( ( - C M y x D / I M / C N O A B d A P K D N O H M I C B Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Bài 5: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E, cắt tia BM F; tia BE cắt Ax H, cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Chứng minh rằng: AI2 = IM IB Chứng minh BAF tam giác cân Chứng minh rằng: Tứ giác AKFH hình thoi Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài 7: Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh: Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp BD BM  CB CF Cao Văn Tuấn – 0975306275 E A I B H C X N P J I M K ( A ( O B X I F M H E K 2 A B O A D F O I B https://www.facebook.com/ThayCaoTuan D M E C Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Bài 8: Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh: Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Cao Văn Tuấn – 0975306275 C M A O B N P A' D B' Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A A Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E E Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F I 1( F Chứng minh AFHE hình chữ nhật 2 BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC )1 O1 O2 B H C Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 10: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB E nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường N vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E H Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với M đường tròn (I), (K) 1 Chứng minh EC = MN I O A C K B Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE C C 12 O O D S E M A D B H×nh a https://www.facebook.com/ThayCaoTuan F M 1 2 F E S 2 A B H×nh b Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M (M không trùng B C, H); từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB, AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH  PQ Cao Văn Tuấn – 0975306275 A O P Q B Bài 13: Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến (O’) M H C D I A / / O M B O' C E Bài 14: Cho đường tròn (O; R) (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O’) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) F, BD cắt (O’) G Chứng minh rằng: Tứ giác MDGC nội tiếp D Bốn điểm M, D, B, F nằm G đường tròn Tứ giác ADBE hình thoi B, E, F thẳng hàng M C B A O' DF, EG, AB đồng quy O MF = 1/2 DE MF tiếp tuyến (O’) F E Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q Chứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ Chứng minh AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Q P A I O H B Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Bài 16: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp Tính góc CHK Chứng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường nào? Bài 17: Cho đường tròn (O), BC dây (BC < 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp Chứng minh MI2 = MH.MK Chứng minh PQ  MI Cao Văn Tuấn – 0975306275 B A O H E ) D C K A H K M B P Q 2 C I O Bài 18: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây cung CD  AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chứng minh: KC AC  KB AB AM tia phân giác CMD Tứ giác OHCI nội tiếp Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường tròn M Bài 19: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC J C M K _ I A H B O D A B' = C' O H G = / B A' E https://www.facebook.com/ThayCaoTuan / / / I C / F Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Bài 20: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chứng minh MN di động, trung điểm I MN nằm đường tròn cố định Từ A kẻ Ax  MN, tia BI cắt Ax C A Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành Chứng minh C trực tâm tam giác AMN Khi MN quay quanh H C di động đường Cho AM AN = 3R2, AN = R Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác AMN Bài 21: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC Chứng minh AE AC - AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ https://www.facebook.com/ThayCaoTuan N D K C I H B O M M O1 C E A I B O N Bài 22: Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF Hãy xác định vị trí tương đối đường tròn (I) (O); (K) (O); (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? Chứng minh AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn Bài 23: AB AC hai tiếp tuyến đường tròn tâm O bán kính R (B, C tiếp điểm) Vẽ CH vuông góc AB H, cắt (O) E cắt OA D Chứng minh CO = CD Chứng minh tứ giác OBCD hình thoi Gọi M trung điểm CE, Bm cắt OH I Chứng minh I trung điểm OH Tiếp tuyến E với (O) cắt AC K Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng Cao Văn Tuấn – 0975306275 A F G E B I H C K O D B H I E O D A M K C Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ) PHƢƠNG PHÁP 1: PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG (PHƢƠNG PHÁP LŨY THỪA, ) Bài 1: Giải phương trình sau: 1) 5x    x 2) 5x    x 3) x2  x   x   5) x   5x   3x  7) x   12  x  4) 6) 8) x 3  x 8  8x    5x  x   x  x   25  x  3 PHƢƠNG PHÁP 2: PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 2: Giải phương trình sau: 1) x2  x   x   2) 25x2  10 x   x  3) x2  8x  16  x2  14 x  49  11 4) x2  20 x  25  x  8x  16  x  18x  81 5) x   x 1  x   x 1  6) x   2x   x   2x   2 PHƢƠNG PHÁP 3: PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Loại 1: Phƣơng trình có chứa f  x  f  x Bài 3: Giải phương trình sau: 1) x2  8x  x  x   12 3) x  x  10  2) x2  x   x  x   x  2 x  6  Loại 2: Phƣơng trình có chứa A  B AB Bài 4: Giải phương trình sau: x4  x4  x  x  16  1) 2) x   x   3x  2 x  5x   2 3) x   x   49 x  x  42  181  14 x Loại 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Bài 5: Giải phương trình sau: 1) x2  3x  x x    x  2)  x  1 x  x   x  3) 1  x  x   x  x  4)  x  1 x3   x3  x  Loại 4: Đặt hai ẩn phụ đƣa phƣơng trình đẳng cấp Bài 6: Giải phương trình sau: 1)  x    x3  2) x2  5x   x3  3) x2  x   x  x  4) 5x2  14 x   x2  x  20  x  Loại 5: Đặt nhiều ẩn phụ đƣa hệ phƣơng trình Bài 7: Giải phương trình sau: 1) x   x  x   x   2) x   x    x  1 x     https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 3) 3x    5x   4) 5x   5x  12  Cao Văn Tuấn – 0975306275 5) 47  x  35  x  PHƢƠNG PHÁP 4: PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Bài 8: Giải phương trình sau: 1) x  x    x  x  1 2) 3) x   x3  x  x   4x 5) x   4 x x3 x   x    x  3x  4) x   2x x   2x  x2  4x  6) x2  8x  15  x   x   7) x  x    x  1 x  x  x  PHƢƠNG PHÁP 5: PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP Bài 9: Giải phương trình sau: 1) 3x    x  3x  14 x   2) x   x2   3x 3) x2  12   3x  x  3x  x   x   3x  3x   x  x  4) PHƢƠNG PHÁP 6: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Bài 10: Giải phương trình sau: 1) x2  x  20  3x  10 2) x    x  3x2 12 x  14 3)  x  x   x2  12 x  38 Gợi ý: 3x2  x   5x2  10 x  21   x  x2 4)  1) x  x   3x  10   3x  10   x  3   x  32   3x  10     3x  10        2) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho vế trái, ta VT   2x    2x   1    x    2x    VT  2 2 Mặt khác ta có: 3x  12 x  14   x     2  2x   2x   x2 Khi phương trình có nghiệm   1 x    3) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho vế trái, ta VT   7 x  x 5   1     x  x  5   VT  2 2 Mặt khác ta có: x  12 x  38   x     2  7x   Khi phương trình có nghiệm   x    x 5  x6 4) VT  3x  x   5x  10 x  21   x  1    x  1  16   16  2 VP   x  x    x  1   Phương trình có nghiệm  x  1 MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH CỦA HÀ NỘI 2 x Câu (Năm học 1992 – 1993): Giải phương trình   1 x 1 x 2x Câu (Năm học 1994 – 1995): Tìm tất cặp số  x; y  thoả mãn phương trình sau: 5x  x   y   y   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Câu (Năm học 2009 – 2010): Giải phương trình: Cao Văn Tuấn – 0975306275 1 x   x  x    x3  x  x  1 4 Câu (Năm học 2010 – 2011): Giải phương trình x  x    x   x  BÀI TOÁN TỔNG HỢP (CHỨNG MINH BĐT, TÌM GTLN, GTNN, ) Bài 1: Cho a  Giả sử b, c nghiệm phương trình: x  ax   Chứng minh rằng: 2a b4  c   Bài 2: Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ của: S  Bài 3: Cho x, y, z  thỏa mãn:  x y xy 1 1 Hãy tính giá trị biểu thức :    x y z x yz M    x8 – y8  y  z  z10 – x10  Gợi ý: 1 1    x y z x yz 1 1 x y x yzz     0   0 x y z x yz xy z x  y  z Từ: 1   zx  zy  z  xy    z  y         x  y    xy z  x  y  z    xyz  x  y  z     x  y  y  z  ( z  x)   x8 – y   x  y  x  y   x  y  x  y    Ta có:  y  z   y  z   y – y z  y z   z   10 10 2 5  z  x   z  x   z – z x  z x – zx  x  z  x  3 Vậy M    x  y  y  z  z  x  A  4 Bài 4: Cho số thực x, y, z thoả mãn x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F  xy  yz  zx Gợi ý:  x  y  z 1 xy  yz  zx      x  y  z    2  F  1  1  1  Ta có  2 2 2   yz   y  z  x   1  y  z     2 x  y  z  x    Dấu ‘‘=’’ xảy  y  z  0; x    y   z    x2  y  z     Vậy giá trị nhỏ F – https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 2 Bài 5: Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a  b  , tìm giá trị lớn biểu thức: ab M ab2 Gợi ý: 2 2  a  b    a  b   a  b    a  b   a  b   a  b  ab M     ab2  a  b  2  a  b  2  a  b  2 Ta có  a  b    a  b2   a  b   a  b  2  a  b2   2.4   1 2 Dấu xảy a  b  Vậy giá trị lớn M  , xảy a  b  Vậy M   Bài 6: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  Chứng minh rằng: x  y    Đẳng thức 2x y xảy nào? Gợi ý: Cách 1: Với x, y  x  y  Ta có: VT  x  y  1 1  4      x  y   x      y     6 2x y  x  y   2  1        3  6  x y x   y      2  x   y       x x 0 x   Đẳng thức xảy    y   y 0  y Cách 2: Với x, y  x  y  1 1    4     x  y   x     y       x  y   2x y  x  y   x y    x  x x  Đẳng thức xảy   (vì x, y  )  y  y  y  Ta có: x  y  Bài 7: Cho 2015 số nguyên dương a1; a2 ; a3 ; ; a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1      89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh 2015 số nguyên dương đó, tồn số Gợi ý: Giả sử không tồn hai số mà a1; a2 ; a3 ; ; a2015 nguyên dương Không làm tính tổng quát giả sử a1  a2  a3   a2015 Nên a1  1; a2  2;  ; a2015  2015 1 1 1        1 Suy a1 a2 a2015 2015 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 10 Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 1 2     1    2 Ta có 2015 1 2014  2015 2    2015   89  3 Mà  1 2014  2015 1     89 (trái với giả thiết) Từ 1 ,   ,  3 suy a1 a2 a2015 Vậy 2015 số nguyên dương tồn số Bài 8: Cho x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện: 5x2  xyz  y  3z  60 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x  y  z Gợi ý: Ta có: 5x2  xyz  y  3z  60  5x2  xyz  y  3z – 60   x   yz    y  3z – 60   15  y  20  z  2 2  4 y  60   y  15   y  15  Vì x  xyz  y  3z  60      x    3z  60  z  20   z  20  2  yz  15  y  20  z   yz  15  y  20  z  (Bất đẳng thức Cô si) x  5 2 2 yz  35  y  z 35   y  z  x  10 10 35   y  z   10  y  z  60   y  z  5  6   x yz  10 10 y  z 5  x    2 Dấu = xảy 15  y  20  z   y  x  y  z  z    2 Vậy giá trị lớn B đạt x  1; y  2; z  Bài tập tƣơng tự: Cho x, y, z số thự thỏa mãn điều kiện: giá trị lớn biểu thức B  x  y  z 3x  y  z  yz  Tìm giá trị nhỏ Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa x  2y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  xy xy Gợi ý: x  y  xy x  y  x  xy x  y x  xy Ta có: P     xy xy xy xy  2 2 x  y x  xy 3x x  y x( x  y )     xy xy xy xy xy x x2  y x  y        y xy y x y 2   Vì  x  y  x y  xy  Pmin  x  y  x  y   y  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 11 Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 1 Bài 10: Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a5  b5  c5     a b c Gợi ý:   a  a  2a ²   Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương, ta có: b5   2b ² 1 b    c  c  2c ²  1 Suy a5  b5  c5      a  b2  c  a b c  a ²   2a  Mặt khác b ²   2b Suy a  b2  c2   a  b  c    2.3      c ²   2c  1 Từ 1    a5  b5  c5       đpcm  a b c Bài 11: 3x  x   Giải phương trình 2  x   x  19   x Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức a b c T 4  4  b  c  a a  c  b a  b4  c Gợi ý: 3x  x    x  1 Điều kiện xác định   x   Với x   , phương trình cho tương đương với: 3x  x     x  2  x   x  19   x  3x  x    x  3x  x    3x  x    x   x  3x  x   3 x  x      x  3x  x     1   x 3x  x    x 3x  x    x  3x  x    3x  x    x  0, x   ) 3x2  5x    x  1 (thỏa mãn đk) x  (không thỏa mãn điều kiện) (do   1 2 x   3x  x    x    x  3x  x   x  x   3x  x   x * Vì x   nên x    3x2  x   x (*) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Ta có: a  b4  ab  a  b2  a; b  Thật a  b4  ab  a2  b2   a  b4  a3b  ab3   a  b   a3  b3     a  b   a  ab  b2   (luôn a, b  ) a; b; c  ) abc  Do a4  b4  c  ab  a  b2   c  a4  b4  c  ab  a  b2   abc2  (vì  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 12 Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 c c (vì c  )   a  b  c ab  a  b2   abc  c c  a  b  c ab  a  b  c   c c2  a  b  c abc  a  b  c  Cao Văn Tuấn – 0975306275 c c2  1 a  b4  c a  b2  c2  b b2   a  c  b a  b  c   Tương tự  a a2    b  c  a a  b  c   Cộng theo vế bất đẳng thức 1 ,    3 ta có:  a b c a2 b2 c2      1 b4  c  a a  c  b a  b4  c a  b2  c a  b2  c a  b2  c  T  a; b; c  thỏa mãn abc  Với a  b  c  T  Vậy GTLN T 1, xảy a  b  c  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 13 [...].. .Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 1 1 1 2 2     1    2 Ta có 1 2 2015 1 2 2014  2015 2 2    2 2015  1  89  3 Mà 1  1 2 2014  2015 1 1 1     89 (trái với giả thi t) Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra a1 a2 a2015 Vậy trong 2015 số nguyên dương đó tồn... y 4 xy y 4 2 x y 2  5  Vì  x 2  4 y 2  2 x 2 4 y 2  4 xy  Pmin  khi x  2 y 2  x  2 y  0  y  0 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 11 Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 Cao Văn Tuấn – 0975306275 1 1 1 Bài 10: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 Chứng minh rằng a5  b5  c5     6 a b c Gợi ý:  5 1  a  a  2a ²  1  Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số...  a 4  b4  a3b  ab3   a  b   a3  b3   0   a  b   a 2  ab  b2   0 (luôn đúng a, b  2 ) a; b; c  0 ) abc  1 Do đó a4  b4  c  ab  a 2  b2   c  a4  b4  c  ab  a 2  b2   abc2  0 (vì  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 12 Ôn luyện điểm 9, 10 môn Toán – kì thi tuyển sinh vào 10 c c (vì c  0 )  4  4 2 a  b  c ab  a  b2   abc 2  c c  4 2 a  b  c ab ...   z  20  0 1 2 2  yz  15  y 2  20  z 2   yz  15  y  20  z  2 (Bất đẳng thức Cô si) x  5 5 2 2 2 2 yz  35  y 2  z 2 35   y  z  x  10 10 2 35   y  z   10  y  z  60   y  z  5  6   x yz  10 10 y  z 5  0 x  1   2 2 Dấu = xảy ra khi 15  y  20  z   y  2 x  y  z  6 z  3   2 2 Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 đạt tại x  1; y  2; z...  x  3x  5 x  8    2 1  2  x 3x 2  6 x  6  2  x 3x  6 x  6  2  x  3x 2  5 x  8  2  3x 2  6 x  6  2  x  0, x  1  3 ) 8 3x2  5x  8  0  x  1 (thỏa mãn đk) hoặc x  (không thỏa mãn điều kiện) 3 (do   1 2 x   3x 2  6 x  6  2  x  1  2  x  3x 2  6 x  6 2  x  x  1  3x 2  6 x  6 2  x * Vì x  1  3 nên x  1  0  3x2  6 x  6 2  x do đó (*) vô