SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ ĐỀ XUẤT Đơn vị đề: THPT TÂN PHÚ TRUNG (Đề gồm có 01 trang) Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = − x3 + 3x − Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y = x − ln x đoạn [ 1;e] Câu (1,0 điểm) a) Tìm phần thực, phần ảo, mô đun số phức: z = ( ) + 3i − 2i − − + 4i b) Giải phương trình 52x - 5x+1 + = e dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x + ln x Câu (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho A(−1;2;4) mặt phẳng (α ) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với (α ) phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với (α ) Câu (1,0 điểm) a) Cho tan x = Tính giá trị biểu thức A = 4sin x + 5sin x cos x + cos2 x sin2 x − b) Viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số phân biệt lên bảng Tính xác suất để số có mặt chữ số chữ số Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD, SB theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Hai điểm B C thuộc trục tung Phương trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật cho, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD 2   x − 3xy − x − = y + xy − x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2   y − yx + y + = x + xy − y ( x, y ∈ R ) Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1;3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 36 x y z + + yz xz xy Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Đơn vị đề: THPT TÂN PHÚ TRUNG Nội dung yêu cầu Câu y = − x3 + 3x − (1,0 đ) - TXĐ: D = ¡ - Sự biến thiên cực trị hàm số 0,25  x = ⇒ y = −1 y ' = −3 x + x ; Cho y ' = ⇔ −3 x + x = ⇔  x = ⇒ y = - Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) , đồng biến khoảng ( 0;2 ) - Hàm số đạt cực đại x = ⇒ yCD = 3, Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ yCD = −1 - Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →−∞ 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên −∞ x +∞ y’ y Điểm +∞ + – + 0,25 −∞ -1 0,25 Đồ thị: (1,0 đ) x Hàm số liên tục đoạn [ 1; e] có y ' = − = y ' = ⇔ x − = ⇔ x = 1∈ [ 1; e ] x −1 x y (1) = , y(e) = e − Maxy = e − , Miny = [ 1;e] [ 1;e] ( + 3i )( −1 − 4i ) 27 23  10 11  − ( − 2i − 1) =  − i  − ( − 2i − 1) = + i (1,0 đ) a) z = ( −1 + 4i ) 17 17  17 17  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 23 27 27   23  74  Phần thực: a = , phần ảo: b = z =   +  = 17 17 17  17   17  é5x = x x ê Û (5 ) 5.5 + = Û b) - + = ê5x = ê ë éx = log Û ê êx = log Vậy nghiệm phương trình: x = log5 2; x = log5 ê ë 2x x +1 Đặt u = + ln x ⇒ du = dx (1,0 đ) x x =1⇒ u =1 x =e⇒u =2 e 1 I=∫ dx = ∫ du x + ln x u 1 =2 u 0,25 0,25 2.(−1) − + − +1 +1 2 = 6 Vậy (S): ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 4) = 4sin x + 5sin x cos x + cos2 x tan x + tan x + A = = a) (1,0 đ) 2 sin x − (1,0 đ) tan x + 5tan x + 0,25 0,25 Mặt phẳng ( β ) qua A(−1;2; 4) song song với (α ) (1,0 đ) Vtpt ( β ) : nr = (2; − 1;1) Phương trình ( β ) là: 2( x + 1) − 1( y − 2) + 1( z − 4) = ⇔ x − y + z = Gọi (S) mặt cầu có tâm A bán kính R, (S) tiếp xúc với (α ) = 0,25 0,25 = 2( − 1) Ta có R = d ( A,(α )) = 0,25 = tan x − 2(1 + tan x ) 4.9 + 5.3 + 52 =− −9 − 11 − tan x − n ( X ) = C83 5!− C72 !.4! = 6216; n(Ω) = A105 − A94 = 27216 b) 6216 37 = ≈ 0, 23 Vậy P = 27216 162 a SH = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 S ABCD = S ACD = AD.DC.sin 600 = a a3 VS ABCD = SH S ABCD = d ( AD, SB ) 0,25 0,25 VS ABCD = d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC )) = d ( D, ( SBC )) = a Ta có C giao điểm trục tung đường thẳng AC nên C(0;4) Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD nên bán kính đường tròn nội tiếp (1,0 đ) tam giác ABC Vì B nằm trục tung nên B(0;b) Đường thẳng AB qua B vuông góc với BC ≡ Oy : x = nên AB : y = b  16 − 4b  ;b Vì A giao điểm AB AC nên A   Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có 16 − 4b b − b−4 2S ABC 3 r= = = AB + BC + CA 16 − 4b  16 − 4b  b − + b − + b−4 b−4 + + (b − 4) +   3   = b−4 Theo giả thiết r = nên ta có b = b = Với b = ta có A(4;1), B(0;1) Suy D(4;4) Với b = ta có A(-4;7), B(0;-7) Suy D(-4;4) Từ (1) (2) ta có x − xy − x − − ( y − yx + y + 1)i = y + xy − x − ( x + xy − y )i (1,0 đ) 10 (1,0 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ x + x yi + xy i + y i − ( x + yi ) − − i = (1 + i ) y + xy (1 − i ) − x (1 + i ) ⇔ ( x + yi ) − ( x + yi ) − − i = (1 + i )( y − xyi + i x ) 0,25 ⇔ ( x + yi ) − ( x + yi ) − − i = (1 + i )( y − ix ) ⇔ z + (1 + i ) z − z − (1 + i ) = 0,25 ⇔ z = 1; z = −1; z = −1 − i Do (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1) 36 x y z f ( x) = + + , x ∈ [1;3] , y, z tham số yz xz xy 36 y z 36 x − y − z 36 − 2.9 − f ' ( x) = − − = ≥ >0 yz x z x y x yz x yz 36 y z + + = g ( y ), y ∈ [1;3] , z tham Suy f(x) đồng biến trên[1;3] nên f ( x) ≥ f (1) = yz z y số 36 z − 36 + y − z − 36 + 2.9 − 12 g ' ( y) = − + − = ≤