Đang tải... (xem toàn văn)
Sau khi đọc đề xong thì việc quan trọng nhất đó là tóm tắt bài toán, với việc tóm tắt bài toán giúp chúng ta tìm dữ kiện cần thiết trong đề bài, biết các đại lượng và từ đó có thể xác định được hướng giải của bài tập. Sau khi đọc xong đề thì tưởng tượng trong đầu hiện tượng rồi viết công thức tính toán ngay, nên vẽ hình minh họa hiện tượng trước rồi hãy tính toán. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hiện tượng hơn và ít bị rối hay giải sai bài toán.
www.TaiLieuLuyenThi.com TUYN TP HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN (P N CHI TIT) BIấN SON: LU HUY THNG Ton b ti liu ca thy trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com H V TấN: LP : TRNG : H NI, 8/2013 GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN Ton b ti liu luyn thi i hc mụn toỏn ca thy Lu Huy Thng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com PHN I VIT PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit phng trỡnh mt phng bng cỏch xỏc nh vect phỏp tuyn - Vec-t phỏp tuyn ca mt phng l vec-t cú giỏ vuụng gúc vi mt phng ú - Mt mt phng cú vụ s cỏc vec-t phỏp tuyn (cỏc vec-t ny cú giỏ song song hoc trựng nhau) - xỏc nh vec-t phỏp tuyn ca mt phng chỳng ta cú s cỏch sau: + Xỏc nh trc tip: Da vo mi quan h song song, vuụng gúc gia cỏc yu t: mt phng mt phng, ng thng mt phng + Xỏc nh giỏn tip: Tỡm vec-t khụng cựng phng cựng vuụng gúc vi vec-t phỏp tuyn ca mt phng BI TP HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P ) : x + 2y 3z + = v im A(2; 1;1) Vit phng trỡnh mt phng (Q) qua A v song song vi (P) Gii Ta cú: (Q ) / /(P ) nờn phng trỡnh mt phng (Q) cú dng : (Q ) : x + 2y 3z + D = 0, (D 1) Ta cú : (Q) qua A nờn suy : D = Vy, phng trỡnh mt phng (Q ) : x + 2y 3x + = HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : x y +1 z v im A(1; 0; 1) Vit = = phng trỡnh mt phng (P) qua A v vuụng gúc vi d Gii Ta cú, (P ) d nờn phng trỡnh mt phng (P) cú dng : x 2y + z + D = Mt khỏc, (P) qua A nờn suy D = Vy, phng trỡnh mt phng x 2y + z = HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im khụng thng hng A(1;2; 1), B(1; 0;2),C (2; 1;1) Vit phng trỡnh mt phng (ABC) Gii Ta cú: AB = (2; 2; 3), AC = (1; 3;2) Mt phng (ABC) cú mt vec-t phỏp tuyn: n = [AB; AC ] = (5; 7; 8) Vy, phng trỡnh mt phng (ABC ) : 5(x 1) + 7(y 2) + 8(z + 1) = 5x + 7y + 8z 11 = HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, , cho hai im A(2;4;1), B(1;1;3) v mt phng (P): x 3y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (P) Gii Ta cú: AB = (3; 3;2) Gi nP , nQ ln lt l vec-t phỏp tuyn ca mt phng (P) v (Q) vi nP = (1; 3;2) A, B (Q ) AB n Q Ta cú: (Q ) (P ) n n P Q Suy ra, (Q) cú mt vec-t phỏp tuyn : nQ = nP , AB = (0; 8; 12) Vy, phng trỡnh mt phng (Q ) : 2y + 3z 11 = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A(2;1; 3), B(1; 2;1) v x = + t song song vi ng thng d : y = 2t z = 2t Gii Ta cú BA = (1; 3;2) , d cú VTCP u = (1;2; 2) n BA (P) cú mt vec-t phỏp tuyn n = BA, u = (10; 4; 1) Gi n l VTPHNG TRèNH ca (P) n u Phng trỡnh ca (P): 10x 4y + z 19 = HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, d2 : cho hai ng thng ct d1 : x y z +1 = = ; 1 x y z Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d1; d2 = = Gii Gi l n vec-t phỏp tuyn ca (P) u1, u2 ln lt l vec-t ch phng ca d1; d2 vi u1 = (1; 1;2); u2 = (1;2;1) Gi A l giao im ca d1; d2 Suy ra, A(1;1;1) (P ) d1 n u1 Ta cú: (P ) d2 n u2 Suy ra, (P) cú vec-t phỏp tuyn n = [u1, u2 ] = (5; 3;1) Vy, phng trỡnh mt phng (P ) : 5x 3y + z + = HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng song song d1 v d2 cú phng trỡnh: (d1 ); x y +1 z x y z , (d2 ) : Lp phng trỡnh mt phng (P) cha d1 v d2 = = = = Gii Ta cú: A(1; 1;2) d1; B(4;1; 3) d2 , AB = (3;2;1) Gi u1 l vec-t ch phng ca d1 Gi n l vec-t phỏp tuyn ca (P) Ta cú, (P) cha hai ng thng song song d1, d2 nờn (P) cú vec-t phỏp tuyn: n = [u1; AB ] = (1;1; 5) Suy ra, phng trỡnh mt phng (P ) : x + y 5z + 10 = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 x y +1 z HT Trong kho ng gian vi heto a oOxyz, cho ie] m M(1; 1; 1) va hai ng thng (d1 ) : = v = x y z Chng minh rng ie] m M , d1, d2 cu ng na` m tre n mo t ma t phab ng Viec t phng trnh ma t (d2 ) : = = phab ng o Gii Ta cú: d1 qua M1(0; 1; 0) v cú u1 = (1; 2; 3) , d2 qua M (0;1; 4) v cú u2 = (1;2; 5) Suy : u1; u2 = (4; 8; 4) , M1M = (0;2; 4) u1; u2 M1M = d1, d2 ng phng Gi (P) l mt phng cha d1, d2 (P) cú VTPHNG TRèNH n = (1;2; 1) v i qua M1 nờn cú phng trỡnh x + 2y z + = Kim tra thy im M (1; 1;1) (P ) http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dng 2: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n mt cu HT Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P ) : x + y + z = v mt cu (S ) : (x 1)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 = 25 Vit phng trỡnh mt phng (Q ) song song vi (P) v tip xỳc vi (S) Gii Ta cú: (P ) / /(Q ) Suy ra, phng trỡnh mt phng (Q ) : x + y + z + D = (D 1) Mt cu (S) cú tõm I (1; 2;1) , bỏn kớnh: R = (Q) tip xỳc vi mt cu (S) v ch khi: d(I ;(Q )) = R D = =5 D = 3 D Vy, phng trỡnh mt phng (Q1 ) : x + y + z + = 0;(Q2 ) : x + y + z = HT 10 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S ) : x + y + z 2x + 6y 4z = Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t v = (1;6;2) , vuụng gúc vi mt phng () : x + 4y + z 11 = v tip xỳc vi (S) Gii Ta cú: (S) cú tõm I (1; 3;2) v bỏn kớnh R = VTPHNG TRèNH ca () l n = (1; 4;1) VTPHNG TRèNH ca (P) l: nP = n, v = (2; 1;2) Phng trỡnh ca (P) cú dng: 2x y + 2z + m = m = 21 Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn d(I ,(P )) = m = Vy: (P ) : 2x y + 2z + = hoc (P ) : 2x y + 2z 21 = HT 11 Trong khụng gian vi h to Oxyz, , cho ng thng d : x y3 z = = 2 v mt cu (S ) : x + y + z 2x 2y 4z + = Lp phng trỡnh mt phng (P) song song vi d v trc Ox , ng thi tip xỳc vi mt cu (S) Gii B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 Ta cú: (S) cú tõm I (1;1;2) , bỏn kớnh R = d cú VTCP u = (2;2;1) (P ) / /d,Ox (P) cú VTPHNG TRèNH n = u, i = (0;1; 2) PHNG TRèNH ca (P) cú dng: y 2z + D = (P) tip xỳc vi (S) d (I ,(P )) = R (P): y 2z + + = hoc D = + = D = D = 12 + 22 + D (P): y 2z + = HT 12 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S ) : x + y + z + 2x 4y = v mt phng (P ) : x + z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M (3;1; 1) vuụng gúc vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S) Chỳ ý: i vi dng ny, chỳng ta khụng tỡm c vec-t phỏp tuyn ca mt phng di dng trc tip Chớnh vỡ vy, ta phi dựng phng trỡnh tng quỏt ca mt phng vit Gii Ta cú: (S) cú tõm I (1;2; 0) v bỏn kớnh R = , (P) cú VTPHNG TRèNH nP = (1; 0;1) PHNG TRèNH (Q) i qua M cú dng: A(x 3) + B(y 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B + C (Q) tip xỳc vi (S) d(I ,(Q )) = R 4A + B + C = A2 + B + C (*) (Q ) (P ) nQ nP = A + C = C = A (**) T (*), (**) B 5A = 2A2 + B 8B 7A2 + 10AB = A = 2B A = 4B Vi A = 2B Chn B = 1, A = 2, C = (Q ) : 2x + y 2z = Vi A = 4B Chn B = 7, A = 4, C = (Q ) : 4x 7y 4z = HT 13 Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S ) : x + y + z 2x + 4y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = Gii Ta cú:(S) cú tõm I (1; 2; 1) , bỏn kớnh R = (P) cha Ox (P ) : By + Cz = (B + C > 0) Mt khỏc, ng trũn thit din cú bỏn kớnh bng cho nờn (P) i qua tõm I Suy ra: 2B C = C = 2B Chn B = C = Vy, phng trỡnh (P ) : y 2z = HT 14 Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S ) : x + y + z + 2x 2y + 2z = v ng thng B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 x y z +2 Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh = = 1 r =1 Gii d: Ta cú: (S) cú tõm I (1;1; 1) , bỏn kớnh R = PHNG TRèNH mt phng (P ) : ax + by + cz + d = (a + b + c 0) Chn M (2; 0; 2), N (3;1; 0) d M (P ) a = b, 2c = (a + b), d = 3a b (1) Ta cú: N (P ) 17a = 7b, 2c = (a + b), d = 3a b d (I ,(P )) = R r + Vi (1) (P ) : x + y z = HT 15 (2) + Vi (2) (P ) : 7x 17y + 5z = Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S ) : x + y + z 2x + 4y 6z 11 = v mt phng () : 2x + 2y z + 17 = Vit phng trỡnh mt phng () song song vi () v ct (S) theo giao tuyn l ng trũn cú chu vi bng p = Gii Ta cú: Do () // () nờn () cú phng trỡnh ( ) : 2x + 2y z + D = 0(D 17) (S) cú tõm I (1; 2; 3) , bỏn kớnh R = ng trũn cú chu vi nờn cú bỏn kớnh r = Khong cỏch t I ti () l h = R r = 52 32 2.1 + 2(2) + D Do ú = + D = 12 22 + 22 + (1)2 =4 D = D = 17 (loaùi) Vy () cú phng trỡnh 2x + 2y z = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dng 3: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n khong cỏch HT 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;1; 0), B(0; 0; 2), I (1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng Gii Phng trỡnh mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a + b + c 0) A (P ) a = b, 2c = a b, d = a b Ta cú: B ( P ) 5a = 7b, 2c = a b, d = a b d (I ,(P )) = (1) (2) + Vi (1) Phng trỡnh mt phng (P): x y + z + = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 + Vi (2) Phng trỡnh mt phng (P): 7x + 5y + z + = x = t HT 17 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d ) : y = + 2t v im A(1;2; 3) Vit phng z = trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t im A n mt phng (P) bng Gii Ta cú: (d) i qua im M (0; 1;1) v cú VTCT u = (1;2; 0) Gi n = (a; b; c) vi a + b2 + c l VTPT ca (P) Phng trỡnh mt phng (P): a(x 0) + b(y + 1) + c(z 1) = ax + by + cz + b c = (1) Do (P) cha (d) nờn: u.n = a + 2b = a = 2b d (A,(P )) = a + 3b + 2c 2 a +b +c =3 5b + 2c 5b + c (2) = 5b + 2c = 5b + c 2 4b 4bc + c = (2b c ) = c = 2b (3) T (2) v (3), chn b = a = 2, c = Phng trỡnh mt phng (P): 2x y 2z + = HT 18 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho cỏc im A(1;2; 3) , B(0; 1;2) , C (1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P ) i qua A v gc ta O cho khong cỏch t B n (P ) bng khong cỏch t C n (P ) Vỡ O (P) nờn (P ) : ax + by + cz = , vi a + b2 + c Do A (P) a + 2b + 3c = (1) v d(B,(P )) = d(C ,(P )) b + 2c = a + b + c (2) T (1) v (2) b = hoc c = Vi b = thỡ a = 3c (P ) : 3x z = HT 19 Vi c = thỡ a = 2b (P ) : 2x y = Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi mt phng (Q): x + y + z = v cỏch im M(1; 2; 1) mt khong bng Gii Ta cú: Phng trỡnh mt phng (P) qua O nờn cú dng: Ax + By + Cz = (vi A2 + B + C ) Vỡ (P) (Q) nờn: 1.A + 1.B + 1.C = C = A B d (M ,(P )) = A + 2B C 2 A + B +C (1) = (A + 2B C )2 = 2(A2 + B + C ) B = T (1) v (2) ta c: 8AB + 5B = A + 5B = (2) (3) (4) T (3): B = C = A Chn A = 1, C = (P ) : x z = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 T (4): 8A + 5B = Chn A = 5, B = C = (P ) : 5x 8y + 3z = x y z = = v im M(0; 2; 0) Vit 1 phng trỡnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng , ng thi khong cỏch gia ng thng v mt phng (P) bng Gii HT 20 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : Ta cú: Phng trỡnh mp (P) i qua M(0; 2; 0) cú dng: ax + by + cz + 2b = ( a + b ) i qua im A(1; 3; 0) v cú mt VTCP u = (1;1; 4) a + b + 4c = (P ) a = 4c a + 5b Ta cú: =4 d(A;(P )) = d a = 2c a + b + c Vi a = 4c Chn a = 4, c = b = Phng trỡnh (P): 4x 8y + z 16 = Vi a = 2c Chn a = 2, c = b = Phng trỡnh (P): 2x + 2y z + = HT 21 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho ba im A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C (1;2; 2) v mt phng (P): x 2y + 2z + = Vit phng trỡnh mt phng () i qua A, vuụng gúc vi mt phng (P), ct ng thng BC ti I cho IB = 2IC Gii Ta cú: phng trỡnh () cú dng: ax + by + cz + d = , vi a + b2 + c2 Do A(1;1; 1) () nờn: a + b c + d = (1); IB = 2IC d(B, ()) = 2d(C ;()) () (P ) nờn a 2b + 2c = (2) a + b + 2c + d a + b2 + c =2 a + 2b 2c + d a + b + c2 3a 3b + 6c d = (3) a + 5b 2c + 3d = T (1), (2), (3) ta cú trng hp sau : a + b c + d = TH1 : a 2b + 2c = b = a ; c = a; d = a 2 3a 3b + 6c d = Chn a = b = 1;c = 2;d = () : 2x y 2z = a + b c + d = 3 TH2 : a 2b + 2c = b = a; c = a ; d = a 2 a + b c + d = Chn a = b = 3; c = 2;d = () : 2x + 3y + 2z = Vy: HT 22 () : 2x y 2z = hoc () : 2x + 3y + 2z = Trong kho ng gian vi he toa o Oxyz, cho hai ng thab ng d1, d2 lay n lt co phng trnh x y z x y z , d2 : Viec t phng trnh ma t phab ng ca ch ey u hai ng thab ng d1, d2 = = = = Gii Ta cú d1 i qua A(2;2; 3) , cú ud = (2;1; 3) , d2 i qua B(1;2;1) v cú ud = (2; 1; 4) d1 : B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 Do (P) cỏch u d1, d2 nờn (P) song song vi d1, d2 nP = ud 1, ud = (7; 2; 4) Phng trỡnh mt phng (P) cú dng: 7x 2y 4z + d = Do (P) cỏch u d1, d2 suy d(A,(P )) = d (B,(P )) 7.2 2.2 4.3 + d = 7.1 2.2 4.1 + d 69 d = d d = 69 Phng trỡnh mt phng (P): 14x 4y 8z + = x = + t HT 23 Trong kho ng gian vi hetoaoOxyz, cho hai ng thab ng d1, d2 lay n lt co phng trnh d1 : y = t , z = x y z + Viec t phng trnh ma t phab ng (P) song song vi d1 v d2 , cho khong cỏch t d1 n d2 : = = 2 (P) gp hai ln khong cỏch t d2 n (P) Gii Ta cú : d1 i qua A(1;2;1) v cú VTCP u1 = (1; 1; 0) d2 i qua B(2;1; 1) v cú VTCP l u2 = (1; 2;2) Gi n l vec-t phỏp tuyn ca (P), vỡ (P) song song vi d1 v d2 nờn n = u1, u2 = (2; 2; 1) Phng trỡnht (P): 2x + 2y + z + m = d(d1,(P )) = d (A;(P )) = +m 5+m ; d(d2 ,(P ))= d (B,(P )) = 3 + m = 2(5 + m ) 17 d(d1,(P )) = 2d (d2 ,(P )) + m = + m m = 3; m = + m = 2(5 + m ) + Vi m = (P ) : 2x + 2y + z = HT 24 + Vi m = 17 17 (P ) : 2x + 2y + z = 3 Trong kho ng gian vi hetoaoOxyz, viec t phng trnh ma t phab ng (P) i qua hai ie] m A(0; 1;2) , B(1; 0; 3) va tiec p xu c vi ma t cay u (S): (x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = Gii Ta cú: (S) cú tõm I (1;2; 1) , bỏn kớnh R = Phng trỡnh mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a + b + c 0) A (P ) a = b, c = a b, d = 2a + 3b Ta cú: B (P ) 3a = 8b, c = a b, d = 2a + 3b (2) d(I ,(P )) = R (1) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 + Vi (1) Phng trỡnh ca (P): x y = + Vi (2) Phng trỡnh ca (P): 8x 3y 5z + = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc x y z v to = = vi mt phng (P) : 2x 2y z + = mt gúc 600 Tỡm ta giao im M ca mt phng () vi trc Oz HT 25 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng () cha ng thng (): Gii () qua im A(1; 0; 0) v cú VTCP u = (1; 1; 2) (P) cú vec-t phỏp tuyn n = (2; 2; 1) Giao im M (0; 0; m ) cho AM = (1; 0; m ) () cú vec-t phỏp tuyn n = AM , u = (m; m 2;1) () v (P): 2x 2y z + = to thnh gúc 600 nờn : cos (n, n ) = 2m 4m + = 2m 4m + = m = hay m = + 2 Vy, M (0; 0;2 2) hay M (0; 0;2 + 2) HT 26 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao tuyn d ca hai mt phng ( ) : 2x y = , ( ) : 2x z = v to vi mt phng (Q ) : x 2y + 2z = mt gúc m cos = 2 Gii Ly A(0;1; 0), B(1; 3;2) d (P) qua A phng trỡnh (P) cú dng: Ax + By + Cz B = (P) qua B nờn: A + 3B + 2C B = A = (2B + 2C ) (P ) : (2B + 2C )x + By + Cz B = cos = 2B 2C 2B + 2C (2B + 2C )2 + B + C Chn C = B = 1; B = = 2 13B + 8BC 5C = 13 + Vi B = C = (P ) : 4x + y + z = + Vi B = HT 27 , C = (P ) : 23x + 5y + 13z = 13 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(1;2; 3), B(2; 1; 6) v mt phng B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 im A i xng vi A qua mt phng (P) Gii (P) cú VTPT n = (1;1;1) Gi s A(x; y; z) x y + z + Gi I l trung im ca AA I ; ; 2 x x = = y = z AA ,n cuứng phửụng 1 A i xng vi A qua (P) y = x y + z + I (P) + +3= + z = 2 Vy: A(4; 3; 2) HT 146 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3;2) v mt phng () : x + 2y + = Tỡm to ca im M bit rng M cỏch u cỏc im A, B, C v mt phng () Gii Gi s M (x ; y ; z ) 2 2 2 MA = MB (x 1) + y + z = x + (y 1) + z x + (y 1)2 + z 02 = x 02 + (y 3)2 + (z 2)2 Ta cú: MB = MC (x + 2y + 2)2 MA = d (M ,( )) 2 (x 1) + y + z = (1) (2) (3) 23 23 x = 1, y = 1, z = 14 M (1; 1; 2) hoc M ; ; x = 23 , y = 23 , z = 14 3 3 HT 147 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, bit A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C (0; 0; 3) Tỡm to nh S bit th tớch chúp S.ABC bng 36 Gii Phng trỡnh (ABC ) : x + y + z = ABC cú trng tõm G (1;1;1) v AB= BC= CA= SABC = Do hỡnh chúp S.ABC u nờn ng thng SG qua G v vuụng gúc vi (ABC) x = + t Phng trỡnh SG : y = + t Gi s S (1 + t;1 + t;1 + t ) z = + t Ta cú : VS.ABC=36= SG SABC t = 8, t = Vy: S (9; 9; 9) hoc S (7; 7; 7) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 58 GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 Dng 5: Xỏc nh im a giỏc HT 148 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ba im A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC Gii Lp phng trỡnh mp(ABC); (P) qua A v (P) BC; (Q) qua B v (Q) AC 36 18 12 Gii h gm ba phng trỡnh ba mt phng trờn ta c trc tõm H ; ; 49 49 49 HT 149 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 3; 5) , B(4; 3;2) , C (0;2;1) Tỡm ta tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gii Ta cú: AB = BC = CA = ABC u 8 Do ú tõm I ca ng trũn ngoi tip ABC cng l trng tõm ca nú Kt lun: I ; ; 3 HT 150 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) Tỡm ta tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gii Ta cú: AB = (2; 2; 2), AC = (0; 2;2) Suy phng trỡnh mt phng trung trc ca AB, AC l: x + y z = 0, y + z = VTPT ca mp(ABC) l n = AB, AC = (8; 4; 4) Suy (ABC): 2x y + z + = x + y z = x = Gii h: y + z = y = Suy tõm ng trũn l I (0; 2; 1) 2x y + z + = z = Bỏn kớnh l R = IA = (1 0)2 + (0 2)2 + (1 1)2 = HT 151 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im A(2; 3;1) , B(1;2; 0) , C (1;1; 2) Tỡm ta trc tõm H v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gii H (x ; y; z ) l trc tõm ca ABC BH AC ,CH AB, H (ABC ) BH AC = 29 CH AB = x = ; y = ; z = 15 15 AB, AC AH = 29 H ; ; 15 15 B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 59 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 I (x ; y; z ) l tõm ng trũn ngoi tip ABC AI = BI = CI , I (ABC ) 2 AI = BI 14 61 14 61 CI = BI x = ; y = ; z = I ; ; 15 30 15 30 AB, AC AI = HT 152 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1; 0;1), B(1;2; 1),C (1;2; 3) v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (Oxz) Gii Phng trỡnh (ABC ) : 2x y + z + = Gi I (a;b; c ) IA = IB = IC a + b c = 0, b + c = (1) ; I (ABC ) 2a b + c + = (2) T (1) (2) I (0; 2; 1) Bỏn kớnh mt cu l R = d (I ,(Oxz )) = (S): x + (y 2)2 + (z 1)2 = HT 153 Trong khụng gian Oxyz, cho im A(3; 2; 3) v hai ng thng cú phng trỡnh d1 : x y z = = 1 x y z Chng minh ng thng d1, d2 v im A cựng nm mt mt phng Xỏc nh to = = cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d1 cha ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC Gii v d2 : d1 qua M1(2; 3; 3), cú VTCP a = (1;1; 2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) cú VTCP b = (1; 2;1) Ta cú a,b , a, b M1M = d1, d2 ct Phng trỡnh mt phng cha d1, d2 : x + y + z = A mp(d1, d2 ) t + t + ; ; t Gi s B(2 + t; + t; 2t ) d1 trung im ca AB l M 2 M d2 t = M (2;2; 4) B(1;2; 5) Gi s C (1 + t; 2t; + t ) d2 AC a t = C(1;4;2) HT 154 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cho tam giỏc ABC cú A(3;2;3), ng cao CH, ng phõn giỏc BM ca gúc B ln lt cú phng trỡnh l d1 : x y z x y z , d2 : Tớnh di cỏc cnh = = = = 1 2 ca tam giỏc ca tam giỏc ABC Gii Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d1 (P): x + y 2z + = B l giao im ca d2 vi (P) B(1; 4; 3) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 60 GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 Gi (Q) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d2 (Q): x 2y + z = Gi K l giao im ca d2 vi (Q) K (2;2; 4) Gi E l im i xng ca A qua K E (1;2; 5) x = y = t C l giao im ca BE v CH C (1;2; 5) Phng trỡnh ng thng BE l z = + t Ta cú AB = AC = BC = 2 Tam giỏc ABC u HT 155 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi A (3; 1; 2) , B (1; 5;1) , C (2; 3; 3) , ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh Tỡm to im D Gii Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = Gi l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = im D cn tỡm l giao im ca v (S) x = 2t ng thng cú vect ch phng AB = (2; 6; 3) nờn cú phng trỡnh: y = + 6t z = + 3t Phng trỡnh mt cu (S ) : (x 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = To im D tho H PT: x = 2t y = + 6t t = 49t + 82t + 33 = z = + 3t t = 33 49 2 (x 3) + (y + 1) + (z + 2) = Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = Vi t = 164 51 48 33 D ; ; (nhn) 49 49 49 49 HT 156 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD vi A(1;2;1) , B(2; 3;2) Tỡm ta cỏc nh C, D v vit phng trỡnh mt phng cha hỡnh thoi ú bit rng tõm I ca hỡnh thoi thuc ng thng x +1 y z v im D cú honh õm d: = = 1 Gii Gi I (1 t; t;2 + t ) d Ta cú IA = (t;2 + t ; t ), IB = (3 + t ; + t ; t ) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 61 GV.Lu Huy Thng www.TaiLieuLuyenThi.com 0968.393.899 Do ABCD l hỡnh thoi nờn IA.IB = 3t + 9t + = t = 1, t = Vỡ C i xng vi A qua I v D i xng vi B qua I nờn: + Vi t = I (0;1;1) C (1; 0;1), D(2; 1; 0) + Vi t = I (1;2; 0) C (3;2; 1), D(0;1; 2) Do D cú honh õm nờn ta chn c nghim C (1; 0;1), D(2; 1; 0) + Gi (P) l mt phng cha hỡnh thoi ABCD, gi s (P) cú VTPT n n IA = (1;1; 0) cú th chn n = IA, IB = (1;1; 4) Ta cú n IB = (2;2;1) Suy phng trỡnh mt phng (P ) : x + y 4z + = HT 157 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, A(1; 0; 0) , C (1;2; 0) , D(1; 0; 0) , S (0; 0; 3) Gi M, N ln lt l trung im ca on SB v CD Chng minh rng hai ng thng AM v BN vuụng gúc vi v xỏc nh ta tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ONB Gii AB = DC B(1; 2; 0) M l trung im SB, N l trung im CD M ;1; , N(1; 1; 0) AM BN Vỡ ONB nm mp(Oxy) nờn tõm I ca ng trũn ngoi tip 2 ONB thuc mp(Oxy) IO = IN I ; ; Gi I (x ; y; 0) Ta cú: IO = IB 6 HT 158 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh vuụng MNPQ cú M (5; 3; 1) , P (2; 3; 4) Tỡm to nh Q bit rng nh N nm mt phng (R) : x + y z = Gii Gi I l tõm hỡnh vuụng I ; 3; Gi N (a;b; c) (R) MP = ( 3; 0; 3) 2 IN = a ; b 3; c + ; MP = IN = 2 a + b c = N (R) a = 2, b = 3, c = Ta cú: IN MP a c + = 2 a = 3, b = 1, c = 2 IN = a + (b 3) + c + = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 62 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng Nu N (2; 1) thỡ Q(5; 3; 4) 0968.393.899 Nu N (3;1; 2) thỡ Q(4; 5; 3) HT 159 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit B(3; 0; 8) , D(5; 4; 0) v nh A thuc mt phng (Oxy) Tỡm ta im C Gii Ta cú trung im BD l I(1;2; 4), BD = 12 v im A thuc mp(Oxy) nờn A(a; b; 0) 2 AB = AD 2 2 (a 3) + b + = (a + 5) + (b + 4) ABCD l hỡnh vuụng (a + 1)2 + (b + 2)2 + 42 = 36 AI = BD a = 17 a = b = 2a A(1; 2; 0) hoc A 17 ; 14 ; hoc 5 b = (a + 1)2 + (6 2a )2 = 20 14 b = Vi A(1; 2; 0) C(3;6; 8) 17 14 27 ; C ; ; Vi A ; 5 5 HT 160 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit A(1;2; 0),C (2; 3; 4) v nh B nm trờn mt phng (Q): x + 2y + z = Tỡm to ca nh D, bit to ca B l nhng s nguyờn Gii AC = AB = Gi B(x ; y; z ) x + 2y + z = (1) B (Q ) 2 2 2 Ta cú: AB = CB (x 1) + (y 2) + z = (x 2) + (y 3) + (x + 4) (2) (x 1)2 + (y 2)2 + z = (3) AB = x = 1; y = 1; z = B(1;1;2) Vy D(4; 4; 6) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 63 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 PHN V TUYN TP THI I HC CC NM x y +1 z +2 v im = = A(1;7; 3) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A v vuụng gúc vi Tỡm ta im M thuc cho HT 161 2013 A (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng : AM = 30 Gii cú mt vec-t ch phng l u = (3; 2;1) (P) qua A v nhn u lm vec-t phỏp tuyn nờn (P) cú phng trỡnh: 3(x 1) 2(y 7) + (z 3) = 3x + 2y z 14 = M nờn M (6 3t; 2t; + t ) AM = 30 (6 3t 1)2 + (1 2t 7)2 + (2 + t 3)2 = 120 7t 4t = t = hoc t = 51 17 Suy ra: M (3; 3; 1) hoc M ; ; 7 51 17 /s: M (3; 3; 1); M ; ; 7 HT 162 2013 A (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P ) : 2x + 3y + z 11 = v mt cu (S ) : x + y + z 2x + 4y 2z = Chng minh (P) tip xỳc vi (S) Tỡm ta tip im ca (P) v (S) Gii (S) cú tõm I (1; 2;1) cú bỏn kớnh R = 14 d(I ,(P )) = 2.1 + 3.(2) + 1.1 11 = 14 = R Do ú, (P) tip xỳc vi (S) 22 + 32 + 12 Gi M l tip im ca (P) v (S) Suy M thuc ng thng qua I v vuụng gúc vi (P) Do ú: M (1 + 2t; + 3t;1 + t ) Do M (P ) nờn 2(1 + 2t ) + 3(2 + 3t ) + (1 + t ) 11 = t = M (3;1;2) /s: M (3;1;2) HT 163 2013 B (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(3; 5; 0) v mt phng (P ) : 2x + 3y z = Vit phng trỡnh ng thng i qua A v vuụng gúc vi (P) Tỡm ta im i xng ca A qua (P) Gii (P) cú vec-t phỏp tuyn n = (2; 3; 1) ng thng qua A v vuụng gúc vi (P) nhn n lm vec-t ch phng nờn cú phng trỡnh: x y z = = Gi B l im i xng ca A qua (P), suy B Do ú B(3 + 2t; + 3t; t ) 10 + 3t t Trung im ca on thng AB thuc (P) nờn: 2(3 + t ) + = t = B(1; 1;2) /s: B(1; 1;2) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 64 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng HT 164 : 0968.393.899 2013 B (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A(1; 1;1), B(1;2; 3) v ng thng x +1 y z Vit phng trỡnh ng thng i qua A, vuụng gúc vi hai ng thng AB v = = Gii Ta cú: AB = (2; 3;2) vec-t ch phng ca l u = (2;1; 3) ng thng vuụng gúc vi AB v cú vec-t ch phng l: v = (7;2; 4) ng thng i qua A, vuụng gúc vi AB v cú phng trỡnh: x y +1 z = = x y +1 z /s: = = HT 165 2013 D (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A(1; 1; 2), B(0;1;1) v mt phng (P ) : x + y + z = Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc A trờn (P) Vit phng trỡnh mt phng i qua A, B v vuụng gúc vi (P) Gii Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (P) Suy H (1 + t; + t; + t ) H (P ) (1 + t ) + (1 + t ) + (2 + t ) = t = 2 Do ú, H ; ; 3 Gi (Q) l mt phng cn vit Ta cú: AB = (1;2; 3) v vec-t phỏp tuyn ca (P) l: n = (1;1;1) Do ú, (Q) cú vec-t phỏp tuyn l n ' = (1;2; 1) Phng trỡnh mt phng (Q ) : x 2y + z + = /s: (Q ) : x 2y + z + = HT 166 2013 D (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(1; 3; 2) v mt phng (P ) : x 2y 2z + = Tớnh khong cỏch t A n (P) Vit phng trinh mt phng i qua A v song song vi (P) Gii d(A,(P )) = (1) 2.3 2(2) + 12 + (2)2 + (2)2 = Vec-t phỏp tuyn ca (P): n = (1; 2; 2) Phng trỡnh mt phng cn tỡm: (Q ) : x 2y 2z + = /s: (Q ) : x 2y 2z + = x +1 y z v im = = I (0; 0; 3) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v ct d ti hai im A, B cho tam giỏc IAB vuụng ti I HT 167 2012 A (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng d : Gii Vec-t ch phng ca d l: ud = (1;2;1) Gi H l trung im ca AB, suy IH AB Ta cú H d nờn ta H cú dng H (t 1;2t; t + 2) IH = (t 1;2t; t 1) Tam giỏc IAH vuụng cõn ti H Suy bỏn kớnh mt cu (S) l R = IA = 2IH = Do ú, phng trỡnh mt cu cn tỡm: x + y + (z 3)2 = /s: x + y + (z 3)2 = 8 B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 65 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 x +1 y z mt phng = = 1 (P ) : x + y 2z + = v im A(1; 1;2) Vit phng trỡnh ng thng ct d v (P) ln lt ti M, N cho A l trung im ca on MN Gii M d , suy ta M cú dng M (2t 1; t; t + 2) HT 168 2012 A (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng d : MN nhn A l trung im, suy N (3 2t; t;2 t ) N (P ) 2t t 2(2 t ) + = t = M (3;2; 4) ng thng i qua A v M cú phng trỡnh: : /s: : x +1 y +1 z = = x +1 y +1 z = = x y z v hai im = = 2 A(2;1; 0), B(2; 3;2) Vit phng trỡnh mt cu i qua A, B v cú tõm thuc ng thng d HT 169 2012 B (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng d : Gi (S) l mt cu cn vit v I l tõm ca (S) Do I d nờn ta ca im I cú dng: I (1 + 2t; t; 2t ) Gii Do AB (S ) nờn AI = BI (2t 1)2 + (t 1)2 + 4t = (2t + 3)2 + (t 3)2 + (2t + 2)2 t = Do ú, I (1; 1;2) v bỏn kớnh mt cu: R = 17 Vy, phng trỡnh mt cu cn tỡm: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z 2)2 = 17 /s: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z 2)2 = 17 HT 170 2012 B (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho A(0; 0; 3), M (1;2; 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A v ct trc Ox,Oy ln lt ti B, C cho tam giỏc ABC cú trng tõm thuc ng thng AM Gii Do B Ox,C Oy nờn ta ca B v C cú dng: B(b; 0; 0),C (0; c; 0) b c Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC, suy ra: G ; ;1 3 Ta cú: AM = (1;2; 3) nờn ng thng AM : x y z = = b c Suy b = 2; c = = = x y z Do ú, phng trỡnh ca mt phng (P ) : + + = Ngha l (P ) : 6x + 3y + 4z 12 = Do G thuc ng thng AM nờn /s: (P ) : 6x + 3y + 4z 12 = HT 171 2012 D (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P ) : 2x + y 2z + 10 = v im I (2;1; 3) Vit phng trỡnh mt cu tõm I v ct (P) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng Gii Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P) Suy H l tõm ng trũn giao tuyn ca mt phng (P) v mt cu (S) cn vit phng trỡnh Ta cú: IH = d(I ;(P )) = Bỏn kớnh mt cu (S) l: R = 32 + 42 = Phng trỡnh mt cu (S) l: (S ) : (x 2)2 + (y 1)2 + (z 3)2 = 25 /s: (S ) : (x 2)2 + (y 1)2 + (z 3)2 = 25 x y +1 z = = v hai im 1 A(1; 1;2), B(2; 1; 0) Xỏc nh ta im M thuc d cho tam giỏc AMB vuụng ti M HT 172 2012 D (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng d : Gii B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 66 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 Do M d nờn ta im M (1 + 2t; t; t ) Ta cú: AM = (2t ; t ; t 2), BM = (1 + 2t ; t ; t ) Tam giỏc AMB vuụng ti M AM BM = 2t (1 + 2t ) + t + t (t 2) = 6t 4t = t = hoc t = 2 ; Do ú: M (1; 1; 0), M ; ; 3 3 /s: M (1; 1; 0), M ; ; 3 HT 173 2011 A (CB): Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im A(2; 0; 1), B(0; 2; 3) v mt phng (P ) : 2x y z + = Tỡm ta im M thuc (P) cho MA = MB = Gii 2a b c + = Gi M (a;b; c ) Ta cú: M (P ) v MA = MB = (a 2)2 + y + (z 1)2 = a + (b + 2)2 + (c 3)2 = 2a b c + = a = 2b 12 a + b c + = c = 3b (a; b; c) = (0;1; 3) hoc ; ; 7 (a 2)2 + b + (c 1)2 = 7b 11b + = 12 Suy ra: M (0;1; 3) hoc M ; ; 7 12 /s: M (0;1; 3) hoc M ; ; 7 2011 A (NC): Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu (S ) : x + y + z 4x 4y 4z = v im A(4; 4; 0) Vit phng trỡnh mt phng (OAB), bit im B thuc (S) v tam giỏc OAB u HT 174 Gii (S) cú tõm I (2;2;2) , bỏn kớnh R = Nhn xột: O v A cựng thuc (S) Tam giỏc OAB u, cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip r = OA Khong cỏch: d (I ,(P )) = R2 r = = 3 (P) i qua O cú phng trỡnh dng: ax + by + cz = (a + b + c (*)) (P) i qua A, suy 4a + 4b = b = a 2(a + b + c) 2c d (I ,(P )) = = a + b2 + c2 2a + c 2c 2a + c = 2a + c = 3c c = a Theo (*), suy (P ) : x y + z = hoc x y z = /s: (P ) : x y + z = hoc x y z = x y +1 z v mt = = phng (P): x + y + z = Gi I l giao im ca v (P) Tỡm ta im M thuc (P) cho MI vuụng gúc vi v HT 175 2011 B ( CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng : MI = 14 Ta im I l nghim ca h phng trỡnh: Gii B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 67 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 x = y + = z I (1;1;1) x + y + z = a + b + c = Gi M (a;b; c ) ta cú: M (P ), MI v MI = 14 a 2b c + = (a 1)2 + (b 1)2 + (c 1)2 = 224 b = 2a c = 3a + (a;b; c) = (5; 9; 11) hoc (a;b; c ) = (3; 7;13) (a 1)2 + (2a 2)2 + (3a + 3)2 = 224 /s: M (5; 9; 11) hoc M (3; 7;13) HT 176 2011 B (NC) Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho ng thng : : x + y z + v hai = = im A( 2; 1; 1), B( 3; 1; 2) Tỡm to im M thuc ng thng cho tam giỏc MAB cú din tớch bng Gii M , suy ta M cú dng: M (2 + t;1 + 3t; 2t ) AM = (t; 3t; 2t ) v AB = (1; 2;1) AM , AB = (t 12; t + 6; t ) S MAB = (t + 12)2 + (t + 6)2 + t = 180 t + 12t = t = hoc t = 12 Vy, M (2;1; 5); M (14; 35;19) /s: M (2;1; 5); M (14; 35;19) HT 177 2011 D (CB) Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho im A(1; 2; 3) v ng thng x +1 y z = = Vit phng trỡnh ng thng i qua im A, vuụng gúc vi ng thng d v ct trc Ox 2 Gii Mt phng (P) i qua A, vuụng gúc vi d, cú phng trỡnh: (P ) : 2x + y 2z + = d: Gi B l giao im ca trc Ox vi (P), suy l ng thng i qua cỏc im A, B B Ox, cú ta B(b; 0; 0) tha phng trỡnh: 2b + = B(1; 0; 0) x = + 2t Phng trỡnh : y = + 2t z = + 3t x = + 2t /s: : y = + 2t z = + 3t x y z = = v mt phng (P ) : 2x y + 2z = Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc ng thng , bỏn kớnh bng v tip xỳc vi mt phng (P) Gii Gi I l tõm mt cu I suy ta I cú dng : I (1 + 2t; + 4t; t ) HT 178 2011 D (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng : Mt cu tip xỳc vi (P) v ch d(I ,(P )) = t = = t = Suy ra, I (5;11;2), I (1; 1; 1) 2(1 + 2t ) (3 + 4t ) + 2t Phng trỡnh mt cu: (x 5)2 + (y 11)2 + (z 2)2 = 1; (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = /s: (x 5)2 + (y 11)2 + (z 2)2 = 1; (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 68 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 x y z +2 v mt phng = = 1 (P ) : x 2y + z = Gi C l giao im ca vi (P), M l im thuc Tớnh khong cỏch t M n (P), bit rng HT 179 2010 A (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng : MC = Gii ng thng cú vec-t ch phng v = (2;1; 1) v mt phng (P) cú vec-t phỏp tuyn n = (1; 2;1) Gi H l hỡnh chiu ca M trờn (P), ta cú: HMC = cos(v, n ) ( ) d (M ,(P )) = MH = MC cos HMC = MC cos v, n = /s: d = = 6 6 HT 180 2010 A (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A(0; 0; 2) v ng thng x +2 y z + Tớnh khong cỏch t A n Vit phng trỡnh mt cu tõm A, ct ti hai im B v C = = cho BC = Gii : ng thng i qua im M (2;2; 3) , nhn v = (2; 3;2) lm vec-t ch phng Ta cú: MA = (2; 2;1), v, MA = (7;2; 10) v, MA = 49 + + 100 = Suy ra: d(A, ) = 4+9+4 v Gi (S) l mt cu tõm A, ct ti B v C cho BC = Suy ra, bỏn kớnh ca (S) l R = Phng trỡnh ca (S) : x + y + (z + 2)2 = 25 /s: x + y + (z + 2)2 = 25 HT 181 2010 B (CB) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im A(1; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c), ú b,c dng v mt phng (P ) : y z + = Xỏc nh b v c, bit rng mt phng (ABC) vuụng gúc vi mt phng (P) v khong cỏch t im O n mt phng (ABC) bng Gii Mt phng (ABC) cú phng trỡnh: x y z + + =1 b c Mt phng (ABC) vuụng gúc vi mt phng (P ) : y z + = Suy ra: Ta cú: d (O,(ABC )) = 1+ + 1 1 + = (2) b c2 c2 T (1), (2), b, c > suy b = c = /s: b = c = b = 1 = (1) b c HT 182 2010 B (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng : x y z = = Xỏc nh ta 2 im M trờn trc honh cho khong cỏch t M n bng OM Gii ng thng i qua im A(0;1; 0) v cú vec-t ch phng v = (2;1;2) Do M thuc trc honh, nờn M cú ta M (t; 0; 0) suy ra: AM = (t; 1; 0) B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 69 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 v, AM = (2;2t; t 2) v, AM = 5t + 4t + d (M , ) = v Ta cú: d(M , ) = OM 5t + 4t + =t t t = t = t = Suy ra, M (1; 0; 0) hoc M (2; 0; 0) /s: M (1; 0; 0) hoc M (2; 0; 0) HT 183 2010 D (Chun) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt phng (P ) : x + y + z = v (Q ) : x y + z = Vit phng trỡnh mt phng (R) vuụng gúc vi (P) v (Q) cho khong cỏch t O n (R) bng Gii Ta cú: vec-t phỏp tuyn ca (P) v (Q) ln lt l: nP = (1;1;1), nQ = (1; 1;1) Suy ra: nP , nQ = (2; 0; 2) l vec-t phỏp tuyn ca (R) Mt phng (R) cú phng trỡnh dng: (R) : x z + D = Ta cú: d(O,(R)) = D suy ra: D = D = 2 hoc D = 2 Vy, phng trỡnh mt phng (R) : x z + 2 = hoc x z 2 = /s: (R) : x z + 2 = hoc x z 2 = x = + t HT 184 2010 D (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai ng thng 1: v 2: y = t z = t x y z = = Xỏc nh to im M thuc cho khong cỏch t M n bng 2 Gii Ta cú M 1, nờn M (3 + t; t ; t ) i qua A(2;1; 0) v cú vec-t ch phng v = (2;1;2) Do ú: AM = (t + 1; t 1; t ); v, AM = (2 t;2; t 3) v, AM = Ta cú: d(M , ) = v 2t 10t + 17 Suy ra: 2t 10t + 17 =1 t 5t + = t = hoc t = Khi ú, M (4;1;1) hoc M (7; 4; 4) /s: M (4;1;1) hoc M (7; 4; 4) HT 185 2009 A (Chun) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P): 2x 2y z = v mt cu (S): x + y + z 2x 4y 6z 11 = Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo mt ng trũn Xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ú Gii (S) cú tõm I (1;2; 3), bỏn kớnh R = 2434 = < R suy pcm Gi H v r ln lt l tõm v bỏn kớnh ca ng trũn giao tuyn Khong cỏch t I n (P): d (I ,(P )) = H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P): IH = d(I ,(P )) = 3, r = R2 IH = B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 70 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 a = + 2t b = 2t Ta H (a; b; c) tha món: Gii h ta c: H (3; 0;2) c = t 2a 2b c = /s: H (3; 0;2) HT 186 2009 A (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P ) : x 2y + 2z = v hai ng thng : x +1 y z +9 x y z +1 = = ; : = = Xỏc nh ta im M thuc ng thng cho 1 2 khong cỏch t M n ng thng v khong cỏch t M n mt phng (P) bng Gii qua A(1; 3; 1) v cú vec-t ch phng u = (2;1; 2) M M (1 + t; t; + 6t ) MA = (2 t; t; 6t ), MA, u = (8t 14;20 14t; t 4) MA, u = 29t 88t + 68 MA, u = 29t 88t + 68 Khong cỏch t M n : d(M , ) = u Khong cỏch t M n (P): d(M ,(P )) = + t 2t + 12t 18 = 11t 20 12 + (2)2 + 22 29t 88t + 68 = 11t 20 35t 88t + 53 = t = t = 53 35 18 53 Suy ra, M (0;1; 3); M ; ; 35 35 35 18 53 /s: M (0;1; 3); M ; ; 35 35 35 HT 187 2009 B (Chun) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(2;1; 3),C (2; 1;1) v D(0; 3;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) Gii Mt phng (P) tha yờu cu bi toỏn hai trng hp sau: Trng hp 1: (P) qua A, B v song song vi CD Vec-t phỏp tuyn ca (P): n = AB,CD AB = (3; 1;12),CD = (2; 4; 0) n = (8; 4; 14) Phng trỡnh mt phng (P ) : 4x + 2y + 7z 15 = Trng hp 2: (P) qua A, B v ct CD Suy ra, (P) ct CD ti trung im I ca CD I (1;1;1) AI = (0; 1; 0) vec-t phỏp tuyn ca (P): n = AB, AI = (2; 0; 3) Phng trỡnh ca (P ) : 2x + 3z = /s: (P ) : 4x + 2y + 7z 15 = hoc (P ) : 2x + 3z = HT 188 2009 B (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P): x 2y + 2z = v hai im A(3;0;1), B(1;-1;3) Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit phng trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht Gii Gi l ng thng cn tỡm; nm mt phng (Q) qua A v song song vi (P) Phng trỡnh (Q ) : x 2y + 2z + = K, H l hỡnh chiu ca B trờn , (Q) Ta cú BK > BH nờn AH l ng thng cn tỡm B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 71 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 a = b + = c 11 H ; ; Ta H (a; b; c) tha món: 2 9 a 2b + 2c + = 26 11 x +3 y z AH = ; ; Vy, phng trỡnh ng thng : = = 9 26 11 x +3 y z = = 26 11 HT 189 2009 D (Chun) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v mt phng (P): x + y + z 20 = Xỏc nh ta im D thuc ng thng AB cho ng thng CD song song vi mt phng (P) Gii x = t AB = (1;1;2) Phng trỡnh AB : y = + t z = 2t /s: : D thuc ng thng AB D(2 t;1 + t;2t ) CD = (1 t; t;2t ) Vec-t phỏp tuyn ca (P): n = (1;1;1) C khụng thuc mt phng (P) CD / /(P ) n.CD = 1(1 t ) + 1.t + 1.2t = t = Vy D ; ; 2 /s: D ; ; 2 x +2 y z v mt phng = = 1 (P): x + 2y 3z + = Vit phng trỡnh ng thng d nm (P) cho d ct v vuụng gúc vi ng thng Gii x + y z = = Ta giao im I ca vi (P) tha h: 1 I (3;1;1) x y z + + = HT 190 2009 D (NC) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng : Vec-t phỏp tuyn ca (P): n = (1;2; 3) vec-t ch phng ca : u = (1;1; 1) ng thng d cn tỡm qua I v cú vec-t ch phng v = n, u = (1; 2; 1) x + y z Phng trỡnh ng thng d : = = x + y z /s: d : = = Xin chõn thnh cm n quý thy cụ v cỏc bn hc sinh ó c ti liu ny! Mi s gúp ý xin gi v: huythuong2801@gmail.com Ton b ti liu ụn thi mụn toỏn ca Lu Huy Thng a ch sau: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com B HC Vễ B - CHUYấN CN S N BN Page 72 [...]... a + 5b + 2c = 9 c = 1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 u ⊥ n ABC ∆ Do (∆) ⊂ (ABC) và vuông góc với (d) nên: ⇒ u∆ = nABC , nd = (12; 2; −11) u∆ ⊥ ud ⇒ PT đường thẳng ∆ : HT 56 d: x − 2 y −1 z −1 = = 12 2 −11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y − z + 5 = 0 , đường thẳng x + 3 y +1... a + 5b + 2c = 9 c = 1 Do đường thẳng ∆ nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: u ⊥ n ∆ ABC ⇒ u∆ = nABC , ud = (12; 2; −11) u∆ ⊥ ud Vậy phương trình đường thẳng ∆ : x − 2 y −1 z −1 = = 12 2 −11 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác HT 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường... max d (A,(P )) = 3 2 ⇔ 2a + 9 ≤3 2 2 1 3 2 2a + + 2 2 1 1 = 0 ⇔ a = − Khi đó: (P): x − 4y + z − 3 = 0 2 4 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng HT 36 0968.393.899 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M (0; −1;2) và N (−1;1; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K (0; 0;2) đến mặt phẳng (P) là... = −1 – 8t z = 1 – 15t BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng HT 58 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 0968.393.899 x −3 y +2 z +1 = = 2 1 −1 và mặt phẳng (P ) : x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới ∆ bằng 42 Giải x... M(3;0; − 1) ⇒ (∆2 ) : = = 3 4 2 1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng HT 72 d: Trong không gian với hệ toạ độ 0968.393.899 Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y − z + 1 = 0 và đường thẳng x −2 y −1 z −1 Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông = = 1 −1 −3 góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng h = 3 2 Giải... phương trình đường thẳng liên quan đến góc HT 74 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng ∆: x y −2 z = = và mặt phẳng (P): 1 2 2 x − y + z − 5 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 450 Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Gọi ud , u∆... , AB = (−24 − 2t ;12 − 8t ;12 − 2t ) 1 ⇒ AC , AB = 2 18t 2 − 36t + 216 ⇒ S = AC , AB = 2 Vậy Min S = HT 81 18(t − 1)2 + 198 ≥ 198 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2) ⇒ Phương trình BC: Trong không gian với hệ toạ độ x −3 y −3 z −6 = = −2 −3 −4 Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 3y − z − 1 = 0 và các điểm A(1; 0; 0) ; B(0; −2; 3) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và... CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 3 I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I = ∆ ∩ (α ) ⇒ I ; ;1 2 2 Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì IJ ⊥ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ x = 1 + 6t 2 3 ⇒ Phương trình đường thẳng d: y = + 2t 2 z = 1 + 3t HT 51 d: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm... (Nâng cao) HT 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Giải Ta có d(O,(P )) ≤ OA Do đó d(O,(P ))max = OA xảy ra ⇔ OA ⊥ (P ) nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA Ta có OA = (2; −1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x − y + z − 6 = 0 HT 33 Trong không gian với hệ tọa... ; − ; − 3 3 3 3 3 3 3 x −2 y −1 z = = 1 −4 −2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19 www.TaiLieuLuyenThi.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 8 5 4 Gọi M′ là điểm đối xứng của M qua d ⇒ H là trung điểm của MM′ ⇒ M ′ ; − ; − 3 3 3 HT 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x +1 y −2 z −2 và mặt phẳng = = 3 −2 2 (P ) : x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương