CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS" Lệ Thủy, tháng năm 2014 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS" Họ tên: Phan Thúc Bảy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy Lệ Thủy, tháng năm 2014 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bản, mang tính trừu tượng mô hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Dạy học sinh học Toán không cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo, mà quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng Toán từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Trong Toán học, cực trị khái niệm hẹp kiến thức liên quan đến vô rộng rãi Trong chương trình Toán THCS toán cực trị có mặt rải rác hầu khắp phân môn Số học, Đại số Hình học Học sinh từ lớp đến lớp gặp toán cực trị với yêu cầu như: “Tìm số x lớn cho ” , “Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức " Nhưng giải giáo viên không dạy phương pháp tổng quát có dạy học sinh không tiếp thu theo hệ thống dạng toán Trong năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp đến lớp 9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG ôn thi tuyển sinh THPT nhận thấy: gặp toán cực trị đa phần học sinh THCS e ngại lúng túng cách giải dạng toán Do vậy, nghĩ cần phải hình thành cách có hệ thống dạng toán cực trị đại số phương pháp giải để dạy học sinh Giúp học sinh nắm phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số thường gặp trường THCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải dạng toán Từ phục vụ tốt cho việc giảng dạy giáo viên gạt bỏ tư tưởng e ngại học sinh giải toán cực trị đại số Tôi dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi thử nghiệm với đối tượng học sinh đại trà ôn thi Được khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè đồng nghiệp trường, trường bạn nên mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài: “Phương pháp giải toán cực trị Đại số cho học sinh THCS” 1.2 Điểm đề tài Trong năm gần thân nhà trường phân công dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, giải toán qua mạng lớp 9, luyện thi môn toán Trong việc xây dựng kế hoạch dạy bồi dưỡng từ đầu năm học thân đưa vào chương trình dạy chuyên đề cực trị đại số song hiệu dạy học chuyên đề chưa cao Chính điểm đề tài đưa phương pháp giải toán cực trị Đại số cho học sinh THCS Trong phương pháp đưa nội dung phần lý thuyết bản, tập áp dụng tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho em Phạm vi áp dụng đề tài Vì đề tài bước đầu nghiên cứu nên xây dựng phương pháp cho số dạng toán cực trị đại số thường gặp giới hạn đối tượng học sinh trường THCS huyện Lệ Thủy – Quảng Bình PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng Trong năm qua, thực tế giảng dạy môn Toán học sinh từ lớp đến lớp 9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG ôn thi tuyển sinh THPT nhận thấy: gặp toán cực trị đa phần học sinh THCS e ngại lúng túng cách giải Học sinh thường không theo hướng số đông học sinh thường bỏ qua, số học sinh có làm thiên biến đổi, đơn giản biểu thức nên không đến kết cho kết sai Nguyên nhân vấn đề toán cực trị dạng toán thường gặp, muốn giải cần phải tổng hợp nhiều kiến thức, có kiến thức nâng cao, đề cập đến chương trình, sách giáo khoa bậc THCS Do học sinh không nắm dạng toán cực trị phương pháp giải tổng quát cho dạng toán, dẫn đến kết kiểm tra thường bị điểm thấp Qua khảo sát lực học sinh việc giải toán cực trị đại số trước áp dụng đề tài cho thấy kết sau: Kết điểm kiểm tra Năm học Áp dụng đề tài 20011 -2012 Chưa áp dụng Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 3% 9% 30% 52% 6% 2.2 Các giải pháp: Sau thời gian dài nghiên cứu tổng hợp xây dựng vấn đề lí thuyết sau : * Đại cương cực trị Bài toán cực trị tên gọi chung cho toán tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Trong chương trình THCS xét giới hạn trường số thực R phân môn Đại số Theo lí thuyết Giải tích, xét tập hợp số thực x ∈ E ⊂ R, E không rỗng bị chặn tồn cận M E ( M = supE ) cận m E ( m = infE ) hai Tuy nhiên M m không thuộc E Khi M ∈ E (hoặc m ∈ E) ta viết M = maxE (hoặc m = minE) cách viết tắt theo chữ Latin (max = maximum, = minimum ) mà trường phổ thông ta thường gọi giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Theo quan điểm việc tìm maxE = M minE = m phải bao gồm đồng thời hai điều kiện : i) M = E m = E ii) ∃ x ∈ E để M = E m = E Sau dạng tập phương pháp cụ thể xét theo quan điểm * Một số phương pháp tìm cực trị đại số 2.2.1 Phương pháp tìm cực trị theo tính chất luỹ thừa bậc hai A Lí thuyết Ta biết A2 ≥ ( -A2 ≤ 0) với giá trị biến tập xác định E A Như biểu thức M (nguyên phân) đưa dạng M=A2 + k ( M=m-A2) rõ ràng supM= m ( infM=k) Nếu tồn giá trị biến để M = k (hoặc M=m) maxM = m (min M = k) B Bài tập áp dụng Bài số Tìm max ( min) biểu thức sau : a) A = 2x2 - 8x+1 b) B = -5x2 - 4x +1 Giải: a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 - ≥ -7 Dấu = xảy x=4 Vậy minA=-7 x=4 b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 = − 5( x + x + x=- Do maxB = 9 ) + = −5( x + ) + ≤ Dấu = xảy 25 5 5 x=- 5 Lưu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max, học sinh mắc sai lầm Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – ≥ - (x-1)2 ≥ (x-3)2 ≥ ⇒ minA = -9 không tồn x thoả mãn điều Ta cần làm Bài 1a) Bài số Tìm C = x − x − 2006 Giải : Để C tồn ta phải có : x ≥ 2006 (*) Ta có : C = x − x − 2006 = x - 2006 - x − 2006 + 8023 + = 4 8023 8023 ( x − 2006 − ) + ≥ 4 Vậy C = 8023 ⇔ x − 2006 = 8027 ⇔x= ( thoả (*)) Bài số Tìm D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) Giải : Tập xác định D IR Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – ≥ - −5+ Dấu = xảy : ( x2 + 5x + 5)2 = ⇔ ( x2 + 5x + 5) = ⇔ x = x = −5− −5+ −5− Vậy minD = - ⇔ x = x = 2 Bài số Tìm E = x2 +2y2 -2xy - 4y + Giải : Tập xác định E IR2 Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + = ( x-y)2 + (y-2)2 + Vì ( x-y)2 ≥ ∀ x,y (y-2)2 ≥ ∀ y nên E ≥ ∀ x,y x − y = x = y ⇔ ⇒ x = y = y − = y = Dấu = xảy  Vậy minE = x=y=2 Bài số Tìm F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012 Giải : Tập xác định F IR3 Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006 Vì : ( x-y+z-1)2 ≥ ∀ x,y,z, ( x+z-2)2 ≥ ∀ x,z ( z-1)2 ≥ ∀ z nên F ≥ 2006 ∀ x,y,z x − y + z − = x =   Dấu = xảy  x + z − = ⇔  y = z − = z =   Vậy F = 2006 ⇔ x=y=z=1 Bài số Tìm G = 6x − − 9x Giải : −2 −2 Ta có : G = x − − x = x − x + = (3x − 1) + Do (3x-1)2 ≥ ∀ x ⇒ ( 3x-1)2+4 ≥ ∀ x ⇒ G = 1 −2 − −1 −1 ≤ ⇒ ≥ = ⇒G ≥ 2 (3x − 1) + 4 (3 x − 1) + −1 ⇔ 3x – = ⇔ x = Bài số Tìm H = 3x − x + x − 2x + Giải : Tập xác định H R\ {1} (2 x − x + 2) + ( x − x + 4) ( x − 2) = + ≥ ⇒ H = ⇔ x= Ta có : H = x − 2x + ( x − 1) Bài số Tìm max, I = − 4x x2 +1 Giải : * Tìm I x − x + − x − ( x − 2) = − ≥ −1 Min I = -1 ⇔ x=2 Ta có : I = x2 +1 x +1 * Tìm max I 4x + − 4x − 4x − (2 x + 1) = − ≤ Max I = ⇔ x = − Ta có : I = 2 x +1 x +1 Bài số Tìm K = x3 + y3 + xy biết x+y=1 Giải : Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2 Có nhiều cách giải đây, ví dụ : 2 K = x2 + (1-x)2 = 2( x − ) + ≥ Min K = 1 x = ⇒ y = 2 Bài số 10 Tìm L = x2 + y2 + z2 biết x + y + z = Giải: Ta có : x + y + z = ⇒ ( x+ y + z)2 ≥ ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = ⇒ L + 2(xy + yz + zx ) = (*) Ta có : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ∀ x,y,z, dấu = x=y=z nên từ (*) suy : 3L ≥ ⇒ L ≥ ⇒ L = x=y=z = C Bài tập tự luyện Bài số Tìm max ( ) biểu thức sau : a) A = x2 -5x + b) B = – x2 + 3x Bài số Tìm biểu thức sau : a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5) b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17 Bài số Tìm max biểu thức sau : E = xy + yz + xz biết x+y+z=12 Bài số Tìm max ( ) biểu thức sau : a) F = 27 − 12 x 8x + 3 x − x + 17 ; b) G = ; c) H = x +9 4x + x − 2x + 2.2.2- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối A Lí thuyết Ta biết : với A, B biểu thức đại số : i) A + B ≤ A + B Dấu xảy A.B ≥ ii) A − B ≥ A − B Dấu xảy A ≥ B ≥ A ≤ B ≤ B Bài tập áp dụng Bài số Tìm A = x − + x + Giải : Ta có : A = x − + x + = − x + x + ≥ − x + x + = 10 Suy minA = 10 (2-x)(x+8) ≥ ⇔ − ≤ x ≤ Bài số Tìm max B = x + 2(1 + x + 1) − x + 2(1 − x + 1) Giải : Tập xác định B x ≥ -1 (*) Ta có : B = ( x + + 1) − ( x + − 1) = x +1 +1 − x +1 −1 ≤ x +1 +1− x +1 +1 = Suy max B = ( ( x + + 1)( x + − 1) ≥ ⇔ x ≥ (thoả(*)) 10 C Bài tập tự luyện Bài số Tìm max biểu thức : a) C = a + − a − − a + + a − b) D = x − 4012 x + 2006 − x + 4014 x + 2007 Bài số Tìm biểu thức : a) E = x + 64 − 16 x + x b) F = x − x + + x − x + 2.2.3 Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn nghiệm phương trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ) A Lí thuyết Ta biết : phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm ∆ = b − 4ac ≥ f ( x) Nếu biểu thức A = g ( x) xác định miền D qui dạng : f(A)x2 + g(A)x + k = (1) ( k số thực ) rõ ràng với x thuộc tập nguồn D thoả (1) cho ảnh h(A) tập đích E A Vì cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình (1) ta xác định tập đích E giới hạn miền giá trị A hay maxA, minA B Bài tập vận dụng Bài số x2 − x +1 Tìm max, A = x + x +1 Giải : Biểu thức A nhận giá trị a phương trình sau có nghiệm : a= x2 − x +1 (1) x2 + x +1 11 ⇔ (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = ( Do x2 +x +1 > ∀ x ) (2) * Nếu a = (2) có nghiệm x = * Nếu a ≠ để (2) có nghiệm ta cần có ∆ ≥ ⇒ (a + 1) − 4(a − 1) ≥ ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ ⇔ ≤ a ≤ 3(a ≠ 1) Với a = − (a + 1) a +1 a=3 nghiệm (2) : x = 2(a − 1) = 2(1 − a) Với a = x = 1, với a=3 x = -1 3 Kết hợp hai trường hợp ta có : A = ⇔ x = ; maxA = ⇔ x=-1 Bài số Tìm max, B = x − 3x + x2 − x Giải : Điều kiện để B có nghĩa x ≠ 0; x ≠ (*) x − 3x + B nhận giá trị m ⇔ phương trình m = (1) có nghiệm x −x (1) ⇒ (m-1)x2 – (m-3)x – = (2) *Nếu m=1 ⇒ x = 2,5 *Nếu m ≠ để (2) có nghiệm ta cần có : ∆ ≥ ⇒ (m − 3) + 20(m − 1) = m + 14m − 11 ≥ ⇒ m ≤ −7 − 15 m ≥ −7 + 15 Với m = − − 15 x= − 15 + 15 ; với m = − + 15 x= 2 Kết hợp hai trường hợp điều kiện (*) ta có : maxB = x = 2,5 ; B = − − 15 x= − 15 C Bài tập tự luyện Tìm max, biểu thức sau : x 4x − 6x + x − 16 x + 41 a) C = ; b) D = ; c) E = ( x + 10) (2 x − 1) x − x + 22 12 2.2.4 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy) A Lí thuyết Cho n số không âm : a1, a2, a3, , an ta có : Dạng : a1 + a + a3 + + a n n ≥ a1 a a3 a n n Dạng : a1 + a + a3 + + a n ≥ n n a1 a a3 a n Dạng : ( a1 + a + a3 + + a n n ) ≥ a1 a a3 a n n Dấu xảy a1 = a2 = a3 = = an Từ ta dễ dàng suy : i) Nếu a1 a2 a3 an = A không đổi a1 + a + a3 + + a n ≥ n n A : a1 + a + a3 + + a n = nn A a1 = a2 = a3 = = an ii) Nếu a1 + a2 + a3 + + an = B không đổi n a1a a3 a n ≤ max n a1a a3 a n = B : n B a1 = a2 = a3 = = an n B Bài tập áp dụng Bài số Cho a.b.c = Tìm A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) Giải : Theo BĐT Cô- si ta có : a + b ≥ ab ≥  2 b + c ≥ bc ≥ dấu xảy a=b=c  2 c + a ≥ ca ≥ 2 Suy A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) ≥ a b c = Vậy A = ⇔ a=b=c=1 Bài số a, b, c, d >  Cho  1 1 tìm max a.b.c.d ? 1 + a + + b + + c + + d ≥ Giải : 13 Từ giả thiết theo BĐT Cô-si ta có : 1 1 b c d bcd ≥ 33 ≥ (1 − ) + (1 − ) + (1 − )= + + (1 + b)(1 + c)(1 + d ) 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d Tương tự : acd abd ≥ 33 ≥0 ; ≥ 33 ≥0 1+ b (1 + c)(1 + d )(1 + a ) 1+ c (1 + b)(1 + d )(1 + a ) abc ≥ 33 ≥ Nhân vế với vế BĐT ta : 1+ d (1 + a )(1 + b)(1 + c) 81 ≥ ⇒ abcd ≤ (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) (1 + a)(1 + b)(1 + c )(1 + d ) 81 Vậy maxabcd = a=c=b=d 81 Bài số Với ∀ a>b ≥ 0, tìm B = a + (a − b)(b + 1) Giải : b +1 b +1 Ta có : B = a + (a − b)(b + 1) = (a − b) + + + (a − b)(b + 1) − ≥ 4 ( a − b) b +1 b +1 −1 = −1 = 2 (a − b)(b + 1) Vậy minB = a = 2; b = Bài số a ≥  ab c − + bc a − + ca b − Cho b ≥ Tìm max C = 2 c ≥  Giải : Ta có : ab c − = bc a − = ca b − = ab bc ca (c − 2)2 ≤ ab (c − 2) + abc = 2 2 (a − 3)3 ≤ bc (a − 3) + abc = 3 (b − 4)4 ≤ ca (b − 4) + abc = 4 14 Từ BĐT suy : C ≤ 2 + + c − = c = 1   + + Dấu a − = ⇔ a = Vậy max C = 2 b − = b =   Bài số Cho a,b,c số dương Tìm D = a b c + + b+c c+a a+b Giải : Ta có : D + = (1 + a b c a+b+c a+b+c a+b+c ) + (1 + ) + (1 + )= + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b ⇒ 2D + = 2(a + b + c)( 1 1   + + ) = [ (b + c) + (c + a ) + (a + b)]  + + b+c c+a a+b  b + c c + a a + b  ≥ ( theo Cô-si) ⇒ 2D + ≥ ⇒ D ≥ 3 Vậy D = a=b=c 2 C Bài tập tự luyện Bài số Cho a,b số không âm a.b = Tìm A= (1+a+b)(a+b+ab) Bài số Cho a số thực Tìm B = a2 + a2 +1 Bài số Cho a,b số không âm a+b = Tìm max C = 16ab(a-b)2 2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki A Lí thuyết Cho a1, a2, a3, , an b1,b2,b3, , bn 2n số thực tuỳ ý Khi ta có : Dạng : (a12+a22+a32+ +an2)(b12+b22+b32+ +bn2) ≥ ( a1b1+ a2b2+a3b3+ +anbn)2 (1) 15 Dạng : (a12 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) ≥ a1b1 + a2b2 + anbn a a (2) a n Dấu xảy (1) (2) b = b = = b n Hệ : 2 2 n i) Nếu a1x1+a2x2+ +anxn= C = const ( x +x + +x ) = x x C2 2 a1 + a + + a n x n Dấu a = a = = a n ii) Nếu x12+x22+ +xn2 = C2 x x x n max (a1x1+a2x2+ +anxn) = C a1 + a 2 + + a n Dấu a = a = = a ≥ n (a1x1+a2x2+ +anxn) = - C a1 + a 2 + + a n Dấu x x1 x = = = n ≤ a1 a an B Bài tập vận dụng Bài số Cho xy + yz + xz = Tìm A = x4+y4+z4 Giải : Ta có : A= 2 1 ( +1 +1 )( x4+y4+z4) ≥ (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2) ≥ 3 16 (xy+yz+xz)2 = 3 Suy minA = 16 đạt x=y=z= ± 3 Bài số Cho a2 + b2 + c2 = Tìm max B = a + 3b + 5c Giải : Ta có : B = a + 3b + 5c ≤ (11 + + )(a + b + c ) = 35 16 Từ ta minB = 35 a = ± 35 ;b = ± 35 ;c = ± 35 Bài số Tìm C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2 Giải : Ta có : C= = 1 [(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2] ≥ [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2 5 [(a+4)y +3 ]2 ≥ a ≠ - ≥ a =- 5 Vậy : a ≠ - C = ; a = - max C = Bài số 1  + + =1 Cho  a b c Tìm D = a2+b2+c2 a, b, c > Giải : Theo BĐT B-C-S ta có : 1  a + b + c ≥ (a + b + c) = (a + b + c)( + + ) ≥ (1 + + ) 3 a b c  3 Vậy minD = (1 + + ) a=b=c=6 C Bài tập tự luyện a , b >  Cho  Tìm A = a + b + a + b  a + b = Bài số  x + y = 16  2 Cho u + v = 25 Tìm max (x+y)  xu + yv ≥ 20  Bài số Cho x2+4y2 =1 Tìm max x − y 17 Bài số Cho 3x-4y=7 Tìm 3x2+4y2 Bài số Cho 36x2 + 16y2 = Tìm max, y-2x Bài số  xy ≥ Cho  2 x + y = Tìm max, x + y + y + x KẾT LUẬN 18 Đề tài “ Một số phương pháp giải toán cực trị đại số cho học sinh THCS” theo cá nhân khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán vấn đề dạy học sinh nắm dạng toán giải chúng vấn đề không đơn giản Quá trình nghiên cứu đề tài giúp gặt hái thành sau: 3.1.1 Đối với học sinh -Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh bở ngỡ phải xuất phát từ đâu gặp số mà trình bày Nguyên nhân em chưa nắm phương pháp giải có biết vài phương pháp mơ hồ, cách vận dụng chúng để giải tập dạng nêu Chính phần lớn em bỏ trống không làm làm không đến kết cuối - Sau áp dụng đề tài trường THCS công tác, giúp em học sinh hiểu chất vấn đề dạng toán cực trị em bước đầu biết giải dạng toán cực trị đơn giản quan trọng gây hứng thú học toán toán cực trị cho em, rèn luyện tư logic sáng tạo cho em trình tự học Nhờ tỉ lệ em hiểu bài, làm tăng lên rõ rệt Sau bảng thống kê kết kiểm tra dạng toán cực trị học sinh sau áp dụng đề tài vào giảng dạy : Kết điểm kiểm tra Năm học Áp dụng đề tài Giỏi Khá Trung bb nh Yếu Kém 2012-2013 Đã áp dụng 15% 20% 45% 17% 3% 2013 -2014 Đã áp dụng 20% 30% 40% 10% 0% 3.1.2 Đối với thân : Qua việc áp dụng đề tài nhận thấy giáo viên đỡ vất vả nhiều khâu phải giải thích dạng toán hướng dẫn làm tập cho học sinh (phần lớn em giải không được) mà kết đem lại không nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều học sinh, học sinh biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau sử dụng đề tài thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự phát 19 dạng toán biết áp dụng kiến thức, với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm, phù hợp với việc đổi phương pháp dạy học Trước nhu cầu đáng muốn vươn lên học tốt học sinh hòa vào không khí thi đua dổi phương pháp dạy học nay, xin góp số kinh nghiệm ḿnh để trao đổi với đồng nghiệp, mục đích nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Bài viết chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong giúp đỡ góp ý đồng nghiệp để đề tài áp dụng rộng rãi học sinh Xin chân thành cảm ơn ! CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc 20 BẢN XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS SƠN THỦY Họ tên người viết: Phan Thúc Bảy Tên đề tài: “Một số phương pháp giải toán cực trị Đại số cho học sinh THCS” Nhận xét HĐKH trường THCS Sơn Thủy: Đề tài cập nhật nhiều điểm mới, áp dụng vào thực tiễn đạt hiệu cao Xếp loại: A Sơn Thuỷ, ngày 17 tháng năm 2014 CT HĐKH Nguyễn Đăng Sơn 21 22 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS QUẢNG LỘC Điểm:………………… Nhận xét: Quảng Lộc, Ngày tháng năm 2012 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH Điểm:………………… Nhận xét: Quảng Lộc, Ngày tháng năm 2012 Tài liệu tham khảo Tên tài liệu Chủ biên ( Tác giả ) 23 Bất đẳng thức toán cực trị Trần Đức Huyên 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II Nguyễn Vũ Thanh Nâng cao phát triển toán T1, Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển toán T1, Vũ Hữu Bình Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phan Huy Khải Bất đẳng thức chọn lọc cấp II Nguyễn Vũ Thanh Các viết liên quan mạng Internet 24 25 [...]... KẾT LUẬN 18 Đề tài “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh THCS” theo cá nhân tôi là rất khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn giản Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi đã gặt hái được những thành quả như sau: 3.1.1 Đối với học sinh -Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không... bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học toán nhất là toán cực trị cho các em, rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các em trong quá trình tự học Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán cực trị ở học sinh sau khi đó áp dụng... hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra 19 dạng toán và biết áp dụng kiến thức, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm, phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào không khí thi đua dổi mới phương pháp. .. C Bài tập tự luyện a , b > 0  Cho  4 9 Tìm min A = a + b + a 2 + b 2  a + b = 1 Bài số 2  x 2 + y 2 = 16  2 2 Cho u + v = 25 Tìm max (x+y)  xu + yv ≥ 20  Bài số 3 Cho x2+4y2 =1 Tìm max x − y 17 Bài số 4 Cho 3x-4y=7 Tìm min của 3x2+4y2 Bài số 5 Cho 36x2 + 16y2 = 9 Tìm max, min của y-2x Bài số 6  xy ≥ 0 Cho  2 2 x + y = 1 Tìm max, min của x 1 + y + y 1 + x 3 KẾT LUẬN 18 Đề tài “ Một. .. NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS SƠN THỦY Họ tên người viết: Phan Thúc Bảy Tên đề tài: Một số phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS” Nhận xét của HĐKH trường THCS Sơn Thủy: Đề tài được cập nhật nhiều điểm mới, được áp dụng vào thực tiễn đạt hiệu quả cao Xếp loại: A Sơn Thuỷ, ngày 17 tháng 5 năm 2014 CT HĐKH Nguyễn Đăng Sơn 21 22 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS QUẢNG... tập tự luyện Bài số 1 Cho a,b là những số không âm và a.b = 1 Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab) Bài số 2 Cho a là số thực bất kỳ Tìm min của B = a2 + 2 a2 +1 Bài số 3 Cho a,b là những số không âm và a+b = 1 Tìm max của C = 16ab(a-b)2 2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki A Lí thuyết cơ bản Cho a1, a2, a3, , an và b1,b2,b3, , bn là 2n số thực tuỳ ý Khi đó ta có : Dạng 1 : (a12+a22+a32+... Bài tập tự luyện Bài số 1 Tìm max của biểu thức : a) C = a + 3 − 4 a − 1 − a + 3 + 4 a − 1 b) D = x 2 − 4012 x + 2006 2 − x 2 + 4014 x + 2007 2 Bài số 2 Tìm min của biểu thức : a) E = x 2 + 64 − 16 x + x 2 1 4 b) F = x 2 − 4 x + 4 + x 2 − x + 2.2.3 Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ) A Lí thuyết cơ bản Ta đã biết : phương. .. gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên Nguyên nhân chính ở đây là các em chưa nắm phương pháp giải hoặc có biết một vài phương pháp thì cũng chỉ mơ hồ, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên Chính vì vậy phần lớn các em bỏ trống không làm hoặc làm nhưng không ra đến kết quả cuối cùng - Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS đang công tác, tôi đã giúp các em học sinh. .. là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A Vì vậy bằng cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình (1) ta sẽ xác định được tập đích E và do đó chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA, minA B Bài tập vận dụng Bài số 1 x2 − x +1 Tìm max, min của A = 2 x + x +1 Giải : Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương. ..  Bài số 5 Cho a,b,c là 3 số dương bất kỳ Tìm min của D = a b c + + b+c c+a a+b Giải : Ta có : D + 3 = (1 + a b c a+b+c a+b+c a+b+c ) + (1 + ) + (1 + )= + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b ⇒ 2D + 6 = 2(a + b + c)( 1 1 1 1 1   1 + + ) = [ (b + c) + (c + a ) + (a + b)]  + + b+c c+a a+b  b + c c + a a + b  ≥ 9 ( theo Cô-si) ⇒ 2D + 6 ≥ 9 ⇒ D ≥ 3 3 Vậy min D = khi a=b=c 2 2 C Bài tập tự luyện Bài số 1 Cho