Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 03) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 03) thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Tính tích phân sau: e2 x  1) I1    x dx e 2 ln dx e 5 dx 2) I   x (B – 2006) e  2e x  ln e2 x dx x  e 4) I   5) I  e x dx 0 e x  e x 6) I  3) I   (1  e x )3 0 e x dx 7) I  2x ln  e2 x  3e x dx e2 x  3e x  Giải e 3 (e  3)e dx   dx x e 2  2e x 0 1 2x 1) I1   2x x Đặt t   2e x  dt  2e x dx  e x dx  dt ; Đổi cận x   t  ; x   t   2e  t 1  1 e  1 e   dt 1 e t  2t  13  13    I1     dt    t    dt t t  t  Khi 1 e   t2    2t  13ln t  8 3  e2  e 13  2e  ln e2  e 13  2e  ln ln dx 2) I   x (B – 2006) e  2e x  ln Vậy I1  Đặt t  e x  dt  e x dx x : ln  ln t :  e x dx dt dt  t 2       Khi đó: I   x  dt  ln x e   3e t  3t  (t  1)(t  2)  t  t   t 1 ln 3 ln 5 5  ln 3 dx e 5 3) I   2x +) Đặt t  e2 x  dt  2e2 x dx x :  t :1  e2 e2 e2 e2 x dx dt 1  t    +) Khi đó: I   x x   dt  ln  e (e  5) t (t  5) 10  t t   10 t  +) Vậy I  e2  1 6e2 ln 10 e  6e2 ln 10 e  e2 x 4) I   dx  e x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) +) Đặt t  e x  dt  e x dx cận t :1  Nguyên hàm – Tích phân e 1 e e 1 e x e x dx t t     I4     dt   dt   1   dt   t  ln t    ln x e 1 e t 1 t 1  e t 1  1 e e e 1  e 1 e x dx e2 x dx 5) I   x  x   x e e e 1 0 +) Vậy I  ln +) Đặt t  e  dt  2e dx cận t :1  e 2x 2x  I5  2 e2  e2 dt 1 e2   ln t   ln t 1 2 1 e 1 ln 2 x (1  e ) 6) I   dx ex +) Vậy I  dt  e x dx +) Đặt t   e x   x cận t :   e e  t  (1  e x )3 e x dx  2x e  I6   1 e  t3 dt  (t  1)2 1 e  3t   dt 2   t   (t  1) e3  6e2  e  2e ln 2x x e  3e 7) I   x dx e  3e x  +) Vậy I  +) Đặt t  e x  dt  e x dx cận t :1  ln   I7  (e x  3)e x t 3 dx   dt (*) 2x x e  3e  t  3t  2 2 (2t  3)  dt d (t  3t  2) 2 dt  d (t  3t  2)    = t  3t  2 1 t  3t  2 1 (t  1)(t  2) 1 t  3t  2 2  1    t   t   dt t 1  1   ln(t  3t  2)  ln   3ln  4ln 2 t  1 2 +) Vậy I  3ln  4ln t 3 t 3 A B    t  3t  (t  1)(t  2) t  t   t   A(t  2)  B(t  1) (2*) Ta tìm A, B theo cách: (Từ (*) bạn dùng phương pháp đồng hệ số: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân C1: chọn t  1  A  chọn t  2  B  1 A  B 1 A   C2: (2*)  t   ( A  B)t  A  B   2 A  B   B  1 e2 x  2ln  Bài Tính tích phân sau: 1) I1  2ln ex  ex 3) I   x x e 3 e 2  4) I  dx ln  ln  x  1  e   e  1   2) I  dx dx ex  ln 5) I   ln x  e2 x dx ex 1 e x dx 6) I  (e x  1)3 dx 2e  2e x  2x Giải : e 1 2ln 1) I1  2x  x  2ln x  1  e   e  1   dx x Nhận xét: Ở có thành phần e ; e x  e2 x thành phần sau biểu diễn dễ x e x x dàng qua e , cộng với yếu tố cận ( 2ln 2ln ) giúp ta nghĩ tới việc đặt t  e để chuyển tích phân dạng tích phân hữu tỉ Giải :  2x  2x  x  2x  x x e  1 e  1 (e  1)e e  1 e 2ln 2ln  2ln  (e x  1)(e x  1)      dx dx   dx   +) Biến đổi I1   2 x x x   2ln  2ln 2ln   e2 1 (e x  1)  e  1   x   e  1  e     x +) Đặt t  e  t  e x  2tdt  e x dx ; Đổi cận x  2ln  t  ; x  2ln  t  3 3  t2  (t  1)t t t   dt 2 dt 2  t   dt  Suy I1  2   2t  2ln t     4ln  t 1 t 1 t 1  2 2 2 2 ln 2) I   ln e2 x dx ex 1 x 2tdt  e dx +) Đặt t  e   t  e    x x : ln  ln t :1  e  t  x ln +) Khi đó: I   ln +) Vậy I  x 2  t3 t2  23 t2 1 e dx   2tdt  2  t  t  dt      t ex 1  1 1 ex x 23 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) ex  ex 3) I   ex  ex  Nguyên hàm – Tích phân dx Đặt t  e x  t  e x  2tdt  e x dx ; Đổi cận x   t  ; x   t  e Khi : ex  ex I3   ex  ex  e  2 e e x (e x  e x  2) e x dx   t2  t t 1 2tdt   dt 2 t (t  3t  2) t  t  e e 3(t  1)  2(t  2)  e 2 e 1  dt      4n  dt   ln t   2ln t    2ln (t  1)(t  2) t  t 1   e e 2 e 1  4n Vậy I  2ln 4) I  ex  ex dx   ln  dx ex  2tdt  e x dx +) Đặt t  e   t  e    x ; Đổi cận x :  ln t :  e  t  x ln  I4  e 2tdt dt t 1   2  ln x t 1 t 1 e  (t  1)t e x dx x x 2 = 2ln(  1)  ln +) Vậy I  2ln(  1)  ln ln 5) I   e x dx (e x  1)3 +) Đặt t  e   dt  e dx ; Đổi cận x :  ln t :   I   x x dt t3  t 3 2 2 dt   t2 1 +) Vậy I5   6) I   dx 2e2 x  2e x  Nhận xét: Nếu toán ta đặt t  2e2 x  2e x   t  2e2 x  2e x   tdt  (2e2 x  e x )dx (2e2 x  e x )dx phải chỉnh lại tích phân ( để rút theo tdt ) cách biến đổi: I   (2e2 x  e x ) 2e2 x  2e x  ta không rút biểu thức (2e2 x  e x ) mẫu số theo t Như hướng không khả thi Nếu ta chuyển sang hướng khác cách đặt t  e x I6   e x dx e x 2e2 x  2e x  e  dt t 2t  2t  làm tiếp dài phức tạp Nhưng quan sát kĩ lại biểu thức : 2e2 x  2e x   (1  e x )2  e x có dạng u  a Điều gợi ý nhân thêm e2 x : e2 x (2e2 x  2e x  1)   2e x  e2 x  (1  e x )2  Và ta có lời giải toán sau: Giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân +) Đặt t  (1  e x )  dt  e x dx cận t :   e1 e x dx  I6   e2 x (2e2 x  2e x  1) d (t  t  1)   (t  t  1) 1 e1 +) Vậy I  ln e x dx  (1  e x )2   ln t  t  2 1 e 1) I1   e x  2e x    1 e  ln  (e 6) I  9) I  ln e  1 e1 (t  t  1) t 1 (2  5)e  ln e   2e2  2e  x e x e x  e x  dx e x  e x  e3 x dx  ex 2) I   ex ex  dx 4) I   ex  2ln dx 3ln  e 13) I13  dx   e 1 e e dx ln 0 1  ex   3ln ex   dx 4e x   e x  e x 14) I14  ex  11) I11  dx dx e2 x  24e x ln15 2x x x ln x x ln e 8) I8  dx 2e3 x  e2 x ln 15x dx x x x 25  3.15  2.9 10) I10   7) I   ln10 x  5) I  dx e e dx (1  e x )4  2x  12) I12   x  9) 3e x  ln  (t  t  1)dt ln15 ex x t2 1 1 e1 e   2e2  2e  ln 3) I  1  = dt (2  5)e Bài Tính tích phân sau: ln 2 (e  3) x  e 1  x  dx Giải : ln e 3x  2e 1) I1  x dx Đặt t   e x  dt  e x dx ; Đổi cận x   t  x  ln  t  ln Khi I1   4  t2  e2 x x (t  2)2 4  e dx   dt    t   dt    4t  4ln t     4ln x 2e t t 2 3 3 e  e x   dx dx e x dx dx   dx   x  x  x0   1  x 2) I   x  x e e 2 e e 2 (e  1) 0 0 ex   x e 1 x 1 1 d (e x  1) e 1   ln(e x  1)   ln x (e  1)  1  Vậy I   ln ln 3) I  e 1 e x  2e x    1 e   x dx Đặt t  (1  e x )3  dt  3(1  e x )2 dx  (1  e x )2 dx  dt Đổi cận x   t  x  ln  t  27 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) ln  Khi I  (1  e x )2 27 dt dx    ln  t x 3 2t  1  e  27 Nguyên hàm – Tích phân 29  ln 10 ex ex   e x  dx 2ln ln15 4) I  Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx Đổi cận x  2ln  t  ; x  ln15  t  t t2  1    tdt  dt  2 1   dt  2 1  dt 2  t  t  t  t  t      3 3 4 Khi I   4  t 2  5   t  ln   2ln Vậy I   ln  t2 3 3  3ln 5) I    dx ex   Đặt t  e x  t  e x  3t dt  e x dx ; Đổi cận x   t  ; x  3ln  t  3ln Khi I     dx e 2 x 3ln    ex  e x dx ex  2  2 3t dt dt   3 t (t  2) t (t  2)2 1 2 t  2t  1  1 1   dt   dt  dt      2    t (t  2)  t (t  2) (t  2)    t t   (t  2)  31 t  3   ln   ln    t  t   24 3 Vậy I  ln  24 ln 6) I   (e ex x  9) 3e x  dx  x x 2tdt  3e dx  e dx  tdt Đặt t  3e x   t  3e x    e x  t   Đổi cận x   t  ; x  ln  t  2 tdt 2 dt  1  t 5  2    Khi I   dt  ln t  25  t  t   t 5  t 2  9t    1  ln 14 Vậy I  ln 14 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân x 5 1   x 15 3 7) I   x dx  dx x x x x  25  3.15  2.9 5 0  25          3 x x x dt 5 5 5 +) Đặt t     dt    ln dx    dx  ln  ln  3  3 3 Đổi cận x   t  x   t  5 3 dt 1  t 1  +) Khi I    ln   dt    ln  ln t  3t  ln  ln  t  t   ln  ln t  +) Vậy I   ln12  ln11 ln  ln 2e3 x  e2 x ln  dx  e x 4e x    ln12  ln11 ln  ln 2e3 x  e2 x ln 8) I8  dx 4e3 x  3e2 x  +) Đặt t  4e3 x  3e2 x  t  4e3 x  3e2 x  2tdt  (12e3 x  6e2 x )dx  (2e3 x  e2 x )dx  tdt Đổi cận x   t  x  ln  t  tdt    ln  ln   1  +) Khi I8   Vậy I8  dt   t  ln t    t 1 3  t 1  3 1 ln 9) I   9 e2 x  e x dx (1  e x )4  +) Đặt t  (1  e x )2  dt  2e x (1  e x )dx  (e2 x  e x )dx  dt Đổi cận x   t  x  ln  t  9 dt  1  t 1     ln +) Khi I    dt  ln t 1 4  t 1 t   t 1 4 9 +) Vậy I  ln ln10 10) I10   ex   ex 1 dx +) Đặt t   e x   t   e x   (t  1)2  e x   4t (t  1)dt  e x dx Đổi cận x   t  x  ln10  t  2  t3 t2  4t (t  1)dt 10  4 (t  t )dt      +) Khi I10   1 t  1 1 +) Vậy I10  ln 11) I11   10 ex e x  e x ln dx   ex e2 x  dx +) Đặt t  e x  dt  e x dx ; Đổi cận x   t  x  ln  t  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) +) Khi I11   ln 12) I12  e  t2 1 +) Vậy I11  ln dt 1 t  t2 1 t  t2 1 t2 1 dt    d t  t2 1 t  t2 1 Nguyên hàm – Tích phân   ln t  t   ln 2 1 2 1 2 x e x dx +) Đặt t  e x  dt  e x dx ; Đổi cận x   t  x  ln  t  ln +) Khi I12   e x ee e x dx   t.et dt x 2 u  t du  dt t   I  te  et dt  2e2  e  et  e2 Vậy I12  e2 Đặt   12  t t 1 dv  e dt v  e ln 13) I13  e ln e2 x dx x 1  ex  +) Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx Đổi cận x  ln  t  x  ln  t  ln +) Khi I13  e x ln t2  t  2t tdt  0 t  t  dt t 1 t ex 1  ex  e x dx   +) Vậy I13  1  2ln e2 x  24e x ln15 14) I14   3ln (e  3) x  e 1  x  dx +) Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx ; Đổi cận x  3ln  t  x  ln15  t  e x  24 ln15 +) Khi I14   3ln (e x  3)  t  25 t  5t  5t   e dx   2tdt  2 dt  2 1  dt x (t  4)(t  5) t 4 t 4 e 1  3 3  4 x 4  3(t  2)  7(t  2)      2 1  dt  2   dt    (t  2)(t  2)   t  t   3 3   2t  3ln t   ln t     3ln  ln +) Vậy I14   3ln  ln Bài Tính tích phân sau: 103 1) I1   log x  dx x log x  2) I  e  1  3ln x ln x dx (B – 2004) x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt e 3) I   Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 x  ( x  2) ln x dx x - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) x  ( x  2) ln x dx 4) I   x.(1  ln x) e e3  7) I  5) I   ln x e3 Nguyên hàm – Tích phân  ln x dx x ln x e e 6) I    x ln x   ln x  ln x  ln x  2ln x  dx 10) I10   x (1  ln x ) e e 11) I11   x  x  ln x 2x  log 22 x  1dx 9) I   ln x( x  1) ( x   x ln x) ln x dx 8) I8   x (1  ln x ) 1 e dx dx   ln x ln x dx x Giải : 103 1) I1   log x  dx  x log x  103  log x  dx log x  x +) Đặt t  log x   t  log x   2tdt  dx dx   2t ln10.dt x ln10 x +) Đổi cận x   t  ; x  103  t  2  t3  t 1  20 Khi I1   2t ln10dt  2ln10 (t  1)dt 2ln10   t   ln10 t  1 1  3ln x ln x dx (B – 2004) x e 2) I   3dx   dx 2tdt  x  x  tdt  Đặt t   3ln x  t   3ln x   x :1  e t :1  2 ln x  t  ln x  t  3   2 116 t 1 2 2  t5 t3  tdt   (t  t )dt       I   t 3 91   135 Vậy I  e 3) I   116 135 x  ( x  2) ln x  2ln x  dx   1   dx   ln xdx  A  B x x  1 e e e ln x  2ln x  dx   dx  2 ln xd ln x   x  ln x   e  +) Tính A   1   dx   dx  2 x  x 1 1 1 e e e e e dx  u  ln x du  Đặt   x dv  dx v  x  e +) Tính B   ln xdx e Suy B  x ln x   dx  e  x  e e Vậy I3  e  e 4) I   x  ( x  2) ln x x.(1  ln x)  2ln x ln x dx   dx   dx  2 dx  A  2B x.(1  ln x) x.(1  ln x) x.(1  ln x) 1 e Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt e e Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân e +) Tính A   dx  x  e  e e +) Tính B   ln x dx x.(1  ln x) Đặt t   ln x  dt  dx x Đổi cận x   t  ; x  e  t  2 t 1  1 dt   1   dt  (t  ln t )   ln Vậy I  e   2(1  ln 2)  e   2ln t t 1 2 Suy B   5) I  e3 dx  2tdt  x cận t :  Đặt t   ln x  t   ln x   ln x  t    ln x dx x ln x e t t2   t 1    I   2tdt 2  dt 2  1   dt 2  t  ln  t 1 t 1 t 1   t 1  2 2 2 e 6) I  x 1  I6   dx Đặt t  ln x  dt   ln x 2   2  2ln(  1)  ln dx x :1  e t :  x   dt  cos udu    Đặt với t  sin u với u    ;    t :  u :  2  2    t  cos u dt 1 t2    cos udu     du  u 06  Vậy I  cos u 0 Khi I   7) I  e3   ln x  x ln x   ln x  dx +) Đặt t   ln x  t   ln x  (t  1)2  ln x  4t (t  1)dt  dx x Đổi cận x   t  x  e3  t  2  (t  1)2 t  2t  3t 198   t ( t  1) dt  dt  4  t  3t  7t  21t  66  dt  (t  1)(3  t ) t 3 t 3 1 1 2 +) Khi I   2  t 3t 7t 21t  2747  4     66t  198ln t     792ln 15 5 1 +) Vậy I  2747  792ln 15 ( x   x ln x) ln x x (1  ln x) ln x  ln x ln x dx  dx   x ln xdx   dx  A  B (*) 8) I8   2  x.(1  ln x) x.(1  ln x) x.(1  ln x) 1 1 e e e e e +) Tính A   x ln xdx dx  du  e e e  u  ln x  x2 e2 x e2 e2  e2   x   A  ln x   xdx      Đặt  (1) 2 21 4 dv  xdx v  x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) e +) Tính B   ln x dx x.(1  ln x) Đặt t   ln x  dt  Suy B  Nguyên hàm – Tích phân 2ln xdx ln xdx dt ; Đổi cận x   t  x  e  t    x x dt  ln t 1 t 2  ln 2 (2) +) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I8  e2   2ln 2x   ln     x 1  2 2x ln  ln  2x  log 22 1  ln   dx  x  1dx  x  1dx 9) I   ln 2   x ( x  1) x ( x  1) ln x ( x  1) 1 3 +) Đặt t  ln 2x dx dt  dt  dx   ; Đổi cận x   t   ln x   t  x 1 x( x  1) x( x  1) 0 1  t3  2ln 2 +) Khi I  (2  t ) dt  t      2  2ln  ln 2ln    ln ln +) Vậy I  2ln  ln e e e ln x  ln x  2ln x  (1  ln x)  ln x  ln x ln x dx   dx   dx  dx  A  B (*) 10) I10   x(1  ln x) x(1  ln x) x x(1  ln x) 1 1 e e  ln x dx x +) Tính A   Đặt t  ln x  dt  dx ; Đổi cận x   t  x  e  t  x  t3  Khi A   (1  t )dt   t    0  (1) e e   ln x ln x  dx   1  ln x  d ln x   ln x  (Ta tính A theo cách sau: A     ) x 1  1 e e +) B   ln x dx x(1  ln x) Đặt t   ln x  dt  e 2ln xdx ln xdx dt ; Đổi cận x   t  x  e  t    x x ln x ln xdx t  1  1 1  ln   dt   1  dt   t  ln t   Suy B    ln x x 21 t 1 t 2 1 +) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I10  2 (2)  ln  3ln   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) x  e 11) I11     ln x ln x x e +) Ta có : I11   Nguyên hàm – Tích phân x  dx   ln x ln x x e e 1 dx   x ln xdx    ln x ln x dx  A  B (*) x dx  du   u  ln x  x  +) Tính A   x ln xdx Đặt  dv  xdx v  x  e e e x ln x e2 x e2  Khi A  (1)   xdx    21 4 e +) Tính B   e  ln x ln x dx x Đặt t   ln x  t   ln x  3t dt  14ln xdx ln xdx   t dt x x 14 Đổi cận x   t  x  e  t  2 +) Khi ta có B   t 3 45 t dt   t 3dt  t  14 14 56 56 (2) e2  45 14e2  31   +) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I11  56 56 Bài Tính tích phân sau: e  1) I1   2ln x dx x  2ln x ln x  ln x dx x e 4) I   e2 e 2) I  e 5) I   e ln(ln x) dx x ln x  2log x x  3ln x 3) I   e dx 6) I   1  ln x ln x dx x 2ln x  dx x  8ln x  8ln x  3 Giải : 1) I1  e x  2ln x dx  2ln x dx  tdt  x +) Đặt t   ln x  t   ln x   ; Đổi cận x :1  e t :1  2 ln x  t   2  I1   +) Vậy I1  2) I  e2 e 2   (t  1) t3  10  11 tdt     t  dt   4t    t 1  10  11 ln(ln x) dx x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dx ; Đổi cận x : e  e2 t :1  x dt  2 u  ln t du    I  t ln t  dt  t ln t  t  2ln 1  I   ln tdt Đặt    t   1 dv  dt  1  v  t +) Đặt t  ln x  dt  +) Vậy I  2ln  1  ln x ln x dx x e 3) I   Đặt t   ln x  t   ln x  tdt  ln x dx ; Đổi cận x :1  e t :1  x 2 1 2 1 t3 Vậy I   I   t.tdt   3 31 ln x  ln x dx x e 4) I   2ln x ln x dx  dx  t dt cận t :1  x x Đặt t   ln x  t   ln x  3t dt  e  I4   ln xdx  ln x  x ln x  2log x e 5) I   x  3ln x 32 1 t 2t dt  62  3 t dt  t  1 8 2 dx ln x ln x  2tdt  x dx  x dx  tdt +) Đặt t   3ln x  t   3ln x   ln x  t   Đổi cận x :1  e t :1  t 1  ln x  2log x ln x  2log e.ln x ln x  2log e ln x ln 1tdt  I5   dx   dx   dx   t x x  3ln x  3ln x x  3ln x 1 e  e e 2 2    t3 2 t   dt  t    t     1 ln  9 ln  27 3ln +) Vậy I   27 3ln e2 e2 2ln x  2ln x  dx   dx 6) I   2 x  8ln x  8ln x  3 x   2ln x  1  1   4(2ln x  1) 2ln x  dt dx  dx  +) Đặt t  (2ln x  1)2  dt  ; Đổi cận x :1  e2 t :1  x x +) Khi I  dt 1 19 19  ln 2t   ln => Vậy I  ln  2t  8 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Giáo viên Nguồn Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng - [...]... e 3) I 3   1 Đặt t  1  ln 2 x  t 2  1  ln 2 x  tdt  ln x dx ; Đổi cận x :1  e thì t :1  2 x 2 2 2 1 2 2 1 t3 Vậy I 3   I 3   t.tdt   3 3 31 1 2 ln x 3 1  ln 2 x dx x 1 e 4) I 4   2ln x ln x 3 dx  dx  t 2 dt và cận t :1  3 2 x x 2 Đặt t  3 1  ln 2 x  t 3  1  ln 2 x  3t 2 dt  e  I4   3 1 ln xdx 1  ln x  x 2 ln 3 x  2log 2 x e 5) I 5   x 1  3ln 2 x 1 3 2 32 3. ..  2 3 62 2  3 3 4 t dt  t  1 8 8 1 3 2 2 3 dx 6 ln x ln x 1  2tdt  x dx  x dx  3 tdt +) Đặt t  1  3ln 2 x  t 2  1  3ln 2 x   2 ln 2 x  t  1  3 Đổi cận x :1  e thì t :1  2 t 2 1 2  ln x  2log 2 x ln x  2log 2 e.ln x ln x  2log 2 e ln x ln 2 1tdt  I5   dx   dx   dx   3 2 t 3 x x 1  3ln 2 x 1  3ln 2 x 1 x 1  3ln x 1 1 1 e  e 3 e 3 2 2 2 2 1  2 6  1  t3 6... 21 2 4 1 4 e 3 +) Tính B   1 e 1  7 ln 2 x ln x dx x Đặt t  3 1  7 ln 2 x  t 3  1  7 ln 2 x  3t 2 dt  14ln xdx ln xdx 3 2   t dt x x 14 Đổi cận x  1  t  1 và x  e  t  2 2 +) Khi đó ta có B   t 1 2 3 2 3 3 2 45 t dt   t 3dt  t 4  14 14 1 56 1 56 (2) e2  1 45 14e2  31   +) Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I11  4 56 56 Bài 5 Tính các tích phân sau: e  1) I1  1 3  2ln x dx... Đổi cận x   t   ln 2 và x  1  t  0 x 1 x( x  1) x( x  1) 2 3 0 0 1 1  t3  1 2ln 2 2 +) Khi đó I 9  (2  t ) dt  2 t      2 2  2ln 2  ln 2 2ln 2  3   ln 2 ln 2 3 +) Vậy I 9  1 2ln 2  ln 2 3 e e e ln 4 x  ln 3 x  2ln 2 x  1 (1  ln 2 x) 2  ln 3 x 1  ln 2 x ln 3 x dx   dx   dx  dx  A  B (*) 10) I10   x(1  ln 2 x) x(1  ln 2 x) x x(1  ln 2 x) 1 1 1 1 e e 1  ln... Vậy I1  2) I 2  e2 e 2 2  3  (t 2  1) t3  10 2  11 tdt    4  t 2  dt   4t    t 3 1 3  1 10 2  11 3 ln(ln x) dx x Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dx ; Đổi cận x : e  e2... I10  2 2 (2) 4 1  ln 2 5  3ln 2   3 2 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) x  2 e 11) I11   3  1  7 ln 2 x ln x x 1 e +) Ta có : I11   Nguyên hàm – Tích phân x  2 3 dx  1  7 ln 2 x ln x x 1 e e 3. .. I11  4 56 56 Bài 5 Tính các tích phân sau: e  1) I1  1 3  2ln x dx x 1  2ln x ln x 3 1  ln 2 x dx x 1 e 4) I 4   e2 e 2) I 2  e 5) I 5   1 e ln(ln x) dx x ln 3 x  2log 2 x x 1  3ln 2 x 3) I 3   1 e dx 2 6) I 6   1 1  ln 2 x ln x dx x 2ln x  1 dx x  8ln 2 x  8ln x  3 Giải : 1) I1  e x 1 3  2ln x dx 1  2ln x dx  tdt  x +) Đặt t  1  2 ln x  t  1  2 ln x   ; Đổi cận... ln 2 x dx x 1 +) Tính A   Đặt t  ln x  dt  dx ; Đổi cận x  1  t  0 và x  e  t  1 x 1  t3  4 Khi đó A   (1  t )dt   t    3 0 3  0 1 2 (1) e e  1  ln 2 x ln 3 x  4 dx   1  ln 2 x  d ln x   ln x  (Ta có thể tính A theo cách sau: A     ) x 3 1 3  1 1 e e +) B   1 ln 3 x dx x(1  ln 2 x) Đặt t  1  ln 2 x  dt  e 2ln xdx ln xdx dt ; Đổi cận x  1  t  1 và x ... t     9 1 ln 2  9 3 ln 2  1 27 3ln 2 +) Vậy I 5  4 2  27 3ln 2 e2 e2 2ln x  1 2ln x  1 dx   dx 6) I 6   2 2 1 x  8ln x  8ln x  3 1 x  2  2ln x  1  1   4(2ln x  1) 2ln x  1 dt dx  dx  +) Đặt t  (2ln x  1)2  dt  ; Đổi cận x :1  e2 thì t :1  9 x x 4 9 +) Khi đó I 6  9 1 dt 1 1 19 1 19  ln 2t  1  ln => Vậy I 6  ln  4 1 2t  1 8 8 3 8 3 1 Hocmai.vn – Ngôi trường... B  Nguyên hàm – Tích phân 2ln xdx ln xdx dt ; Đổi cận x  1  t  1 và x  e  t  2   x x 2 1 dt 1  ln t 2 1 t 2 2  1 ln 2 2 (2) +) Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I8  e2  1  2ln 2 4 2 2x   ln   2   x 1  2 2 2x ln 2  ln 2  2 2x  log 22 1 1 1 2  ln 2 1   dx  x  1dx  x  1dx 9) I 9   ln 2 2   x ( x  1) x ( x  1) ln 2 x ( x  1) 1 1 1 3 3 +) Đặt t  ln 3 2x 2 dx dt 1 