Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy TÌM I M LO I HAY VÀ KHÓ ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Tìm m lo i hay khó thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có m M n m c nh BC cho MC  2MB , tia đ i c a tia DC l y m N cho NC  ND nh D(1; 3) m A n m đ ng th ng 3x  y   Ph ng trình đ ng th ng MN : x  y   Xác đ nh t a đ đ nh l i c a hình ch nh t ABCD Gi i: +) G i E giao m c a MN AD , : 1 1 ED  MC  BC  BC  AD  AD  3ED (*) 2 3 +) Do A thu c đ ng th ng 3x  y    A(a ;3a  9) Do E thu c MN : x  y    E(3b; 1  4b)  a  9b  2 b  1  a  3(1  3b) Khi (*)      A(2;3) 3  (3a  9)  3 3  (1  4b)  a  4b  2 a  2  +) CN qua D(1; 3) vuông góc v i AD nên có ph ng trình: x  y   x  y    x  3   N (3; 5) Khi t a đ m N nghi m c a h  4 x  y    y  5 Do D trung m c a CN nên suy C (5; 1)  xB   2   xB    B(2;5) +) Ta l i có CB  DA    yB     yB  V y A(2;3), B(2;5), C(5; 1) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy Bài Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình vuông ABCD có A(2;6) , đ nh B thu c đ ng th ng d có ph ng trình x  y   G i M , N l n l t hai m hai c nh BC, CD cho BM  CN Xác  14   5  đ nh t a đ đ nh C , bi t r ng AM c t BN t i m I  ; Gi i: Cách 1: *) Tam giác vuông ABM BCN có : AB  BC BM  CN  ABM  BCN  A1 = B1 Mà B1 + B2 = 900  A1 + B2 = 900 hay AIB  900  12 16  *) Ta có : AI   ;   5  32 14   G i B(2t  6; t )  d  IB   2t  ; t   , đó: 5  12  32  16  14  AI  IB  AI IB    2t     t     t    t   B(2; 4)    5 AB2 42  22  12   16     AM  AI *) Ta có AI         AM  4 AI  5  5 2 12   xM   x   M  M (1; 2) Khi Suy   yM     16   yM    5 BC  C (0;0) Nh n xét: (Cách 2)   BM   M trung m c a    BC AB   *) Th c ví d M trung m c a BC t ng đ ng v i h th c vecto BM  MC , song h th c đ c bi t nên ta trình bày trung m đ áp d ng công th c vi c tìm m M đ c đ n gi n h n *) Ngoài vi c tìm t a đ m B, M , C theo cách b n có th tìm theo cách trình bày sau: +) Vi t ph ng trình BI : 3x  y  10  , suy t a đ m B nghi m c a h : x  y   x    B(2; 4)  3x  y  10  y  +) Ph ng trình AI : x  y 10  BC : x  y  , suy t a đ m M nghi m c a h : 4 x  y  10  x    M (1; 2)  2 x  y  y  +) Ta tìm C theo m lo i C th : t  C (0;0)  G i C (t; 2t )  BC , BC  AB2  (t  2)2  (2t  4)2  20  (t  2)2    t  C (4;8) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Do M n m gi a B C nên ta nh n đ Hình h c Oxy c đáp s C (0;0) Song m t h n ch cách trình bày th ba (tìm m C ) ta s tìm đ c hai m C c n lo i m t m Trong v i cách làm ta s tìm đ c xác m t m C theo yêu c u đ Vì v y r t nhi u toán, tìm m ta có r t nhi u cách ti p c n, cách ti p c n cách tìm m theo h th c vecto (đi m lo i 3), giao c a hai đ ng th ng (đi m lo i 1) s cho ta đ c m nh t (n u d a vào đ c thù c a hình v ) ó u m c a so v i h ng ti p c n khác – mà vi c tìm nhi u h n m t m, n ta ph i có thêm b c lo i nghi m  5 Bài Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đ ng tròn ngo i ti p I  ;  , tr c tâm  3 1 8 H  ;  trung m c a c nh BC m M (1;1) Xác đ nh t a đ đ nh c a tam giác ABC 3 3 Gi i: +) G i A' m đ i x ng v i A qua I , : A' C // BH (cùng vuông góc AC ) A' B // CH (cùng vuông góc AB ) Suy BHCA' hình bình hành , suy M trung m c a HA' +) G i G tr ng tâm tam giác ABC , G c ng tr ng tâm c a tam giác AHA' Do ta có: 4 4       xG   xG     HI  3GI     G (1; 2)  yG       x  G    3 3  1  xA  2(1  1) x   A  A(1; 4) +) M t khác ta có AM  2GM   2  yA  2(1  2)  yA  Khi BC qua M vuông góc AH nên có ph ng trình: x  y    5 ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có tâm I  ;  bán kính IA nên có ph  3 ng trình: 4   50   x   y   3  3  Suy t a đ B, C nghi m c a h :  x  x  y    x   y  B(3;0), C (1; 2)  y  2    4   50     x  1  B(1; 2), C (3;0) y  2y   x     y           y  V y A(1;4) , B(3;0) , C (1; 2) ho c A(1; 4) , B(1; 2) , C (3;0) Chú ý: Vi c tìm B, C toán b n có th trình bày theo góc nhìn c a m lo i nh sau: G i B(3  2t; t )  BC , : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 2 t   B(3;0)    50   5t  10t     IB  IA  IB  IA   2t     t    3  3  t   B(1; 2) Do M (1;1) trung m c a BC nên suy : B(3;0) , C (1; 2) ho c B(1;2) , C (3;0) 2 Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c đ x y  ng th ng qua A B có ph ng th ng  : ng trình x  y   Tìm t a đ A B bi t AB  , C (1; 1) hoành đ c a A l n h n hoành đ c a B Gi i: +) G i I trung m c a AB Do I  AB nên I (3  2m; m) tr ng tâm G   nên G(n;  n)  CG  (n  1;3  n) +) Suy  M t khác G tr ng tâm tam giác ABC nên :  CI  (4  2m; m  1) 3(n  1)  2(4  2m) 3n  4m  m  1  I (5; 1)    3CG  2CI   3(3  n)  2(m  1) 3n  2m  n  G(3; 1) +) Khi A, B thu c đ ng tròn tâm I (5; 1) bán kính R  AB  2 Suy t a đ A, B nghi m c a h : 3    A 6;   4; x y   x  y   x   y   2           2  x  6; y    B  4;  ( x  5)  ( y  1)  ( y  1)      3  1  +) V y A 6;   B  4;  2   2 Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy Tìm t a đ đ nh l i c a tam giác ABC bi t A(5; 2) , ph trình đ ng trung tr c BC , đ ng trung n CD l n l t có ph ng ng trình x  y   x  y  16  Gi i : +) G i M trung m c a BC nên M thu c đ ng th ng x  y    M (3t1  1; t1 ) G i G tr ng tâm tam giác ABC , G  CD  G(4  3t2 ; 4t2 ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy   AM  (3t1  6; t1  2) Suy    AG  (3t2  1; 4t2  2)  3t1    3t2  1 t1   2t1  3t2  3     +) Khi AM  AG    M (2;1) t1  6t2  1 t2   t    4t     +) BC qua M (2;1) vuông góc v i đ ng th ng x  y   nên có ph ng trình : 3x  y   4 x  y  16  x    C (1; 4) Khi t a đ m C nghi m c a h  3x  y   y  +) Do M (2;1) trung m c a BC , suy B(3; 2) V y C (1; 4), B(3; 2) Nh n xét : Ngoài cách gi i ví d b n có th tham kh o cách gi i th hai sau : + ) G i M trung m c a BC  D(4  3n; 4n) Do D, M l n l t n m đ ng x  y  16  x  y   nên g i   M (3m  1; m)  B(6n  3; 8n  2)  C(6m  6n  5;2m  8n  2) + ) Ta có C  CD  4(6m  6n  5)  3(2m  8n  2) 16   m   M (2;1) + ) BC qua M (2;1) vuông góc v i đ nên BC có ph ng th ng x  y   ng trình: 3x  y   3x  y   x    C (1; 4) Khi t a đ m C nghi m c a h  4 x  y  16  y  Do M (2;1) trung m c a BC nên suy B(3; 2) + ) V y B(3; 2), C (1;4) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC Bi t trung n k t B l nl t có ph A đ ng cao k t ng trình x  y   x  y   Bi t M (1; 2) trung m c a AB Tìm t a đ m C Gi i : +) G i N trung m c a BC H hình chi u vuông góc c a B AC Ta s tìm t a đ m A, B theo cách trình bày sau :  A(3a  1; a )  AN Cách trình bày : G i  , M (1; 2) trung m c a AB nên ta có :  B(b; b  1)  BH Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy  xA  xB  xM 3a   b  2 a   A(4;1)     a  b   b   B(2;3)  yA  yB  yM Cách trình bày : G i A(3a  1; a )  AN , M (1; 2) trung m c a AB nên ta có :  xB  xM  xA  3a   B(3a  1;  a )   yB  yM  yA   a  A(4;1) Do B  BH  3a   (4  a )    4a   a     B(2;3) +) Vi c tìm t a đ m C ta có hai cách trình bày sau : Cách trình bày : AC qua A(4;1) vuông góc v i đ ng th ng BH : x  y    c  c  ng trình : x  y   G i C (c; c  3)  AC  N  ;    c2  c  M t khác N  AN        c   C (2; 5)   nên AC có ph Cách trình bày : G i N(3t  1; t )  AN  C  6t  4;2t  3  AC  (6t;2t  4) Ta có uBH  (1;1) , AC.uBH   6t  2t    4t    t  1  C (2; 5) V y A(4;1), B(2;3), C (2; 5) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có đ nh A(3;3) I (2;1) tâm đ ngo i ti p ng phân giác c a góc nh n A có ph l i c a tam giác ABC , bi t BC  +) ng tròn ng trình x  y  Tìm t a đ đ nh Gi i : ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có tâm I bán kính R  IA  nên có ph ng trình: (T ) : ( x  2)2  ( y 1)  +) Khi t a đ giao m c a đ ng phân giác góc A v i (T ) nghi m c a h : x  y  x  y    O(0;0) giao m th hai   2 x  y  ( x  2)  ( y  1)  Do OA phân giác c a góc A nên OI vuông góc v i BC t i trung m M c a BC 4 5 Khi đó: IM  R  CM        Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy +) M t khác BAC nh n nên ta có:   xM   (2) xM    IM   4 2 5 IM  IO  IO    M ;  IO 5 5  y   (1) y  M M 5   +) BC qua M vuông góc v i IO nên có ph ng trình: x  y   Suy t a đ m B, C nghi m c a h :  x    8 6  y  B(0; 2), C  ;    2 x  y    5 5   x     2   8 6 ( x  2)  ( y  1)  5    B  ;   , C  0;    5 5  x    8 6 8 6 V y B  0;  , C  ;   ho c B  ;   , C  0;  5 5 5 5 IM IM Chú ý: V i góc BAC nh n ta có IM  IO , n u BAC tù ta s d ng IM   IO IO IO Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân t i đ nh A , BM đ ng trung n K đ ng th ng qua A vuông góc v i BM c t BC t i E (2;1) , tr ng tâm tam giác ABC G(2; 2) Xác đ nh t a đ đ nh c a tam giác ABC Gi i : +) Do ABC cân t i A nên AG  BC  G tr c tâm tam giác ABE  EG  AB GE GF G i AG AB  F  , :    GE  GF MC MA Suy G trung m c a EF  F (2;3) Khi AB qua F (2;3) vuông góc v i EG nên có ph ng trình: y   +) G i B(b;3)  AB Ta có ABC  450  EFB vuông cân t i F , đó: b   B(4;3)  FB  FE  (b  2)2    b   B(0;3) +) V i B(4;3) Do G tr ng tâm tam giác ABC EG // AC nên ta có: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 2   2( xC  2)  xC    C (1;0) BE  EC   1   2( yC  1)  yC   x   3(2  2) x   A  A(1;3) CA  3EG   A     y 3(2 1) y  A  A +) V i B(0;3) t ng t ta đ c C (3;0), A(3;3) V y A(1;3), B(4;3), C(1;0) ho c A(3;3), B(0;3), C(3;0) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang ABCD v i đáy l n AD AD  2BC , đ nh B(4;0) , ph ng trình đ ng chéo AC : x  y   , trung m E c a AD thu c đ ng th ng  : x  y  10  Tìm t a đ đ nh l i c a hình thang ABCD , bi t cot ADC  Gi i : +) G i AE AC  I  , AD  2BC nên ABCE hình bình hành  I trung m c a BE  E (2;6) t t  G i E (2t  10; t )   I  t  3;  Mà I  AC  2(t  3)     t    2   I (3;3) +) M t khác BCDE hình bình hành nên Ta có BE  (2;6) g i C (c; 2c  3)  AC  BC  (c  4; 2c  3) Khi : cot EBC  cot ADC   cos EBC   BE.BC BE.BC  1  tan EBC  1 1   2   cos EBC  5 c 1 2(c  4)  6(2c  3) 2     5 40 (c  4)  (2c  3) 10  5c  20c  25 C (5;7) c   3c  22c  35      7 5 C  ;  c      +) V i C (5;7)  A(1;1), D(3;13) (do I , E l n l t trung m c a AC , AD ) 7 5  11 13   23  +) V i C  ;   A ;  , D  ;  (do I , E l n l t trung m c a AC , AD ) 3 7  3  3   11 13     23  V y A(1; 1), C(5;7), D(3;13) ho c A ;  , C  ;  , D  ;   3  3 7 3  Bài 10 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t x2 2 2  y2  m M  ;  Vi t ph 3 3 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 ng trình - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) đ Hình h c Oxy ng th ng  qua M c t E t i hai m A, B cho MA  2MB Gi i : x  y02   x02  y02   (1) +) Do M n m ( E ) nên t MA  2MB +) G i B( x0 ; y0 )  ( E )  2    xA   2  x0    xA   x0     MA  2MB     A(2  x0 ;  y0 ) 2   y y 2    A  y   2 y     A 3   +) Mà A ( E )  (2  x0 )2  (2  y0 )   x02  y02  x0  y0   (2) +) T (1) (2) ta đ  B(0;1)  x0  0; y0  2   x0  y0    ch :     8 3  B ;  x y ;   x y x y       0 0  5   5   8 3 V i B(0;1)   : x  y   ; V i B  ;    : x  14 y  10  5 5 V y x  y   ho c x  14 y 10  Bài 11 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có A(5; 7) , M m cho ng th ng qua DM có ph 3MA MB  i m C thu c đ ng th ng d : x  y   x  y  57  Tìm t a đ đ nh c a tam giác BCD bi t m B có hoành đ âm Gi i : +) G i I giao m c a AC DM Do AM // DC nên áp d ng Ta – let ta đ AI AM AM AI       AC  AI CI DC AB AC  AC  (c  5; c  11) C (c; c  4)  d    +) G i   7a  57  7a  15     I  a ;   DM  AI   a  5;       ng trình c: c   5(a  5) c  c  5a  20   Khi AC  AI    7a  15   21  C (1;5) c  11  6c  35a  141 a     7t  15   7t  57   +) G i M  t;   DM  AM   t  5;  Khi :     Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy  xB   4.(t  5)  xB  4t  15 14t  51     3MA MB   AB  AM   7t  15   14t  51  B  4t  15;   yB   yB       14t  30     AB   4t  20;     Suy  CB   4t  16; 14t  66       +) Ta có: AB  CB  ABCB   (4t  20)(4t  16)  (14t  30)(14t  66) 0  B(3; 3) t   17t  132t  243    81    69 89  B t  ;   17 17   17 Do B có hoành đ âm nên ta đ c B(3; 3)  xD    (3) x   D  D(9;1) +) ABCD hình ch nh t nên CD  BA    yD   7  (3)  yD  V y B(3; 3), C(1;5), D(9;1) Bài 12 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có AC  AB i m M (1;1) trung m c a BC , m D thu c BC cho AD đ i x ng v i AM qua tia phân giác góc BAC ng th ng có ph ng trình d : 3x  y   qua D Xác đ nh t a đ đ nh B c a tam giác ABC , bi t C thu c đ ng th ng d ' : x  y   Gi i : +) G i N trung m c a AC , E chân đ ng phân giác c a góc BAC G, H , P l n l t giao m c a BN v i đ ng AM , AE, AD Khi ABN cân t i A Do AE phân giác c a BAC DAM ; G tr ng tâm tam giác ABC  NB NB  NB Suy PG  HG   NH  NG      NG  PG  PB    hay P trung m c a BG +) Lúc ta s ch MD  CM Th t v y: m m m    AD  mAP  AB  AG  AB  AM  AD  mAP t    MD nMB   AD  AM  MD  AM  nMB  AM  n MA AB  n AB  (1  n) AM      Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy  m m n   m m 2  Suy AB  AM  n AB  (1  n) AM     m  1 n n  3    3 Khi MD  MB  CM hay MD  CM 5  MD  (2d  1;3d  3)  D(2d ;  3d )  d  , đó: +) G i   (1 ; 6) CM c c    C (c;7  c)  d '    2d   1  c   10d  3c  d  1  MD  CM      C (6;1) 5d  c  11 c  3d    c    Do M (1;1) trung m c a BC  B(4;1) V y B(4;1) Hocmai.vn – Ngôi tr Giáo viên Ngu n ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 6  m m n   m m 2  5 Suy ra AB  AM  n AB  (1  n) AM    2 3  m  1 n n  3 3  5   3 3 3 Khi đó MD  MB  CM hay MD  CM 5 5 5  MD  (2d  1;3d  3)  D(2d ; 4  3d )  d  , khi đó: +) G i   (1 ; 6) CM c c    C (c;7  c)  d '   3  2d  1  1  c   10d  3c  8 d  1 3. .. 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng th Là nhóm các khóa h c t ng ôn nh...  3  2d  1  1  c   10d  3c  8 d  1 3  5 MD  CM      C (6;1) 5 5d  c  11 c  6 3d  3  3  c  6   5 Do M (1;1) là trung đi m c a BC  B(4;1) V y B(4;1) Hocmai.vn – Ngôi tr Giáo viên Ngu n ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam 5 L I ÍCH C A H C TR C... a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian đi l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: đã có h n 30 0 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h