Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình học không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng giảng Các toán tiếp tuyến thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng (Bài tập tự luyện dung chung cho phần) x2  x  Bài Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có hoành độ 3x  Giải Ta có y '  y 1  3x  x   3x  1 Lần lượt thay x  vào các biểu thức y y ' , ta được y ' 1   Suy phương trình tiếp tuyến với  C  M là: 1  : y    x  1    : y   x  8 Bài Cho y  x3  x2  5x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục hoành Giải Từ phương trình  C  , cho y  ta được: x3  x  x     x  2 x  1  x  2 0    x  1 Suy  C  có hai giao điểm với trục hoành M1  2;0  M  1;0  Từ y '  3x  8x  suy y '  2   , y '  1  Do phương trình tiếp tuyến với  C  các điểm M , M lần lượt là: 1 : y   x     1 : y  x  , 2 : y   x  1    : y  Bài Cho y  x  x  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc  C  Giải Ta có  x0  1 y '  x0    x02  x0    x02  x0      x0  Ta có y  1  , y     Suy tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: 3 13 1 : y   x  1   1 : y  x  , 3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) 2 : y   x  2  Hình học không gian 14  2 : y  2x  3 Bài Cho y  x3  x   C  y  x  x   C ' Chứng minh  C   C ' tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung Giải Ký hiệu f  x   x  x  g  x   x  x  Xét hệ:  f  x   g  x    f '  x   g '  x  Ta có  I  I    x3  x  4x  x  x   x  x         x ' 3x   x   x3  x     x  x  '       Vậy  C   C ' tiếp xúc điểm có hoành độ  1 g     1      phương trình tiếp tuyến chung là: y   x    hay y  x   2  g '        Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; 2  tiếp xúc với parabol y  x  x Giải Phương trình đường thẳng qua A 1; 2  có hệ số góc k có dạng  : y  k  x  1    : y  kx  k  Xét phương trình x2  x  kx  k  hay x   k   x  k  1 (    k     k   )  k  2  tiếp xúc với parabol cho  1 có nghiệm kép      k   k  2   : y  2  x  1    : y  2 x  k    : y   x  1    : y  x  Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y  2 x y  x  1 x 1  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cách I   ;   2x 1  2 khoảng 10 Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hoành độ x0 ( x0   ) là: Bài Cho y   : y  y '  x0  x  x0   y  x0   : y  3  x0  1  x  x0    x0   : 3x   x0  1 y  x02  x0   x0  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  d  I;      x0  1  x02  x0  2   x0  1 Hình học không gian x0     x0  1 Do đó: d  A;     10 x0    x0  1  10  x0 x  x0  1     x0  1  10  x0  1      x0  x0  1    x0  0  1 1  2    y '  x0   3   : y  3x  x0    y x         y '  x0   3   : y  3  x  1    : y  3x  x0  1   y x         1  y '  x0      : y    x  1   : y   x  x0    3  y  x0      1  y '  x0      : y    x  2 1   : y   x  x0  2   3  y  x0   1  1 Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  3x  , y  3x  , y   x  , 3 y  x 3 Bài Cho y  x3  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  1; 9   C  Giải Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng  : y  k  x  1   tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm I  4 x3  x   k  x  1     12 x  12 x  k 1  2 Thế   vào 1 ta có:  x  x  x   12 x  12 x   x  1   x  3x  x      x  1 Do đó:  I  có nghiệm  x  nghiệm   x  1 nghiệm   15 15 15 21   : y   x  1    : y  x   Thay x  vào   ta có k  4 4 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  Hình học không gian Thay x  1 vào   ta có k  24   : y  24  x  1    : y  24 x  15 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  C  y  15 21 x  , y  24 x  15 4 Bài 8: Cho (C): y = 2x3 – 6x2 – 12x - Viết PTTT biết: a) Tiếp tuyến // với đt y = 6x – b) Tiếp tuyến  với đt y  x  c) Tiếp tuyến tạo với đt y   x  góc 450 Lời giải: a, Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 6x – có dạng (d): y = 6x + b với b ≠ -  2 x  x  12 x   x  b Điều kiện để (d) (C) tiếp xúc hệ sau có nghiệm:   6 x  12 x  12   x  1 Từ x  12 x  12   x  x     x  - Với x = -1  b = - Với x =  b = - 59 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn toán : (d1): y = 6x + (d2): y = 6x – 59 b, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  có hệ số góc k = -3 Phương trình hoành độ tiếp điểm là:   10  x1  y '  x  12 x  12  3  x  x       10  x2   - PTTT x1   10 là: y  3( x  x1 )  y( x1 )  3x  18  10 2  10 là: y  3( x  x2 )  y( x2 )  3x  (18  10) c, Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm Theo giả thiết ta có: - PTTT x2  k  k k1  k2 2k  tan    tan 45    2k   k    k   1  k1k2 k  1 k  - Với k = ta có phương trình hoành độ tiếp điểm:   14  x1  y '  x  12 x  12   x  12 x  15      14  x2   + PTTT x1   14 y  3( x  x1 )  y( x1 ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình học không gian  14 y  3( x  x2 )  y( x2 ) - Với k = -1 ta có pt hoành độ tiếp điểm: + PTTT x2   18  954 x3   18 y '  x  12 x  12    18 x  36 x  35     18  954  x4  18  + PTTT x3  18  954 y   ( x  x3 )  y ( x3 ) 18 18  954 y   ( x  x4 )  y( x4 ) 18 Bài 9: Tìm các điểm trục hoành mà từ kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x3 + 3x2 có tiếp tuyến vuông góc với Lời giải: Lấy M(m; 0) thuộc trục hoành Ox Đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình y = k(x – m) = kx – km tiếp xúc với (C) + PTTT x4   x3  3x  kx  km (1)  có nghiệm  Hệ  x  x  k (2)   Thế (2) vào (1) ta có: x3 + 3x2 = (3x2 + 6x)(x – m) x   x(2 x  (3  3m) x  6m     x  (3  3m) x  6m  Để từ M kẻ được tiếp tuyến đến (C) có tiếp tuyến vuông góc thì phương trình g(x) = 2x2 + (3 – 3m)x – 6m = phải có nghiệm phân biệt x1; x2 khác cho k1.k2 = - (k xác định theo x (2))   (3  3m)  48m  9m2  30m       g (0)  6m   m  (3x  x )(3x  x )  1 9 x x (2 x  1)(2 x  1)  1 2    3  m  1  m  3 m   27  m   9(3m)(12m  3m   1)  1  m  3    27   3    3   Vậy có điểm thỏa mãn là: M1  M2  ;0   27   27 ;0      3x  Bài 10: Cho (C): y  M  (C) Gọi I giao đường tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận x 3 A B Chứng minh a M trung điểm AB b SΔIAB không đổi Lời giải: a, Đồ thị (C) có TCN: (d1): y = TCĐ: (d2): x =  Tọa độ điểm I(3; 3) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình học không gian 10   Lấy điểm M   m;3    (C ), m  Tiếp tuyến M có dạng: m  10 10 20 30    y   x  3   m m m m   Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) là: (d ) : y  y '(3  m)( x  (3  m))   10 20 30  3x  1   1   x  3      x     x  1     m m m  x 3 m  m m   m m  Dễ thấy phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x2 Gọi A(x1; y1) B(x2; y2)  m m  2m   x ; y  y   10 ( x  x )    20  30    20  y Ta có: x1  x2  M 2 M   m2 m m2  m  m2 Vậy M trung điểm AB b, Do tam giác IAB vuông I, mà M trung điểm AB nên ta có:  SIAB  10 IA.IB  2d (M , d1 )).d (M , (d ))  m  20 m Vậy diện tích tam giác IAB không đổi Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tuấn : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng -