Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) KHO NG CÁCH GI A Hình h c không gian NG CHÉO NHAU ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây đáp án BTTL kèm v i gi ng Khoáng cách đ ng chéo thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn c n k t h p xem tài li u v i gi ng có th n m v ng ki n th c ph n này, b n a 17 , hình chi u vuông góc H c a S m t ph ng ( ABCD) trung m c a đo n AB G i K trung m c a đo n AD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a , SD  Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng HK SD Gi i: Ta có  17a  a   a2   a   Do HK // BD  HK // (SBD)  d ( HK, SD)  d ( HK,(SBD))  d ( H ,(SBD)) (1) K HE  BD ( E  BD )  BD  (SHE ) SH  ( ABCD)  SH  HD  SH  SD  HD  SD  ( HA2  DA2 )  S F B C E H A K D  HF  BD  HF  ( SBD)  d ( H , ( SBD))  HF (2) K HF  SE ( F  SE ),   HF  SE a a Xét tam giác HEB , ta có: HE  HB sin HBE  sin 450  2 Xét tam giác SHE , ta có: 1 1 25 a (3)       HF  2 3a 3a HF SH HE a T (1); (2) (3), suy d ( HK , SD)  a Bài (D – 2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i A , m t bên SBC tam giác đ u c nh a m t ph ng ( SBC ) vuông góc v i m t đáy Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA, BC Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Gi i: ( Ta s ch đ c BC  SA nên s d ng đo n vuông góc chung c a hai đ ng th ng SA, BC ) K HK  SA (1) ( K  SA)  BC  SH Ta có   BC  ( SHA)  BC  HK (2)  BC  AH S T (1), (2) , suy d (SA, BC )  HK Tam giác SBC đ u c nh a nên SH  a K BC a Ta có AH   Xét tam giác SHA : 2 C B H 1 4 16 a       HK  2 3a 3a HK SH AH a V y d (SA, BC )  A a Bài (A, A1 – 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S m t ph ng (ABC) m H thu c c nh AB cho HA = 2HB Góc gi a đ ng th ng SC m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA BC theo a Gi i: Ta có SH  ( ABC ) , suy  SC,( ABC )   SCH  600 S D ng m D cho ADBC hình bình hành Khi BC // AD  BC // ( SAD)  d ( BC, SA)  d ( BC,(SAD))  d ( B,(SAD)) (1) d ( B, ( SAD)) BA    d ( B, ( SAD))  d ( H , (SAD)) (2) d ( H , ( SAD)) HA K HI  AD ( I  AD ), suy AD  (SHI ) (*) K A K HK  SI ( K  SI ), mà HK  AD (theo (*)) Suy HK  (SAD)  d ( H ,(SAD))  HK (3) 600 2a a Ta có AH  AB  , suy HI  AH sin 600  3 Xét tam giác ACH ta có: CH  a  Suy SH  CH tan 600  D H C B 4a 2a a a  2a   CH  9 a a 21 3 3 1 3 24 a 42       HK  2 7a 7a 12 HK SH HI a Xét tam giác SHI , có: I (4) a 42 Bài (A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a; hai m t ph ng (SAB) (SAC) vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M trung m c a AB; m t ph ng qua SM song song v i BC, c t AC t i N Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) (ABC) b ng 600 Tính T (1), (2), (3), (4) ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr c: d ( BC , SA)  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) kho ng cách gi a hai đ Hình h c không gian ng th ng AB SN theo a Gi i: ( SAB)  ( ABC ) Ta có   SA  ( ABC )  CB  ( SAB) ( SAC )  ( ABC ) S Khi  (SBC ),( ABC )   SBA  600 H  SA  AB tan 600  2a T N k đ ng th ng  , song song v i AB K AI   ( I   ), suy   (SAI ) (*) I K AH  SI ( H  SI ), mà   AH (theo (*)) Suy AH  (SIN)  d ( A,(SIN))  AH N A Ta có AB // IN  AB // ( SIN )  d ( AB, SN)  d ( AB,(SIN))  d ( A,(SIN))  AH (1) Ta có AINM hình ch nh t , nên AI  MN  Xét tam giác SAI ta có: 2a 600 M BC a B 1 1 13 2a 39  2  2   AH  2 2 12a 13 AH AI AS a 12a T (1) (2), suy d ( AB, SN )  C 2a (2) 2a 39 13 Bài (D – 2008) Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , c nh bên AA'  a M trung m c a BC Tính theo a kho ng cách gi a hai đ Gi i: ng th ng AM, B’C G i N trung m c a BB ' , B ' C // MN  B ' C // ( AMN ) Suy d ( B ' C, AM )  d ( B ' C,( AMN))  d (C,( AMN))  d ( B,( AMN)) (1) B' A' K BI  AM ( I  AM )  AM  ( NBI ) (*) K BH  NI ( H  NI ), mà BH  AM (theo (*) Suy BH  ( AMN)  d ( B,( AMN))  BH (2) N BC a BB ' a Ta có BN  ; BM    2 2 Xét tam giác BNI , ta có: 1 1 1       2 2  2 2 2 BH BN BI BN BM BA a a a a  BH  C' H B a (3) A I M C a Bài Cho hai tam giác đ u ABC, ABD không n m m t m t ph ng Bi t AB  a CD  2a T (1), (2), (3), suy d ( B ' C , AM )  Tính kho ng cách gi a hai đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng th ng AB CD Gi i: ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian G i M trung m c a AB Do ABC, ABD tam giác đ u a c nh a nên suy CM  DM   AB  CM  AB  (CMD) (*)   AB  DM G i N trung m c a CD , đó: MN  CD Mà MN  AB (theo (*)), suy MN đo n vuông góc chung c a AB CD , đó: d ( AB, CD)  MN Ta có CN  D N C A M CD  a , xét tam giác MNC ta có: B a 3 a a V y d ( AB, CD )  MN  CM  CN     a  2   2 Bài Cho l ng tr ABC A' B ' C ' có đáy tam giác đ u c nh a i m A' cách đ u ba m A, B, C Góc gi a AA' m t ph ng ( ABC ) b ng 600 Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng A' B CC ' Gi i: A' A 600 C' B' a K H N C M B G i H tr ng tâm tam giác ABC M trung m c a BC , A' ABC hình chóp đ u Suy A' H  ( ABC ) , suy góc t o b i AA' m t ph ng ( ABC ) góc A' AH  600 Tam giác ABC đ u c nh a nên a a a tan 600  a  A' H  AH tan A' AH   AH  AM  3 Ta có CC '/ / AA'  CC '/ /( ABB ' A')  d ( A' B, CC ')  d (CC '( ABB' A'))  d (C,( ABB' A')) AM  d (C , ( ABB ' A')) CN    d (C, ( ABB ' A'))  3d ( H , ( ABB ' A')) d ( H , ( ABB ' A')) HN Suy d ( A' B, CC ')  3d ( H ,( ABB ' A')) (1) G i CH ( ABB ' A')   N  D ng HK  A' N ( K  A' N ), đó:  AB  ( A' NH )  AB  HK  HK  ( ABB ' A')  d ( H , ( ABB ' A'))  HK (2)   HK  A' N Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian 1 a a Ta có HN  CN   3 Xét tam giác A' NH , ta có: 1 1 12 13 a 13 (3)       HK  2 13 HK A' H HN a a a T (1); (2) (3), suy ra: d ( A' B, CC ')  3a 13 13 Bài Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình ch nh t v i AB  a , BD  a M t bên SAB tam giác đ u n m m t ph ng vuông góc v i đáy G i M m thu c c nh SD cho MD  2MS Tính theo a kho ng gi a hai đ ng th ng AD MC Gi i: ( SAB)  ( ABCD) a  G i H trung m c a AB  SH  AB SH  Do ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD) ( SAB)  SH  AB  Ta có AD // BC  AD // ( MBC )  d ( AD, MC)  d ( AD,(MBC))  d ( A,(MBC) Cách 1: Dùng k thu t chuy n đ nh S M K A D T H B G i AC I C DH  T , T tr ng tâm c a tam giác ABD  DT DM 2  MT // SH TH MS Suy MT  ( ABCD) K TI  BC ( I  BC ), suy BC  (MTI ) TK  BC  TK  ( MBC )  d (T , ( MBC ))  TK (1) K TK  MI ( K  MI ),  TK  MI Ta có TI CT 2 2a 2 a a MT DM    MT  SH      TI  AB  3 SH DS AB CA 3 1 21 2a 21 (2)       TK  2 4a 4a 21 TK MT TI a d ( A, ( MBC )) AC ( MBC )  C     d ( A, ( MBC ))  d (T , ( MBC )) (3) d (T , ( MBC )) TC Xét tam giác MTI , ta có: M t khác: AT T (1); (2) (3), suy ra: d ( A, ( MBC ))  Hocmai.vn – Ngôi tr a 21 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Cách 2: (Làm tr c ti p) S M N E A D H B C  AD  SH  AD  ( SAB)  MN  (SAB) Trong tam giác SAD , k MN // DA ( N  SA) Ta có   AD  AB  AE  MN  (MBC ) K AE  BN ( E  BN ), đó:   AE  ( MBC )  d ( A, ( MBC ))  AE  AE  BN  (MBC ) NA MB 2 a2 a2 Ta có    SBNA  SBAS   SA SD 3 Áp d ng đính lý cosin tam giác NBA, ta có: 4a 2a 7a a BN  AB  AN  AB AN.cos NAB  a   2.a .cos 60   BN  9 2 2 a2 2S  a 21 V y d ( A, ( MBC ))  a 21 Suy AE  BNA  BN 7 a Bài Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có A' ABD hình chóp đ u, AB  AA'  a Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB ' A' C ' Gi i: B' C' I A' D' K a a A Hocmai.vn – Ngôi tr C B H M O D ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian G i H tr ng tâm tam giác ABD Do A' ABD hình chóp đ u, nên A' H  ( ABD) hay A' H  ( ABCD) Tam giác ABD đ u c nh a nên AO  Khi A' H  A' A2  AH  a  2 a a a  AH  AO   3 3a a  G i A' C ' B ' D '  I  Do A' C ' // AC  A' C ' // ( B ' AC )  d ( AB ', A' C ')  d ( A' C ',( B ' AC ))  d ( I ,( B ' AC )) (1)  a  IM  A' H  K IM  AC ( M  AC )  IM // A' H    IM  ( A' B ' C ' D ')  Ta có ( B ' AC ) ( A' B ' C ' D ')   // A' C '    IM Do IB '  AC  IB '      ( IB ' M )  IK    IK  ( B ' AC )  d ( I , ( B ' AC )  IK (2) K IK  B ' M ( K  B ' M ), đó:   IK  B ' M B ' D ' BD a Ta có IB '    Xét tam giác IB ' M , ta có: 2 1 11 a 22       IK  2 2a 2a 11 IK IB ' IM a (3) a 22 11 Bài 10 Cho hai tia chéo Ax, By h p v i góc 600 , nh n AB  a làm đo n vuông góc chung T (1); (2) (3), suy ra: d ( AB ', A' C ')  Trên tia By l y m C cho BC  a G i D hình chi u vuông góc c a C lên Ax Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AC BD Gi i: D ng tia Az song song chi u v i By , đó: C ( Ax, By)  ( Ax, Az)  xAz  600 y a Qua B , d ng đ ng th ng song song v i AC c t đ ng th ng Az t i m E , ACBE hình bình hành B Do AE  BC  a ; EAD  1200 AC // BE  AC // ( BDE ) a Suy d ( AC, BD)  d ( AC,( BDE))  d ( A,( BDE)) (1) K AI  ED ( I  ED ) AH  BI ( H  BI ) Khi ED  ( ABI )  ED  AH  AH  ( BDE ) Suy d ( A,( BDE))  AH (2) D ng CK  Az ( K  Az )  CK // AB  AB  Ax  AB  Ax   AB  ( ADK ) Mà   AB  By  AB  Az z K A H E I D x Suy CK  ( ADK)  CK  AD M t khác CD  AD (gi thiêt), : AD  (CDK)  AD  DK hay tam giác ADK vuông t i D Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ta có ABCK hình vuông nên AK  BC  a  AD  AK cos 600  Hình h c không gian a Xét tam giác ADE , ta có: DE  AE  AD  AE AD cos1200  a  Ta có: SAED a2 a   7a a  2a      ED   2 1 AE AD sin1200  AI DE  AE AD sin1200  AI   2 DE Khi xét tam giác vuông ABI , ta có: T (1); (2) (3), suy d ( AC , BD)  a a 2 a a 1 1 28 31 a 93       AH  2 3a 3a 31 AH AB AI a a 93 31 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr (3) ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -