Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình học không gian KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng giảng Khoảng cách từ điểm tới mặt thuộc khóa học: Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A ; AB  a Biết mặt phẳng ( SAB) mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với đáy, góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) S 600 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) Giải: ( SAB)  ( ABC )   SA  ( ABC ) Do ( SAC )  ( ABC ) ( SAB) ( SAC )  SA  K 600 A Suy góc tạo SB mặt phẳng ( ABC ) ABS  600 B a Gọi I , K hình chiếu vuông góc A BC, SI Khi BC  AI ; BC  SA  BC  (SAI )  BC  AK I Mặt khác AK  SI  AK  (SBC )  d ( A,(SBC ))  AK C Xét tam giác SAB có : SA  AB tan ABS  a.tan 600  a Xét tam giác tam giác ABC có AI  Xét tam giác SAI có: AC a  2 1 1 a 21 a 21       AK   d ( A, ( SBC ))  2 AK AS AI 3a a 3a 7 Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) Giải: A'C a Do tam giác A’AC vuông cân, suy AA '  AC   2 A' Kẻ AH  A ' B ( H  A ' B ) (1) B' Do CB  ( ABB ' A ')  CB  AH (2) Từ (1) (2) suy AH  ( BCD ' A ')  d ( A,( BCD '))  d ( A,( BCD ' A '))  AH Ta có ABCD hình vuông nên AB  H D' AC a  2 C' A B Xét tam giác ABA ' ta có: D Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 C - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình học không gian 1 a       AK  2 AH AA ' AB a a a Vậy d ( A,( BCD '))  a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  1200 , M trung điểm cạnh BC SMA  450 Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC ) Giải: Kẻ AN  DC ( N  DC ) S Do ABCD hình thoi cạnh a BAD  1200 nên ABC, ADC tam giác cạnh a Suy AM  AN  a a a tan 450  2 Gọi H hình chiếu vuông góc A SN , đó: CD  AN  CD  ( SAN )  CD  AH  CD  SA mà AH  SN  AH  (SCD)  d ( A,(SCD))  AH Khi SA  AM tan BAD  Xét tam giác SAN ta có: H A B 450 1200 M D C N 1 4 a a hay d ( A, ( SCD))        AH  2 AH AS AN 3a 3a 3a 4 Bài Cho lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD  a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) ( ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ tâm hình chữ nhật ABCD đến mặt phẳng ( A1CD) A1 Giải: Gọi AC D1 BD  H   A1H  ( ABCD) Dựng HM  AD ( M  AD )  AD  ( A1HM ) Suy góc tạo mặt phẳng ( ADD1 A1 ) B1 C1 ( ABCD) HMA1  600 Ta có HM  AB a  2 a a  A1 H  HM tan HMA1  tan 600  2 Kẻ HI  CD ( I  CD) HK  A1I ( K  A1I )  CD  ( A1HI )  CD  HK  HK  ( ACD ) 600 A K M D I H B C ))  HK hay d ( H ,( ACD Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Ta có HI  Hình học không gian AD a  2 Xét tam giác A1HI ta có: 1 4 a       HK  2 HK A1H HI 3a 3a 3a a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB  AD  2a , CD = a; góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng Vậy d (H ,( ACD ))  ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , tính theo a khoảng cách từ I tới mặt phẳng ( SBC ) Giải: S ( SBI )  ( ABCD)  Ta có ( SCI )  ( ABCD)  SI  ( ABCD) ( SBI ) ( SCI )  SI  Kẻ IM  BC (M  BC )  BC  (SIM ) , suy góc tạo mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) SMI  600 Dựng IH  SM ( H  SM )  BC  IH  IH  (SBC )  d ( I ,(SBC ))  IH Ta có S ABCD  ( AB  DC ) AD (2a  a).2a   3a 2 S IAB  S IDC Suy S IBC A B H I AI AB ID.DC 3a    2 M D 3a  S ABCD  ( S IAB  S IDC )  C 3a 2S  5a Mặt khác: BC  ( AB  DC )2  AD2  a  IM  IBC  BC a Xét tam giác IHM ta có: IH  IM sin HMI  5a 15a 15a hay d ( I , ( SBC ))  sin 600  10 10 Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB '  a , góc đường thẳng BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600 ; tam giác ABC vuông C BAC  600 Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ( ABC ) Tính theo a khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( BCC ' B ') Giải: Gọi I trung điểm AC Do B ' G  ( ABC ) , suy góc tạo BB ' mặt phẳng ( ABC ) B ' BG  600 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) B'  a  B ' G  BB '.sin B ' BG    BG  BB '.cos B ' BG  a  BI  BG  3a  2 Do BAC  60 nên BC  AC.tan 60  AC  AC  9a Ta có: BC  CI  BI  AC     16   A' C' 0 Hình học không gian B 600 H A G 3a 13 3a 13  AC   CI  26 52 I K C GK BG 2 a 13 Kẻ GK  BC ( K  BC )  GK / /CI  BC  ( B ' GK ) (1)    GK  CI  CI BI 3 26 Kẻ GH  B ' K ( H  B ' K ) (2) Theo (1) suy BC  GH (3) Từ (2) (3) suy GH  ( BCC ' B ')  d (G,( BCC ' B '))  GH Ta có 1 52 160 a 30 a 30 hay d (G, ( BCC ' B '))        GH  2 GH GB ' GK 3a a 3a 40 40 Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng ( SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh BC, CD H hình chiếu vuông góc S AB Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN ) Giải: ( SAB)  ( ABCD)  Ta có ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD)  SH  AB  Do AB2  4a2  SA2  SB2 , suy tam giác SAB vuông S Khi đó: 1 1 a       SH  SH SA SB a 3a 3a S Gọi I , K hình chiếu H MN , SI , : MN  (SHI )  MN  HK  HK  (SMN )  d ( H ,(SMN ))  HK Ta có CM  CN  a  MN  a AH  A K D SA a a 3a    BH  AB  AH  AB 2a 2 H Suy S AHND  S HBM  S NCM N I B M C a   a  2a 3a a  ( AH  DN ) AD HB.BM CN CM  a.a 11a         2 2 2  S HNM  S ABCD  ( S AHND  S HBM  S NCM  4a  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 11a 5a  4 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Khi HI  Hình học không gian 2S HNM 5a 5a   MN 4.a Xét tam giác SHI , ta có: Vậy d ( H , ( SMN ))  1 32 196 5a       HK  2 2 HK HI SH 25a 3a 75a 14 5a 14 Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông A , AC  a , BC  a Gọi M trung điểm AB MA ' C  600 Hình chiếu vuông góc điểm A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H MC Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA ' C ') Giải: Ta có A ' H  ( ABC ) , suy tam giác A ' MC cân A , mà MA ' C  600 nên A ' MC tam giác AB  a MC  MA2  AC  2a Ta có: AB  BC  AC  7a  3a  2a  AM  Vậy A ' MC tam giác có cạnh 2a nên A ' H  2a a Gọi N trung điểm BC , suy MN // AC mà AC // A ' C ' nên MN // A ' C '  (MA ' C ')  ( ABC )  MN ( (MA ' C ')  (MA ' C ' N ) ) Có NH đường trung bình tam giác MBC , s  NH / / AB MB a  uy NH   MN / / AC  NH  MN (1)  2  AB  AC  Gọi K hình chiếu H NA ' nên HK  A ' N (*) Ta có A ' H  MN (2) (do A ' H  ( ABC ) ) Từ (1) (2) suy MN  ( A ' HN )  MN  HK (2*) Từ (*) (2*) suy ra: HK  (MNA ') hay HK  (MA ' C ')  d ( H ,(MA ' C '))  HK Xét tam giác vuông A ' HN ta có: HK  Vậy d ( H , ( MA ' C '))  HN HA ' HN  HA '2  a a 2  a    a 2   a a 39  13 13 a 39 13 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a , BC  a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm H tam giác ABC Góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABC ) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAC ) Giải: Ta có SH  ( ABC )  AB  SH (1) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình học không gian Gọi E hình chiếu vuông góc H AB , suy AB  EH (2) Từ (1) (2), suy : AB  (SEH ) , suy góc tạo ( SAB) ( ABC ) : SEH  600 Gọi M , N trung điểm BC , AC Ta có: BM  AB )  BC a HE // BM (cùng vuông góc với  2 EH AH 2 a    EH  BM  BM AM 3 a 3a Gọi I , K hình chiếu H AC SI Khi đó: Xét SEH : SH  EH tan 600  2 1 a2 Vì AH  AM  S AHC  S AMC  S ABC  S ABC  3 3 a2 2S a  HI AC  HI  AHC   AC a  (a 3) 2 Mặt khác: S AHC Xét tam giác SHI , ta có: HK  d ( H , ( SAC ))  a    a  : HI  SH   HI SH a 3 a 13 hay    a  13   a 13 13 a Gọi M trung điểm BC BC vuông góc với mặt phẳng (SAM ) Biết góc tạo SM mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính theo a Bài 10 Cho hình chóp S ABC có BAC  1200 , BC  a , SA  khoảng cách trung điểm AM đến mặt phẳng ( SAC ) Giải: Do BC  (SAM ) , suy góc tạo SM mặt phẳng ( ABC ) SMA  600 (1) S BC a Ta có MC  AM  BC  2 Suy tam giác ABC cân A  CAM  600 K a a  AM  MC cot CAM  cot 600   SA (2) 2 Từ (1) (2) suy tam giác SAM Khi đó, gọi H trung điểm AM  SH  AM mà SH  BC (do BC  (SAM ) )  SH  ( ABC )  SH  AC Kẻ HI  AC ( I  AC )  AC  (SHI ) A I C H M B Dựng HK  SI ( K  SI )  HK  (SAC )  d (H ,(SAC ))  HK Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Ta có SAM tam giác cạnh Hình học không gian a a  SH  a a Xét tam giác AHI có HI  AH sin IAH  sin 600  Suy 1 16 64 80 a 15 a 15 hay d ( H , ( SAC ))        HK  2 HK SH HI 3a 3a 3a 20 20 Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | -