CHƯƠNG BẢY P H É P T Í N H V I P H Â N Quan sát xe chạy đường thẳng, muốn xét việc chạy nhanh chậm thời điểm t Ta mô hình toán học việc sau: ghi vị trí xe thời điểm s x(s) Với thời điểm s gần khác t, ta tính vận tốc trung bình xe khoảng thời gian từ t đến s nhö sau x(s) − x(t ) vt ,s = s−t x(t) x(r) x(s) 324 x(s) − x(t ) vt ,s = s−t x(t) x(r) x(s) Vận tốc trung bình vt,s cho thông tin việc chạy nhanh chậm xe thời điểm t Nếu s gần t hơn, vt,s cho thông tin xác việc chạy nhanh chậm xe thời điểm t Vậy để biết việc chạy nhanh chậm xe thời điểm t, ta phải xét vị trí x(r) xe thời điểm r tập hợp A Tập hợp A phải có tính chất : luôn có phần tử khác t gần325t Ta mô hình toán học ý tưởng bên sau Định nghóa Cho A tập khác trống — x ∈ — Ta nói x điểm tụ A với số thực dương δ ta tìm y ∈ A cho < |x - y | < δ Tập hợp tất điểm tụ A ký hiệu A* y x-δ x A x+δ $ y ∈ A … {( x - δ , x + δ ) \ {x}} $ y ∈ {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ∫ « x ∈ A* * ñ x ∈ (A \ x}) 326 Bài toán 73 Cho A = (0,1) x = Chứng minh x điểm tụ A Cho δ > 0, tìm y ∈ A cho Cho δ > 0, tìm y ∈ (0,1) cho < |x - y | < δ 0< |0-y| 0, tìm y ∈ (0,1) cho δ y=2 x-δ x 0< y 0, tìm y ∈ A cho Cho δ > 0, tìm y ∈ (0,1) cho < |x - y | < δ 0< |0-y| 0, tìm y ∈ (0,1) cho δ y=2 x-δ x 0< y 0, {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ∫ « ∃ δ > 0, {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) = « ∃ δ > 0, [2-1,1]… (- δ , δ ) = « Chọn δ = > x- x x+ = A 1 1 {A \ {x}} ∩ ( x − δ , x + δ ) = [ , 1] ∩ (− , ) = φ 4 329 Bài toán 76 Cho B tập hợp khác trống —, a ∈ B* Đặt A = B »{a} Chứng minh a ∈ A* ∀ δ > 0, ta coù {B \ {a}}… ( a - δ , a + δ ) ∫ « ∀ δ > 0, chứng minh {A \ {a}}… ( a - δ , a + δ ) ∫ « A \ {a} = B \ {a} ? A \ {a} = A ∩(— \ {a}) = (B »{a}) ∩(— \ {a}) = (B ∩(— \ {a}) )»({a}∩(— \ {a}) = B ∩(— \ {a}) = B \ {a} 330 Quan sát xe chạy đường thẳng, muốn xét việc chạy nhanh chậm thời điểm t Ta mô hình toán học việc sau • chọn tập hợp thời điểm A cho t điểm tụ A, • với thời điểm s ∈ A \ {t}, ta tính vận tốc trung bình vt,s xe khoảng thời gian từ t đến s • s gần t vt,s gần số thực v Ta nói v vận tốc tức thời xe thời điểm t x(s) − x(t ) vt ,s = s−t x(t) x(r) x(s) 331 Ta thử xem mô hình toán học ý tưởng bên sau Định nghóa Cho A tập khác trống —, c ∈ —, f hàm số thực A a ∈ A* Ta nói • f có giới hạn c a với số thực dương ε có số thực dương δ(ε) cho | f(x) - c | < ε vaøø ký hiệu ∀ x ∈ A với < |x - a| < δ(ε) , lim f ( x ) = c x →a 332 Bài toán 77 Cho A = [0,1] , a = vaø ⎧ x −1 ∀ x ∈ [0,1), ⎪ f (x) = ⎨ x − ⎪ neáu x = ⎩ Chứng minh lim f ( x ) = x →0 " ε > , tìm δ(ε) > cho | f(x) - 1| < ε ∀ x∈A với < |x - 0| < δ(ε) " ε > , tìm δ(ε) > cho | f(x) - | < ε ∀ x ∈ [0,1] với < x < δ(ε) x − ( x − 1)( x + 1) f ( x) = = = ∀x ∈ (3330,1) x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1 TÍNH GIỚI HẠN CÁC HÀM SỐ I † Dùng tính liên tục hàm số Cho f hàm số thực khoảng [a, b] liên tục f ( x) = f (c) ( Bài toán 79) c ∈ (a, b) Lúc lim x →c x − 4x + lim Bài toán 102 Tính giới hạn x→ x +x Đặt g( x ) = x − x + vaø h( x ) = x + x x − x + g( x ) f (x) = = x +x h( x ) f liên tục [1 , 3], ∀ x ∈[0,3] ∀ x ∈[1,3] x6 − x2 + 5 lim = f ( 3973) = ∈ (1,3) x→ x + x II † Dùng kết tập 7.7.3.1 n 2n lim x = ∞ lim x = ∞ x →∞ lim x x →−∞ n +1 x →−∞ lim+ x →0 x n +1 = −∞ =∞ lim n = ∞ x →0 x lim− n +1 = −∞ x →0 x x − x + Bài toán 103 Tính giới hạn lim x →∞ x +x −4 −6 x − x + x (1 − x −4 + x −6 ) − x + x = = x 4 −2 −2 x +x x (1 + x ) 1+ x 398 -4 - 4x + 5x -6 + x- x→∞ 0 x→∞ −4 x − 4x + + 5x 1− 4x = lim x lim −2 x →∞ x →∞ x +x 1+ x −6 =∞ 399 2x +1 Bài toán 104 Tính giới hạn xlim →1+ x − Đặt y = x -1 x = y +1 2x +1 = 2y + 2x +1 2y + lim+ = lim+ = lim+ (2 y + 3) x →1 x − y →0 y →0 y y lim+ (2 y + 3) = ∞ y →0 y 2x +1 lim+ =∞ x →1 x − 400 Bài toán 105 Tính giới hạn 2x +1 lim− x →1 x − Đặt y = x -1 x = y +1 2x +1 = 2y + 2x +1 2y + lim− = lim− = lim− (2 y + 3) x →1 x − y →0 y →0 y y lim− (2 y + 3) = −∞ y →0 y 2x +1 lim− = −∞ x →1 x − 401 Bài toán 106 Tính giới haïn lim( x − x + − x) x →∞ x − x + − x = ( x − x + − x) x2 − 5x + + x x2 − 5x + + x −5 + x −1 x2 − 5x + − x2 x(−5 + x −1 ) = = − x −1 + x −2 + x − x + + x x( − x −1 + x −2 + 1) −5 + x −1 lim( x − x + − x) = lim =402 − −1 −2 x →∞ x →∞ − 5x + x + III † Dùng kết tập 7.7.3.1 7.7.2.3 x x lim e = ∞, lim e = 0, lim ln x = ∞ lim ln x = −∞ x →∞ x →−∞ x →∞ x →0 Cho v hàm số thực dương (a, b) Đặt f(x) = ln(v(x)) với x (a,b) Ta coù (i) lim f ( x ) = d ⇔ lim v( x ) = ed , x →c x →c (ii) lim f ( x ) = ∞ ⇔ lim v( x ) = ∞ , x →c x →c (iii) lim f ( x ) = −∞ ⇔ lim v( x ) = x →c x →c Bài tập giúp ta tính giới hạn hàm số v 403 có dạng tích luỹ thừa δ lim x Bài toán 107 Cho δ > Tính giới hạn x →∞ Ñaët f(x) = lnxδ = δ lnx lim f ( x ) = ∞ x →∞ lim x = ∞ δ x →∞ 404 + 5x x ) Baøi toán 108 Tính giới hạn lim( x →0 x + + 5x x + 5x Ñaët f ( x ) = ln( ) = x ln( ) x +7 x +7 lim f ( x ) = x →∞ + 5x x lim( ) =1 x →0 x + 405 IV † Dùng tập 7.7.3.5 −n x n x (i) lim x e = ∞, lim x e = 0, ∀ n ∈ x →∞ x →−∞ ln x = (ii) lim x →∞ x Bài toán 109 Tính giới hạn lim x x x →∞ ln x Đặt f ( x ) = ln x = x x ln x =0 lim f ( x ) = lim x →∞ x →∞ x x lim x = x →∞ 406 Baøi toán 110 Tính giới hạn Đặt f ( x ) = ln x x2 lim x x2 x →∞ ln x = Đặt y = x2 x x→∞ y→∞ ln x ln y1/ ln y = = 2 y x y ln x ln y lim f ( x ) = lim = lim x →∞ x →∞ x y →∞ y 1/ lim x x →∞ x2 ln y ln y = lim = lim =0 y →∞ y y →∞ y =1 407 V † Dùng nguyên tắc Hôpital Bài toán 111 Tính giới hạn lim(1 + x ) x x →0 ln(1 + x ) Đặt f ( x ) = ln(1 + x ) = x x Đặt u(x) = ln(1+6x) , v(x) = x u’(x) = , v’(x) = ln(1 + x ) u( x ) u′( x ) = lim = lim = lim = lim f ( x ) = lim x →0 x →0 x → v( x ) x → v′( x ) x →0 x x lim(1 + x ) = e6 x →0 408 y + ) Baøi toán 112 Tính giới hạn lim(1 y →∞ y Ñaët x = y -1 x→0 ln(1 + x ) x Đặt f ( x ) = ln(1 + x ) = x y→∞ Đặt u(x) = 1+6x , v(x) = x u’(x) = , v’(x) = ln(1 + x ) u( x ) u′( x ) = lim = lim = lim = lim f ( x ) = lim x →0 x →0 x → v( x ) x → v′( x ) x →0 x y lim(1 + ) = lim(1 + x ) x = e6 409 → y →∞ x y VI † GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài toán 113 Tính giới hạn e −e +3 lim n →∞ 3e n + 2n n e −e +3 Đặt f ( x ) = 2x 3e + 2x x e − e + e (1 − e + 3e ) − e + 3e = = 2x 2x −2 x −2 x 3e + e (3 + 5e ) + 5e 2x x 2x −x −2 x −x −2 x e −e +3 lim = n n →∞ 3e +5 2n n 410 Bài toán 114 Tính giới hạn Đặt f ( x ) = x −5 x x +3 lim n −5 n n +3 n →∞ −5 x −5 Đặt g( x ) = ln x = ln x −1 7x + + 3x −5 lim g( x ) = lim ln x = −∞ − x →∞ x →∞ + x lim f ( x ) = x →∞ lim n n →∞ −5 n n +3 =0 411