1 Môn học: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Chương CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUÂT Giới thiệu Phân phối siêu bội Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối chuẩn Một số quy luật phân phối khác Phân phối siêu bội • Định nghĩa Bsnn X gọi có phân phối siêu bội, ký hiệu , hàm mật độ X có dạng  CKx CNn−−xK , x ∈ [max{0; n − N + K };min{n, K }]  n f ( x) =  CN 0, x ∉ [max{0; n − N + K };min{n, K }]  Chú ý: Nếu N phần tử có K phần tử có tính chất A, lấy n phần tử Gọi X số phần tử có tính chất A n phần tử lấy thìX : H ( N ; K ; n) Tính chất • Nếu X : H ( N ; K ; n) E ( X ) = np ; N −n D( X ) = npq N −1 Với p = K/N q = -p Ví dụ • Từ hộp đựng 15 cam có cam hư, lấy Gọi X số cam hư lấy ▫ a) Tìm quy luật phân phối xác suất X ▫ b) Tính kỳ vọng phương sai X ▫ c) Tính xác suất để lấy hư Phân phối nhị thức a Định nghĩa Bsnn X gọi có phân phối nhị thức, ký hiệu: X : B (n; p ) , hàm mật độ X có dạng C p q , x = 0,1, 2, , n f ( x) =  0, x ≠ 0,1, 2, , n x n x n −x b.Tính chất: E(X) = np D(X) = npq, với q = – p np − q ≤ Mod ( X ) ≤ np − q + • Ví dụ Trong vùng dân cư có 65% gia đình có máy giặt Chọn ngẫu nhiên 12 gia đình Gọi X số gia dình có máy giặt số 12 gia đình ▫ a) Tìm quy luật phân phối xác suất X ▫ b) Tính kỳ vọng phương sai X ▫ c) Tính xác suất nhận gia đình có máy giặt ▫ d) Hỏi khả cao nhận gia đình có máy giặt c Xấp xỉ phân phối nhị thức Khi cỡ mẫu n nhỏ so với kích thước N tổng thể xấp xỉ phân phối siêu bội phân phối nhị thức K p = , với H ( N ; K ; n) ; B (n; p ) N Chú ý: Khi kích thước mẫu nhỏ so với kích thước tổng thể việc lấy mẫu có hồn lại hay khơng hồn lại Tuy nhiên cỡ mẫu q lớn việc tính xác suất pp nhị thức gặp khó khăn người ta cần xấp xỉ pp Poisson hay phân phối chuẩn tùy theo giá trị n p Phân phối Poisson • a Định nghĩa • Bsnn X gọi có phân phối Poisson, ký hiệu X : P (λ ) ,nếu hàm mật − λ x X có dạng e λ , x = 0,1,2, , n  f ( x) =  x! 0, x ≠ 0,1,2, , n 10 b.Tính chất Nếu X : P (λ) E ( X ) = D( X ) = λ 20 Lưu ý Hàm Laplace Φ ( x) Φ ( − x ) = −Φ ( x ) hàm số lẻ Người ta lập bảng giá trị hàm Laplace, ghi giá trị Φ ( x) đoạn [0; 5] Khi x > 5, hàm Laplace tăng chậm, ta xem ( ) ( ) ( ) ∀x > 5, Φ x ≈ Φ ≈ 0, ≡ Φ +∞ 21 Lưu ý 2: • Liên hệ hàm Laplace tích phân Laplace: F( x) = Φ( x) + 0.5 • Tích phân Laplace hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên có pp Gauss • F( x) = P( X ≤ x) 22 e.Cơng thức tính XS PP chuẩn ( Nếu X : N µ; σ Do đó: ) X −µ : N 0; Y = σ ( ( ) − Φ( P ( X > a) = − Φ( ; ) P ( X < a) = + Φ( ) ( ) P a ≤ X ≤b =Φ b −µ σ a −µ σ a −µ σ a ) ) 23 Vớ d 1(nh trờn) ã Giả sử chiều cao người ta có phân ( ) phối chuẩn X : N 160 ( cm ) ;100(cm) Tính tỷ lệ số người có chiều cao khoảng từ 150cm đến 170cm Ví dụ 24 Trọng lượng loại sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg phương sai 100kg2 Một sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg a) Tính tỷ lệ sản phẩm loại A b) Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm, tính xác suất để nhận 50 sản phẩm loại A 25 a)  55 − 50   45 − 50  P( 45 ≤ X ≤ 50 ) = Φ  ÷− Φ  ÷ = 0,383  10   10  b) Gọi Y số sản phẩm loại A 100sp Ta có Y : B(100; 0,383 ) 50 P(Y = 50 ) = C100 0,38350 (1 − 0,383 )50 = 26 Xấp xỉ ( ) ( H N ; K ; n  → B n; p N >> n ) np< hay nq<   → P(np ) n > 50  →  np> ,nq>  → N np; npq ( ) Ví dụ Một nhà máy có 5000 ống sợi Xác suất để phút ống sợi bị đứt 0,0002 Tìm xác suất để phút có khơng q ống sợi bị đứt Giải Gọi X số ống sợi bị đứt phút, ta có X : B( 5000; 0,0002 ); np = < Ta xấp xỉ X phân phối Possoin X : P(1) Xác suất cần tìm P( X ≤ ) = P( X = ) + P( X = 1) + P( X = ) e−1 10 e−1 11 e−1 12 −1 = + + = e = 0! 1! 2! 27 28 Ví dụ 29 • Gọi X số sản phẩm không kiểm tra 400 sp Ta có 2000 X : 10000; 2000; 400 ; p = = 0, 10000 ( ) • Ta xấp xỉ X phân phối nhị thức ( ) X : B 400; 0, ; np = 80 > 5,npq = • Và tiếp tục xấp xỉ phân phối chuẩn ( X : N 80; • Chú ý: ) ( P( X = a ) ≈ P a − 0,5 ≤ X ≤ a + 0,5 P( X = 80 ) ≈ P(79,5 ≤ X ≤ 80,5 ) )  80,5 − 80   79,5 − 80  = Φ ÷− Φ  ÷ = 2Φ 0,06 = 2.0,0239 = 0,04 8     ( ) 30 • Xác suất để có từ 700 đến 100 sản phẩm loại A  100 − 80   70 − 80  P 70 ≤ X ≤ 100 = Φ  ÷− Φ  ÷ 8     = Φ 2,5 − Φ −1, 25 = Φ 2,5 + Φ 1, 25 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) • Cách khác: ( 100 ) ∫ P 70 ≤ X ≤ 100 = 70 2π  x − 80  −  ÷ 2  e dx = 31 Một số quy luật phân phối khác a Phân phối chi-bình phương  Nếu X : N (0;1) Y = X : χ (1) 2 X : χ ( r ); Y : χ ( s )  Nếu Z = X +Y : χ2 (r + s ) 32 b Phân phối student 33 c Định lý Lindeberg_Lévy 34