Đang tải... (xem toàn văn)
Để nhớ và hiểu sâu sắc các định nghĩa và định lý, chúng ta phải làm nhiều bài tập. Trăm hay không bằng tay quen. Khi đến 1 khu phố lạ ta bị lạc đường nhưng 1 đứa bé 10 tuổi có thể dẫn ta đi bất cứ ngóc ngách nào mà không lạc, đó chính là do quen. Để hiểu hết 1 cuốn sách toán ta cần hiểu từng trang, để hiểu hết 1 trang ta chỉ cần hiểu từng dòng và để hiểu mỗi dòng có lẽ là không khó lắm. Thật ra học toán là chúng ta học tại sao có dấu bằng ? Tại sao có dấu lớn hơn ? Tại sao có dấu nhỏ hơn? Tại sao có dấu suy ra và tại sao có dấu tương đương ? Để hiểu một bài toán ta cần phải nhớ các kiến thức căn bản chứa đựng trong định nghĩa và định lý. (Để nhớ các định nghĩa và định lý ta cần làm nhiều bài tập).
Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ phương (VTCP) (∆) ⇔ (∆) // giá a Nhận xét: Nếu a VTCP (∆) ka (k ≠ 0) VTCP (∆) tức (∆) có vô số VTCP II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN et Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x 0, y 0, z0) i.n x = x + a1t có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : y = y + a t ( t ∈ » ) z = z + a t Phương trình tắc: Phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y z − z có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát giao uth A1 x + B1 y + C1 z + D1 = tuyến hai mặt phẳng với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C A2 x + B y + C z + D = Phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 lie Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, tắc: ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = Cho (∆): ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C ) ( β ) : A2 x + B y + C z + D = tai n1 = ( A1 , B1 , C1 ) ⇒VTPT hai mặt phẳng ⇒ VTCP a = n1 , n n = ( A2 , B , C ) Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ x − x0 y − y z − z = = a1 a2 a3 Đặt tỉ số t suy dạng tham số Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Vị trí tương đối đường thẳng: Cho (∆ 1) qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Nếu [u , v ] ⋅ M M ≠ ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo et Nếu [u , v ] ⋅ M M = a1 : a : a ≠ b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) cắt (∆1), (∆2) song song i.n ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M = Nếu hệ phương trình vô nghiệm a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ ) ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M = Nếu hệ phương trình có nghiệm a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ ) uth (∆1), (∆2) trùng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): lie Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) Nếu n ⋅ u ≠ ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ (∆) cắt (α) Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C (∆) ⊥ (α) tai n ⋅ u = Aa + Bb + Cc = Nếu ⇔ (∆) // (α) M ∉ ( α ) Ax + By + Cz + D ≠ n ⋅ u = Aa + Bb + Cc = Nếu ⇔ (∆) ⊂ (α) M ∈ ( α ) Ax + By + Cz + D = Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Góc đường thẳng: Cho (∆1) qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) (( ∆ ) , ( ∆ ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác định bởi: cos ϕ = u ⋅v = u ⋅v a b1 + a b + a b a 12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b 32 Góc đường thẳng mặt phẳng: et Góc Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) sin ϕ = u ⋅n = u ⋅ n i.n Góc ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác định bởi: aA + bB + cC a + b + c2 Góc hai mặt phẳng: A2 + B + C cos ϕ = n1 n2 n1 n2 uth Góc mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 với n1 , n VTPT (α1), (α2) V KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: lie Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) Khoảng cách từ điểm M1(x1; y 1, z1) đến đường thẳng (∆) là: d ( M , ( ∆ ) ) = u ⋅ M M u Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: tai Cho (∆ 1) qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Giả sử ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo nhau, d ( (∆ ),(∆ ) ) = [ u , v ] ⋅ M 1M [u , v ] Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = là: d ( M , α) = Ax + By + Cz + D A2 + B + C VI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ( ∆ ) sử dụng dấu hiệu nhận ( α ) biết qua hệ thức véctơ et ( ∆ ) Phương pháp: Giải hệ PT tạo ; ( ∆ ) Bài Xét vị trí tương đối cách khác nhau: x = 9t ( ∆ ) : y = 5t z = −3 + t x − y + z + = x − y + = ( ∆ ) : i.n 2 x − y − 3z − = ( ∆ ) : y + 2z − = ( ∆ ) : x + z − = uth x + y = ; x = + 2t Bài Xác định giao điểm đường thẳng ( ∆ ) : y = − t ( t ∈ » ) với mặt z = + t phẳng ( α ) : x + y − z − = lie x + y + z − = Bài Xác định giao điểm đường thẳng ( ∆ ) : với mặt x + y − z − = phẳng ( α ) : x + y + z − = Bài Cho đường thẳng: tai x = 3t y+2 ( ∆ ) : y = − t , ( ∆ ) : x 1− = = z −3 , z = + t x − y + 3z − = ( ∆ ) : x − y + z + = a Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng với b Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) (∆ 3) Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng (α α) Phương pháp: Viết phương trình tham số đường thẳng (∆ ) qua M (∆ ) ⊥(α) Giao điểm H (∆ ) (α) hình chiếu vuông góc M lên (α) Bài Tìm hình chiếu vuông góc M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − z + = Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α α) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (α ) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) et Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), điểm M’ đối xứng M qua (α) Bài Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α): x + y – 3z + = i.n Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng (∆ ∆) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M (α ) ⊥ (∆ ) Giao điểm H (∆) (α ) hình chiếu vuông góc M lên (∆) Phương pháp 2: Viết PT tham số (∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t uth MH ⊥ u véctơ phương (∆) GPT MH ⋅ u = ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài Xác định hình chiếu vuông góc M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = −3 − 3t} Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆ ∆) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (∆ ) lie Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), điểm M’ đối xứng M qua (∆) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = − 3t} tai Dạng 6: Xác định hình chiếu vuông góc đường thẳng (∆ ∆) lên mặt phẳng (α α) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) điểm H≡ (∆) ∩ (α ) Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) đường thẳng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) (β ) ⊥ (α ) Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) đường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ) C2: Lấy điểm A, B phân biệt thuộc (∆ ) Xác định hình chiếu vuông góc A, B lên (α ) H1, H2 Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) đường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác định A ≡ (∆ ) ∩ (α ) Lấy M ∉ (∆) M ≠ A et Xác định hình chiếu vuông góc H M lên (α) Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) (∆ ’) ≡ AH i.n 5 x − y − z − = Bài Xác định hình chiếu vuông góc (∆): x + z − = lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – = Dạng 7: Xác định hình chiếu song song đường thẳng (∆ ∆1) lên (α α) theo phương (∆ ∆2) cắt (α α) uth Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song (∆ ) lên (α ) theo phương (∆ ) điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) (∆ ) không song song: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) // (∆ ) Hình chiếu song song (∆1) lên (α) theo phương (∆ 2) (∆) = (β) ∩ (α) lie 7 x + y − z − = Bài Xác định hình chiếu song song đt (∆1): lên (α): x + y + z + = y +1 z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = tai Dạng 8: VPT đường thẳng (∆ ∆) qua M cắt (∆ ∆1), (∆ ∆2) với (∆ ∆1), (∆ ∆2) chéo không qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1) Nếu cho (∆1) dạng tổng quát nên viết phương trình (α) dạng chùm Nếu (∆1 ) dạng tham số lấy điểm A, B ∈ (∆ ) Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG ⇒ Phương trình (α ) qua điểm A, B, M Nếu (α ) // (∆2 ) toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (∆ ) tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) Nếu MN // (∆ 1) toán vô nghiệm, MN cắt (∆ ) suy đường thẳng cần tìm (∆) ≡ MN Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) Nếu (∆) cắt (∆1 ) (∆ ) đường thẳng (∆ ) đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆1 ) (∆ 2) toán vô nghiệm et y − = Bài VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) (∆) cắt (∆1): , x − z − = (∆2): { x = + 2t , y = − t , z = + t} i.n Dạng 9: VPT đường thẳng (∆ ∆) cắt (∆ ∆1), (∆ ∆2) song song với (∆ ∆ 3) Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆ ), mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) // (∆ ) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) uth Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) (∆ ) đường thẳng (∆) đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆ 1) (∆ ) toán vô nghiệm Phương pháp 2: Viết phương trình tham số (∆1 ) theo t1, (∆ 2) theo t2 Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆ ) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2 ⇒ MN theo t1, t2 Xác định t1, t2 cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆ ), (∆ 2) song song với (∆3 ) (∆ ) ≡ MN lie Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) giao điểm (∆) (∆ 1) (∆) nhận VTCP (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số (∆) theo x0, y0, z0 ( ∆ ) (∆ ) cắt (∆ 2) suy hệ có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ ) tai y − = Bài VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1): , (∆2): x − z − = { x = + 2t , y = − t , z = + t} // với trục Oz Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG y + z −1 y −3 z −9 Bài VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − = = , (∆2): x − = = 1 y+3 z−2 // (∆3): x + = = −2 10 Dạng 10: VPT đường thẳng (∆ ∆) qua M vuông góc (∆ ∆1), cắt (∆ ∆2) M ∉ (∆ ∆1), (∆ ∆ 2) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M ⊥ (∆1 ), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆ 2) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) // (∆ 2) toán vô nghiệm et Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) đường thẳng (∆ ) đường thẳng cần tìm 7 x + y − z − = cắt (∆ 2): x + y + z + = i.n y +1 z + Bài VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) ⊥ (∆1): x − = = , 2 11 Dạng 11: VPT đường vuông góc chung đường thẳng (∆ ∆1), (∆ ∆ 2) uth chéo a TH đặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆ 2): Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) (α) ⊥ (∆ ) Tìm M = ( ∆ ) ∩ ( α ) , H hình chiếu vuông góc M lên (∆1 ) ⇒ MH đường vuông góc chung (∆1 ), (∆ 2) lie b Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dạng tham số Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t 1, t ⇒ MN theo t1 , t MN đường vuông góc chung (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ ) , MN ⊥ ( ∆ ) ⇒ t1 , t ⇒ MN tai c Phương pháp 2: Gọi a1 , a VTCP (∆1 ) (∆ 2) ⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2 Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆ ) // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG Bài Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Viết phương trình đường vuông góc chung SB, OA Bài Viết phương trình đường vuông góc chung x + y + z − = ( ∆1 ) : y + z − = x − y − 2z + = ( ∆ ) : y − z +1= Bài Viết phương trình đường vuông góc chung et x = + 2t1 x = + t2 ( ∆ ) : y = + t1 ( ∆ ) : y = −3 + 2t z = −3 + 3t z = + 3t Bài VPT đường vuông góc chung 3 x − y − = ( ∆ ) : 5 x + z − 12 = ( ∆ ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = − t} i.n x = + t x + 2z − = Bài Cho ( ∆ ) : y = − t ( ∆ ) : y − = z = 2t Viết phương trình mặt phẳng cách (∆ 1) (∆2) 12 Dạng 12: Các toán khoảng cách uth 12.1 Tính khoảng cách: y +1 z −1 Bài Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − = = Bài Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính khoảng cách từ A đến BC Bài Tính khoảng cách đường thẳng x + y = ( ∆ ) : x − y + z − = ( ∆ ) : { x = + 3t; y = −t; z = + t} lie Bài Tính khoảng cách đường thẳng ( ∆ ) : x 1− = y −2 z −3 = , x + y − z = ( ∆ ) : 2 x − y + 3z − = tai Bài Tính khoảng cách đường thẳng x + z + 23 = x − 2z − = ( ∆ ) : y − z + 10 = , ( ∆ ) : y + z + = Bài Tính khoảng cách mặt phẳng (α): 2x + y + z – = (β):2x + y + z + 10 = Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG Bài Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC) 12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Bài Cho (α): x + 2y – 2z – = Tìm M∈Oy cho khoảng cách từ M đến (α) Bài Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz cho khoảng cách từ M đến (α): 3x – 2y + 6z + = MA Bài Cho (α): x + y + z + = et 2 x + y + z − = Tìm M∈(∆): cho d ( M , ( α ) ) = x + y + 2z + = Bài Cho (α): 12x – 16y + 15z + = (β): 2x + 2y – z – = i.n Tìm M∈Ox cách (α) (β) 12.3 Các toán tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a Dạng 1: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = để (MA + MB) Phương pháp: Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) uth cách tính đại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B Nếu t A t B > ⇔ A, B phía (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P) Khi MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M B lie b Dạng 2: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = để |MA – MB| max Phương pháp: Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d tai Nếu t A t B > ⇔ A, B phía (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B| Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG b Dạng 3: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(∆) cho trước cho (MA + MB) Phương pháp: Xác định tọa độ điểm A’, B’ hình chiếu tương ứng điểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số k= M A' =− M 0B' AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) cho A khác phía B so với (∆ ) thỏa mãn et A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ = ⇒ A1, M ,B thẳng hàng B1 B ′ M B ′ A1 A ' ⊥ ( ∆ ) ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) i.n Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = để (MA + MB) min;|MA – MB| max Bài Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ mặt phẳng Oxy cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) uth Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 2;−1), B ( − 2; 2; −3) lie x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) : cho (MA + MB) y + z − = Bài Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) y −1 z + Tìm M∈ ( ∆ ) : x + = = cho (MA + MB) −1 tai y−2 z −2 A(1;2; −1) Bài Cho Tìm M∈ ( ∆) : x + = cho (MA + MB) = −2 B ( 7; −2;3) Bài Cho A(2; 3; 0) B ( 0; − 2; ) x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) : cho (MA + MB) x − y + z − = Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG 13 Dạng 13: Các toán góc Bài Xác định góc mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + = Bài Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Tính góc cặp cạnh đối ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)) Bài Cho ( P1 ) : x − y − z + = , ( P2 ) : x + y + z − = , ( P3 ) : − x + y − z + = Gọi (∆) giao tuyến (P1) (P2) Tính góc (∆) với giao tuyến (P1), (P3) với mặt phẳng (P3) a Góc (∆1) (∆2) 45° et x = + t 3 x − y − = Bài Cho ( ∆ ) : ( ∆ ) : y = −1 Tìm m để: z − y − = z = + mt b Góc (∆1) (∆2) 60° i.n Khi tính góc (P) với (∆2) biết (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − ; −1; a Tính góc ((ABC); (ABD)) b Tính góc khoảng cách đường thẳng (AD) (BC) uth 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) ( d ) : x − = −1 y+2 z = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho: a) MA + MB nhỏ nhất; b) MA + MB nhỏ nhất; c) MA + MB nhỏ d) Diện tích tam giác AMB nhỏ VPT mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn lie VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) tạo với trục Oy góc lớn Trong số đường thẳng qua A cắt đường thẳng (d), viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ B đến lớn nhất? nhỏ nhất? Giải tai M (1 − t ; − + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; − t ; − 2t ) , MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; − 4t ) Suy MA + MB = 24 ( t − ) + 44 Do MA + MB nhỏ t = lúc M ( −1; 0; ) Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG b Ta có MA + MB = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − ) + 28 Vậy MA + MB nhỏ t = M ( −1; 0; ) c Ta xác định hình chiếu A1 , B1 hai điểm A, B lên đường thẳng (d) ) ( − 14t + 18 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ B ( − ; ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 MA = ( 3t − 10t + 20 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ A1 − ; − ; 10 với AA1 ⊥ ( d ) 3 3 MB = ( 3t 1 AA1 = 210 ; BB1 = 30 Điểm M cần tìm điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ 3 −2 (1 + ) 10 − 14 ; − 1; = − nên tọa độ M 3 (1 + ) BB1 (1 + ) AA1 et số k = − i.n d AM ( −t ; − + t ; − + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ; AM ; AB = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12) 2 S AMB = AM ; AB = ( 6t − 16 ) + ( −2t + ) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416 2 304 19 38 12 Dễ thấy S AMB nhỏ t = = , M − ; ; 112 7 7 x + y + = PT tổng quát (d) Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng y − z + = uth ( ) (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ 2.4 − + = 10 = 5 + ( −1) • Nếu a ≠ giả sử a = Khi ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = • Nếu a = (P): y − z + = Khi d ( A; ( P ) ) = Suy d ( A; ( P ) ) = 5b + Xét hàm số f ( b ) = 2 ( 5b + 3) 5b + 4b + lie 5b + 4b + 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = ⇔ b = ∨b = − 5 ( 5b + 4b + ) Do f = 35 ; f − = ; lim f ( b ) = nên d ( A; ( P ) ) lớn 35 b →∞ 6 () ( ) tai Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 35 b = , lúc phương trình (P) có dạng x + 13 y − z + 21 = , hay ( P ) : x + 13 y − z + 21 = 5 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG • Nếu a = (Q): y − z + = cos α = • Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = b Từ cos α = Xét hàm số g ( b ) = b2 = cos α 5b + 4b + 2 5b + 4b + 4b + 4b Ta có g ′ ( b ) = = ⇔ b = ∨ b = −1 ( 5b + 4b + ) Do g ( ) = 0; g ( −1) = ; lim g ( b ) = nên cos α lớn b→∞ b = −1 et Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy cos α lớn hay (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ b = −1 Lúc (Q) x − y + z − = PT (R): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = Trục Oz có VTCP v ( 0; 1; ) i.n Nếu a = (R): y − z + = β = ((Q), Oy) thỏa mãn sin β = Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi (R): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = Xét hàm số h ( b ) = 4b2 + 4b + = sin β 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = ⇔ b = ∨ b = − ( 5b + 4b + ) + 2b uth Khi sin β = ( ) Do h ( ) = ; h − = ; lim h ( b ) = nên sin β lớn , b = b →±∞ 6 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn b = Khi mặt phẳng (R) có phương trình x + y − z + = Giả sử d đường thẳng qua A cắt d M (1 − t ; − + t ; 2t ) AM ; AB 56t − 304t + 416 lie Khi d ( B; d ) = AM = 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 16 (11t − 8t − 60 ) Xét u ( t ) = 28t − 152t + 208 Ta có u ′ ( t ) = = ⇔ t = −2 ; t = 30 11 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) tai Do u ( −2 ) = 48; u 30 = ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d lớn 11 35 b→∞ 48 t = −2 nhỏ t = 30 Khi d tương ứng 35 11 y − y−4 z−2 có phương trình d : x − = = z − d : x − = = −4 −3 15 18 −19 Facebook.com/tailieuthi.net [...]... là lớn nhất lie 3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất 4 VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất 5 Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? Giải tai 1 M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4... b Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC) uth 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 y+2 z = 1 2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất; b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất; c) MA + MB nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất 2 VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất lie 3 VPT mặt phẳng (Q) chứa...Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG b Dạng 3: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số k= M 0 A' =− M 0B' AA ' Ta chứng minh MA +... 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) x + y + z − 2 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) : sao cho (MA + MB) min x − y + z − 2 = 0 Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG 13 Dạng 13: Các bài toán về góc Bài 1 Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 Bài 2 Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Tính góc của... Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc đó 5 6 phương trình (P) có dạng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0 Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG • Nếu a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi... −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416 2 2 2 304 19 5 38 12 Dễ thấy S AMB nhỏ nhất khi t = = , khi đó M − ; ; 112 7 7 7 7 x + y + 1 = 0 2 PT tổng quát của (d) là Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 y − z + 4 = 0 uth ( ) (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 5 2 + ( −1) • Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 Khi đó... và lúc đó M ( −1; 0; 4 ) Facebook.com/tailieuthi.net Tailieuthi.net Chuyên trang tài li u ôn thi đ i hoc THPTQG 2 b Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 Vậy MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi t = 2 và khi đó M ( −1; 0; 4 ) c Ta sẽ xác định hình chiếu A1 , B1 của hai điểm A, B lên đường thẳng (d) ) ( − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 3 3 MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t... h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β lớn nhất bằng 5 , khi b = 2 b →±∞ 6 6 2 5 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn nhất khi b = 2 Khi đó mặt phẳng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 5 Giả sử d 2 là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) AM ; AB 56t 2 − 304t + 416 lie Khi đó d ( B; d 2 ) = AM = 6t 2 − 20t + 40 2 = 28t 2 − 152t + 208 3t − 10t... ( t ) = = 0 ⇔ t = −2 ; t = 30 2 11 2 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) tai Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d 2 lớn 11 35 b→∞ 3 nhất bằng 48 khi t = −2 và nhỏ nhất bằng 4 khi t = 30 Khi đó d 2 tương ứng 35 11 y − 4 y−4 z−2 có phương trình là d 2 : x − 1 = = z − 2 và d 2 : x − 1 = = 1 −4 −3 15 18 −19 Facebook.com/tailieuthi.net ... số k= M 0 A' =− M 0B' AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn et A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng B1 B ′ M 0 B ′ A1 A ' ⊥ ( ∆ ) ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài 1 Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) i.n Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB|