Đang tải... (xem toàn văn)
10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác 10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác
GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 10 PH N X HAY DÙNG KHI GI I PH NG TRÌNH L NG GIÁC GV: Nguy n Thanh Tùng Ph n x 1: H Khi g p góc l n (t 3x tr lên) th ng có h ng ng “Ghép b tên” đ gi m góc t o tích b ng vi c dùng công th c t ng (hi u) thành tích a b a b ; cos 2 a b a b ; sin a sin b 2sin cos 2 a b a b sin 2 a b a b sin a sin b 2cos sin 2 cos a cos b 2cos cos a cos b 2sin H oc ng trình sau: (D – 2012): sin 3x cos3x sin x cos x cos x (D – 2006): cos3x cos x cos x 1 (B – 2002) sin 3x cos2 x sin 5x cos2 x nT H hi D (D – 2013): sin 3x cos x sin x (B – 2007): 2sin 2 x sin x 1 sin x (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cos x ng d n gi i: s/ up (D – 2012): sin 3x cos3x sin x cos x cos x Ta iL ie (D – 2013): sin 3x cos x sin x (sin 3x sin x) cos x 2cos xsin x cos x cos x(2sin x 1) uO Gi i ph 01 ( u tiên k t h p góc ch n ho c l ) ro (sin 3x sin x) (cos3x cos x) cos x bo ok c om /g 2cos xsin x 2cos xcos x cos x cos x 2(sin x cos x) 1 (B – 2007): 2sin 2 x sin x 1 sin x (sin x sin x) sin 2 x 2cos xsin 3x cos x cos x(2sin 3x 1) fa ce (D – 2006): cos3x cos x cos x 1 (cos3x cos x) (1 cos x) w 2sin x sin x 2sin x 4sin x cos x 2sin x 2sin x(2cos x 1) w w (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cos x (cos 3x cos x) 4(1 cos x) 2cos x 2cos x cos x 8cos2 x 2cos x 2cos x(cos x 4cos x 1) 2cos x(2cos2 x 4cos x) 4cos x(cos x 2) (B – 2002) sin 3x cos2 x sin 5x cos2 x cos x cos8 x cos10 x cos12 x 2 2 cos6x cos8x cos10x cos12x 2cos7 x cos x 2cos11x cos x cos x(cos11x cos x) 2cos xsin xsin x sin xsin x Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 H ng Chuy n ph ng trình v d ng sin u sin v (ho c cos u cos v ) ho c d ng a sin x b cos x c (ho c m r ng) Chú ý: ng giác: sin u sin(u) ; cos u cos( u) tan u tan(u) ; cot u cot( u) Cách kh d u “–” c a hàm l Cách đ i tên hàm: sin u cos u ; cos u sin u ; tan u cot u ; cot u tan u 2 2 2 2 ng trình sau: sin x 2sin 5x 2cos 3x cos x 4sin x sin x 4sin x 4 H H oc 01 (B – 2013): sin 5x 2cos2 x ng d n gi i: hi D Gi i ph uO nT (B – 2013): sin 5x 2cos2 x sin 5x cos x cos x sin x sin x sin(5 x) 2 sin x 2sin 5x 2cos 3x iL Ta up cos x 4sin x sin x 4sin x 4 ro 3 sin x cos x sin x sin x sin x … 6 2 s/ sin x cos x 2sin x ie sin x 2sin 5x cos x om /g cos x 4sin x sin x 1 cos x bo ok c cos x 4sin x sin x 2(1 sin x) cos x 2sin x(1 2sin x) ce cos x 2sin x cos x cos x sin x fa k cos x sin x cos x x 2 3 12 H ng Kh gi m s l ng góc l n b ng vi c “s d ng công th c c ng ho c t o tích thành t ng” ho c “đánh giá” w w w Gi i ph ng trình sau: cos x(2sin 3x cos x) sin x(sin x 1) sin x(1 cos5x cos x) sin 3x 2sin 3x cos2 x cos x H ng d n gi i: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 cos x(2sin 3x cos x) sin x(sin x 1) sin 3x cos 4x sin x cos 4x cos x sin 4xsin x sin x sin x sin x cos 3x sin x sin 3x 2 sin x(1 cos5x cos x) sin 3x 2sin 3x cos2 x cos x sin x(1 2cos3x cos x) sin 3x(2cos2 x 1) cos x sin x cos3x sin x sin 3x cos x cos x sin x cos x sin 3x cos x cos3x sin x hi D H oc 2sin x (*) sin x Do 3 sin x sin x 1 01 1 sin x cos x sin x 2sin x sin x (*) 3 2 ie th ng chuy n v d ng a sin x b cos x c ho c d ng m r ng iL Ph n x 2: Khi xu t hi n uO nT CHÚ Ý: Ch ng trình h c khóa cth c sin 3x 3sin x 4sin x ; cos3x 4cos3 x 3cos x v y n u xu t hi n đ thi “ý đ ” c a ng i đ không ph i s d ng chúng (n u b n dùng ph i ch ng minh) ngh a b n nên theo h ng t a b2 cos u c a b2 Chú ý 1: a a b2 s/ sin c a b2 b a b2 ng trình có nghi m a b2 c2 ng trình v d ng công th c nghi m v i cos fa Ta có th đ a ph ce i u ki n ph Th sin(u ) bo ok c (đ a v công th c nghi m) v i cos c: up b om a b2 sin u a b2 ta đ ro a ng trình cho /g Chia c hai v ph Ta Cách gi i chung: a sin u b cos u c a b2 (đ s li u toán “đ p”) w w ng w Chú ý 2: Ngoài d ng nguyên g c trên, có th g p d ng m r ng sau a sin u b cos u a b2 sin v a sin u b cos u a b2 cos v a sin u b cos u a 'sin v b 'cos v Cách gi i c ng t ng t , ta chia c hai v ph ng trình cho a b2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i ph ng trình sau: (A,A1 – 2012): sin x cos x 2cos x (B – 2012): 2(cos x sin x) cos x cos x sin x (1 2sin x) cos x (A – 2009): (B – 2009): sinx cos x sin x cos3x 2(cos x sin x) (1 2sin x)(1 sin x) x x (D – 2009): cos5x 2sin 3x cos x sin x (D – 2007): sin cos cos x 2 2 6 3 2 (B – 2008): sin x cos x sin x cos x sin x cos x 8 sin x cos x 3 sin x 10 2sin 3x sin x cos x 2cos x sin x cos x(4sin x 1) H ng d n gi i: 01 H oc (A,A1 – 2012) sin x cos x 2cos x nT cos x 2cos x( sin x cos x 1) sin x cos x hi D sin xcos x 2cos x 1 2cos x 1 uO (B – 2012): 2(cos x sin x) cos x cos x sin x 2cos2 x sin x cos x cos x sin x iL ie cos x sin x cos x sin x s/ Ta 3 cos x sin x cos x sin x cos x cos x … 3 3 2 2 ng trình t ng đ up ro om V i u ki n (*) ph sin x i u ki n (*) x sin ng: /g (1 2sin x) cos x 3 (A – 2009): (1 2sin x)(1 sin x) c (1 2sin x) cos x 3(1 2sin x sin x) bo ok cos x sin x 3(cos x sin x) cos x sin x cos x sin x fa ce 3 cos x sin x cos x sin x cos x cos x … 3 6 2 2 w w (B – 2009): sin x cos x sin x cos3x 2(cos x sin x) w sin x(1 2sin2 x) cos x sin 2x cos 3x 2cos 4x sin x cos 2x cos x sin 2x cos 3x 2cos 4x cos 3x cos x cos 3x cos x … sin 3x cos 3x 2cos 4x sin 3x 2 6 (D – 2009): cos5x 2sin 3x cos x sin x cos5x (sin 5x sin x) sin x cos x sin x sin x sin( x) … sin 5x cos5x 2sin x sin x 3 2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x x x x x x (D – 2007): sin cos cos x sin cos 2sin cos cos x 2 2 2 cos x sin x sin … sin x cos x sin x cos x sin x 2 3 (B – 2008): sin3 x cos3 x sin x cos2 x sin x cos x sin x(cos2 x sin x) cos x(cos2 x sin x) 01 cos x … sin x cos x cos x cos x cos x(sin x cos x) sin x co s x 8 sin x cos6 x 3 sin x 1 sin 2 x 3 sin x H oc 3(1 cos x) 1 3 sin x cos x sin x 1 hi D 1 2 cos x cos x cos sin x … 2 3 sin x cos x(4sin x 1) sin x cos x 2sin x sin x cos x sin x sin x cos cos x sin sin x sin x sin x 6 2 6 ie uO nT cos x sin x cos x 2(cos x sin x) cos x (sin x 3cos x) cos x sin x cos x sin x cos x iL 2sin 3x sin x 2sin 3x sin x 2sin 3x sin x 2 om /g ro 2 s/ up Ta 10 2sin 3x sin x cos x 2cos x sin x cos x sin x cos x 2sin 3x sin x cos x sin x cos x 2sin 3x c bo ok c b “cùng tên, góc” ngh t i vi c phân tích thành tích ce Ph n x 3: Khi nhóm đ fa ( 2sin x sin x (sin x 1)(2sin x 1) ; cos3 x 3cos2 x 4cos x (cos x 1)(cos2 x 2cos x 2)…) c đ Horner – n u ph ng w w w ( ho c nh m nghi m ho c em dùng máy tính đ tr giúp có th s d ng thêm l trình t d ng b c tr lên có nh t m t nghi m “đ p” đ t o tích) Gi i ph ng trình sau: 1.(D – 2010): sin x cos x 3sin x cos x 1 (2sin x 1)(cos x 1) cos x 2cos x 7sin x 9sin x 6cos x 3sin x cos x 2cos3 x 3cos x 2sin x 4cos x 4sin x 5 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 H ng d n gi i: 1.(D – 2010): sin x cos x 3sin x cos x 1 sin x (1 2sin x) 3sin x cos x 1 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2sin x 3sin x sin x cos x (2sin x 1)(sin x 2) cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x cos x 2) 9sin x 6cos x 3sin x cos x 9sin x 6cos x 6sin x cos x 2sin x (6sin x cos x 6cos x) (2sin x 9sin x 7) 6cos x(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) (sin x 1)(6cos x 2sin x 7) sin x ho c 2sin x 6cos x (vô nghi m 22 62 72 ) x k 2 (k ) (2sin x 1)(cos x 1) cos x 2cos x 7sin x H oc 01 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x 2cos x 7sin x (2sin x cos x cos x) (2sin x 9sin x 5) cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 5) (2sin x 1)(sin x cos x 5) 2cos3 x 3cos x 2sin x 4cos x 4sin x hi D 2cos3 x 3(2cos2 x 1) 2sin x 4cos x 4sin x nT (cos3 x 3cos2 x 2cos x 4) (sin x 2sin x) uO (cos x 1)(cos2 x 2cos x 4) 2sin x(cos x 1) ie (cos x 1)(cos2 x 2cos x 2sin x) iL cos x 1 (1) ho c cos2 x 2(sin x cos x) (2) up s/ Ta Gi i (1) x k2 Gi i (2) cos x 2 sin x 4 Ta có: 4 om /g ro cos x 2 sin x 2 , suy (2) vô nghi m 4 V y ph ng trình có nghi m x k2 (k ) bo ok c sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 w fa ce Ta có: sin x cos6 x (sin x cos2 x)3 3sin x cos2 x(sin x cos2 x) sin 2 x Khi ph ng trình t ng đ ng: 1 sin 2 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 w w ( sin x cos x) (2sin 3x 3sin x 1) cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 1) (2sin x 1)( cos x sin x 1) CHÚ Ý: Các Ví d 1,2,3,4,5 có m t cách ti p c n khác Các em xem ti p Ph n x 4: Khi ph ng trình l ph n x sau ! ng giác có nhi u bi u th c ch a nhân t chung, ngh t i vi c chuy n ph ng trình v d ng tích (ho c đ gi n c n u nhân t chung gi i thi u t i b n b ng bi u th c ch a nhân t chung th ng g p: d i m u s ) Sau đơy th y Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 B ng T ng K t M t S Nhân T Chung Th sin x cos x 2sin x 2cos x Bi u Th c Ch a Nhân T Chung tan x ; sin 2x ; tan 2x ; cos 2x ; sin 3x … cot x ; sin 2x ; tan 2x ; cos 2x ; cos3x … cos 2x ; tan x ; cot x ; tan x ; cot x ; sin3 x cos3 x ; sin x ; cos x 4 4 x x x x cos2 x ; cot x ; sin ; cos ; tan ; cot ; 2cos x sin x … 2 4 2 4 2 4 2 4 x x x x sin x ; tan x ; sin ; tan ; cos ; cot ; 2sin x sin x … 2 2 2 cos x sin x ; 4sin x ; 4cos x ; 2cos x1 ; cot x 2cos x ; cos3x … sin x sin x ; 4cos2 x ; 4sin x ; 2cos x 1; tan x 2sin x ; sin 3x … H oc 01 Nhân t Chung sin x cos x sin x cos x hi D STT ng G p bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT Gi i ph ng trình sau: (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x cos x) sin x sin x (B – 2004): 5sin x 3(1 sin x) tan x cos x x x sin x sin x (A – 2003): cot x (D – 2003): sin tan x cos tan x 2 2 4 sin x cos x sin x sin x (A – 2011): (B – 2005): sin x cos x sin x cos x cot x sin x 2cos x sin x (D – 2011) : (D – 2010) : sin x cos x 3sin x cos x 1 tan x 9.(A – 2007): (1 sin x) cos x (1 cos2 x)sin x sin x 10 (A,A1 – 2013): tan x 2 sin x 4 11 (B – 2011): sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x 12 (A,A1 – 2014): sin x 4cos x sin x H ng d n gi i: fa ce (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x (2cos x 1)(2sin x cos x) sin x(2 cos x 1) (2cos x 1)(sin x cos x) w w (B – 2004): 5sin x 3(1 sin x) tan x w i u ki n: cos x x Khi ph ng trình đ ng đ n (n ) sin x ng: 5sin x 3(1 sin x) (1 sin x)(1 sin x) (1 sin x)(5sin x 2) 3sin x 2sin x 3sin x (A – 2003): cot x cos x sin x sin x tan x sin x i u ki n: , ph tan x 1 ng trình t ng đ ng: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 cos x (cos x sin x)(cos x sin x) 1 sin x sin x cos x sin x sin x 1 cos x cos x sin x cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(1 sin x cos x sin x) sin x x x (D – 2003): sin tan x cos 2 4 i u ki n: cos x x n (n ) ng đ H oc hi D nT uO up sin x(1 sin x 2cos2 x 1) 2 sin x cos x ng: iL ng trình t Ta , ph sin x s/ Ta có cot x ie cos x (1 cos x) 1 (1 cos x)(sin x cos x) sin x sin x cos x sin x sin x (A – 2011): cot x i u ki n: sin x x n (n ) 01 cos x 2 sin x cos x Khi ph ng trình t ng đ ng: 0 cos x sin x (1 cos x)(1 cos x) cos x 0 (1 sin x)(1 sin x) om /g ro cos x … cos x(sin x cos x) 2 cos x (vì sin x ) 2cos x(sin x cos x 2) sin x cos x (B – 2005): sin x cos x sin x cos x c sin x sin x cos x cos2 x sin x bo ok (sin x cos x)2 sin x cos x (cos x sin x )(cosx sinx ) (sin x cos x)(sin x cos x cos x sin x) (sin x cos x)(2cos x 1) 0… ce sin x 2cos x sin x tan x fa (D – 2011) : w w w cos x (*) i u ki n: tan x Khi ph ng trình t ng đ ng: sin x 2cos x (sin x 1) 2cos x(sin x 1) (sin x 1) (sin x 1)(2cos x 1) (D – 2010) : sin x cos2 x 3sin x cos x 1 0 sin x cos x cos x(2sin x 1) Ta có cos x 3sin x 2sin x 3sin x (2sin x 1)(sin x 2) Khi ph ng trình t ng đ ng: cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) (2sin x 1)(sin x cos x 2) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 9.(A – 2007): (1 sin x) cos x (1 cos x)sin x sin x sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) (sin x cos x)2 (sin x cos x)(1 sin x cos x sin x cos x) sin x (1 cos x)(1 sin x) 4 H oc 01 10 (A,A1 – 2013): tan x 2 sin x 4 i u ki n: cos x sin x cos x Ph ng trình t ng đ ng: 2(sin x cos x) (sin x cos x)(1 2cos x) cos x 11 (B – 2011): sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x 2sin x cos2 x sin x cos x cos x 2sin x sin x 2sin x(1 sin x)(1 sin x) cos x(1 sin x) (1 sin x)(1 2sin x) (1 sin x) 2sin x(1 sin x) cos x 1 2sin x) hi D (1 sin x) 2sin x cos x (1 sin x)(cos x cos x) ng trình có m t cos 2x ta d a vào d u hi u kèm đ bi n đ i: ie Ph n x 5: Khi ph uO nT 12 (A,A1 – 2014): sin x 4cos x sin x sin x sin 2x 4cos x sin x(1 2cos x) 2(1 2cos x) (1 2cos x)(sin x 2) ng trình sau: om Gi i ph /g ro up s/ Ta iL cos2x = cos2 x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) : N u có y u t sin x cos x = 2cos2 x1: N u vi c t o “ –1” giúp ta kh s t = 1 2sin x : N u vi c t o “ +1” giúp ta kh s t = cos2x (Gi nguyên): N u có 2cos3 x cos x ; sin x 2sin3 x ; sin 2x cos x sin x ; cos x sin x sin 2x bo ok c ( HY – 2000) sin3 x cos3 x cos 2x (A,A1 – 2012) : sin 2x cos 2x 2cos x 1 (D – 2006): cos3x cos 2x cos x 1 (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x cos 2x sin x fa ce 2cos3 x sin x cos 2x 4sin x cos x 2 H (A – 2003): cot x cos x sin x sin x t anx ng d n gi i: w w w ( HY – 2000) sin3 x cos3 x cos 2x (sin x cos x) (1 sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x) (sin x cos x)(1 sin x cos x sin x cos x) sin x (1 cos x)(1 sin x) 4 (A,A1 – 2012) : sin 2x cos 2x 2cos x sin x cos x 2cos2 x 2cos x 1 2cos x( sin x cos x 1) (D – 2006): cos3x cos 2x cos x cos3x 2sin x cos x 1 2sin x sin x 2sin x 4sin x cos x 2sin x 2sin x(2cos x 1) (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x cos 2x sin x Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 sin x cos x sin x cos x cos x 2cos x sin x(2cos2 x 1) cos x(cos x 2) cos x(sin x cos x 2) 2cos3 x sin x cos x 4sin x cos x cos x(2cos2 x 1) sin x cos x 2(1 2sin x) cos x cos x sin x cos x cos x cos x(cos x sin x 2) (A – 2003): cot x cos x sin x sin x tan x p bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích g p ph nT Ph n x 6: Khi g hi D H oc 01 sin x i u ki n: , ph ng trình t ng đ ng: tan x 1 cos x (cos x sin x)(cos x sin x) sin x sin x cos x 1 sin x sin x 1 cos x cos x sin x cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(1 sin x cos x sin x) sin x ng trình uO ch a sin x; cos2 x; sin 2x ; cos 2x hƣy ngh t i d ng tích c a chúng : ie +) sin x (1 cos x)(1 cos x) s/ Ta +) cos x (cos x sin x)(cos x sin x) iL +) cos2 x (1 sin x)(1 sin x) ; sin x (sin x cos x)2 up ( Xem thêm Ph n x ) ng trình sau: 2cos3 x cos x sin x bo ok Gi i ph c om /g ro Chú ý: V i sin x , cos2 x cách phân tích nh ta có th ngh t i vi c h b c theo công th c cos x cos 2x ; cos2 x sin x 2 sin x 4cos x sin x 4 H ng d n gi i: w w fa ce sin x (1 tan x).sin x 4 w 2cos3 x cos x sin x 2cos3 x 2cos2 x 1 sin x cos2 x(1 cos x) (1 sin x) 2(1 sin x)(1 sin x)(1 cos x) (1 sin x) (1 sin x) 2(1 sin x)(1 cos x) 1 (1 sin x) 2(sin x cos x) 2sin x cos x 1 (1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x)2 (1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) … Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 sin x cos x sin x 4 cos x sin 2x sin x 4 cos 2x (1 sin 2x) sin x 2(cos x sin x)(cos x sin x ) (sin x cos x)2 4( sin x cos x) (cos x sin x)(3sin x cos x 4) sin x cos x sin x cos x hi D (sin x cos x)2 (cos x sin x)(cos x sin x) H oc 01 sin x (1 tan x).sin x 4 i u ki n : cos x x n (n ) Khi ph ng trình t ng đ ng : sin x cos x (1 tan x)sin x uO nT sin x (sin x cos x) 2sin x sin x (sin x sin x) … 4 cos x Ph n x 7: Khi ph ie ng trình có d ng: a sin 2x b cos x c sin x d cos x e ta ngh t i vi c bi n đ i s/ ng trình v d ng: Asin x B sin x C ho c Acos2 x B cos x C ( A, B, C có th ch a hàm ng giác) , quan ni m ph ng trình b c v i sin x ho c cos x (ph ng pháp h ng s bi n thiên) ng trình sau: om Gi i ph /g ro l a ph up II Ta iL ph ng trình v d ng tích b ng m t hai k thu t sau: I Nhóm, tách ghép đ làm xu t hi n nhân t chung ( xem l i k thu t qua ph n x 1, 3, 4, 6) c 1.(D – 2010) sin x cos x 3sin x cos x 1 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 ce bo ok (B – 2005): sin x cos x sin x cos x 9sin x 6cos x 3sin x cos x H ng d n gi i: w w fa 1.(D – 2010) sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 2sin x cos x (1 2sin x) 3sin x cos x 1 w sin x (2cos x 3) sin x cos x sin x (2cos x 3)2 8(cos x 2) (2cos x 5)2 Suy ra: sin x (2cos x 3) 2cos x (2cos x 3) 2cos x ho c sin x cos x 4 5 k 2 (k ) x k 2 ho c x 6 +) V i sin x cos x 2 sin xcos x 2 (vô nghi m) +) V i sin x Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 V y ph 5 ng trình có nghi m x k 2 ; k2 k 6 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 1 sin 2 x sin x cos x 3 cos x 9sin x 11 sin 2x (2 cos x 3) sin 2x cos x sin x (2 cos x 3)2 8( cos x 1) (2 cos x 1)2 Gi i (1) 01 cos x cos x cos x cos x 1 cos x (1) ho c sin x 4 1 2 cos x sin x cos 2 x cos … 2 6 hi D 5 x k ho c x k 12 12 (B – 2005): sin x cos x sin x cos x (2) H oc sin x ie Ta cos x (2sin x 1)2 8sin x (2sin x 1)2 iL sin x cos x 2sin x cos x 2cos2 x 1 cos2 x (2sin x 1) cos x sin x uO nT Gi i (2) sin x (2sin x 1) 2sin x (2sin x 1) 2sin x 1 sin x (2) (1) ho c cos x 4 2 2 Gi i (1) cos x cos x k2 3 Gi i (2) sin x cos x sin x x k 4 c om /g ro up s/ Suy ra: cos x bo ok 2 ng trình có nghi m x k 2 ; k k 9sin x 6cos x 3sin x cos x ce V y ph w fa 9sin x 6cos x 6sin x cos x 2sin x 2sin x (6cos x 9)sin x 6cos x w w 2sin x (6cos x 9)sin x 6cos x sin x (6cos x 9)2 8(6cos x 7) (6cos x 5) Suy ra: sin x 6cos x 6cos x 6cos x 6cos x 6cos x (1) ho c sin x 4 (2) … CHÚ Ý: +) Các Ví d 1, em xem l i cách gi i khác ph n x +) Cách gi i Ví d ch ch ng t m t u có m t góc nhìn khác, nh ng h i dài – theo I có th nhìn th y ng n g n +) Cách ti p c n th II ch làm đ c delta có “hình th c” s ph ng ( u ), n u không đ c ta chuy n ph ng trình b c v i sin x sang cos x ho c ng c l i N u v n không n ta s theo cách I (Cách I Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 “m nh” h n cách II) k k k k ; ; k v i k Z ) kh b ng cách ; (g mc “dùng b ng công th c chuy n v góc nh n công th c c ng, tích, h b c” Ph n x 8: Khi xu t hi n góc c ng thêm Gi i ph ng trình sau: 1 7 4sin x (A – 2008): 3 sin x sin x H oc 01 (D – 2005): cos4 x sin x cos x sin 3x 4 4 x x (D – 2003): sin tan x cos2 2 4 ( HXD – 1997): 2sin x 4sin x 6 sin x cos x 4 hi D nT uO ie ng d n gi i: 7 4sin x 3 sin x 3 Ta có: sin x sin x 2 sin x cos x 2 s/ Ta /g ro up sin x iL H sin x cos x cos 4 x tan x tan x 4 4 w fa ce bo ok c om 7 (sin x cos x) sin x sin 2 x sin x 4 sin x n Khi ta có u ki n: (n ) sin x x 2 cos x Ph ng trình đ c vi t l i: 1 sin x cos x 2 2(sin x cos x ) 2 2(sin x cos x) sin x cos x sin x cos x w sin x cos x sin x(sin x cos x) (sin x cos x)(1 sin x) w 3 7 nh b n có th kh b ng vi c s d ng công th c t ng: 3 3 3 cos x sin x sin x cos cos x sin 2 1 7 7 7 cos x sin x (sin x cos x) sin cos x cos sin x x sin 4 2 Chú ý: Ngoài cách kh l ng 1 cos4 x sin x cos x sin 3x 2sin x cos2 x sin x sin x 4 4 2 2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 sin 2x cos x sin x 3 sin x (1 2sin x) sin x 1 sin 2 x sin x sin x ho c sin x 2 (vô nghi m) x k (k ) cos x sin x (1 cos x)(1 cos x) cos x sin x cos x 0 0 2 (1 sin x)(1 sin x) 2 cos x s/ Ta iL ie Ta s ch tan x tan x theo cách bi n đ i sau: 4 4 tan x tan x Cách 1: tan x tan x 1 4 4 tan x tan x nT hi D sin x cos x cos 4 x tan x tan x 4 4 uO ( HXD – 1997): H oc cos x (1 cos x) 1 (1 cos x)(sin x cos x) sin x 01 x x (D – 2003): sin tan x cos2 2 4 i u ki n: cos x x n (n ) Khi ph ng trình t ng đ ng: ro up Cách 2: tan x tan x tan x cot x 4 4 4 2 w w fa ce bo ok c om /g 1 sin x sin x cos cos x 4 4 2 cos x Cách 3: 1 cos x cos x cos x cos cos x 2 4 4 n Khi ta có u ki n: cos x x (n ) (*) Ph ng trình đ c vi t l i thành: sin4 2x cos4 2x cos4 4x sin x cos 4 x (lo i) k ng trình là: x (k ) w (1 cos2 x) 2cos4 x 2cos4 x cos2 x 1 cos2 x ho c cos x sin x x k , đ i chi u v i u ki n (*) ta đ c nghi m c a ph 2sin x 4sin x sin x cos cos x sin 4sin x 6 6 sin x cos x 4sin x sin x cos x 4sin x 2sin x 2sin x cos x sin x Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 cos x 2 2 cos x cos x sin x 4 sin x cos x 2 2 4 2 1 cos x 1 sin x sin x cos x sin x 4 i ph ng trình l ng giác không quên vi c cho u ki n n u ph ng trình ch a n d i m u (không nh t thi t ph i gi i chi ti t u ki n) ph i ki m tra l i u ki n Vì v y ta c n n m đ c ph ng pháp lo i nghi m đ gi i quy t t t d ng toán sau Ph n x 9: Khi gi ng trình ch a n d im u 01 D ng 1: Ph ng pháp gi i: H oc Ph 2l (l , m) m 2k B c 2: Gi i ph ng trình đ c nghi m x (k, n ) n B c 3: Ki m tra u ki n b ng cách sau: +) Cách (Ph ng pháp hình h c): 2l Bi u di n x đ ng tròn đ n v g m m m m 2k C {C1; C2 ; ; Cm} ; bi u di n x đ ng tròn đ n v g m n m D {D1; D2 ; ; Dn } Xét n hi u E D \ C E1; E2 ; ; Er c 1: Cho u ki n, ta đ c x up s/ Ta iL ie uO nT hi D B bo ok c om /g ro Khi nghi m c a ph ng trình ban đ u là: x Ei k 2 (i 1; r , k ) +) Cách 2(Ph ng pháp đ i s - cách mang tính ch t tham kh o): 2k 2l 2k 2l ( x ch p nh n ) x b lo i n m n m ng trình cot x w w fa ce Ví d : Gi i ph cos x sin 2 x Gi i: w m (m) (1) sin x cos x cos x cos x Khi ph ng trình t ng đ ng: sin x (1 cos x)(1 cos x) sin x cos x sin x cos x (sin x cos x)cos x sin x i u ki n: sin x x cos x cos x cos x(sin x cos x 1) 1 sin x cos x 1 sin x 4 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 k x k x k x (k ) (2) x k 2 x k 4 x k 2 x x k k 2 4 x= 4 + k = + k2 x= ; +k = + k2 01 = m2 H oc x≠ m k (k ) Chú ý: Khi g p d ng ph ng trình ch a n d i m u, ta không quên vi c cho u ki n (không nh t thi t ph i gi i chi ti t u ki n) ph i ki m tra l i u ki n Trong trình gi i có th “linh ho t” lo i nghi m không c n thi t đ rút ng n l i gi i ng trình: x c nghi m ph hi D ng tròn đ n v ), ta đ Ta ng pháp gi i: s/ Ph iL D ng 2: Tìm nghi m thu c m t kho ng, m t đo n ie uO nT K t h p (1) (2) (bi u di n đ 2k (k, n ) n up ng trình đ B c 2: Khai thác u ki n x D /g c 1: Gi i ph ro c nghi m x B 2k 2k k,n D (k0 , n0 ) nghi m x0 n n0 l (l , m) ng tròn đ n v n u đ u mút c a D có d ng m fa ce bo ok +) Cách 2: Có th dùng đ c om +) Cách (Ch n u ki n): x D ng trình: cos3x 4cos 2x 3cos x w w Ví d 1: Tìm x thu c đo n [0;14] nghi m ph w Gi i: Ph ng trình t ng đ ng: cos3x cos x 4(2cos x 1) 2cos x 2cos x cos x 8cos2 x 2cos x 2cos x(cos x 4cos x 1) 2cos x(2cos2 x 4cos x) 4cos2 x(cos x 2) cos x ho c cos x (lo i) x V i x [0;14] 0 Hay nghi m c a ph k ( k ) 28 3,96 k {0;1; 2;3} 2 3 5 7 ng trình: x ; ; ; 2 2 k 14 0,5 k Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 cos3x sin 3x ng trình: s inx cos x 2sin x Ví d (A – 2002) Tìm nghi m thu c kho ng (0;2 ) c a ph Gi i: 7 i u ki n: sin x x m x l (m, l ) 12 12 Khi ph ng trình t ng đ ng: 5sin x.(1 2sin x) cos3x sin 3x (1 2sin x)(cos x 3) H oc hi D nT 5cos x cos x (vì sin x ) 2cos2 x 5cos x cos x (lo i) ho c cos x x k 2 (k ) Cách 01 5(sin x cos x cos 3x cos3x sin 3x) (1 2sin x)(cos x 3) 5(2sin x cos x cos x) (1 2sin x)(cos x 3) 5cos x(2sin x 1) (1 2sin x)(cos x 3) 2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) bo ok ce c x fa Vì x (0;2 ) nên ta đ Ph n x 10: Khi đ w w ng “Hãy w i H c – Cao x ng tr c om /g ro up s/ Ta iL ie uO k2 2 k k x 6 3 5 +) V i x 2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) k2 2 k k x 6 3 Cách : S d ng đ ng tròn đ n v : +) V i x 5 c m t toán gi i ph ng trình l ghi nh ph n x đ u tiên” Ph n x 1: Khi g p góc l n (t 3x tr Ph n x 2: Khi xu t hi n th ng chuy lên) th ng giác kì thi (chi ti t xem l i ph n x tr ng có h c) ng đi…………………… n v d ng a sin x b cos x c ho c d ng m r ng c a ……………………………………………………… Ph n x 3: Khi nhóm đ c b “cùng tên, góc” ngh t i vi c phân tích thành tích……………………………………………………………… Ph n x 4: Khi ph ng trình l ng giác có nhi u bi u th c ch a nhân t chung, ngh t i vi c chuy n ph ng trình v d ng tích (ho c đ gi n c n u nhân t chung d i m u s )………………………………………………… Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 B ng T ng K t M t S Nhân T Chung Th ng G p…… Ph n x 5: Khi ph ng trình có m t cos 2x ta d a vào d u hi u kèm đ bi n đ i…………………………………………………………………… Ph n x 6: Khi g p bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích g p ph ng trình ch a sin x; cos2 x; sin 2x ; cos 2x hƣy ngh t i d ng tích c a chúng……………………………………………………………… Ph n x 7: Khi ph H oc 01 Ph n x ng trình có d ng: a sin 2x b cos x c sin x d cos x e ta ngh t i vi c bi n đ i ph ng trình v d ng tích b ng m t hai k thu t… 8: Khi xu t hi n góc c ng thêm k ; k ( g m c k ; k ; k v i k Z ) tìm cách kh chúng……………………………………………………………… ie N CÁC B N Ã QUAN TÂM ! w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL C M uO nT hi D Ph n x 9: Nh cho u ki n ph ng trình ch a n d i m u………………………… Ph n x 10: Khi đ ng tr c m t toán gi i ph ng trình l ng giác kì thi i H c – Cao ng “Hãy ghi nh ph n x đ u tiên” …………… GV: Nguy n Thanh Tùng Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 [...]... đ i ph ng trình v d ng tích b ng m t trong hai k thu t… 8: Khi xu t hi n góc c ng thêm k ; k ( g m c k ; k ; k v i k Z ) 6 4 3 2 thì tìm cách kh chúng……………………………………………………………… ie N CÁC B N Ã QUAN TÂM ! w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL C M uO nT hi D Ph n x 9: Nh cho đi u ki n khi ph ng trình ch a n d i m u………………………… Ph n x 10: Khi đ ng tr c m t bài toán gi i ph ng trình l ng giác trong... B bo ok c om /g ro Khi đó nghi m c a ph ng trình ban đ u là: x Ei k 2 (i 1; r , k ) +) Cách 2(Ph ng pháp đ i s - cách này mang tính ch t tham kh o): 2k 2l 2k 2l ( x ch p nh n khi ) x b lo i khi n m n m ng trình 1 cot 2 x w w fa ce Ví d : Gi i ph 1 cos 2 x sin 2 2 x Gi i: w m (m) (1) 2 sin 2 x cos 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x Khi đó ph ng trình t ng đ ng: 1... các góc l n (t 3x tr Ph n x 2: Khi xu t hi n 3 th ng chuy lên) thì th ng giác trong kì thi (chi ti t xem l i các ph n x tr ng có 3 h c) ng đi…………………… n v d ng a sin x b cos x c ho c d ng m r ng c a nó ……………………………………………………… Ph n x 3: Khi nhóm đ c các b “cùng tên, cùng góc” thì ngh t i vi c phân tích nó thành tích……………………………………………………………… Ph n x 4: Khi ph ng trình l ng giác có nhi u bi u th c cùng... x 4 2 i ph ng trình l ng giác không quên vi c cho đi u ki n n u ph ng trình ch a n d i m u (không nh t thi t ph i gi i chi ti t đi u ki n) và ph i ki m tra l i đi u ki n Vì v y ta c n n m đ c ph ng pháp lo i nghi m đ gi i quy t t t 2 d ng toán sau Ph n x 9: Khi gi ng trình ch a n d im u 01 D ng 1: Ph ng pháp gi i: ai H oc Ph 2l (l , m) m 2k B c 2: Gi i ph ng trình đ c nghi m x ... x 4 i u ki n : cos x 0 x n (n ) 2 Khi đó ph ng trình t ng đ ng : 1 sin 2 x cos 2 x (1 tan x)sin x uO nT sin x (sin x cos x) 2sin x 0 2 sin x (sin 2 x sin x) 0 … 4 cos x Ph n x 7: Khi ph ie ng trình có d ng: a sin 2x b cos 2 x c sin x d cos x e 0 ta ngh t i vi c bi n đ i s/ ng trình v d ng: Asin 2 x B sin x C 0 ho c Acos2... ng G p…… Ph n x 5: Khi trong ph ng trình có m t cos 2x thì ta d a vào các d u hi u đi kèm đ bi n đ i…………………………………………………………………… Ph n x 6: Khi g p các bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích và g p ph ng trình ch a sin 2 x; cos2 x; 1 sin 2x ; cos 2x hƣy ngh t i các d ng tích c a chúng……………………………………………………………… Ph n x 7: Khi ph ai H oc 01 Ph n x ng trình có d ng: a sin 2x b cos 2 x ... B cos x C 0 ( A, B, C có th ch a hàm ng giác) , quan ni m là ph ng trình b c 2 v i sin x ho c cos x (ph ng pháp h ng s bi n thiên) ng trình sau: om Gi i các ph /g ro l a ph up II Ta iL ph ng trình v d ng tích b ng m t trong hai k thu t sau: I Nhóm, tách ghép đ làm xu t hi n nhân t chung ( xem l i k thu t này qua các ph n x 1, 3, 4, 5 và 6) c 1.(D – 2 010) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 ... nên ta đ Ph n x 10: Khi đ w w ng “Hãy w i H c – Cao 3 và x ng tr 0 2 0 c om /g ro up s/ Ta iL ie uO 1 5 k2 2 k k 0 x 6 6 3 3 3 1 7 5 +) V i x 2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) 0 k2 2 k k 1 x 6 6 3 3 3 Cách 2 : S d ng đ ng tròn đ n v : +) V i x 5 3 5 3 c m t bài toán gi i ph ng trình l ghi nh 9 ph n x đ u tiên” Ph n x 1: Khi g p các góc... k 2 = 4 + k2 4 x= ; 2 +k = 2 + k2 01 = m2 2 ai H oc x≠ m k (k ) 4 2 Chú ý: Khi g p d ng ph ng trình ch a n d i m u, ta không quên vi c cho đi u ki n (không nh t thi t ph i gi i chi ti t đi u ki n) và ph i ki m tra l i đi u ki n Trong quá trình gi i có th “linh ho t” lo i đi nghi m không c n thi t đ rút ng n l i gi i ng trình: x c nghi m ph hi D ng tròn đ n v ), ta đ Ta ng pháp gi i: s/ Ph iL... các em xem l i cách gi i khác ph n x 4 +) Cách gi i Ví d 3 ch ch ng t m t đi u có m t góc nhìn khác, nh ng h i dài – khi đi theo I có th nhìn th y luôn và khá ng n g n +) Cách ti p c n th II ch làm đ c khi delta có “hình th c” là s chính ph ng ( u 2 ), n u không đ c ta chuy n ph ng trình b c 2 v i sin x sang cos x ho c ng c l i N u v n không n thì ta s đi theo cách I (Cách I Tham gia khóa h c các