Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 KĨ THUẬT LIÊN HỢP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 2 x + x − y = y + x + x + Ví dụ Giải hệ phương trình   y − x − + x + y = x −  ( x + 1) ( y + ) + x y + = y +  Ví dụ Giải hệ phương trình   x − + x = x + y + +  x + xy + y + y + = ( x + y + 1) x + y + Ví dụ Giải hệ phương trình   x + y + + x − y + = y + + x3 + 2 x − = x − y − + ( x − 1) y Ví dụ Giải hệ phương trình   x − − x + y + = xy − x + Lời giải: ĐK: y ≥ 0; x ≥ 1; x − y ≥ ;3 xy + ≥ x Khi ta có: PT (1) ⇔ ( x − y ) − ( x − y ) − + ( x − 1) − ( x − 1) y + y = ( x − y − 1) ⇔ + ( x −1 − y ) = ⇔ x −1 = y x − y − + ( x − y − 1) − ( ) ⇒ 3x − + x − = x − + ( 3x − )( x − 1) vào PT(2) ta có: t = Đặt t = 3x − + x − ≥ ⇒ t = x − + 3x − x + PT ⇔ t − t − = ⇔  t = −2 ( loai ) V ới t = ⇒ x − + x − x + = ⇔ x − x + = − x  x = (T / M )  x − 19 x + 34 = ⇔  x ≤  x = 17 ( loai ) Vậy x = 2; y = nghiệm PT cho  xy − x + y = ( y + 1) x + y  Ví dụ Giải hệ phương trình   y − + x + y − = x − Lời giải Điều kiện: x ≥ − y; y ≥ ( x, y ∈ R ) Ta có phương trình hệ phương trình ⇔ xy − x + y + x ( y + 1) = ( y + 1) ( x2 + y + x ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ xy + y = ( y + 1) ⇔ ( x + 1) ( ⇔( ⇔( ⇔ ( ( x2 + y − x ) x + y + x ⇔ y ( x + 1) = ( y + 1) )( x2 ( ( x2 + y + x x2 + y + x ) ( x + y − x ) − y − 1 = + y + x )  x + x − ( x + 1) x + y + y + 1 =   + y + x )( x + − x + y ) = ( ∗) x + y + x  ( x + 1)  x2 ) x + y + x = ( y + 1) Facebook: Lyhung95 ) ) 2 2  x ≥ −1 suy x + y + x > x + x > − x + x = Do ( ∗) ⇔ x + = x + y ⇔  2 x + = y Thế y = x + xuống phương trình hai hệ ta 3  x − + 3x + x − = x − x≥  2  Với y ≥ ⇔ x − − x − + x − − 3x + x − = ⇔ x2 − x + x2 − 6x + + =0 x − + x − x − + 3x2 + x −   1 ⇔ ( x2 − 6x + 2)  +  = ( ∗ ∗)  x − + x − x − + 3x + x −  x = +  1 x ≥  ⇔ Vớ i + > 0; ∀x ≥ nên ( ∗∗) ⇔  7+2 x − + x − x − + 3x + x −  x2 − x + = y =    7+2  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  + 7;     7+2  Đ/s: ( x; y ) =  + 7;     x x + + x − y + = ( y − 1) y − y +  Ví dụ Giải hệ phương trình   x + 12 x + 12 y − + = y − x − Lời giải Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ Khi phương trình thứ hệ trở thành: ( x, y ∈ R ) x x + − ( y − 1) y − y + + x − y + = ⇔ ( ) x x + − ( y − 1) − ( y − 1) x x + + ( y − 1) y − y + + x − y +1 =  x − ( y − 1)2   x + ( y − 1)2 + 1   + x − y +1 = ⇔ 2 x x + + ( y − 1) y − y + ⇔ ( x − y + 1)( x + y − 1)  x + ( y − 1) x x + + ( y − 1) y − y + + 1  + x − y +1 = ⇔ x − y +1 = ⇔ y = x +1 ≥ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + 12 x + 12 x + = x − x − Với xuống phương trình thứ hai hệ, ta được: Đặt phương trình trở thành: 3t − 12t − 12t − t + 12t + 12t + − 2t = t − 2t − ⇔ t − 2t − + ( ) ( t + 1) t − 2t − Facebook: Lyhung95 t + 12t + 12t + + 2t (∗) =0   ( t + 1) ⇔ t − 2t − + = ⇔ t − 2t − 1 + =0  t + 12t + 12t + + 2t t + 12t + 12t + + 2t  2 ⇔ t − 2t − = (t ≥ 0) ( ) ⇒ t = 1+ ⇔ x =1+ ⇔ x = + 2 ⇒ y = + 2 ( ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = + 2; + 2 ( ) Đ/s: ( x; y ) = + 2; + 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP  x + x + x = xy + y −  Câu 1: Giải hệ phương trình   x3 + y + 17 x + = ( y + 3) x +  x + y + + x + y + y + = y + Câu 2: Giải hệ phương trình   x − + y − = y + x − + − y 2 x + y − y + = ( y + 1) x + y +  Câu 3: Giải hệ phương trình  3 x − 10 y + = ( y − x + )( xy + x − )  x2 + y2 + 2 y − x + x + y + =  x2 + x +  Câu 4: Giải hệ phương trình  2 x + − y = y +  x2 − x +   y + y − y + 3x + = 3x + y + + Câu 5: Giải hệ phương trình  2 3 y − x − y + 3x + =  x x + y + ( y − x ) y = y y − x Câu 6: Giải hệ phương trình  2  xy + x y + x − = + x −  x− y y−x +1 + y = y 1+  x y +1 Câu 7: Giải hệ phương trình  y +  x − y − + y + x2 + = y   x 3x + y + ( y − x ) x + y = ( x + y ) y  Câu 8: Giải hệ phương trình  2  xy − − + ( y − 1) + x = y ( x − 1) x − y + ( x − y − 1) x = x − y − Câu 9: Giải hệ phương trình   x − + ( x − ) ( x + x − y ) =  x + y + x = +1 y  Câu 10: Giải hệ phương trình  5 x − 48 y + 47 = 10 y − + x + y − ( ) ( ) ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ĐÁP ÁN CHI TIẾT  x + x + x = xy + y −  Câu 1: Giải hệ phương trình   x3 + y + 17 x + = ( y + 3) x + Lời giải: ĐK: x ≥ 0; y ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ x − y − + x ( ) x2 + − y = Vì x + y − = ⇔ x = 0; y = nghiệm nên ta có:   x =0 = ⇔ ( x − y + 1)  +  x + y −1  x2 + + y x + + y   ⇔ y = x + vào (2) ta có: PT ⇔ x2 − y +1 + x x + y −1 x2 + − y ( ) Phương trình (2) có dạng x + x + 17 x + = x + x + ( ) ( ) ⇔ (x + 2) + (x + 2) + (x + 2) = x + x + + x + + x + Xét hàm số f (t ) = t + t + t , f(t) hàm số đồng biến khoảng (0;+∞ ) ( 2x )  x = 1; y = + ⇔ x + = 2x + ⇔   x = 3; y = 10 Vậy HPT cho có nghiệm ( x; y ) = {(1; ) ; ( 3;10 )} Phương trình có dạng f ( x + ) = f  x + y + + x + y + y + = y + Câu 2: Giải hệ phương trình   x − + y − = y + x − + − y Lời giải ĐK: x + y + ≥ 0, x + y + y + ≥ 0, x − ≥ 0, y ≥ 3, y ≤ Khi (1) ⇔ ( ) ( x + y + − y −1 + ⇒ ⇒ (*) ) x + y2 + y + − y −1 = x + y + − ( y + 1) x + y +1 + y +1 + x + y + y + − ( y + 1) x + 3y2 + y +1 + y +1 =0 x − y2 x − y2 + =0 y +1+ x + y +1 y +1+ x + 3y2 + y +1   1 =0 ⇒ ( x − y2 )  +  y +1+ x + y +1 y +1+ x + 3y2 + y +1    ( ) ⇒ ( x − y2 ) y +1 + x + y2 + y +1 + y +1 + x + y +1 =  x = y2 ⇒  x + y + + x + y + y + = −3 y −  x = y2 x = y2 Kết hợp với (1) ta có  ⇒ 3 y + = −3 y −  y = −  Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 •  2 TH1 y = − ⇒ y − =  −  − < ⇒ Loại  3 • TH2 x = y vào (2) ta Với 2x − + x2 − = 2x − + − x (3) ≤ x ≤ ⇒ VT (3) ≤ x − + x − = 2 x − ≤ + ( x − 3) ⇒ VT (3) ≤ x − ≤ x − + − x = VP (3) Dấu " = " xảy ⇔ x = ⇒ y = ⇔ y = ± ( ) Thử lại ta ( x; y ) = 2; thỏa mãn hệ cho ( Đ/s: ( x; y ) = 2; ) 2  2 x + y − y + = ( y + 1) x + y + Câu 3: Giải hệ phương trình  3 x − 10 y + = ( y − x + )( xy + x − ) Lời giải ĐK: ( y − x + )( xy + x − ) ≥ (*) Ta có ⇔ ( y + 1) x + y + = x + ( y − 1) ≥ ⇒ y + ≥ ⇒ x + y + + y + > Khi (1) ⇔ x + y + ) ( x + y + − ( y + 1) + x − y = ⇔ x + y + (x ⇔ 2 x + y + − ( y + 1) x + y +1 + y +1 2 − y ) x2 + y + y +1+ x + y +1 2 + x2 − y = + x2 − y =   x2 + y + x2 ⇔ ( x2 − y )  + 1 = ⇔ y =  y + + x2 + y2 +    Thế vào (2) ta 3x3 − 10  x2   x2  x2 + =  − x +   x + x −     ⇔ 3x3 − x + = (x − x + )( x + x − ) (3) Ta cần có ( x − x + )( x + x − ) ≥ ⇔ ( x − 1) + 3 ( x + x − ) ≥   ⇔ x3 + x − ≥ ⇔ x ( x + ) ≥ ⇒ x > Khi (3) ⇔ 3x3 − x + = x − x + x + x − (4) Áp dụng BĐT Côsi ta có VP (4) ≤ ( x − x + ) + ( x3 + x − ) = x + x − (5) Với x > x3 + x + ≥ 3 x3 x + = x ⇒ x ≤ x3 − x + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇒ VP (5) ≤ x + x − x + − = x3 − x + = VT (4) Kết hợp với (5) ⇒ VP (4) ≤ VT (4)  x − x + = x + x − Dấu " = " xảy ⇔  ⇔ x = ⇒ y = =  x = x = Thử lại ta thấy x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 2; )  x2 + y2 + 2 − + + + = y x x y  x2 + x +  Câu 4: Giải hệ phương trình  2 x + − y = y +  x2 − x +  Lời giải x ≥ ĐK:   −1 ≤ y ≤ (*) Khi (1) ⇔ y − x = x2 + y + x + x +1 − x2 + y2 +1 ⇔ ( y − x ) x + x + = x + y + − x + y + x + x + ⇔ ( y − x ) x2 + x + = x2 + y + ( x2 + y + − x2 + x + x2 + y + − x2 − x − ⇔ ( y − x ) x + x + = x + y + ⇔ ( y − x) x + x +1 = 2 (y ) x2 + y2 + + x2 + x + − x ) x2 + y2 + x2 + y + + x2 + x +  y2 = x ⇔  x + x + + x + x + x + y + = x + y + (4) (3) Với x ≥ ⇒ VT (3) ≥ + + + + + x + y + > VP (3) Do (4) ⇔ y = x, vào (2) ta x + − x = Ta có ( x + 1− x ) x +1 (5) x2 − x + = + x (1 − x ) ≥ ⇒ x + − x ≥ ⇒ VT (5) = ( ) x + 1− x + 1− x ≥ + 1− x ≥ (6) Lại có ( x − x + 1) − ( x + 1) = 3x − x + = ( x − 1) ≥ 2 ⇒ ( x − x + 1) ≥ ( x + 1) ⇒ x − x + ≥ x + ⇒ x +1 x − x +1 ≤2 (7) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Từ (6) (7) ⇒ VT (5) ≥ VP (5), dấu " = " xảy ⇔ x = ⇒ y = ⇔ y = ±1 Thử lại ( x; y ) = {(1;1) , (1; −1)} thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , (1; −1)}  y + y − y + 3x + = 3x + y + + Câu 5: Giải hệ phương trình  2 3 y − x − y + 3x + = Lời giải Điều kiện thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với y − 3x − + y − y + 3x + − y + = ⇔ y − 3x − + y − 3x − y − y + 3x + + y + =0    = ⇒ y = 3x + ⇔ ( y − 3x − ) 1 + 2   y − y + x + + y +   Thế vào phương trình thứ hai hệ thu    25  23 x + 30 x + = ⇔ x ∈ − ;1 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −1) ,  − ;   23   23 23  Kết luận hệ cho có hai nghiệm  x x + y + ( y − x ) y = y y − x Câu 6: Giải hệ phương trình  2  xy + x y + x − = + x − Lời giải Điều kiện x ≥ 2; y ≥ Phương trình thứ hệ cho tương đương với x ( ⇔ ) ( x + y − 2y + y x ( x − y) x + y + 2y + ) y − 3y − x = y ( x − y) y + 3y − x =0   x y ⇔ ( x − y) + =0  x + y + 2y y + y − x   x y + > 0, ∀x ≥ 2; ∀y ≥ nên thu x = y Rõ ràng x + y + 2y y + 3y − x Phương trình thứ hai hệ trở thành x3 − x3 − + x3 + x − − x − = ⇔ x3 − + =0 x3 + x − + x −   ⇔ ( x3 − 1) 1 +  = ⇒ x =1⇔ x =1⇒ x = y =1 x + x −3 + x−2   Kết luận hệ có nghiệm x = y =  x− y y−x +1 + y = y 1+  x y +1 Câu 7: Giải hệ phương trình  y +  x − y − + y + x2 + = y  ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải Điều kiện thức xác định Từ phương trình thứ hai hệ ta có y > ⇒ x > Phương trình thứ hệ tương đương với x + y +1 3y − x +1 x + y = 2y ⇔ x x + y +1 + y y +1 = y 3y − x +1 y +1 y +1 ⇔x ⇔ ( ) x + y +1 − y +1 + y x( x − y) x + y +1 + y +1 + ( ) y +1 − 3y − x +1 + ( x − y ) y +1 = 2y ( x − y) y +1 + 3y − x +1 + ( x − y) y +1 =   x 2y ⇔ ( x − y) + + y +1 =  x + y +1 + y +1  y +1 + 3y − x +1   x 2y Rõ ràng + + y + > 0, ∀x > 0; y > x + y +1 + y +1 y +1 + 3y − x +1 Thế ta x = y , phương trình thứ hai hệ trở thành ( ) x − + x4 + x2 + = x ⇔ (  x = x = x − + x + ( x − 1) = ⇔  ⇔ x∈∅  x = ) Vậy, hệ cho vô nghiệm  x 3x + y + ( y − x ) x + y = ( x + y ) y  Câu 8: Giải hệ phương trình  2  xy − − + ( y − 1) + x = y Lời giải Điều kiện y ≥ 0; xy ≥ ⇒ x > Phương trình thứ hệ tương đương với ( x ( ⇔ ) ( 3x + y + y + ) x + y − y + ( x − y ) 3x + y = 3x + y − y + y 3x ( x − y ) ) y ( x − y) x + 3y + y + ( x − y ) 3x + y =   y 3x ⇔ ( x − y) + + 3x + y  =   x + 3y + y  3x + y + y  3x y + + 3x + y > 0, ∀x, y > Rõ ràng 3x + y + y x + 3y + y Thế ta x = y , phương trình thứ hai hệ trở thành ( ) ( 2x − 2)  x2 = + ( x − 1) = ⇔  ⇔ x = x = x2 − +  Kết luận hệ có nghiệm x = y = 2 x − − + ( y − 1) + x − y = ⇔ 2 ( x − 1) x − y + ( x − y − 1) x = x − y − Câu 9: Giải hệ phương trình   x − + ( x − ) ( x + x − y ) = Lời giải Điều kiện x ≥ y; x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ( x − 1) x − y − x + + ( x − y − 1) x − x + y + = ⇔ ( x − 1) ( x − y − 1) + ( x − 1) ( x − y − 1) = ( x − y − 1)( x − 1) + ( x − y − 1)( x − 1) = ⇔ 2x − y +1 x +1  1  ⇔ ( x − y − 1)( x − 1)  + =0  2x − y +1 x +   x = 1 Rõ ràng + > nên ta ( x − y − 1)( x − 1) ⇔  ⇒ 2x − y = 2x − y +1 x +1 2 x − y = Phương trình thứ hai hệ trở thành x − − + ( x − ) ( x + x − y ) = ⇔ x − − + ( x − ) ( x + 1) = x−4   + ( x − ) ( x + 1) = ⇔ ( x − )  + x + 1 = x − +1  x − +1  Lại có + x + > 0, ∀x ≥ nên ta x = 4; y = x − +1 ⇔ ( )  x + y + x = +1 y  Câu 10: Giải hệ phương trình  5 x − 48 y + 47 = 10 y − + x + y − Lời giải Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với 10 x− y x− y x + y − 2y + x − y = ⇔ + =0 x + y + 2y x+ y   1 ⇔ ( x − y) + =0  x + y + 2y x + y   1 Ta thấy + > nên thu x = y x + y + 2y x+ y Phương trình thứ hai hệ trở thành x − 48 x + 47 = 10 x − + 14 x − ⇔ x − 10 x − + x + − 14 x − + ( x − 10 x + ) = x − 10 x + x − 10 x + + + ( x − 10 x + ) = x + 10 x − x + + 14 x − 1   ⇔ ( x − 10 x + )  + + 5 =  x + 10 x − x + + 14 x −  1 + + > 0, ∀x ≥ nên x − 10 x + = ⇔ x ∈ {1;9} Rõ ràng 10 x + 10 x − x + + 14 x − Kết luận hệ có hai nghiệm x = y = 1; x = y = ⇔ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!