Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn Giải tích hàm TTH104. Biên soạn: • Huỳnh Quang Vũ, Khoa ToánTin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Người biên tập hiện nay. Email: hqvuhcmus.edu.vn • Đinh Ngọc Thanh, Khoa ToánTin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Bài giảng và bản .doc Giải tích hàm là một trong những môn quan trọng nhất cho sinh viên toán, nơi sinh viên có những hiểu biết đầu tiên, cơ bản về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là không thể thiếu cho nhiều chuyên ngành toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi mà khả năng tiếp thu và sử dụng các lí luận toán học trừu tượng và chính xác được rèn luyện và kiểm tra. Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc, không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục cùng các định lí cơ bản về chúng
Tóm tắt giảng Giải tích hàm Ngày 22 tháng năm 2016 Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho môn Giải tích hàm TTH104 Biên soạn: • Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Người biên tập Email: hqvu@hcmus.edu.vn • Đinh Ngọc Thanh, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Bài giảng doc Giải tích hàm môn quan trọng cho sinh viên toán, nơi sinh viên có hiểu biết đầu tiên, không gian vô hạn chiều Các kiến thức thiếu cho nhiều chuyên ngành toán lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận toán học trừu tượng xác rèn luyện kiểm tra Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc, không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lí chúng, không gian Hilbert Mục lục Không gian mêtríc 1.1 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.2 Không gian mêtríc 1.3 Không gian compắc 1.4 Các kết khác 3 Không gian định chuẩn 2.1 Không gian vectơ 2.2 Không gian định chuẩn 2.3 Không gian hữu hạn chiều 2.4 Không gian ℓ p 2.5 Không gian hàm liên tục 2.6 Không gian L p 2.6.1 Tóm tắt độ đo tích phân 2.7 Các kết khác 9 10 11 13 13 15 15 15 Ánh xạ tuyến tính liên tục 3.1 Sự liên tục chuẩn ánh xạ tuyến tính 3.2 Tính chuẩn ánh xạ tuyến tính 3.3 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 3.3.1 Toán tử tích phân 3.3.2 Đối ngẫu L p 19 19 20 22 22 22 Không gian Hilbert 4.1 Không gian với tích 4.2 Ví dụ 4.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 4.4 Phép chiếu 4.5 Hệ trực giao 4.5.1 Không gian Hilbert tách 4.5.2 Không gian Hilbert 4.6 Một ứng dụng: Xấp xỉ Fourier 26 26 27 27 27 28 28 29 31 Chương Không gian mêtríc Ở mêtríc nghĩa khoảng cách Không gian mêtríc nghĩa không gian có khoảng cách Ở chương khảo sát số tính chất không gian mêtríc có liên quan tới giải tích hàm Định nghĩa 1.0.1 Cho X tập không rỗng Một ánh xạ d : X×X (x, y) → R → d(x, y) gọi mêtríc (khoảng cách) X tính chất sau thỏa với x, y, z ∈ X: (a) d(x, y) ≥ d(x, y) = ⇔ x = y, (b) d(x, y) = d(y, x), (c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Tập X với mêtríc d gọi không gian mêtríc (X, d) hay vắn tắt X mêtríc d ngầm hiểu không gây nhầm lẫn Mỗi phần tử tập X gọi điểm Ví dụ 1.0.2 (không gian Euclid Rn ) Tập hợp Rn = {(x 1, x 2, , x n ) | x ∈ R, x ∈ R, , x n ∈ R} với mêtric Euclid d((x 1, x 2, , x n ), (y1, y2, , y n )) = (x − y1 ) + (x − y2 ) + · · · + (x n − yn ) gọi không gian Euclid n-chiều Đặc biệt không gian mêtríc Euclid R có mêtríc thông thường d(a, b) = |a − b| 1.1 Đóng, mở, hội tụ, liên tục Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian mêtríc (X, d), a ∈ X số thực r > Các tập B(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) < r } CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRÍC B ′ (a, r) = {x ∈ X | d(x, a) ≤ r } S(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) = r } gọi cầu mở, cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r Định nghĩa 1.1.2 Với tập A ⊂ X, ta nói A tập mở (trong X) ứng với x ∈ A, tồn r > cho B(x, r) ⊂ A Nếu X \ A tập mở, ta nói A tập đóng (trong X) Mệnh đề 1.1.3 Cho không gian mêtríc (X, d) ( Ai )i ∈I họ không rỗng tập X Ta có (a) Nếu Ai tập mở (b) Nếu Ai tập đóng i ∈I Ai tập mở i ∈I Ai tập đóng (c) Nếu Ai tập mở I tập hữu hạn (d) Nếu Ai tập đóng I tập hữu hạn i ∈I i ∈I Ai tập mở Ai tập đóng Định nghĩa 1.1.4 Tập A ⊂ X gọi bị chận tồn a ∈ X, r > 0, cho A ⊂ B(a, r) Chú ý cầu mở tập mở, cầu đóng mặt cầu tập đóng Ngoài ra, không gian mêtríc X, tập ∅ X tập vừa đóng vừa mở (trong X) Định nghĩa 1.1.5 Cho (x n )n ≥1 dãy phần tử không gian mêtríc (X, d) Ta nói (x n )n ≥1 dãy hội tụ (trong X) tồn x ∈ X cho limn→∞ d(x n, x) = 0, nghĩa ứng với ϵ > 0, tồn n0 ∈ Z+ cho d(x n, x) < ϵ, với n ≥ n0 Khi đó, phần tử x, có, gọi giới hạn dãy {x n }, ký hiệu limn→∞ x n = x Ta viết x n → x n → ∞ Định nghĩa 1.1.6 Cho A tập không gian mêtríc (X, d) Phần tử a ∈ X gọi điểm dính A cầu tâm a có chứa phần tử A, nghĩa ∀r > 0, B(a, r) ∩ A ∅ ¯ Phần tử Tập điểm dính A gọi phần dính hay bao đóng A, ký hiệu A a gọi điểm A tồn cầu tâm a chứa A, nghĩa ∃r > 0, B(a, r) ⊂ A ◦ Tập điểm A gọi phần A, ký hiệu A hay intA Mệnh đề 1.1.7 Cho A tập không gian mêtríc (a) A¯ tập đóng tập đóng nhỏ chứa A, ◦ (b) A tập mở tập mở lớn chứa A CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRÍC Mệnh đề 1.1.8 Cho tập A không gian mêtríc X x ∈ X Ta có x điểm dính A, tồn dãy (x n ) A hội tụ x Do A ¯ tập đóng A = A Ta đặc trưng tập đóng dãy sau: Mệnh đề 1.1.9 Cho A tập không gian mêtríc X Ta có A tập đóng (trong X) với dãy A hội tụ (trong X), giới hạn phải nằm A Định lí 1.1.10 Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X, d X ) vào không gian mêtríc (Y, dY ) Điều kiện cần đủ để f liên tục x với dãy (x n ) X, x n → x (trong X) f (x n ) → f (x) (trong Y ) Định lí 1.1.11 Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X, d X ) vào không gian mêtríc (Y, dY ) f liên tục X ảnh ngược qua f tập mở Y (tập đóng Y ) tập mở X (tập đóng X) Định nghĩa 1.1.12 (a) (x n )n ≥1 dãy Cauchy (trong X) ứng với ϵ > 0, tồn n0 ∈ Z+ cho d(x m, x n ) < ϵ, với m, n ≥ n0 (b) (x n )n ≥1 dãy bị chận (trong X) ảnh nó, {x n | n ∈ Z+ }, tập bị chận X Mệnh đề 1.1.13 (a) Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy (b) Mọi dãy Cauchy bị chận Chiều ngược lại không trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.1.14 Cho không gian mêtríc (X, d) Ta nói (X, d) đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ (trong X) 1.2 Không gian mêtríc Cho không gian mêtríc (X, d) Y tập không rỗng X Ánh xạ dY ≡ d|Y ×Y , d y (x, y) = d(x, y) với x, y ∈ Y , mêtríc Y mà ta gọi mêtríc thu hẹp X lên Y Không gian mêtríc (Y, dY ) gọi không gian (mêtríc) không gian mêtríc X Chú ý với Y không gian X A tập Y , ta cần phân biệt trường hợp A đóng/mở X với trường hợp A đóng/mở Y Tương tự, với dãy (x n ), ta phân biệt trường hợp (x n ) hội tụ X với trường hợp (x n ) hội tụ Y Ta có liên hệ tính đóng/mở không gian với tính đóng/mở không gian sau Mệnh đề 1.2.1 Cho Y tập không rỗng không gian mêtríc X A ⊂ Y Ta có: (a) A mở Y tồn tập V mở X cho A = V ∩Y CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRÍC (b) A đóng Y tồn tập F đóng X cho A = F ∩Y Cho Y tập không rỗng không gian mêtríc (X, d) Khi Y trở thành không gian mêtríc, không gian mêtríc X Ta nói Y tập đầy đủ (compắc) không gian mêtríc (con) Y không gian đầy đủ (compắc) Mệnh đề 1.2.2 Cho Y tập không gian mêtríc X Ta có (a) Nếu Y đầy đủ tập đóng (trong X) (b) Nếu Y tập đóng (trong X) X đầy đủ Y đầy đủ 1.3 Không gian compắc Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian mêtríc (X, d) Ta nói (X, d) compắc dãy X có dãy hội tụ X Mệnh đề 1.3.2 Cho Y tập không rỗng không gian mêtríc X Ta có (a) Nếu Y compắc bị chận đầy đủ (và tập đóng) (b) Nếu Y tập đóng (trong X) X compắc Y tập compắc Định lí 1.3.3 (ảnh liên tục không gian compắc compắc) Cho f ánh xạ liên tục hai không gian mêtríc (X, d X ) (Y, dY ) Nếu X compắc f (X ) compắc Định lí 1.3.4 (liên tục không gian compắc liên tục đều) Cho f ánh xạ liên tục hai không gian mêtríc (X, d X ) (Y, dY ) Nếu X compắc f liên tục X, nghĩa ứng với ϵ > 0, tồn δ > cho d X (x, y) < δ =⇒ d y ( f (x), f (y)) < ϵ Định lí 1.3.5 (định lí Bolzano-Weierstrass) Mọi khoảng đóng [a, b] tập compắc không gian mêtríc Euclid Ta có đặc trưng quan trọng sau tập compắc không gian Euclid: Định lí 1.3.6 Một tập không gian Euclid Rn tập compắc tập đóng bị chận Định lí 1.3.7 Cho không gian mêtríc compắc X, ánh xạ liên tục f từ X vào R với mêtríc Euclid Ta có (a) f hàm bị chận, nghĩa f (X ) tập bị chận R, (b) f đạt giá trị lớn nhỏ X, nghĩa tồn a, b ∈ X cho f (a) = sup f (X ) = max f (X ) f (b) = inf f (X ) = f (X ) 7 CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRÍC 1.4 Các kết khác Định lí 1.4.1 (nguyên lí ánh xạ co) Cho (E, d) không gian mêtríc đầy đủ, α ∈ (0, 1) f ánh xạ từ E vào E Giả sử d( f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ E Ta nói f ánh xạ co với số co α E Khi (a) f liên tục E (b) Với a ∈ E bất kì, dãy (x n )n ≥1 xác định x1 = a x n+1 = f (x n ), n ≥ 1, dãy Cauchy E (c) Dãy (x n )n ≥1 hội tụ x ∈ E cho f (x) = x Điểm x csao cho f (x) = x gọi điểm bất động f Có thể đọc thêm điểm bất động Kreyszig [3, chương 5] Bài tập Các kết nêu chương tập Bài tập 1.4.2 Cho không gian mêtríc (X, d), a ∈ X, r > Chứng minh cầu mở B(a, r) tập mở, cầu đóng B ′ (a, r) mặt cầu S(a, r) tập đóng Bài tập 1.4.3 Chứng minh dãy Cauchy không gian metric có dãy hội tụ hội tụ Bài tập 1.4.4 Cho (x n )n ≥1 dãy không gian mêtríc X x X Chứng minh hai điều sau tương đương: (a) Có dãy x n k k ≥1 (x n ) hội tụ x X (b) Tập {n ≥ | x n ∈ B(x, r)} tập vô hạn với số thực r > Bài tập 1.4.5 Cho A tập compắc không gian mêtríc X (x n )n ≥1 dãy Cauchy X Chứng minh dãy (x n )n ≥1 hội tụ phần tử A Bài tập 1.4.6 Cho dãy Cauchy (x n )n ≥1 không gian mêtríc X Giả sử có dãy (x n k )k ≥1 (x n ) cho dãy (x n k ) hội tụ xtrong X Chứng minh dãy (x n ) hội tụ x X Bài tập 1.4.7 Cho A tập không gian mêtríc (E, d E ), f ánh xạ từ E vào không gian mêtríc (F, d F ) Giả sử với số thực dương η có ánh xạ liên tục gη từ E vào F cho d F ( f (x), gη (x)) < η, ∀x ∈ A Chứng minh f liên tục A CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRÍC Bài tập 1.4.8 Cho A không gian mêtríc compắc f đơn ánh liên tục từ A vào không gian mêtríc F Chứng minh f −1 : F → A ánh xạ liên tục Chương Ánh xạ tuyến tính liên tục 3.1 Sự liên tục chuẩn ánh xạ tuyến tính Cho E F hai không gian định chuẩn trường F R C Nhắc lại ánh xạ Λ : E → F ánh xạ tuyến tính Λ (αx + βy) = αΛ(x) + βΛ(y), với x, y ∈ E, α, β ∈ F Với ánh xạ tuyến tính, người ta có thói quen viết Λ(x) Λx Gọi L(E, F) tập hợp tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Đây đối tượng nghiên cứu chương Khi F = F L(E, F) kí hiệu E ∗ phần tử E ∗ gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục Mệnh đề 3.1.1 Ánh xạ tuyến tính liên tục điểm liên tục điểm Chứng minh Cho T tuyến tính liên tục x Theo định nghĩa ta có ∀ϵ, ∃δ > 0, ∥ x − x ∥ < δ ⇒ ∥T x − T x ∥ < ϵ Điều viết lại cách tương đương ∀ϵ, ∃δ > 0, ∥(x − x ) − 0∥ < δ ⇒ ∥T x − T x ∥ = ∥T (x − x ) − T0∥ < ϵ Tức T liên tục Như liên tục điểm liên tục 0, liên tục dẫn tới liên tục điểm Một cách viết khác dùng dãy T liên tục x (x n → x ) ⇒ (T x n → T x ) Điều tương đương với (x n − x → 0) ⇒ (T (x n − x ) → 0) Đặt yn = x n − x điều tương đương với (yn → 0) ⇒ (T yn → T0), tức T liên tục Cho T tuyến tính liên tục Liên tục điểm đồng nghĩa với liên tục Theo định nghĩa ta có ∀ϵ, ∃δ > 0, ∥ x∥ < δ ⇒ ∥T x∥ < ϵ Do x x [...]... Khi x = ei 0 thì đẳng thức xảy ra 3.3 3.3.1 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt Toán tử tích phân Cho A ⊂ Rn compắc và K : A × A → R liên tục Xét T : C( A, R) → C( A, R) x → T x : A → R, T x(t) = ˆ K (s, t)x(s) ds A Ở đây ta đang dùng tích phân Lebesgue (nếu thay A bằng một hình hộp thì có thể dùng tích phân Riemann) Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục (xem 2.8.18) CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH... với chuẩn ∥ x∥∞ = supt ∈[0,1] |x(t)| Tính ∥T ∥ Xét E = C([0, 1], R) Đặt T:E → E f → Tf với T f : [0, 1] → R ˆ t t → f (s) ds 0 Như vậy T mang mỗi hàm thành nguyên hàm của nó CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 24 (a) Hãy kiểm T được định nghĩa tốt, tức T f là hàm liên tục (b) Hãy kiểm T là ánh xạ tuyến tính (c) Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính liên tục (d) Hãy ước lượng ∥T ∥ (e) Hãy tính chính xác ∥T... thành tập mở Hệ quả 3.5.4 Nếu một ánh xạ là song ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach thì ánh xạ ngược cũng tuyến tính liên tục CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 3.6 23 Bài tập 3.6.1 Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên X Giả sử Λ Λx 0 Các phát biểu sau là tương đương 0, nghĩa là tồn tại x ∈ X sao cho (a) Λ liên tục (b) N (Λ) = { x ∈ X | Λx = 0} là không gian con đóng (c) N (Λ) không... tuyến tính liên tục từ ℓ ∞ vào R Tính ∥T ∥ 3.6.5 Với x ∈C([0, 1], R) đặt T x là hàm cho bởi ˆ 1 T (x)(t) = x(s) sin(st) ds, 0 0 ≤ t ≤ 1 (a) Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C([0, 1], R) với chuẩn ∥ x∥∞ = supt ∈[0,1] |x(t)| (b) Ước lượng ∥T ∥ (c) Hãy tính chính xác ∥T ∥ 3.6.6 Với x ∈C([0, 1], R) đặt T x là hàm cho bởi T (x)(t) = x(1 − t), 0 ≤ t ≤ 1 Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính liên tục... − Tn ∥ < ϵ Với mỗi x ∈ E, vì (3.1) ∥Tm x − Tn x∥ ≤ ∥Tm − Tn ∥ ∥ x∥ < ϵ ∥ x∥ , nên (Tn x)n ∈Z+ là một dãy Cauchy trong F, do đó hội tụ về một phần tử của F gọi là T x Nói cách khác dãy hàm (Tn )n ∈Z+ hội tụ từng điểm về hàm T Dễ dàng kiểm tra rằng T là tuyến tính Lấy giới hạn hai vế của 3.1 khi m tiến ra vô cùng ta được với n ≥ N thì ∥Tn x − T x∥ ≤ ϵ ∥ x∥ , suy ra (Tn − T ) ∈ L(E, F), do đó T ∈ L(E,... song ánh lên tập giá trị của nó nhưng ánh xạ ngược không liên tục 3.6.7 Xét E = C([0, 1], R) với chuẩn sup Với f ∈ E đặt Tf = 1/2 ˆ 0 f− ˆ 1 f 1/2 (a) Chứng tỏ T là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E (b) Gọi f n là phiếm hàm tuyến tính liên tục bằng 1 trên [0, 12 − n1 ] và bằng −1 trên [ 12 + n1 , 1] Tính ∥ f n ∥ và T f n (c) Tính ∥T ∥ 3.6.8 Cho E là không gian L 1 (Rn ) với chuẩn ∥·∥ 1 và M... khác nhau trong một không gian định chuẩn E Chứng minh có f ∈ E ∗ sao cho f (x) f (y) 3.6.16 Xét không gian định chuẩn X Khi đó, với Λ ∈ X ∗ và x ∈ X, giá trị của phiếm hàm Λ tại x, Λx ≡ Λ (x), còn được viết là ⟨Λ, x⟩, mà ta còn gọi là tích đối ngẫu của (X ∗, X ) Nhắc lại rằng chuẩn trên X ∗ xác định bởi ∥Λ∥ = sup |⟨Λ, x⟩|, ∥ x ∥ ≤1 với mọi Λ ∈ X ∗ Chứng tỏ với mọi x ∈ X, ta có ∥ x∥ = sup ∥Λ ∥ X ∗ ≤1