B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI ===B3=== ĐÕ VĂN LẺ TÍNH ỎN ĐINH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA ẨN Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60460102 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Khải Hà Nội -2015 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s Nguyễn Văn Khải, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tôi xin cam đoan luận văn “Tính ổn định phương pháp Runge-Kutta ẩn” không trùng với luận văn khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 12 năm 2015 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu 1.2 Phương pháp Euler 1.3 Phương pháp bước 1.4 Phương pháp Runge - Kutta 16 1.4.1 Khái niệm phân loại 16 1.4.2 Tính phù họp phương pháp Runge - Kutta 18 1.4.3 Bậc phương pháp Runge - Kutta 19 1.4.4 Sự hội tụ phương pháp Runge - Kutta 20 1.4.5 Tính ổn định phương pháp Runge - Kutta 22 CHƯƠNG 2: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA ẨN 27 2.1 Kiến thức chuẩn bị 27 2.2 Các khái niệm ổn định 52 2.3 Điều kiện đủ B-, BS- BS- ổn định 57 2.3.1 BS- BSI- ổn định 57 2.3.2 B -ổn định 62 2.4 Các kết ổn định với số lược đồ Runge - Kutta 65 2.4.1 Các phương pháp Gauss Radau IA 65 2.4.2 Công thức Radau IIA 74 2.4.3 Các phương pháp Lobatto IIIC 77 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 MỞ ĐẦU Lý chọn đè tài Phương trình vi phân mô hình mô tả tốt trình chuyển động tự nhiên kĩ thuật Đe nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính giải số Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, nhiều toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm phương pháp hữu hiệu bảo đảm hội tụ, tính ổn định tính xác cao Một phương pháp phương pháp Runge-Kutta ẩn, có nhiều ứng dụng chọn đề tài: “Tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn” Mục đích nghiền cứu Luận văn nghiên cứu tính ổn định phương pháp Runge - Kutta ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp Runge-Kutta, tính phù hợp, tính ổn định, tính hội tụ phương pháp Đối tượng phạm vỉ nghiên cứu Phương trình vi phân; Phương pháp Runge-Kutta ẩn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng họp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Dự kiến đóng góp đè tài - Trình bày cách hệ thống phương pháp Runge-Kutta; - Trình bày tính ổn định phương pháp Runge-Kutta ẩn CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu Định nghĩa 1.1.1 Giả sử G miền R hàm / :G -> R , hàm khả vi liên tục y : [a,ố] —> R gọi nghiệm phương trình vi phân thường phân bậc ỳ = f { x , y ) nếu: ■{x: y (x )\ e G „ y(x) = f(x,y(x)) V « M Định nghĩa 1.1.2 Giả sử G miền Rn+l f : G -> R", hàm khả vi liên tục y : \a,b\ -> R" gọi nghiệm phương trình vi phân thường y ’ = f ( x , y ) nếu: ■{x: A x )); G „ y ( x ) = f ( x, y ( x) ) V « M Bài toán giá trị ban đầu: Cho hàm số y :\a,b\ —» R" hàm / :Rx R” Giải toán giá trị ban đầu: 'y'=f(x,y) Định lí 1.1.1 ( Định lí tồn nghiệm) Cho hàm sô f : R X R” —» R” xác định liên tục miên: ( 1) R” D = [ ( x , y ) : a < x < b , -00 < y t < +00, Vi = 1, «I với a,b hữu hạn Giả sử tồn sổ L cho: ||/(*> y)- / ( * > / ) ! - V (x ,7 ) , ( x , / ) e D , khỉ với y e R" tồn nghiệm toán giá trị ban đầu (1.1) cho y liên tục, khả vi V ( í , j ) e D , 1.2 Phương pháp Euler Định nghĩa 1.2.1 Phương pháp Euler để tìm nghiệm toán Cauchy 'y' = f ( x , y ) ( 2) H x° ) = y ° ’ việc tính xẩp xỉ y thay cho giá trị nghiệm mốc cách với bước lưới h là: ' x = x 0+h, j =1,2,3 y J+l = yj + hf (x , y ), ý = 1,2,3 Có cách giải thích khác cho công thức xấp xỉ phưoug pháp Euler là: +) Thay đạo hàm tỉ số sai phân: h +) Từ phương trình tích phân tương đương có: /(W o)- y{*i) * ;K*o) + ị f{4,y(4))dệ, xữ xấp xỉ quy tắc hình chữ nhật: ị f(ỉ>y{ỉ)đỉ » hf(x0,ỵ0) xữ +) Sử dụng công thức Taylor: y(x,) = y(x0 + h) = y (x 0) + h y \x 0) + y / (x0 + ỡh), với < < bỏ qua số hạng lạ i, nghĩa xấp xỉ: Mỗi cách giải thích mở khả cải tiến phương pháp Euler Chẳng hạn thay sử dụng công thức hình chữ nhật, ta sử dụng công thức hình thang xác hơn: J f(ậ,y(ậ))ậậ * | ( / ( w ( * o ) ) + / ( w ( * i ) ) ) x0 y l =yo + ị { f ( xo’y o ) + f ( xl>yl))- (1-3) Quá trình lặp lại ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.2.2 Phương pháp Euler ẩn đổi với việc tìm nghiệm sổ toán Cauchy (1.2) xẩp xỉ y tới nghiệm y(x ) mốc cách X = x0 + j h , j > công thức: T;+1 = T ; + ệ ( / ( W ; ) + / ( x;+i’T,+i))> j - ° - ( L4) Chủ ỷ: Phương trình không tuyến tính (1.4) phương pháp Euler ẩn giải dãy xấp xỉ liên tiếp với giả thiết hẳng số Lipschitz L f bước h thỏa mãn Lh < Chứng minh Ta phải giải phương trình (1.3) y l Đặt g{ y) = y ũ+ ịì ự { xũ, y 0)) + f { ^ y ) ) > suy (1.3) viết lại là: y l = g ( y 1) ,h m g co \ g { y ) - g { z ) \ = ị \ f ( x l, y ) - f ( x l, z ) \ < ! j \ y - z \ < \ y - z \ , theo nguyên lí ánh xạ co ta có y tồn Định nghĩa 1.2.3 Phương pháp Euler cải tiến để tìm nghiệm toán Cauchy (1.2) việc xấp xỉ y tới nghiệm ) mốc cách đều:x = x0 + j h , j = 1,2,3 công thức sau: y J+1 = y ) + \ [/(w , ) + /(X,+1’T, + h/ i x^y^)] J > 1.3 Phương pháp bước Định nghĩa 1.3.1 Phương pháp bước để tìm nghiệm sổ toán giả trị ban đầu: y' = f ( x>y) y ( x o) = y 65 M xác định bởi: M := diag(b)A + ATd i a g ( b ) - b b T Do giả thiết tính ổn định đại số: M > y àdiag(b) > 0, do: ||vf áII#~ + 11VT(diagịb) X1)V [...]... thì phương pháp Runge- Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge- Kutta hiển (hay phương pháp Runge- Kutta cổ điển) + Nếu flL = 0, V/ > ỉ,ỉ = 1, s hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp Rune -Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge- Kutta nửa ẩn + Trong trường họp còn lại thì phương pháp Runge - Kutta (1.12) được gọi là phương pháp Runge- Kutta ẩn A không là ma trận tam giác dưới 1.4.2 Tính phù hợp của phương. .. Định nghĩa 1.4.4 Phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge -Kutta (1.12) là phù hợp và thỏa mẫn điều kiện nghiệm Đa thức đặc trưng của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là: p(ỉ) = ỉ - h luôn thỏa mãn điều kiện nghiệm Vì vậy phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge- Kutta (1.12) thỏa mãn điều kiện phù hợp Nghĩa là phương pháp Runge- Kutta (1.12) hội... với Ỵ^b = 1 thì phương pháp Runge- Kutta là phù họp i=1 1.4.3 Bậc của phương pháp Runge- Kutta Định nghĩa 1.4.2 Sai sổ chặt cụt địa phương của phương pháp Runge- Kutta (1.12) tại X J tại T l được xác định bởi công thức: T +l - = y { xn+l) - y n+l với giả thiết y n = y ( x n),Y = y (xn + cJdh ) , j = 1,5 hay là T +l := yn+l - y n - h ỵ b Ả 20 Định nghĩa 1.4.3 Bậc của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là... năm 1901 Phương pháp này được gọi là phương pháp Runge- Kutta Đây là phương pháp thành công nhất của lóp các phương pháp một bước và ngày nay được sử dụng rộng rãi Định nghĩa 1.3.12 Phương pháp Runge- Kutta để tỉnh nghiệm bằng sổ của bài toán Cauchy (1.2) xây dựng bởi sự xẩp xỉ y tới nghiệm chính xác y ( x ) tại các mốc cách đều:x = x0+ jh với j = 1,2,3, với bước h bằng cách sử dụng phương pháp 1 bước... ta thấy: i=1 0 3 0 3 4 = 1 — >phương pháp đã cho là phù họp, do đó phương pháp số hội tụ 1.4.5 Tính ỗn định của phương pháp Runge- Kutta Cho bài toán vô hướng: y„+l = Ẳy , Ẳe C, Re( Ả) trong đó z = Ằh Ta gọi hàm R(z) là hàm ổn định của phương pháp RungeKutta (1.12) Ta thấy y -» 0 khi... khác của phương pháp Runge- Kutta Thay công thức trên vào phương trình y ’ = Ầy ta được: Í Y = e y n+zAYn 1 t „+1 = y n+ zbTYn \ Y = [ l - z à \ ỉ eyn Ị_yn+1 = y n+[ 1+ zb Tự - zA) 1e] yn Với I là ma trận đơn vị cấp s, khi đó ta có: R(z) = 1+ z bT(1 - zA) 1e Vậy hàm ổn định của phương pháp Runge- Kutta (1.12) là: R(z) = 1 + zbT(1 - zA) 1e 24 Định lí 1.4.5 Hàm ổn định R(z) của phương pháp Runge- Kutta. .. chỉ khi ^ b = 1 Ví dụ 21 Ví dụ 1: Phương pháp Runge - Kutta hiển 2 nấc cho bởi bảng Buttcher: 0 0 0 1 1 2 0 0 1 2 (Phương pháp Euler cải tiến: ốj = 0,ố2 = l,c2 = — ) Ví dụ 2: Phương pháp Runge - Kutta nửa ẩn với bảng Butcher: 0 1 2 0 1 1 2 0 2 1 1 2 2 (Nhận xét: s = 2\ p = 2 ta có phương pháp Runge - Kutta 2 nấc cấp 2) Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của phương pháp Runge - Kutta cho bởi: K= f ( x „ , y „ )... Ải= 1 16 Phương pháp Euler được mô tả bởi m =l, a l = 1 Phương pháp Euler được mô tả bởi m =l, s2 = 1,c21 = 1,«! = a 2 Ị_ 2 ' Mục đích cơ bản trong việc xây dựng phương pháp bậc cao hơn là cho 1 số m, xác định các hệ số cao cho bậc của tính phù họp và hội tụ là lớn nhất có thể Năm 1895, Runge giới thiệu phương pháp 1 bước để giải phương trình vi phân và được mở rộng hệ phương trình vi phân bởi Kutta năm... giá trị tính theo phương pháp Runge- Kutta tại X x,y = y(x ) là giá trị đúng, khi đó ỹ „+1 = y n+ ệ f ( y n,xn; h ) Do vậy:.y(x+1) - ỹ „+1 = r -i • Khai triển Taylor tại X ta có: T'+1 = H O - y ( x , ) ■- ệ f ( y { \ ) > 0 ) = hy \ x n) - h f ( x n, y(xn)) + 0( hỉ ) = 0( t í ) , như yậy mọi phương pháp Runge- Kutta (1.12) phù họp đều có bậc p > 1 1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge- Kutta Định nghĩa... X,+1 = det( I - Z Ấ + z e b T) A , n _- Z Ẩ1) y■ det(/ Vậy định lí được chứng minh det(I -Z Ấ + zebT) det(/ - zA) 27 CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA ẨN 2.1 Kiến thức chuẩn bi * Ta xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường: y ' = f ( t , y ) , t s [0, r ] , / : [o ,r ]x R- -> R■ trong đó / ị t , y ) được giả định là thỏa mãn điều kiện Lipschitz một phía: ự { t ,