Đang tải... (xem toàn văn)
1: Lí do chọn đề tài. Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phươngtrình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậcTrung học phổ thông thì số phức là nội dung còn rất mới mẻ, tuy nhiên nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Với thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức. Với mong muốn tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về số phức cũng như ứng dụng của nó vào việc giải các bài toán liên quan , nên chúng tôi chọn đề tài “Lý thuyết và phân dạng bài tập về số phức” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức để giải các bài toán liên quan. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 3. Phương pháp và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong các dạng toán cụ thể là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số bài toán, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể. 4. Đóng góp của đề tài Hệ thống lại 1 số kiến thức về các dạng toán của số phức làm tư liệu tham khảo. 5. Cấu trúc của đề tài Phần I: Cơ sở lí thuyết về số phức. Phần II: Một số dạng toán về số phức và các ví dụ. Phần III: Bài tập hướng dẫn giải Phần IV Một số bài tập tự giải. 6. Tài liệu tham khảo.
ĐẶT VẤN ĐỀ 1: Lí chọn đề tài Số phức đời nhu cầu phát triển Toán học giải phươngtrình đại số Từ đời số phức thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật Đối với học sinh bậcTrung học phổ thông số phức nội dung mẻ, nhiên thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức Với mong muốn tổng hợp lại kiến thức số phức ứng dụng vào việc giải toán liên quan , nên chọn đề tài “Lý thuyết phân dạng tập số phức” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, dạng biểu diễn số phức, ứng dụng số phức để giải toán liên quan - Nâng cao hiểu biết hiệu học tập thân Phương pháp phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phức ứng dụng số phức dạng toán cụ thể nghiên cứu kỹ sở lý thuyết số phức, sử dụng số phức vào giải số toán, phân loại dạng tập đưa phương pháp giải cho dạng cụ thể Đóng góp đề tài Hệ thống lại số kiến thức dạng toán số phức làm tư liệu tham khảo Cấu trúc đề tài Phần I: Cơ sở lí thuyết số phức Phần II: Một số dạng toán số phức ví dụ Phần III: Bài tập hướng dẫn giải Phần IV Một số tập tự giải Tài liệu tham khảo SỐ PHỨC- CƠ SỞ LÍ THUYẾT I: CÁC DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1.1 ĐỊNH NGHĨA Một số phức có dạng z = a + bi a; b số thực số i = − Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi phần ảo , a gọi phần thực , kí hiệu Re [ z ] = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi Kí hiệu Im [ z ] = b Tập hợp số phức kí hiệu C Chú ý: Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b =0 Số phức z = a + bi có a =0 gọi số ảo hay số ảo Số vừa số thực vừa số ảo 1.1.1 Hai số phức a = a, Cho z = a + bi z , = a , + b ,i ta nói z = z , , b = b 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn hình học điểm M ( a; b ) mặt phẳng Oxy Ngược lại điểm M ( a; b ) biểu diễn số phức z = a + bi 1.1.3 Phép cộng phép trừ số phức Cho số phức z = a + bi z , = a , + b,i ta định nghĩa z + z , = (a + a , ) + (b + b, )i z − z , = (a − a , ) + (b − b, )i 1.1.4 Phép nhân số phức Cho số phức z = a + bi z , = a , + b ,i ta định nghĩa zz , = aa, − bb, + (ab, − a ,b)i 1.1.5 Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi số phức z = a − bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a − bi Chú ý: z = z → z z số phức liên hợp với Tính chất số phức liên hợp: +) z = z +) z + z , = z + z , +) zz , = z z , +) zz = a + b2 1.1.6 Mô đun số phức Cho số phức z = a + bi ta kí hiệu z mô đun của số phức z số thực không âm xác định sau, M ( a; b ) biểu diễn số phức z = a + bi z = OM = a + b Nếu z = a + bi z = z z = a + b 1.1.7 Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ ta định nghĩa số phức nghịch đảo z −1 số phức 1 −1 z, z = z = z z ≠ số phép chia z , cho số phức Thương a + b2 z z z ≠ xác định sau z = a + bi (a,b ∈ ¡ ) = zz −1 = z, z z Với phép toán cộng,trừ,nhân,chia số phức nói có đặc điểm tính chất giao hoán ,phân phối, kết hợp,như phép cộng ,trừ,nhân,chia số thực 1.1.8 Dạng lượng giác số phức Định nghĩa 1: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgument z Định nghĩa 2: Dạng z = r (cosφ + isin φ ) r > gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Còn dạng z=a+ bi ( a, b ∈ ¡ ) gọi dạng đại số số phức z 1.1.9 Nhân chia số phức dạng lượng giác Định lý: Nếu z = r (cosφ + isin φ ) , z ' = r '(cosφ '+ isin φ ')( r ≥ 0, r ' ≥ 0) zz’= rr’ cos ( φ + φ ' ) + isin(φ + φ ')] , z' r' = cos ( φ '− φ ) + isin ( φ '− φ ) z r (Khi r>0) 1.1.10 Công thức Moa-vro (Moivre) ứng dụng a) Công thức Moavro Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n [r (cosφ + isin φ )]n = r n ( cosφ + isin φ ) r=1 ta có (cosφ + isin φ ) n = cosnφ + isin nφ b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z = r (cosφ + isin φ ) r>0 có Hai bậc hai là: φ φ φ φ φ φ r cos isin ÷và - r cos isin ÷ = r cos + Π ÷+ isin + Π ÷÷ 2 2 2 2 c) Định nghĩa bậc n số phức Xét số nguyên n ≥ số phức w ≠ Như trường hợp số thực ¡ , phương trình z n − w = dùng định nghĩa bậc n số w Ta gọi nghiệm z phương trình bậc n w Định lí: Cho w = r (cos ϕ + i sin ϕ ) số phức với r>0 ϕ ∈ [ 0,2π ] Căn bậc n w gồm n số phân biệt cho zk = n r (cos ϕ + kπ ϕ + kπ +isin ) k=0, n − r r Chứng minh : Biểu diễn số phức z dạng lượng giác tức z= ρ (cosϕ + isinϕ) , theo định nghĩa ta có z n=w nên ρ n (cosnϕ + isinnϕ )=r(cosϕ + isin nϕ ) Do ϕ k 2π + n n ρ n = r ; nϕ =ϕ +2kπ , k ∈ ¢ → ρ = n r ; ϕ k = Vậy nên phương trình có dạng z = r (cosϕ + isinϕ ) k ∈ ¢ n k k k Lưu ý: ≤ ϕ0 < ϕ1 < < ϕ n−1 < 2π Do ϕk , k ∈ { 0,1, n − 1} arcgumen cực, tính tọa độ cực ta có n nghiệm phân biệt phương trình z0 , z1 , , zn−1 đến ta chứng minh phương trình có n nghiệm phân biệt Biểu diễn hình học bậc n w ≠ ( n ≥ ) đỉnh n giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r , r = w Để chứng minh điều ta kí hiệu M ( z0 ) , M1 ( z1 ) M n ( zn−1 ) Bởi OM k = zk = n r , k ∈ { 0,1 n − 1} → M k ∈ C (0, n r ) Mặt khác số đo cung ¼M = arg z − arg z = ϕ + 2(k + 1)π − (ϕ + 2kπ = 2π , k ∈ { 0,1, n − 1} M k k +1 k +1 k n n ¼ M = 2π − ( n − 1) →M n −1 2π 2π = n n PHẦN II: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC 1.2.1 Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp giải Giả sử z = a + bi (a,b ∈ R ) thay vào giả thiết tìm mối liên hệ x, y Từ suy tập hợp điểm biểu diễn cần tìm Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau z + = 3i =1 (1) z −4+i Giải Giả sử z = a + bi (a,b ∈ R ) → z + − 3i = x + + ( y − 3)i từ giả thiết (1) ta suy z + − 3i = z − − i ⇔ ( x + 2) + ( y − 3) = ( x − 4) + ( y − 1) ⇔ 3x − y − = Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng có phương trình 3x − y − = Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất điểm biểu diễn số phức sau z − i = (i + 1) z (2) (Tuyển sinh ĐH năm 2010) Giải Giả sử z = a + bi (a,b ∈ ¡ ) ; (1 + i ) z = x − y + ( x + y )i từ giả thiết (2) ta suy Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(0,1) bán kính Ví dụ 3:Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau z − 4i + z + 4i = 10 (3) Giải Giả sử z = a + bi (a,b ∈ R ) → z − 4i = x + ( y − 4)i ⇔ z + 4i = x + ( y + 4)i từ giả thiết (3) → x + ( y − 4) + x + ( y + 4) = 10 ⇔ x + ( y − 4) + ( y + 4) + x + ( y + 4) x + ( y − 4) = 100 ⇔ (x + y + 16 ) − 16 x = 34 − ( x + y ) ⇔ 32( x + y ) + 16 − 16 x = 342 − 68( x + y ) ⇔ 25 x + y = 225 ⇔ x2 y2 + = 25 x2 y2 Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn z elip có dạng + =1 25 ( ) Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = + i z + biết số phức z thỏa mãn z − ≤ Giải Gọi z= a+ bi (a, b ∈ ¡ ), w= x+ yi (x, y ∈ ¡ ) Ta có ( ) ( ) w = + i z + ⇔ x + yi = + i ( a + bi ) + x = a − b + x − = a − + b ⇔ ⇔ y = 3a + b y − = ( a − 1) + b ( ) 2 Từ ( x − 3) + y − ≤ ( a − 1) + b ≤ 16 (1) ( ) Vậy tập hợp điểm cần tìm hình tròn ( x − 3) + y − ≤ 16 có tâm I ( 3; ) bán kính R=4 1.2.2 Dạng 2.Các toán liên quan đến đại lượng số phức Phương pháp giải: Thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia dùng định nghĩa môđun, số phức liên hợp để giải toán Ví dụ 1:Tìm phần ảo số phức z biết z = ( + i ) (1 − 2i ) (tuyển sinh khối A năm 2010) Giải Ta có z = ( + i ) (1 − 2i ) = (2 + 2i + i )(1 − 2i) = (1 + 2i )(1 − 2i ) = + 2i suy z = − 2i Vậy số phức z có phần ảo − Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z +i ) = − i Tìm môđun số phức z +1 w = + z + z2 Giải z = a + bi (a,b ∈ R ) Từ giả thiết toán ta suy 5( a − bi + i ) = (2 − i )(a + bi + 1) = (2 − i )(a + bi + 1) 3a − b − = a = ⇔ 3a − b − + (a − 7b + 6)i = ⇔ ⇔ a − 7b + = b = ⇔ z = + i ⇔ z = 2i → w = + 3i → w = 13 Ví dụ 3: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ); z − z = a + b − 2a + 2bi Tính giá trị z + z Giả thiết toán suy Giải a + b − 2a + 2bi = −3 + 6i a + b − 2a = a = ⇔ ⇔ ⇒ z = 42 + 32 = ,vậy z + z = + 25 = 30 b = 2b = 19 − 4i Ví dụ 4: Cho số phức z thõa mãn điều kiện z = Tìm mô đun số phức z+2 w = z2 + z + Giải Điều kiện z ≠ Gọi z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) Từ giả thiết ta có phương trình a + b + 2a = 19 2 ⇔ ( a + b + 2a ) − 2bi = 19 − 4i ⇔ −2b = −4 a = a + 22 + 2a − 19 = a + 2a − 15 = z = + 2i ⇔ ⇔ ⇔ a = −5 ⇔ b=2 b=2 z = −5 + 2i b=2 +)Với z = + 2i ta có: w = (3 + 2i) + (3 + 2i ) + = + 14i ⇒ w = + 14 = 277 +)Với z=-5+2i ta có: w = ( −5 + 2i ) + ( −5 + 2i) + = 17 − 18i ⇒ w = 17 + 182 = 613 Vậy w = 613 ; w = 277 1.2.3 Dạng 3.Tìm số phức thỏa mãn hệ thức cho trước (không phải phương trình bậc bậc hai thông thường) Phương pháp giải: giả sử z = a + bi (a,b ∈ ¡ ) biến đổi hệ thức dạng A = A + Bi ⇔ từ tìm số phức z B = Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z + z = − 4i (1) Giải Đặt z = a + bi (a,b ∈ R ) → z = a − bi Từ giả thiết (1) ta suy 3a − = a = ⇔ a + bi + 2(4 − b)i = − 4i ⇔ 3a + ( − b ) i − = 4 − b = b = 2 + 4i Vậy z = + 4i 3 Ví dụ 2:Tìm số phức z biết z = (1 + i ) z + 11i z= (2) Giải Đặt z = a + bi (a,b ∈ R ) → z = a − b + 2abi từ (2) 2 ⇔ a − b + 2abi = (1 + i )(a − bi ) + 11i ⇔ a − b − (a + b) + (2ab − a + b − 11)i = a − b − a − b = a = a = −2 ⇔ ⇔ Vậy z = + 2i hay z = −2 − 3i b = −3 2ab − a + b − 11 = b = z+i Ví dụ 3: Tìm số phức z biết ÷ =1 z −i (3) Giải z + i z +i ÷ =1 z − i = ±1 z = z −i ⇔ ⇔ Theo giả thiết (3) ⇔ z + i z = ±1 z + i = ±i = − ÷ z − i z − i Vậy z = hay z = ±1 2 Ví dụ 4) Tìm tất số phức z biết z = z + z Giải Gọi z= a+ bi (a,b ∈ ¡ ) ta có: z + z + z ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi 2 ⇔ a − b + 2abi = a + b + a − bi a = b = 2 2 a − b = a + b + a 1 a = −2b ⇔ ⇔ ⇔ a = − ;b = 2 2ab = −b b ( 2a + 1) = −1 a = − ;b = 2 1 1 Vậy z=0; z = − + i; z = − − i 2 2 1.2.4 Phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai Phương pháp giải: Gọi σ = x + yi (x,y ∈ ¡ ) bậc hai x2 − y2 = a z=a+bi (a,b ∈ ¡ ) 2 xy = b +)Xét phương trình bậc hai có hệ số phức Az + Bz + c = (∗) có biệt thức ∆ =B2 − 4AC Nếu ∆ > phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt −B + σ −B − σ z1 = ; z2 = 2A 2A −B Nếu ∆ = phương trình (*) có nghiệm kép z1 = z = 2A Ví dụ1: Tìm bậc hai số phức sau a ) − + 3i b)4 + 5i Giải a) Giả sử x + yi (x,y ∈ ¡ ) bậc hai số phức −1 + 3i x = 2 x − y = − y = 2 ⇔ Khi ta có ( x + yi ) = -1+4 3i ⇔ 2 xy = x = − y = −2 Vậy bậc hai −1 + 3i ±( + 2i) b)Tương tự bậc hai + 5i ±(3+ 5i ) Ví dụ 2: Giải phương trình z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = (2) Giải / Ta có ∆ = 16(1 − i ) − (63 − 16i) = −63 − 16 gọi σ = x + yi (x,y ∈ ¡ ) bậc x − y = −63 x = x = −1 (2) ⇔ ⇔ ; → σ = ± (1 − 8i) hai ∆ y = − y = xy = 16 z1 = 4(1 − i ) + − 8i = − 12i Nên (2) có nghiệm phân biệt z2 = 4(1 − i ) − + 8i = = 4i Vậy z1 = − 12i z = + 4i / Ví dụ 3: giải phương trình z − z + z2 + z +1= Giải (3) na z −1 cos ( n − 1) a + isin ( n − 1) a S2 + iS1 = z = ( cos a + isin a ) a z −1 2 sin na sin cos ( n + 1) a + isin ( n + 1) a = a 2 sin sin n Mặt khác: S2 + iS1 = [ cos a + cos2a + + cos na ] + i [ sin a + sin 2a + + sin na ] Vậy: S1 = sin na ( n + 1) a na ( n + 1) a sin sin cos 2 2 ; S2 = a a sin sin 2 10 x 1 + ÷= x + y Bài 23) : Giải hệ phương trình y − = −1 x + y ÷ ( x, y ∈ ¡ ) Giải u = x ( u, v > ) Điều kiện x> 0, y> Đặt v = y u + = 2 ÷ u + v Ta có hệ v − = −1 u + v ÷ Từ hệ phương trình ta có Đặt z = u + iv ⇒ u − iv = z u − v2 ( ) u 1 + + iv − = − i ⇔ z − − 2i z + = ÷ 2 ÷ u +v u +v z = − 2i ⇔ z = +i Do u, v > nên u = ; v =1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) ;1÷ 10 Bài 24) Viết dạng lượng giác số phức z biết z = acgumen z −3π (trích tập 35b, SGK nâng cao,trang207) + i Giải Gọi φ acgumen z - ϕ acgumen z Một acgumen 1+i π π z Suy ra: acgumen - ϕ 4 1+ i Bài 25) Chứng minh rằng: ( ) + = n ( ) Cn1 − 3Cn3 + 5Cn5 − 7Cn7 + = n Cn0 − 2Cn2 + 4Cn4 − 6Cn6 π n −3 π sin ( n − 1) n −1 cos ( n − 1) Giải ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnb x n Đạo hàm hai vế theo x: n ( + x ) Cho x=i: n ( + i ) n −1 n −1 = Cn1 + xCn2 + x 2Cn3 + + nx n−1Cnb = Cn1 + 2iCn2 + 3i 2Cn3 + + ni n −1Cnb = ( Cn1 − 3Cn3 + 5Cn5 − 7Cn7 + ) + 2i ( Cn0 − 2Cn2 + 4Cn4 + ) x − xy = −1 Bài 26) Giải hệ phương trình: y − x y = − Giải 3 2 Xét số phức z = x + iy ( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − 3xy + i ( 3x y − y ) 2π 2π = −1 + 3i = cos + isin ÷ 3 Ta tìm giá trị z 2π 2π cos + isin 9 ÷; 4π 4π cos + isin 9 ÷; 8π 8π cos + isin ÷ 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) 2π 2π 3 + sin 2cos 9 4π 4π 3 + sin ÷; 2cos 9 8π 8π + sin ÷ ÷; cos 9 Bài 27) Cho phương trình z − mz − 6i = Giải phương trình m = 4i Giải Với m = 4i phương trình có dạng z − 4i z − 6i = Phương trình có ∆ / = (2i 2) + 6i = −8 + 6i = (1 + 3i) Nên có nghiệm z1 = 2i − (1 + 3i ) = −1 + (2 − 3)i; z2 = 2i + (1 + 3i) = + (2 − 3)i Bài 28) Chứng minh đa thức P(x)= x 4m+3 + x4n+2 + x4k+1 + x4p luôn chia hết cho tam thức x 2+1.(m,n,k,p số tự nhiên tuỳ ý ) Giải Vì số thực số phức, nên ta xem P(x) x 2+1 đa thức có hệ số phức biến phức Ta có : x2+1=(x-i)(x+i).Nhị thức x-i có nghiệm x = i , nhị thức x+i có nghiệm x = -i Ta có P(i) = i 4m+3 + i4n+2 + i4k+1 + i4p = -i-1+i+1 = 0, tương tự, ta tính P(-i) = Do P(x) chia hết cho x-i chia hết cho x+i , x-i x+i hai đa thức nguyên tố nhau, suy P(x) chia hết cho tích (x-i)(x+i)= x + Bài 29) Chứng minh bất đẳng thức: a) x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ ( x + y + z ) ( ∀x, y, z > ) b) ( cos x cos y ) + sin ( x − y ) + 4sin x sin y + sin ( x − y ) ≥ ( ∀x, y ∈ R ) Giải a) Đặt z1 = x + y z x + yi ; z2 = y + + zi ; z3 = z + + xi 2 2 2 Ta có: z1 = x + xy + y z2 = y + yz + z Và z1 + z2 + z3 = ( x + y + z ) z3 = z + zx + x Do z1 + z2 + z3 ≤ z1 + z2 + z3 nên ta có điều phải chứng minh b)Đặt z1 = 2cos x cos y + isin ( x − y ) ; z2 = 2sin x sin y + isin ( x − y ) Làm tương tự phần a) ta có điều phải chứng minh z +2−i = Tìm giá trị nhỏ z +1− i Bài 30) Biết số phức z thỏa mãn lớn z Giải Gọi z= x+ yi (x,y ∈ R ) ta có z +2−i = ⇔ x + + ( y − 1) i = x + − ( y + 1) i z +1− i ( x + 2) 2 2 + ( y − 1) = ( x + 1) + ( y + 1) ⇔ x + ( y + 3) = 10 Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(0;-3) bán kính R = 10 M điểm biểu diễn z z nhỏ OM nhỏ nhất, z lớn OM lớn ( ) Tìm Min z = −3 + 10 z = −3 + 10 i Max z = + 10 ( ) z = − + 10 i Bài 31) Chứng minh công thức sin 5ϕ = 16sin ϕ − 20sin ϕ + 5sin ϕ ( 1) cos5ϕ = 16cos5 ϕ − 20cos3 ϕ + 5cos ϕ ( ) Giải Áp dụng công thức Moiver ta có: ( cosϕ + isin ϕ ) = cos5ϕ + isin 5ϕ Khai triển nhị thức ( cosϕ + isin ϕ ) = cos5ϕ + +5i cos ϕ sin ϕ + 10i 2cos 3ϕ sin ϕ + 10i cos ϕ sin ϕ + 5i cos ϕ sin ϕ + i sin ϕ = cos5 ϕ − 10cos3 ϕ ( − cos ϕ ) + 5cos ϕ ( − cos ϕ ) ( + i sin ϕ ( − sin ϕ ) − 10 ( − sin ϕ ) sin ϕ + sin ϕ ) Đồng phần thực, phần ảo rút gọn ta sin 5ϕ = 16sin ϕ − 20sin ϕ + 5sin ϕ ( 1) Công thức (2) chứng minh tương tự Bài 32) Cho số thực a,b,c,d Chứng minh với số x ∈ ¡ ta có: acosx+bsinx+ccos2x+dsin2x ≤ c + d a=b=0 Giải Nếu c + d =0 kết hiển nhiên Vì ta giả thiết r= c + d >0 Lấy góc ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π ) cho cos 2ϕ = c d ; sin2ϕ = Khi ta có r r acosx+bsinx+ccos2x+dsin2x= acosx+bsinx+ r cos 2( x − ϕ ) ≤ r ∀x ∈ ¡ (*) Thay x x+ ϕ vào bất đẳng thức ta có: rcos2x+Acosx+Bsinx ≤ r ∀x ∈ ¡ với A=acos ϕ + b sin ϕ B=cos ϕ − a sin ϕ Từ (*) cho x=0 x= π ta A=0 Từ suy rcos2x+Bsinx ≤ r ∀x ∈ ¡ ⇔ r (1 − sin x) + B sin x ≤ r ∀x ∈ ¡ ⇔ sin x(2r sin x − B) ≥ ∀x ∈ ¡ Nếu B ≠ ta chọn x cho < sinx < B sinx (2r sin x0 − B) < 2r (mâu thuẫn) a cos ϕ + b sin ϕ = a = ⇔ Vậy B=0 nên b cos ϕ − a sin ϕ = b = Bài tập tự giải (Trích đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng từ năm 2009 đến nay) 2 Bài 1) (ĐH A-2009) Gọi z z nghiệm phương trình z +2z+10 =0 2 Tính giá trị biểu thức z1 + z2 = Bài 2) (ĐH B -2009) Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 − i ) = 10 ; z.z = 25 Bài ( ĐH D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (3 − 4i) = Bài ( ĐH A 2010) Tìm phần ảo số phức z biết z = ( + i) (1 − 2i) Bài 5) (ĐH A 2010 NC) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 3i ) tìm mô đun số phức z biết z − i = (1 + i)z z= 1− i Bài 6) (ĐH B 2010) Trong mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện z − i = (1 + i ) z Bài 7) ( ĐH D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z = z số ảo Bài 8) (ĐH B 2011) Tìm số phức z biết 1) z − 5+i −1 = z 2)tìm phần thực phần ảo số phức z=( 1+ i 3 ) 1+ i Bài 9) (ĐH A,A 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i ) = − i Tính mô đun z+i số phức w=1+z+z Bài 10) (IMO 1997) Cho hình vuông ABCD Dựng phía hình vuông tam giác ABK, BCL, CDM, DAN Chứng minh trung điểm đoạn thẳng KL,LM,MN,NK,BK,BL,CL,DM,DN,NA đỉnh thập nhị tam giác Bài 11) Cho z=( 3−i n ) − 3i a)Viết dạng lượng giác số phức z b)Với giá trị n nguyên dương z số thực z1 − 2i = iz1 + Bài 12) Cho hai số phức z 1; z2 thỏa mãn điều kiện: Tính z2 − 2i = iz + P = z1 + z2 biết z1 − z2 = Bài 13) (Bất đẳng thức Ptolemy) cho tứ giác ABCD.Chứng minh ta có AB.CD+AD.BC ≥ AC.BD Dấu dẳng thức xảy A, B,C,D theo thứ tự đỉnh tứ giác lồi nội tiếp đường tròn Bài 14) Tìm phần thực phần ảo số phức w= z 2012 + Bài 15) Rút gọn A = sin π 2π (m − 1)π sin .sin 2m 2m 2m m∈¥* z 2012 biết z + =1 z Bài 16) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 có mô dun Chứng minh rằng: z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Bài 17) (Đề thi vô địch Anh 1983) Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.D trung điểm AB J trọng tâm tam giác ACD Chứng minh TJ vuông góc với CD Bài 18) Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z +i Bài 19) (ĐH D 2012) Giải phương trình z + 3(1 + i ) z + 5i = Bài 20) Chứng minh số phức z ta có z +1 ≥ z +1 ≥1 m 2m 2m k Bài 21) Chứng minh cos x = ∑ C2 m cos2(m-k)x k =0 Bài 22) Các điểm A, B, C A ’, B’, C’ mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số – i ; + 3i ; + i 3i ; – 2i ; + 2i CMR ABC A ’B’C’ tam giác có trọng tâm Bài 23) Tìm số phức z cho z = , z z + =1 z z Bài 24) (Đường tròn Euler đường thẳng Euler) Cho tam giác A 1A2A3 có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O, trực tâm H, trọng tâm G Gọi B1,B2,B3 trung điểm cạnh A 2A3; A3A1;A1A3 Gọi P1;P2;P3 chân đường cao hạ từ A 1;A2;A3 xuống đỉnh tương ứng Gọi C 1;C2;C3 trung điểm nối đoạn thẳng nối từ đỉnh A 1;A2;A3 với trực tâm tam giác Chứng minh a)H,O,G thẳng hàng đường thẳng qua điểm gọi đường thẳng Euler b)Chín điểm B ;B2 ;B3 ; P1;P2;P3; C1;C2;C3 thuộc đường tròn gọi đường tròn Euler Bài 25) a)Tìm bậc b)Chứng minh tổng giá trị chúng Bài 26) Cho biết z + = a Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất,môđun lớn z Bài 27) Tìm tổng hữu hạn: a) Cn − Cn + Cn − Cn + − 27 11 b) Cn + Cn + Cn + − Bài 28) Tìm mối liện hệ môđun số hạng môđun tổng số phức z1 + z2 ≤ z1 + z2 Bài 29)Chứng minh số phức z ≠ -1 mà môđun 1, đặt dạng : z = + ti ,trong t số thực − ti Bài 30) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R cố định Điểm C chuyển động nửa đường tròn Về phía tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân A.Tìm tập hợp điểm D Bài 31) Cho lục giác ABCDEF, K trung điểm BD, M trung điểm EF Chứng minh tam giác AMK Bài 32) Chứng minh a)cos π 3π 5π + cos + cos = 7 b)cos π 2π 3π − cos + cos = 7 Bài 33) Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z +i Kết luận Trên đề tài ‘Lý thuyết phân dạng tập số phức’ Trong đề tài cung cấp số kiến thức số phức, dạng toán cách giải dạng toán đó.Tuy nhiên đề tài tránh khỏi thiếu sót , mong nhân góp ý, phê bình từ thầy cô bạn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô góp ý , sửa đổi giúp hoàn thành đề tài Tài liệu tham khảo 1- Đoàn Quỳnh (1997) ,” Số phức với hình học phẳng” NXB Giáo Dục 2- Nguyễn Văn Mậu –chủ biên (2009) ,” Chuyên đề số phức áp dụng” NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 3- Lê Hoành Phò (2008) “ Phân loại phương pháp giải toán số phức “ NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 4- Phạm Thành Luân (chủ biên) (2005) “Số phức ứng dụng” NXB Giáo Dục [...]... ≤ 9 2 Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i Bài 18) (A2013) Cho số phức z = 1 + 3i Viết dưới dạng lượng giác của 5 z.Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + i ) z Giải 1 3 π π 1 + 3i = 2( + i ) = 2(cos + isin ) 2 2 3 3 5 5 Suy ra z = 2 (cos 5π 5π + isin ) = 16(1 − 3i ) do đó 3 3 w = 16( 3 + 1) + 16(1 − 3)i Vậy phần thực của số phức là 16( 3 + 1) và phần ảo... 2010) Tìm phần ảo của số phức z biết z = ( 2 + i) 2 (1 − 2i) Bài 5) (ĐH A 2010 NC) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 3i ) 2 tìm mô đun số phức z biết z − i = (1 + i)z z= 1− i Bài 6) (ĐH B 2010) Trong mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện z − i = (1 + i ) z Bài 7) ( ĐH D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z = 2 và z 2 là số thuần ảo Bài 8) (ĐH B 2011) Tìm số phức z biết 1) z... cos π 1+ 5 = 5 4 Bài 16) (A2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i Tìm phần thực và phần ảo Giải Đặt z = a + bi (a,b ∈ ¡ ) từ giả thiết bài toán suy ra { 3aa−+bb==53 ⇔ { ba == −23 Vậy số phức z có phần thực bằng 2,phần ảo bằng -3 Bài 17) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ i) z + 2 = 1 1− i Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất Giải Đặt z= x+ yi (x,y ∈ ¡ ) thì (1+... Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 6 z + 13 = 0 Tính z + 6 z +i 2 Bài 19) (ĐH D 2012) Giải phương trình z + 3(1 + i ) z + 5i = 0 Bài 20) Chứng minh mọi số phức z ta có z +1 ≥ 1 hoặc 2 z +1 ≥1 2 m 2m 2m k Bài 21) Chứng minh rằng 2 cos x = ∑ C2 m cos2(m-k)x k =0 Bài 22) Các điểm A, B, C và A ’, B’, C’ trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số 1 – i ; 2 + 3i ; 3 + i và 3i ; 3 – 2i ; 3 + 2i CMR ABC và. .. biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R=2 3 1+ i 3 Bài 14) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ÷ 1+ i Giải 1 3 π π π π 1 + i 3 = 2 + i ÷ = 2 cos + isin ÷;1 + i = 2 cos + isin ÷ 3 3 4 4 2 2 Suy ra z= 8 ( cosπ + isin π ) 3π 3π 2 2 cos + isin 4 4 π π = 2 2 cos + isin ÷ = 2 + 2i 4 4 ÷ Vậy số phức có phần thực là 2 và phần ảo là... tự nhiên tuỳ ý ) Giải Vì mọi số thực đều là số phức, nên ta xem P(x) và x 2+1 là các đa thức có hệ số phức và biến phức Ta có : x2+1=(x-i)(x+i).Nhị thức x-i có nghiệm x = i , nhị thức x+i có nghiệm x = -i Ta có P(i) = i 4m+3 + i4n+2 + i4k+1 + i4p = -i-1+i+1 = 0, tương tự, ta tính được P(-i) = 0 Do đó P(x) chia hết cho x-i và chia hết cho x+i , nhưng vì x-i và x+i là hai đa thức nguyên tố cùng nhau,... hữu hạn: 1 3 1 5 1 7 1 a) Cn − Cn + Cn − Cn + − 3 9 27 3 7 11 b) Cn + Cn + Cn + − Bài 28) Tìm mối liện hệ giữa môđun số hạng và môđun tổng 2 số phức z1 + z2 ≤ z1 + z2 Bài 29)Chứng minh mọi số phức z ≠ -1 mà môđun bằng 1, đều có thể đặt dưới dạng : z = 1 + ti ,trong đó t là một số thực nào đó 1 − ti Bài 30) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R cố định Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn Về phía... Cho z=( 3−i 3 n ) 3 − 3i a)Viết dạng lượng giác của số phức z b)Với giá trị n nguyên dương nào thì z là số thực z1 − 2i = 2 iz1 + 1 Bài 12) Cho hai số phức z 1; z2 thỏa mãn điều kiện: Tính z2 − 2i = 3 iz 2 + 1 P = z1 + z2 biết z1 − z2 = 1 Bài 13) (Bất đẳng thức Ptolemy) cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng ta luôn có AB.CD+AD.BC ≥ AC.BD Dấu dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B,C,D theo thứ tự... dương, z = r (cosϕ + isin ϕ ) → z n = r n (cosnϕ + isin nϕ ) 1 3 (1 + i )3 ( + i) Ví dụ 1 : Tìm acgumen của số phức u = 2 2 ( 3 + i)5 Giải π 4 (1+i) có một acgumen bằng , do đó: (1+i) 3 có một acgumen là 3π 4 1 − 3i Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn 2 z − i = 2 + z − z và có một z acgumen là − 2π 3 Giải 1 3 π π 1 − 3i = 2 − i ÷ = 2 cos − ÷+ isin − ÷÷ 3 3 2 2 Giả sử z =... số phức z thỏa mãn điều kiện z = 2 và z 2 là số thuần ảo Bài 8) (ĐH B 2011) Tìm số phức z biết 1) z − 5+i 3 −1 = 0 z 2)tìm phần thực và phần ảo của số phức z=( 1+ i 3 3 ) 1+ i Bài 9) (ĐH A,A 1 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i ) = 2 − i Tính mô đun z+i của số phức w=1+z+z 2 Bài 10) (IMO 1997) Cho hình vuông ABCD Dựng về phía trong hình vuông các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN Chứng minh rằng