B G I O D C V O TO TRNG I HC s PH M H NI NG UYN HU DNG NH X K H ễ N G GIN V VI N ẫ T V C T R C HèNH HC CA K H ễ N G GIAN BANACH L U N V N T H C S T O N H C H Ni - 2015 B G I O D C V O TO TRNG I HC s PH M H NI NG UYN HU DNG NH X K H ễ N G GIN V VI N ẫ T V C T R C HèNH HC CA K H ễ N G GIAN BANACH Chuyờn nghnh: T o ỏ n gii tớc h Mó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N H C Ngi hng dn khoa hc: T S Trn Q u c B ỡn h H Ni - 2015 Li cm n Em xin gi li cm n sõu sc ti thy giỏo hng dn TS Trn Quc Bỡnh Thy ó giao ti v tn tỡnh hng dn em quỏ trỡnh hon thnh lun ny Nhõn dp ny em xin gi li cỏm n ca mỡnh ti ton b cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn v Phũng Sau i hc ó ging dy v giỳp chỳng em sut quỏ trỡnh hc ti õy ng thi, tụi xin cm n cỏc bn lp cao hc K17 Toỏn Gii Tớch t ó nhit tỡnh giỳp tụi quỏ trỡnh hc ti lp H Ni, thỏng 8, nm 2015 T ỏc g i N guyn H u D ng Li cam oan Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca TS Trn Quc Bỡnh Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k th a thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n H Ni, thỏng 8, nm 2015 T ỏc g i N guyn H u D ng M c lc Li cm n Li cam oan ii Mc lc iii M u C h n g K i n th c c h u n b 1 Cỏc khỏi nim v ng kớnh Tớnh li 1.3 Cu trỳc chun tc 1.4 Khụng gian liờn hp v tớnh phn x 1.5 Tụpụ yu v tụpụ yu* 1.6 Mt s tớnh cht c bn ca tụpụ yu v tụpụ yu* Tớnh cht T ớnh cht 1.6.3 T ớnh cht (nh lý A aoglus) 10 1.6.4 T ớnh cht 10 1.6.5 T ớnh cht (nh lý Eberlin-Sm ulion) 10 6 T ớnh cht 10 1.7 Nguyờn lớ im bt ng ca ỏnh x co 11 1.8 Tp bt bin 11 iii IV C h n g C ỏ c n h lý c b n v ỏ n h x k h ụ n g g ió n Cỏc khỏi nim c bn 12 12 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Banach 15 2.3 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian mờtric 19 2.4 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert 25 2.5 Tớnh cht ca im bt ng v cc tiu 27 C h n g V i n ộ t v c u t r ỳ c h ỡn h h c c a k h ụ n g g ia n B a n a c h 31 3.1 Cu trỳc chun tc 31 3.2 M ụun li v c trng li 39 3.3 Mi quan h gia mụun li v cu trỳc chun tc 43 3.4 Mi quan h gia cu trỳc chun tc v tớnh trn 46 K t l u n 50 T i liu th a m k h o 51 M u Lý chn ti Khi h s co ca ỏnh x co Banach bng 1, tc l khi: \\Tx - Ty\\ < \\x - y\\ ,V x ,y Ê C th ỡ T gi l ỏnh x khụng gión Núi chung, ỏnh x khụng gión khụng nht thit cú im b t ng (chng hn T l phộp quay hỡnh trũn n v quanh tõm i mt gúc), m nu cú th ỡ im bt ng cng khụng nht (chng hn T l ỏnh x n v) ỏnh x khụng gión T cú im bt ng ta phi ỏp cỏc iu kin lờn v nht l khụng gian X Nm 1965 xut hin bi bỏo cú tớnh cht m ng v s tn ti im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Banach li u vi li úng b chn (hay gim nh i mt chỳt l li, compact yu, cú cu trỳc chun tc khụng gian nh chun X (chỳ ý rng khụng gian Banach li u cú cu trỳc chun tc) T ú n nay, lý thuyt ỏnh x khụng gión v song hnh vi nú l nghiờn cu cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach ó phỏt trin m nh m Trong lun ny, tụi khụng ch nghiờn cu v im bt ng ca ỏnh x khụng gión, v cu trỳc im bt ng ca ỏnh x khụng gión m cũn cp sõu n cỏc v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach cú liờn quan Ti liu c tụi chn l mt s bi bỏo v ti liu chớnh l cun sỏch "Cỏc v lý thuyt im bt ng mờtric" ca hai tỏc gi Goebel K v Kirk w A [4] Trong ú Kirk w A chớnh l tỏc gi ca mt bi bỏo c nhc ti nm 1965 trờn v n l mt nhng ngi cú uy tớn nht lnh vc im bt ng Quyn sỏch ca ụng c hu ht nhng ngi lm vic lnh vc ny s dng Qua cỏc kt qu nghiờn cu trờn, gúp phn giỳp ngi c mun tỡm hiu v lý thuyt ỏnh x khụng gión núi chung v bn th õn núi riờng hiu sõu hn v ny Vỡ vy, di s hng dn v giỳp ca TS Trn Quc Bỡnh, tụi chn ti: n h x k h ụ n g g ió n v v i n ộ t v c u t r ỳ c h ỡn h h c c a k h ụ n g g ia n B a n a c h lm lun tt nghip ca mỡnh M c ớch nghiờn cu Nm c lý thuyt im bt ng ca ỏnh x khụng gión v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach N h im v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc kin thc c s ca ỏnh x khụng gión, lý thuyt im bt ng, cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach v cỏc sỏch, ti liu Cể liờn quan n cỏc ó nờu T ú ỏp dng vo vic h thng v trỡnh by lun i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: nh x khụng gión, im b t ng ca ỏnh x khụng gión v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach Phm vi nghiờn cu: Cỏc cun sỏch v ti liu liờn quan n i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu S dng kin thc c bn ca lý thuyt ỏnh x khụng gión, lý thuyt im b t ng D kin kt qu nghiờn cu Lun l ti liu tng quan v lnh vc nghiờn cu lý thuyt ỏnh x khụng gión v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach Chng K in th c chun b 1.1 Cỏc khỏi nim v ng kớnh n h n g h a 1.1 Nu A l ca khụng gian m etric (M , p ) v nu X Mth ỡ d iam A v dist (x, A) c gi l ng kớnh ca A v khong cỏch t X n A c xỏc nh bi: d iam A = sup {p (X, y ) : X, y e A} dist (X, A) = inf {p (X, y) : y G A} n h n g h a 1.2 Mi D , H ca X; e X: r (D ) = sup {||iớ VII : u D } rH (D ) = inf {ru (D) : e t f } (-D) = { : r u ( ) = H (D)} Khi ú: +S ru (D ) c gi l bỏn kớnh ca D so vi u +S r# (D ) c gi l bỏn kớnh chebysher ca D so vi H +S C h {D) c gi l tõm chebysher ca D so vi H 36 \\xn - || = IIQi (x n - )Il + Y i j=l \x] - X\ Ly gii hn hai v ta cú: r ( X) = lim II Qi (X - ) II Ta cú: lim Qi (x - ) = >00 ||a; - y II = lim \X - Vj I i-Ơ0f j=l = lim lim IIPf (x - y)|| ằ 0 n ằ 0 II-Pi ( z n - y)\\+\\Qi ( - ặ ) I H I Q ; (x - y ) l l < \\pi ( - y)\\+\\Qi ( - ợ / ) l l = \\xn - y II < IlPi {xn - y ) \ \ + IlQi {xn - y ) \ \ + IlQi {x - y ) \ \ Cho n >oo sau ú cho i >oo ta Cể: \\x - y \ \ + r (X) < r (y) < \\x - y \ \ + r (X) Vy r ( y) = \ \ x - y \ \ + r ( x ) V d 3.3 Tp li, compact yu* ca l1 cú cu trỳc chun tc yu* T h t vy, gi l li compact yu* l1 vi d ia m K > Ly S i f l li, úng yu*, d ia m S > Ta chng minh s cú tớnh cht sup {||x || , E S'} < diam S Ta xột hai trng hp s compact v s khụng compact Nu s compact th ỡ theo b 3.1, s cú cu trỳc chun tc Khi ú tn ti X Ê s cho: sup {|| z\\ , e (S'} < diam S 37 Gi s s khụng compact Khi ú tn ti dóy x n s cho xn X m x n khụng hi t m nh ti X Do ú r (X) = lim IIx n XII > Vỡ z1 ằ * nờn vi mi / = { f i } G l1, = {iớj} c0 ta cú: 00 f iu ) = f i u i i=1 Do nờn X ( ) > X () vi mi G c0, chn l cỏc vộct c s ta cú X >X Do ú x n hi t theo ta ti X Theo b 3.2, vi mi y G s ta cú () = (X) + II || Suy , \\ II = () (X) < d ia m S () Vỡ vy, sup {|| II , G S } < d a m S () Do () > nờn sup {ớc \\ : G 51} < diam S Vy cú cu trỳc chun tc yu* n h n g h a 3.3 Mt khỏc rng, b chn, li X cu trỳc chun tc u nu vi mi hng s k G (0,1) cú: gil cú r (D ) < k.diam D vi mi li, úng D ca ú r (D ) = inf sup ||w ?II u D vlD Khụng gian Banach gi l cú cu trỳc chun tc u nu mi khỏc rng, li cú tớnh cht trờn n h lý 3.1 Nu khụng gian Banach X cú cu trỳc chun tc u thỡ X l phn x C h n g m in h Ly dóy X l dóy gim cỏc li, úng, b chn t = sup *1 dr^ c } vi l li b chn X 38 Vỡ X cú cu trỳc chun tc nờn < Ly e (, 1), i vi mi nh trờn t ( ) = { Ê : || \\ < kdiam C ,\/y Ê } Khi ú () , li, úng nh ngha ca v ll-ll l hm li, na liờn tc di Ngoi ra, () nu khụng diam C < dam C (vụ lý) p dng cho dóy {đ} , sau ú t K \ = cừnv ( K ) K 00 K = A ( K ) K 1=71 Ta cú dóy { K } l dóy gim cỏc li, úng, b chn Ta chng minh d i a m K l < k d i a m K T h t vy, ly X, Ê Uiỹn A (-^7) Khi ú tn ti n < p < q cho X e A (Kp) , y Ê ( đ) Vỡ Kg Kp nờn || II < k.diamKp < k d ia m K Do / \ d a m K = diam conv => d ia m K l < k d a m K Lp li quỏ trỡnh trờn ta thu c cỏc dóy { K } cú quan h sau: K K D D đ D K K D D K D 39 Ta cú: diam K < kn.diam K < k n.d ia m K Do ú dam K > n > 0 Theo nguyờn lý C antor ta cú n r = i 7^ 0- Vy mi dóy gim cỏc li, úng, b chn cú giao khỏc rng, t ú suy khụng gian Banach X l phn x 3.2 M ụun li v c trng li n h n g h a 3.4 Mụun li ca khụng gian Banach X l hm s x : [0 ; ] > [0 ; ] c nh ngha bi: x (e) = inf {1 - l l ^ l l : ||z|| < 1; \\y\\ < 1; \\x - y\\ > e) N h n x ộ t 3.1 Cho D l mt b chn, li ca khụng gian Banach li u X vi dam D = d > Nu x , y D tha ||x + y II > v nu m = I {x + y) thỡ vi mi z G D bt k rm (D) < \\z - m\\ < ( l - (I )) d Do ú X cú cu trỳc chun tc n h n g h a 3.5 c trng li ca khụng gian Banach X l m t s: e0 = e0 (X ) = sup {e > : (5 (e) = 0} n h lý 3.2 Mụun li l hm liờn tc trờn [0; 2) v tng ngt trờn [Êo; ) C h n g m in h t i (e) = e () vi e (0; 2) 40 Vỡ l hm tng ngt nờn vi 1^1 ( e i ) ế2 (Ê2)1 = 61 , (0; 2) ta cú: e i i (6 ) 2^2 (2)1 < max { (d ) , (e 2)} |ci - e2\ < Ili - II Do ú ! (e) l hm liờn tc Do (e) l hm liờn tc nờn Êi t = kx, V = ky Khi ú ta cú ||w < , \\v\\ < , Ilw II > ke = e2 T ú suy ra: \ \ u + v\\ < = l-(ei) Do ú \ \\x + y\\ < fc ( - ( J ( e i ) ) Suy 1- l|z + y|| > - ( l - ( e i ) ) Vỡ ( ) > 1, m õu thun vi ụ ( ) < < Vy hm tng ngt trờn [eo; ) 41 N h n x ộ t 3.2 Trong trng hp tng quỏt khú xỏc nh c cỏc mụun li ca khụng gian Banach M n h 3.1 1) Khụng gian Danach X i u v ch e0 = 2) Khụng gian Danach X li ngt v ch (2) = C h n g m in h 1) Vỡ X li u nờn (e) > vi mi e > 0, ú = Ngc li, nu e0 = th ỡ vi mi > ta cú: ll^ ll < l - ( e ) vi mi x , y G X tha m ón ||x|| < 1, II/II < 1, ||a; y II > e Vy khụng gian X li u 2) Ly x , y G X cho ||x|| < 1, ||y|| < 1, ||x y II > Khi ú ta cú IMI + II- y\\ = 11đ+ (/)II = Do X li ngt nờn tn ti A > cho X = X (y) Vỡ ||a;|| = ||y\\ nờn A = Do ú x + y = 0, suy (2) = Vi mi x , y X tha m ón \\x\\ = 1, ||y|| = 1, x ^ y Gi s ||x + y\\ Vỡ (2) = nờn ll^ ll < (2) = suy X = y m õu thun vi X V- Vy khụng gian X li ngt V d u 3.4 Cho X l c [0; 1] vi chun li ngt II.II c xỏc nh ú ||.||0 l chun sup thụng thng ú ||a;||0 < ||a;|| < (1 + i) ||x ||0 vi X c [0; 1] Nh vy x (2) = Hn na mi khụng gian hai chiu E ca X l khụng gian li u Do ú vi E\ e0 (E) = v E (e) > 42 vi e > suy X cú khụng gian hai chiu "gn nh vuụng" Do ú ụ (e) = 0; G [0; 2); (2) = v e0 (X) = T ú (.) liờn tc ti n h n g h a 3.6 Mt khụng gian Banach X c gi l khụng vuụng u nu e0 (X) < n h n g h a 3.7 Mt khụng gian Banach X c gi l siờu phn x nu mi khụng gian Y biu din hu hn X l t phn x Khụng gian Y c gi l biu din hu hn khụng gian X nu mi khụng gian hu hn chiu lo ca Y l "hu ng c" n khụng gian ca X, ý ngha rng vi b t kỡ A > u tn ti mt ng cu T : Y >X cho: A -1 llvll < l|rằ || < Allwlhy e V n h lý 3.3 (J a m e s , E n flo ) i vi mi khụng gian Banach X nhng iu sau y l tng ng: (a) X l siờu phn x (b) X cú m t chun tng ng khụng vuụng u (c) X cú m t chun tng ng li u Cú nhng khụng gian Banach phn x m khụng siờu phn x di y l m t vớ d V d 3.5 Cho X R v vi X = (x i , , x n) eMn; x = Xn=i lx*l Ln o o - (Mn, |.|^) v cỏc 43 biu din ca z2 khụng gian {/*} v {ÊÊ} nh sau: n ,t o ( (n )J 2\ =11X Di < oo D < 00 Mi khụng gian D v Dqo l phn x v mi khụng gian trờn l i ngu ca khụng gian Tuy nhiờn ụDl (e) = ễD (e) = vi mi e [0; 2] 3.3 M i quan h gia m ụun li v cu trỳc chun tc n h n g h a 3.8 H s cu trỳc chun tc ca khụng gian Banach X c nh ngha l N (X) = sup K K } vi K l li, b chn X v d a m K > o T nh ngha ta thy N (X) < 1, nu N (X) < th ỡ X cúcu trỳc chun tc u n h lý 3.4 Nu mụun li ụ ca khụng gian Banach X tha mn (1) > (tc l e0 (X) < 1) thỡ X cú cu trỳc chun tc u vN (X) < C h n g m in h Gi K l li, b chn X vi d a m K > t d = d ia m K Vi mi e > tn ti u ,v G K cho IIu v|| > d e 44 t z = ( u + v) & K , vi mi X & K ta cú ||x w < d, ||x 1>|| < d Suy || ớc - ỡ (ô + v)|| vi mi x , y e X tha ||x | | < 1, ||y | | < 1, \\x y | | < ta cú ll^llj < 1, II2/IIx < :-1 , || II > eò~l Khi ú ta cú: ll^ ll, < (1 - (e*-1)) ô -1 Suy || ^ || < (1 - {tk-'))k Theo nh ngha ca m ụun li (e) l cn di ln nht nờn (1 suy e0 ( x 2) < N h n x ộ t 3.4 nh lý trờn ch iu kin mt khụng gian cú cu trỳc chun tc u, iu ngc li ca nh lý khụng ỳng lm rừ hn nhn xột trờn ta i xột vớ d sau: V d 3.6 Cho X = (l2, ||.||) vi < < /2, t = (2, II.II) ú |||| = max { , -1 ||||} chng minh cú cu trỳc chun tc u Ta cú |||| < |||| < |||| Do ú hai chun tng ng Vỡ X l khụng gian Hilbert nờn ta xỏc nh c m ụun li ca X, ngoi ngi ta chng minh c N (X) = ^ Ta cú: 6(t) = i - ^ Gi ụ\ l m ụun li ca Vi = ta cú: ô (e) > - A ^ l - V ỡ Av / > vi m i > \ / AJ n ờn o (X a) < \ / - Ly X = (/2 - ,1 ,0 , ) , y = (\/A - , ,0 , ) 46 Ta cú |||| = 1, || || = 1, \\ - || = 2\/ - 1, || + || = Do ú x ( / ^ ) = Vy o () = / ^ Theo nh lý 3.5 ta cú N (XA) < AN (X) = Vỡ < nờn N (XA) < 1, ú cú cu trỳc chun tc u M t khỏc () < < T õy suy e0 () < < < Vy, vi X < \/2 th ỡ 60 () > nhiờn cú cu trỳc chun tc u 3.4 M i quan h gia cu trỳc chun tc v tớn h trn n h n g h a 3.9 Khụng gian Banach X c gi l trn nu vi mi X X vi II^ = 1, tn ti nht mt X* Ê X* cho \\x*\\ = X* (x) = n h n g h a 3.10 Mt khụng gian Banach X c gi l trn u nu vi mi ù , X ; : / ; th ỡ gii hn lim -1 [\\x + ty\\ - \\x\w = l u tn ti {(,) : |||| = |||| = 1} Do ú X l trn u nu vi mi > 0, tn ti > cho \t\ < v vi mi x , y e X v |||| = \\y\\ = ta cú: \\\x + ty\\ - \\x\\ - ipx (y) I < e \t\ N h n x ộ t 3.5 Nh vy cú th m rng tớnh trn ca khụng gian Banach bng cỏch a mụun trn 47 n h n g h a 3.11 Mụun trn ca khụng gian Banach X l hm: Px : [0; 0 ) > [0; 0 ) c nh ngha bi: Px (T ) = sup { | [\\x + T y II + \\x - T y II] - : ||x|| = \\y\\ = l} N h n x ộ t 3.6 Cú th thy rng mt khụng gian Banach X l trn u v ch khi: p'x (0) = Um = n h lý 3.6 (L in d en strau ss-T V ;afriri) Vi mi khụng gian Banach X: (a) Px* (T ) = sup { ( ^ ) x (e) : < e < 2} vi mi T > (c) X l li u v ch X* l trn u C h n g m in h Vi mi T > ; x , / G X v x * , y * g X* t a cú: 2px* (T) = s u p { ||z * + 7V II + ||x* - T y *II - : ||x*|| = ||y*|| = 1} = sup{z* (z) + Ty* {x) + X* (y ) - Ty* {y) - : ||z|| = ||y|| = 1} = sup{||a; + /|| + T \ \ x - y \ \ - : a^ll = ||y| = 1} = sup{||x + y\\ + T e - : \\x - y\\ = e-,0 < e < 2} = sup { T e 2X (e) : < e < 2} K hng nh (a) v (b) c chng minh da vo iu trờn 48 n h lý 3.7 Nu m t khụng gian Banach X cú tớnh cht px (0) < I thỡ X l siờu phn x v cú cu trỳc chun tc C h n g m in h T tớnh siờu li ca khụng gian ta cú i ngu m < 1Nu X khụng l siờu phn x th ỡ vi mi < 1; tn ti X, x hỡnh cu n v ca X v x, x *2 hỡnh cu n v ca X* cho: x \ (X) = x\ (;x2) = x *2 ( x2) = ; x *2 (X) = Do ú vi mi T > 0: Px (T ) > \ {\\x + \\ + \\x2 - Txi ) - > [x*i {x2 + T x i) + x*2 (x - T x i)] - Khi < tựy ý ; Px (T ) > J Bõy gi gi s X khụng cú cu trỳc chun tc ngha l tn ti mt dóy {xra} hỡnh cu n v ca X m w lim x n = 0; lim ||x|| = 1; 71ằ 71ằ d ia m {xi, X2, } < Xột dóy {ổ*} cỏc phim hm cú chun bng v x*n (x n) = |||| Khi X l phn x; ta cú th gi s rng {*} hi t yu n m t s X*G X Chn x* (^i) < a^n > vi mi n > sau ú cho j > ln ta cú: (* - X*) (X) < I v \x* (Xj)| < e 49 Do ú \x* (Xj)| < v ta cú vi mi T (0; 1): Px (T ) > i {\\xi > (1* + Ta* II + IlZi - Xj - Tzill) - + r ) ^ xj ) i + I * (XJ - r ) *)1) > - ((1 + T ) (1 - e) - e + - e - (1 - T ) e) - - Do > tựy ý; Px > \ t ú P (0) > I trỏi vi gi thit px (0) < 50 K t lun Lun ó trỡnh by c cỏc khỏi nim c bn ca ỏnh x khụng gión Mt s nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión cỏc khụng gian: Banach, Metric, Hilbert c bit l ba nh lý c bn ca Kirk, Browder, Gohde khụng gian Banach Trong ú nh lý ca Browder v Gohde cú kt qu trựng nhau; nh lý ca Kirk m rng mt phn c bn ca hai nh lý trờn Dựng kt qu nh lý ca Kirk chng minh hai nh lý ca Browder-Gohde Lun h thng c m t s nột c bn v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach nh: cu trỳc chun tc, m ụun li, tớnh trn, M i quan h gia cu trỳc chun tc v m ụun li, mi quan h gia cu trỳc chun tc v tớnh trn H Ni, thỏng 8, nm 2015 T ỏc g i N guyn H u D ng [...]... hỡnh hc ca khụng gian B anach 3.1 c u trỳc chun tc n h n g h a 3.1 Tp li trong khụng gian nh chun X c gi l cú cu trỳc chun tc nu mi tp con li, úng, b chn H ca nú vi d ia m H > 0 u cha m t im X ầ: H sao cho: sup {\\x z\\ z H } < dam H V ớ d 3.1 Mi tp hp compact trong khụng gian Banach u cú cu trỳc chun tc T h t vy, ta chng minh bng phn chng Gi s tn ti tp compact trong khụng gian Banach X sao cho... khụng gian nh chun khi ú ta cú cỏc nh ngha sau: n h n g h a 1.8 Tp hp con K ca X c gi l cú cu trỳc chun tc nu mi tp con li b chn s ca K vi d a m S > 0 u cú cha mt im khụng l im ng kớnh n h n g h a 1.9 Mt tp li D trong khụng gian i ngu X* gi l cú cu trỳc chun tc yu * nu mi tp con úng, b chn, li s ca D vi dia m S > 0 cú m t im khụng l im ng kớnh 1.4 K hụng gian liờn hp v tớn h phn x Cho hai khụng gian Banach. .. 2.2 Cho l tp con li, úng ca khụng gian Banach X Tp c gi l hu nh cú tớnh cht im bt ng i vi cỏc ỏnh x khụng gión nu cho mi ỏnh x khụng gión T : Ơ ta cú: inf \\Ty - \\ = 0 15 N h n x ộ t 2.2 B t kỡ tp con li, úng, b chn ca khụng gian Banach u l tp hu nh cú tớnh cht im bt ng i vi h cỏc ỏnh x khụng gión 2.2 nh lý c bn v im bt ng ca ỏnh x khụng gión trong khụng gian B anach n h lý 2.2 (K irk ) Cho... 2.1 Cho X l khụng gian metric y , b chn Nu (X,C) cú cu trỳc li metric chun tc u thỡ (X, C) cú cu trỳc compact m c 24 H q u 2.1 Cho X l khụng gian metric y , b chn v cp (X,C) cú cu trỳc chun tc u Khi ú mi ỏnh x khụng gión T : X > X cú im bt ng Sau õy ta ng dng kt qu trờn cho lp khụng gian m etric siờu li B 2.5 Cho (X, d) l khụng gian metric siờu li Khi ú: 1) (X, d) l khụng gian metric y 2) (X... c l tp con li, úng, b chn trong khụng gian Hilbert H nh x T : c ằc l ỏnh x khụng gión Khi ú, T cú mt im bt ng trong c 2.5 T ớnh cht ca tp im bt ng v tp cc tiu n h n g h a 2.5 Mt tp K khỏc rng, li, úng, b chn trong khụng gian Banach X gi l cú tớnh cht bt ng i vi ỏnh x khụng gión, nu vi mi ỏnh x khụng gión T : K ằ K u cú im bt ng n h n g h a 2.6 Mt khụng gian Banach X c gi l cú tớnh cht im bt ng... Khụng gian Banach (X, ||.||) c gi l li ngt (li cht) Nu vi mi X y m ll^ll < 1; 1M1 < 1 ta cú: I l l 'l l < 1iu kin ny tng ng vi: Nu IIX + y II = ||z|| + ||y|| v y 0 thỡ X = \ y \ vi mt A > 0 no ú n h n g h a 1.6 Khụng gian Banach (X, ||.||) c gi l li u nu vi mi e > 0 u tn ti (5(e) > 0 sao cho vi mi x , y G X m: \\x\\ < 1; IMI < 1; ||a; y\\ > e ta luụn cú: < 1