B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN KHNH NG NH Lí FENCHEL - MOREAU TNG QUT V C TRNG BC HAI CHO HM Li VECT LUN VN THAC s TON HOC NGUYN KHNH NG B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NH Lí FENCHEL - MOREAU TNG QUT V C TRNG BC HAI CHO HM Li VECT Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC NGI HNG DN KHOA HC: GS.TSKH NGUYN XUN TAN Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 rp> _ Tỏc giỏ Nguyờn Khỏnh ng Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 m/ _ * Tỏc gia Nguyờn Khỏnh ng DANH MUC K HIấU X GM Phn t X thuc M yM0 Phn t y khụng thuc M Tp rụng M CN M l mt ca N MUN Hp ca hai hp M v N MnN MXN Giao ca hai M v N Tớch -cỏc ca hai M v N Va: Vi mi X 3a: Tn ti X supX&K f{x) supremum ca {/(a:)|a: G K} infimum ca infxetf /(z) CO D {/(a:)|a: G K} Bao li ca D cệD Bao li úng ca D int D Phn ca D a: Rn Chun ca X khụng gian nh chun X Khụng gian Euclide n chiu clD, D Bao úng ca D Khụng gian cỏc ma trn cp n X m (x,y) coneA Tớch vụ hng ca X , y khụng gian Hilbert Nún sinh bi A K* Nún cc ca nún K dom (/) Min xỏc nh ca / epi (/) Trờn th ca / Mc lc Lũi m u Lý chn ti Ta bit rng bi toỏn tỡm cc tiu ca hm li trờn mt hp úng vai trũ rt quan trng lý thuyt ti u v cỏc bi toỏn thc t Nm 1960 -1970 Rockafellar ó a khỏi nim di vi phõn ca hm li, t ú tỡm cỏc iu kin cn v c trng nghim ti u ca bi toỏn quy hoch li v hỡnh thnh nờn mt mụn gii tớch li mi ca toỏn hc Ngi ta ó trit khai thỏc cỏc tớnh cht ca hm li: Tớnh liờn tc; Tớnh Lipschitz a phng; Tớnh kh vi hoc kh di vi phõn v xõy dng nờn lý thuyt i ngu ca hm li chuyn bi toỏn gc thnh bi toỏn i ngu v ngc li T ú hỡnh thnh nờn mụn lý thuyt i ngu gii cỏc bi toỏn i ngu nh lý Fenchel - Moreau mụn gii tớch li ó cho ta bit mi quan h gia bi toỏn gc v bi toỏn i ngu Tip theo bi toỏn quy hoch li c phỏt trin cho bi toỏn ti u vộct Giỏ tr ca hm s nm khụng gian vộct cú th t tng phn c sinh bi mt cỏi nún T ú ngi ta a khỏi nim v tớnh cht hm li theo nún v quy hoch li vộct Vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm li vộct c nhiu tỏc gi v ngoi nc quan tõm nghiờn cu v ng dng nh: GS inh Th Lc, PGS TS Phan Nht Tnh, GS TSKH Nguyn Xuõn Tn, GS Kim, Do Sang Lý thuyt i ngu ca bi toỏn quy hoch li vộct cng c xõy dng cho nhiu kt qu mụn gii tớch li c in cng c m rng cho trng hp vộct v ng dng ca nú cỏc bi toỏn thc t vi lý ú tụi chn ti: nh lý Fenchel - Moreau tng quỏt v c trng bc hai cho hm li vect lm lun v cỏc kin thc chớnh liờn quan ti nh lý ny ti u vộct Mc ớch nghiờn cu Trỡnh by nhng kin thc c bn gii tớch li c bit l cỏc tớnh cht: Tớnh liờn tc Tớnh Lipschitz a phng Tớnh kh di vi phõn Lý thuyt i ngu v nh lý Fenchel - Moreau cho trng hp vụ hng sau ú trỡnh by cỏc khỏi nim liờn quan n hm li vộct v cỏc tớnh cht ca nú, m rng nh lý Fenchel - Moreau cho trng hp tng quỏt, c trng cp cho hm li vộct v tỡm mt s ng dng quy hoch ti u vộct Nhim v nghiờn cu Phỏt biu bi toỏn Fenchel - Moreau c trng cp cho hm li vộct v tỡm i tng i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu nh lý Fenchel - Moreau v biu din cp qua vic khai thỏc cỏc tớnh cht ca hm li vộct v tỡm nhng ng dng ti u vộct Phng phỏp nghiờn cu Tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ v s dng cỏc kt qu gii tớch li vụ hng v tỡm cỏch m rng cỏc kt qu ny cho trng hp vộct úng gúp ca ti Bit tng quan v quy hoch li vụ hng v m rng mt s kt qu t vụ hng sang vộct v tỡm ng dng C th, b cc ca lun gm phn m u, hai chng, phn kt lun v ti liu tham kho: Chng I: Hm li vụ hng v ng dng 1.1 nh ngha li, cỏc hm li v tớnh cht 1.2Tớnh liờn tc 1.3Tớnh lipschitz 1.4Hm liờn hp 1.5Di vi phõn Chng II: nh lý Fenchel - Moreau tng quỏt v c trng bc hai cho hm li vect 2.1 Gii thiu 2.2nh ngha, cỏc khỏi nim v kt qu b tr 2.3Tớnh liờn tc 2.4Cỏc c trng ca hm li 2.5nh lý Fenchel - Moreau tng quỏt 2.6c trng cp hai ca hm li vect Lun ny l thnh qu lm vic ca tỏc gi di s hng dn ca GS TSKH Nguyn Xuõn Tn Tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc ti GS TSKH Nguyn Xuõn Tn, ngi ó tn tỡnh dỡu dt tỏc gi nhng bc u tiờn trờn ng nghiờn cu khoa hc Tỏc gi xin chõn thnh cm n ban giỏm hiu trng HSP H Ni 2, Phũng Sau i hc cựng ton th cỏc thy cụ giỏo ó tn tỡnh ging dy v giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc ti trng HSP H Ni Tỏc gi xin cm n nhng ngi thõn, cỏc bn bố, nhng ngi ó dnh cho tỏc gi nhiu quan tõm u ỏi lun sm c hon thnh Bn thõn tỏc gi ó cú nhiu c gng nhng thi gian cú hn, kin thc v kinh nghim nghiờn cu khoa hc cũn hn ch nờn lun khú trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi mong nhn c nhng ý kin chõn tỡnh ca cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 m/ _ * Tỏc gia Nguyờn Khỏnh ng Afc = k cho $(Ê) - $(0) = X>D0(T,)(Ê) (2.11) i = Theo quy tac dao họm họm hdp D{Ti){e) = s D F ( X0 + T i y o ) { y o , x ) = e(Ti),i = l , , k (2.12) Tỹ (2.10), (2.11) vọ (2.12) ta cử (F(z0 + s y 0) - F(x0))(x0 + s y o ~ x ) = s { F ( x + s y 0) - F(x0))(3/o) = e($(e) - $(0)) k i= k x = e ( MrS) 1=1 ÊE2B( 0, Ai + + Afc = cho k #(1)-4.(0) = ^A,D#(T,)(1) Do ú (F(V)-F(ẽ))(V-I) = đ(1)-$(0) k = X>D M m c nh ngha nh sau: x { A ) : = A { x ) , VA G Mm), ta thy rng F** l rỳt gn ca (F* ờn Mn, tc l F = (F ' \ r vi ỏnh x tuyn tớnh Trong phn tip theo ca mc ny, chỳng ta gi s nún th t c ầ Mm úng, li, nhn v int c 0- B 2.11 [6, Mnh 3.5] Cho F l ỏnh x a tr t W1 ti Mm vi dom F 0- KT' ú (i) F* úng v li (ii) Nu dom F* F ( x ) ỗ F * * ( x ) + c, Vổ Ê K" B 2.12 Cho F l ỏnh x a tr t W1 ti Mm vi dom F 0- ặi ú F** úng v li Chng minh Suy hc tip t Chỳ ý 2.5.1 v B 2.11 B 2.13 [6, Mnh 3.6] Cho f l mt hm li vect t mt li khỏc rng D ỗ M" ti M\ V ly X G D, A G Ê (M", Mm) Khi ú A Ê d f ( x ) k h i v c h k h i f*(A) = A(x) - f{x) B 2.14 Cho f l mt hm li vect t mt li khỏc rng ỗ R" ti Mm Khi ú D ầ dom /** ỗ D Chng minh Ly X Ê D tựy ý Theo B 2.4, d f ( x ) 0- Khi ú, theo B 2.13, d f ( x ) ầ dom f * Do vy, dom f * 0- Nờn theo B 2.11, D ầ dom /** Bõy gi, gi s ngc li dom /** D Suy tn ti X Q Ê dom f * * so cho x D S dng nh lý tỏch manh, ta cú th tỡm Ê Ê Ê ( M n , Mm)\{0} cho f ( z o ) > s u p Ê ( ổ ) (2.13) xeD Ly bt k y G ri D v A G d f ( y ) Theo B 2.13, f * { A ) l mt im n Vi mi c G C ta nh ngha ỏnh x tuyn tớnh ò c : K > M m nh sau: ò c ( t ) = t c (Vớ G K) Theo (2.13) v B??(ii), ISup |J{(/3cÊ)(z)} = ( s u p Ê ( ổ ) ) c (theo B ??(ivằ ầ sup u {AQX - f{x) + {òcÊ){x)} + c xeD (theo B ??(ivằ = r (Ao + òcò) + c Nờn tn ti y c G f * { A + òrjò) cho v xeD r ( A o ) + ( supÊ(z))c >: y c ' Ly z G /** (zo) tỳy ý T nh ngha ca /**, ta cú z h { A o + òct)M - Vc h [ A ( x ) - f * { A )] + [Ê(x0) - s u p Ê ( x ) ] c ( V c G C ) Theo (2.13), iu ny l khụng th vỡ c {0} v nhn Do ú, dom /** C D iu phi chng minh Cho X o , X G M", { x k }k Q [a?0J %]' Ta vit X k t x nu B 2.15 ([6], B 3.16 ) Cho l mt hm li vect t mt li khỏc rng D CM" ti Mm V ly X G D Nu tn ti X o G ri D cho f { x ) = lim f ( t x + (1 - t ) x o), thỡ vi mi dóy s {(Afc, X k ) } k c Ê(M", Mm) X [rco, x] cho X k t x v Ak G d f ( x k ) , t a c ú lim A k ( x X k ) = Mc dự ỏnh x song liờn hp ca hm vect cú cu trỳc a tr, di cỏc iu kin nht nh, chỳng suy bin thnh cỏc ỏnh x n tr Cỏc iu kin nh th l tớnh li v úng ca hm Ngoi ra, ta cú nh lý sau nh lý 2.6 (nh lý Fenchel-Moreau tng quỏt) Cho f l mt hm vect t mt li khỏc rng D C Rn ti Mm Khi ú f úng v li v ch f = r Chng minh =>: Ly X e D tựy ý Chn mt im X Q G ri D Theo B 2.5, / liờn tc trờn [ổ0, x] Do ú f ( x ) = lim f ( t x + (1 t ) x o ) ffi (2.14) Cho {Afc}fc ầ ( , ) l mt dóy s tng hi t v t x k = X k x + (1 Afc)ổ0 Khi ú {ổfc}fc ầ D n [ x , x ] Theo B 2.4, d f ( x k ) 0- Vi mi k , ly A k G d f ( x k ) Theo B 2.13, f ( x k ) = A k ( x k ) = f * { A k ) Do vy \\f(x) - [Ak(x) - r(Ak)}\\ (2.15) = II f { x ) - [ A k ( x k) - f * { A k)] + [A k ( x k) - i4fc(x)]|| < Ilf { x ) - f { x k ) I l + I I A k ( x k - x ) | | (2.16) Cho k > 00 ttong (2.16), theo (2.14) v B 2.5, ta cú \ \ f { x ) - [ A k { x ) - f * ( A k ) ] II -> 0, kt hp vi B 2.11(ii) suy f ( x ) G b ^ |J [ A ( x ) - r { A ) ) n c l (co ( J [ A ( x ) - r { A ) ) AeÊ(Mn,Mm) AeÊ(Mn,Mm) Do ú theo B ??(i) v nh ngha ca ỏnh x song liờn hp, ta cú f { x ) = ISup |J [ A ( x ) - f * ( A ) ] = AeÊ(Mn,M,r) (2.17) Cui cựng, ta ch dom r = D Tht vy, theo chng minh bờn trờn, ta cú dom /** D D Ly X o G dom /** tựy ý Theo B 2.14, X o G D Ly y o G f * * { x 0) v X G ri D Khi ú (z, / ( z ) ) , ( z o , 2/o) epi /** Vi mi s t nhiờn k > 1, t đ* = Ă f ( x ) + ớ1 - )''0' Hin nhiờn, (zfc,yfc) -> ( x , / o ) v ( x f c , / f c ) G e p i / * * , Vfc, bi vỡ li Theo (2.17), /(x fc) = / ( x f c ) vỡ x k e D Do vy, ( x f c , / f c ) G e p i / ( V f c ) Kt hp iu ny vi tớnh úng ca / suy { x o , V o ) epi/ Do ú Ê0 G D Suy dom = D v cho nờn f = f * * 4=: Suy trc tip t B 2.12 iu phi chng minh Khi m = v 2.6 c = K+, nh lý 2.6 chớnh l nh lý Fenchel-Moreau ni ting gii tớch li c trng bc hai ca hm li vect Cho X , Y l cỏc khụng gian nh chun thc hu hn chiu Ta ký hiu JC(X, V) l khụng gian cỏc ỏnh x tuyn tớnh t X ti Y Trong C ( X , Y ) ta trang tr chun nh ngha bi A|| := sup {II Ax\\ : ||a:|| < l} ; VA G C ( X , Y ) Cho D c X l mt m khỏc rng, X Q G D , v cho / : D > Y l mt hm vect nh ngha 2.7 [8] Gi s / Lipschitz cc b o hm Clarke tng quỏt ca / ti X Q c nh ngha bng d f ( x o) := co { lim D f ( x k ) : x k G D , x k -> x , D f ( x k ) tn ti}, k-too ú D f ( x k) ký hiu o hm ca / ti x k nh ngha 2.8 Gi s / l hm vect lp c1,1 o hm cp hai Clarke tng quỏt ca / ti X Q c nh ngha bi d f { x o) := co { lim D f ( x k) : x k G D , x k -> X Q , D f ( x k) tn ti}, k-too ú D f ( x k) l o hm cp hai ca / ti x k Trong phn cũn li ca mc ny, chỳng ta gi s nún th t c C Mm úng v li nh ngha 2.9 Cho D c Mn l khỏc rng, v cho ỏnh x F : D > Ê ( M n , M m ) Ta núi rng F n iu i vi c nu F ( x ) { y - x ) + F ( y ) ( x - y ) < 0, V x , y G D Khi m = v c = M+, nh ngha 2.9 tr thnh khỏi nim tớnh n iu thụng thng Bõy gi gi s c r l khỏc rng, li v m Cho F : D > Ê ( M n , M m ) l ỏnh x Lipschitz cc b, X G D , y G Mn Ta ký hiu I l on thng m ln nht tha X + t y D , Vớ I nh ngha $(ớ) := F ( x + t y ) ( y ) , t e I t $(t) := { l { e ) : l e $(ớ)}, A f ( ằ , s ) : = [ M ( v ) ] ( ) , V M s Ê ( K " , Ê(R", K ) ) , y s K , F ( x + t y ) { y , y ) = M ( y , y ) : M e F(a: + t y ) } Ta cú b sau B 2.16 $ ( ) ( e ) ầ Ê ế F ( X + t y ) ( y , y ) , Vớ I , Ê K Chng minh Chỳ ý rng = ip O F o t), ú i> : t !-ằ ổ + ty, : A Ê ( K " , M m ) !-> ( y ) Vỡ ip v i> afin, ta cú dỡp(t)(Ê) = Dỡp(t)(Ê) = Ey, VI, Ê G M < / ? ( A ) ( M ) = L> 00, vỡ c úng, ta thu c D F ( x ) ( u , u ) G c (ii) => (iii) Ly X G D , G F(a;) v U G M" tựy ý Theo nh ngha ca o hm Clarke tng quỏt, chỳng ta cú th biu din A di dng A = J2\ t A t , (2.18) i= ú Ai > 0, J2i=i = \ A = lim^oo D F ( x i j ) vi Xij -> X ( j > oo), v tn ti D F ( x j ) vi mi i = 1, , k ; j = , , Bi vỡ D F ( x j ) G v úng, chuyn qua gii hn, ta cú U) GC,Vi = 1, , k Da vo (2.18) v tớnh li ca c , ta cú c A ( u , u ) G D (iii) = > (i) Ly x , y G D tựy ý Xột hm $(ớ) = F(x + t ( y - x ) ) ( y - x ) Khi ú l Lipschitz cc b hờn mt on thng m I cha [ , ] Do vy l Lipschitz trờn bt k on thng compact [ a , b ] vi [0,1] ỗ (a, ) ỗ [a, 0] ỗ F Theo nh lý giỏ tr trung bỡnh, cho hm vect [8, Mnh 2.6.5], tn ti T, , T k G [0,1], A i , , A f c > 0, A l H h A f c = cho #(l)-$(0)eX>a#(T,)(l) i= Vỡ vy ( F ( y ) - F ( x ) ) ( y - x ) = $(1) - $(0) k eX^aofrXi) i= k ầ ^ Ai d F ( x + T i ( y - x ) ) ( y i= - X, y - x) (theo B 2.16) ầ c Do ú F n iu iu phi chng minh Chỳ ý nh lý 2.7 l m rng kt qu ca Luc v Schaible [4] ú m = v c = M+ inh lý 2.8 Cho D ỗ M" l m, li khỏc rng v cho f : D ằ Mm l hm lp c1,1 Khi ú l li i vi c v ch vi mi X G D, A G d f { x ) , u G K", A(u, U) G c Chng minh Ta cú / li i vi c ô=> Df n iu i vi c (theo [17, nh lý 4.4]) A ( u , u ) e c , V x e D , A e d f ( x ) , u e M" (theo nh lý 2.7) c bit, ta cú kt qu sau H qu 2.3 ( [7, nh lý 4.9] ) Cho D c Rn l m, li khỏc rng v cho Khi ú li i vi c : D ằ Mm l hm hai ln kh vi liờn tc v ch D2f(x)(u, u) G c, Va; G D , u G M" Chng minh Vỡ hm kh vi liờn tc l Lipschitz cc b, bin lun tng t nh chng minh ca nh lý bờn trờn ta thu c kt qu Chỳ ý = v Vớ d 2.6.1 Cho M c = K+, H qu 2.3 tr thnh kt qu thụng thng v c trng bc hai ca hm li c sp th t bi nún c = c o n ( c o { ( l , , ) , ( , , ) , ( , , ) } ) Cho / : M2 > M3 xỏc nh bi f ( x I , x ) ' = ( \ x + x \ x , \ x \ X + 2X2, \ X \ + X i x ) Tớnh toỏn ta cú Vỡ vy D f { x ) { y , y ) = (y \, - y , y - y \ ) = y(l,0,l) + y(0,-l,-l) G c, Do ú / li i vi Kt lun c \ / x , y G M2 theo H qu 2.3 Lun trỡnh by nhng kt qu c bn ca gii tớch li sau ú cho trng hp hm vect c bit l tng quỏt nh lý Fenchel - Moreau cho trng hp vect Cỏc kt qu chớnh ca lun ny c trỡnh by v chng minh y Cỏc tớnh cht liờn tc, tớnh Lipschitz a phng v kh di vi phõn Da trờn nhng khỏi nim nún ta a khỏi nim hm li vect v cỏc khỏi nim cn trờn ỳng v cỏc ỏnh x liờn hp v liờn hp cp hai ta thu c mt cỏch tng quỏt v y ca nh lý Fenchel - Moreau Gi s / l hm vect t li khỏc rng D ỗ M" ti M" Khi y / li, úng v ch / = /** S dng o hm suy rng bc nht Clarke cho cỏc hm vect Lipschitz a phng, ta thu c c trng cp mt ca cỏc hm vect Do ú, ta cng thu c c trng cp hai cho cỏc hm li vect Ti liu tham kho [1] Nguyn Xuõn Tn v Nguyn Bỏ Minh, Lý thuyt ti u khụng trn, Nh xut bn i Hc Quc Gia H Ni, 2007 [2] Luc, D T: On duality theory in multiobjective programming J Optim Theory Appl 43(4), 557-582 (1984) [3] Luc, D T: Theory of vector optimization Lect Notes Econ Math Syst 319, 1-175 (1989) [4] Luc, D T., Tan, N.X., Tinh, P.N.: Convex vector functions and their subdifferential Acta Math Vietnam 23(1), 107-127 (1998) [5] Luc, D T, Schaible, S: On generalized monotone nonsmooth maps J Convex Anal 3, 195-205 (1996) [6] Luc, D T: Generalized convexity in vector optimization Handbook of Generalized Convexity and Generalizes Monotonicity 195-236 (2005) [7] Tan, N X, Tinh, p N: On conjugate maps and directional derivatives of convex vector functions Acta Math Vietnam 25, 315-345 (2000) [8] Tinh, p N, Kim, D S: Convex vector functions and some applications J Nonlinear Convex Anal 14(1), 139-161 (2013) [...]... y — x e T ( D , x ) Từ giả thiết và Mệnh đề 1.8 ta có f(ì/ - x ) < f ' { x , y - x ) < f ( x + y - x ) - f ( x ) = f ( y ) - f ( x ) Vậy £ G d f ( x ) Chương 2 ọ Định ly Fenchel - Moreau tông quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ 2.1 Giối thiệu Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong tối ưu Trong hường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú trọng rất nhiều... để làm sáng tỏ cấu trúc của lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ ([9]) Trong ([3], [4]), đác đặc trưng của tính lồi được trình bày dưới dạng của đạo hàm tổng quát bậc nhất Nhưng gần như là không có kết quả nào về đặc trưng bậc hai Một trong những tính chất hữu ích của các hàm lồi vectơ là tính liên tục Lipschitz địa phương trên phần trong tương đối của miền xác định đó ([4]) Tuy nhiên ta cũng...Chương 1 Hàm lồi vô hưóng và ứng dụng Mục đích của chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, hàm lồi, các tính chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu Chương này được viết dựa trên tài liệu [1] 1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất Cho X là không gian tô pô tuyến tính thực,... định của hàm vectơ là hữu hạn chiều Ta lấy X = M", Y = Mm Các kết quả của chương này có thể mở rộng cho không gian vô hạn chiều Bằng cách giới thiệu các định nghĩa của khái niệm toán tử C-xác định cho các toán tử từ M" tới M m, £(K", Mm) kí hiệu không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ R” tới Mm và c c Mm là một nón lồi Tổng quát khái niệm của ma hận nửa xác định dương, ta chỉ ra đặc hưng bậc hai cho. .. sao cho Hàm lồi vectơ có một số tính chất đẹp như hàm lồi vô hướng ([3],[4],[8]) Một trong số chúng là tính liên tục Lipschitz Mệnh đề 2.3 ([4], Định lý 3.1) Giả sử bao đóng cl c của nón thứ tự c c Mm là nhọn Cho f là một hàm lồi vectơ từ tập khác rỗng D cM" tới Mm Khi đó f là Lipschiti địa phương trên phần trong tương đối ri D của D Nói chung, hàm lồi vectơ không liên tục tại điểm biên của miền xác định. .. diện và tập các đa diện lồi Nó cũng bao gồm tất cả các tập lồi mở tương đối Giả sử T là một đơn hình với các đỉnh XQ , X \ , , xk và cho X € T Khi đó T được tam giác phân thành các đơn hình có X là một đỉnh, tức là y € T thuộc vào một đơn hình có các đỉnh là X và ra trong số ra + 1 đỉnh của T Trên cơ sở này, ta có Định lý 2.2 Cho Ị là một hàm lồi vectơ từ một tập lồi khác rỗng ö c ß " tới Mm và cho. .. một hàm vectơ từ tập lồi khác rỗng D e l " tới Mm Khi đó i) Ị là lồi đối với ii) Giả sử int c c khi và chỉ khi £/ là lồi, và với mọi £ G C"\{0} Ỷ 0) / là lồi chặt đối với c khi và chỉ khi £/ là lồi chặt, với mọi £ G C"\{0} Tập hợp mức của một hàm vectơ / : D c Rn —> Km tại a G Km đối với nón c được định nghĩa là tập leva f := {x e D \ f ( x ) ^ o} Hiển nhiên từ định nghĩa ta thấy các tập mức của một hàm. .. tính lồi của hàm vectơ khả vi liên tục hai lần Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là điều kiện đủ để hàm lồi vectơ liên tục Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi của các hàm lồi vectơ được đề xuất và nghiên cứu tính chất của ánh xạ này ta tìm ra các điều kiện tồn với các phương án tối ưu của các bài toán vectơ có ràng buộc Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh họa các kết quả Các khái niệm và. .. và tồn tại một dãy tăng trong A hội tụ về IS up A Định lý 2.1 ([8], Định lý 2.16, Chú ý 2.18) Giả sử trật tự nón c c Km là đóng, lồi và nhọn Cho A là một tập con khác rỗng của Mm Khi đó sup A Ỷ 0 khi và chỉ khi A bị chặn trên Trong trường hợp này, ta có Ưb(A) = sup(A) + c Theo định lý này, nó là hiển nhiên nếu sup A là tập đơn phần tử thì sup A = ISup A Bây giờ cho D c Mm là một tập khác rỗng và cho. .. intB Ỷ 0- đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f Ỷ 0; / € X tách A và B Hệ quả 1.1 Cho A và B là các tập lồi trong X, intA Ỷ 0 ^ đó A, B tách được nếu và chỉ nếu (intA) n B = 0 Đinh lý 1.2 ([1], Định lí 1.2.3) Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian lồi địa phương X và Xo Ệ A Khi đó tồn tại f € X* f Ỷ 0 tách chặt A và x0 Hệ quả 1.2 Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A c X ta có i)