Luận văn tính ổn định của các khung và cơ sở riesz

75 340 0
Luận văn tính ổn định của các khung và cơ sở riesz

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI N G U Y N HONG THO T N H N N H C A CC K H U N G V C S RIESZ L U N V N T H C S T O N H C H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI N G U Y N HONG THO TNH N NH CA CC K H U N G V C S RIESZ L U N V N T H C S T O N H C C h u y n n g n h : T o ỏn gii tớc h M ó s: 60 46 01 02 N gi h n g d n k h o a h c T S N g u y n Q u n h N g a H NI, 2015 Li cm n Lun c hon thnh di s hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga Tụi xin by t s kớnh trng v lũng bit n sõu sc i vi cụ, ngi ó giao ti v tn tỡnh hng dn tụi hon thnh lun ny ng thi tụi xin gi li cm n ti cỏc Thy, Cụ trng i hc S phm H Ni 2, Vin Toỏn hc H Ni, ó trang b kin thc v phng phỏp nghiờn cu tụi hon thnh khúa hc V cui cựng, tụi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, th lp Toỏn gii tớch K17 (t l)-trng i hc S phm H Ni ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng nm 2015 T ỏc g i N g u y n H o n g T h o Li cam oan Tụi xin cam oan, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti " T ớn h n n h c a cỏc k h u n g v c s R iesz" c hon thnh di s hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga v bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi lũng bit n trõn trng nht H Ni, thỏng nm 2015 T ỏc g i N g u y n H o n g T h o M c lc M u C h n g K i n th c ch u n b 1.1 Phộp bin i Fourier 4 P h ộ p bin i Fourier tro n g khụ ng gian L (Kd) P h ộ p bin i Fourier tro n g khụng gian L (Kd) Khung khụng gian Hilbert 1.3 C S Riesz 14 1.4 Khung hm s m 19 1.5 Khung súng nh 27 C h n g T ớn h n n h c a cỏc k h u n g v c s R iesz 31 Tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz tng quỏt 31 Tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz hm s mu 49 2.3 Tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz súng nh 58 ro T i liu th a m k h o 71 M u Lý d o ch n t i C s trc giao cho phộp biu din mi phn t ca khụng gian Hilbert thnh mt chui vụ hn ú l cỏch d nht biu din mt vộc t phc qua cỏc vộc t n gin hn õy l bi toỏn thng xuyờn xut hin nhiu lnh vc ca toỏn hc, vt lý v k thut nh gii tớch iu ho, phng trỡnh vi phõn, c lng t, x lý tớn hiu v hỡnh nh Mc dự v lý thuyt d thc hin nhng khai trin theo chui trc giao ụi gp rc ri Vớ d nh khụng phi luụn luụn d dng tỡm mt c s trc giao v cú nhng trng hp khai trin theo chui trc giao hay thm theo chui sinh bi cỏc c s tng quỏt hn khụng phi l mt phng phỏp biu din thớch hp Khung cú nhiu tớnh cht mong c ca cỏc c s nhng li khỏc c s mt khớa cnh rt quan trng: chỳng cú th ph thuc tuyn tớnh v ú tớnh nht ca biu din ca cỏc c s b mt i Chớnh tớnh tha ny ca khung cú nhng ng dng quan trng, vớ d nh x lý tớn hiu v hỡnh nh bi vỡ nú m bo tớnh bn vng: cht lng ca tớn hiu b nh hng ớt bi ting n v tớn hiu cú th khụi phc li t mu cú chớnh xỏc tng i thp Khung c a bi Duffin v Schaeffer [5] vo nm 1952 h nghiờn cu chui Fourier khụng iu ho Tuy nhiờn phi n nm 1986 sau bi bỏo ca Daubechies, Grossmann v Meyer [4] thỡ khung mi nhn c s quan tõm rng rói ca cng ng cỏc nh khoa hc Cho H l mt khụng gian Hilbert kh ly Mt dóy { f n } nN H c gi l mt khung nu tn ti cỏc hng s A,B > hu hn cho vi mi / H ta cú ^ I I / I I2< E I / ô ) I 2< B | | / I I nN Mt khung c gi l mt c s Riesz nu sau b i mt phn t bt k ca dóy thỡ nú khụng cũn l khung na Bi toỏn n nh ca cỏc khung v c s Riesz c t nh sau: Cho mt dóy {#*.} theo mt ngha no ú gn vi khung hay c s Riesz {fk} Ta cn tỡm cỏc iu kin m bo rng {gk} cng l mt khung hay c s Riesz Vi mong mun hiu bit sõu sc hn v bi toỏn n nh trờn, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca Cụ giỏo, TS Nguyn Qunh Nga, tụi ó mnh dn chn nghiờn cu ti T ớn h n n h c a cỏc k h u n g v c s R i e s z thc hin lun tt nghip chng trỡnh o to thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch M c ớch n g h iờ n c u ti ny nhm nghiờn cu, trỡnh by v tớnh n nh ca cỏc khung tng quỏt, tớnh n nh ca cỏc khung v c s hm s m, tớnh n nh ca cỏc khung v c s súng nh N h i m v n g h iờ n c u - Tỡm hiu v tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz i t n g v p h m vi n g h iờ n c u - i tng nghiờn cu: Cỏc kin thc c s cn thit: Mt s khỏi nim v kt qu v khung khụng gian Hilbert, c s Riesz, khung hm s m, khung súng nh.Tớnh n nh ca cỏc khung tng quỏt, tớnh n nh ca cỏc khung v c s hm s m, tớnh n nh ca cỏc khung v c s súng nh - Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc liờn quan n tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz P h n g p h ỏ p n g h iờ n c u - S dng cỏc kin thc ca gii tớch hm nghiờn cu - Thu thp ti liu cỏc bi bỏo v tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz - Tng hp, phõn tớch, h th n g cỏc khỏi nim, tớnh cht ú n g gúp m i c a lu n Trỡnh by mt cỏch tng quan v tớnh n nh ca cỏc khung v c s Riesz Chng K in thc chun bi Trong chng ny chỳng ta s trỡnh by cỏc khỏi nim c bn chun b cho chng sau Ni dung ca chng ny c trớch dn t cỏc ti liu tham kho[l]-[3],[8] 1.1 P h ộp bin i Fourier Ta s dng cỏc kớ hiu sau lun Lp (Rd) := / : > C |/ o c v J I/ (x)|p dx < oo ú < p < oo Lp (Rrf) l khụng gian Banach vi chun l L (Rd) := { / : C |/ o c v3C , I/ (x)| < c h.k.n } L (Rd) l khụng gian Banach vi chun l ll/lli- (R-) : = esssup|/(rc)| R1* inf {C\ \f (x) I < c h.k.n } 1.1.1 P h ộ p b i n i F o u rie r tr o n g k h ụ n g g ian L l (Mrf) n h n g h a 1.1.1 Phộp bin i Fourier ca mt hm f L (Rrf) uc cho bi cụng thc ; (w) = ) (o>) := e - 2"ô*" 1/ (x) dx, jR d d ú (,) = k= x kUk, X = { 2, ,xd), = (wi,c2 , -,U d) Mt s tớnh cht c bn ca / (c) vi / g L (Rd) c cho hai nh lý sau n h lớ 1.1.2 Cho f e L (md) Khi ú i) s L (R), v ỡ | | / | | ^ (4) < ll/lli.(ằ-) ; ii) f liờn tc u trờn Mỏ; i i i ) / (c) > k h i c > 0 nh lớ 1.1.3 Nu /, f (u) ni) T (E bf ) (w) = / (w - b) IV) (D af ) h (w) = {2) f (w) ú Taf (t) := f ( t - a ) , Ebf := (>/ ( t ) d õy ta ó s dng ký hiu 0Ja = U)jai , D a = a "? =1 ú = ( a i ,a 2, - , a d) v UI = (wi,2, ,Ud) ( t) 1.1.2 P h ộ p b i n i F o u rie r tr o n g k h ụ n g g ian L (Rd) n h lớ 1.1.4 Cho / i (Rd) C\L2 (Rd) Kh ú phộp bin i Fourier ca f l / L (Mỏ) v tha ng nht thc Parseral f L 2(Rd) l l / l l i 2(Rd) T nh lý ny ta thy phộp bin i Fourier T : L (Rrf) CỡL2 (]Rỏ) ằ L (Rỏ) l toỏn t tuyn tớnh b chn Do L (Rd) CỡL2 (Rrf) l trự m t L (Rd) nờn T cú th thỏc trin lờn ton b L (Rd) m bo ton chun C th hn, nu / L (Rrf) 56 Theo ú s k z d (e**(M> _ gi(A)b,i>) < (J\ + J L r) < (s L + B ia + B L ^ E M fcezd ngha l: { e i e ^ Xk^ } k&d l dóy Bessel vi cn B = ( s L + B f t l + s L ) ) Do Zi l c s trc chun ca L (/) nờn ỏp dng nh lớ 2.2.3 v H qu 2.1.2 ta thu c H q u 2.2.4 Gi s \ki Afc;| < L, L = 1, 2, ,d v L < Nu B d(L) < thỡ {e*(Afc^,fc 7aỹ} l mt c s Riesz L 2( I ) vi cỏc cn khung ^1 B d{L) 2^ v ^1 + B d{L) 2^ iu kin B d(L) < phỏt biu ca H qu 2.2.4 cú gỡú hi nng n B sau s hu ớch phn tip theo, a chn trờn v chn di cho B d(L) cng nh mt iu kin (nhng khụng phi iu kin cn)cho B ộ{L) < m d kim tra hn B 2.2.5 Ta cú ỡ\2(-l) (ỡ) Nờ u < Bi { L ) < thỡ B ỡ (L) ( l 4- ọ , ( i ) * y < B d (L) < (L); - /1 o;9d_1 \ () Cho < a < Nu < L < 7r-1cs-1 7= I thỡ V2 B d{L) < OL 57 C h n g m in h (i) Ta chng minh bng quy np theo d Bc quy np c chng minh nh sau Bi+1 (L) = {B ỡ (L + B i ( i ) ( l + B i ( i ) 1) ) > ( f l , (L) ( l + _ f _ (Ê,)>)''"1 + B i ( L ý ( l + _ l \ 2d = B ! (L) ( l + B i ớL ) ^ v B i+ (Ê) < { ^ B ^ L + B i ( i ) ( l + a ^ B , ^ ) * ) ) < [ ^ B ^ L + B i { L ( l + 3- 1) ) < (ỡ^B ^L + = (ii) T gi thit kộo theo cos(ttL + > ^ (1 a 1_rf) Do ú cos{tL ) sin(L) > o;91_d, tc l B i ( L ) < o;91_d T (i) suy iu phi chng minh N h n x ột: Vi a = d = 1, iu kin B 2.2.5(ii) rỳt gn thnh < ! / < - - Vi d = 1, H qu 2.2.4 cũn c bit n vi tờn khỏc nh nh lớ \ Kadec Tuy nhiờn, ú khụng cho bit cỏc cn khung - iu kiờn L < - c bit n l iu kiờn Kadec-Levinson Vic nghiờn cu tớnh n nh ca {eanớ} z bt u t Paley v Wiener, hai ụng ó ch {e*Anớ} z l mt c s Riesz L (7T, 7r) vi iu kin \Xn n\ < L < 7T-2.Sau ú, Kadec ch 1~2 cú th c thay bng Ta bit rng vi d = 1, L khụng th bng Vy iu ny cú ỳng 58 vi d > khụng cha bit Chng minh khụng gian mt chiu da trờn tớnh cht tng ca cỏc hm nguyờn mt bin phc v c bit da trờn s kin rng ngoi tr hm khụng, cỏc khụng im ca cỏc hm nh vy khụng cú im gii hn hu hn.iu ny l khụng nht thit cho trng hp cỏc hm nguyờn cú nhiu hn mt bin phc lm cho vic tng quỏt húa trc tip ca chng minh trng hp mt chiu l khụng th Ta cú th m rng nh lý ca Kadec cho khung n h lớ 2.2.6 Cho { X k ) k ^ i ^ k ) l hai dóy s thc Gi s rng z l mt khung ca L (7T,7r) vi cc cn A , B Nu tn ti hng s L < 1/4 cho Iik Afc| < L, \/k e z v cos (ttL) + sin {kL) < \ V B thỡ {eA4a:}fc z l mt khung ca L (7T,7r) vi cỏc cn -A ^1 - ^ ^ ( cos (7rL) + sin (-7rZ/))^ , B(2 cos (tL) + sin (tL))2 Bõy gi chỳng ta chuyn sang nghiờn cu tớnh n nh ca mt lp khung v c s Riesz c bit khỏc, ú l cu trỳc súng nh Ni dung ca mc 2.3 trỡnh by da trờn ti liu tham kho [6] 2.3 T ớnh n nh ca cỏc khung v c s R iesz súng nh Trong mc ny a ký hiu s thc dng c nh, ú b l s thc dng thnh thong cú th thay i Cho mt hm : R d > c , v j , k e z d, bỡjỡk(x) := adj/2(aj x - bk), v $6 := { bJớk , j , k e z d} Cho 59 mt dóy s c nh {Aj kỡj, G Md, PJk '= a^ 2{ai x b\j k), v := {]3 e ^ }- Nu khụng cú gỡ nhm ln, ch s di s b b qua Hai nh lớ u tiờn mc ny nghiờn cu nh hng ca nhiu ti dóy ly mu ban u bng cỏch thay dóy s nguyờn bi dóy s kộp n h lớ 2.3.1 Cho II( + h) ()\\ ^ c\h\a , ú < a ^ 1, v cho s := b2" C k - V I j,kZd Nu mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(M.) vi cỏc cn A v , v ụ < A, thỡ mt khung súng nh(c s Riesz súng nh) L2(M) vi cỏc cn ^1 ypx'j A v ^1 + B C h n g m in h II4 > i A x ) - {} } ( )\\ = a d l \\4>{a x - b k ) - ( - bXj,t )\2 = II { ) - ( + b k - < b2 C k - |2 Do ú \\ ) - II2 < 2 j,kợid _ A^ i 2a = j,kZd v khng nh c rỳt t nh lớ 2.1.7 v nh lớ 2.1.9 Nu a = (ai, a 2, ad) G R d thỡ ta kớ hiu |a|i = |i + Ia2\ + + |ad| nh lý tip theo khụng yờu cu bt k thụng tin v hng s ũ: n h lớ 2.3.2 Gi s II( + h) ()| ^ c \ h \a, ú < a ^ Dt ! := 2C[2 + (27r)d/2], 02 := 7rd/42(d+1)/2||>||, 60 v 1/2 M .= {2*)-* ! Ê I * - V I '(4a)/(4+d) j,kZd 1/2 4/(4+d) j,kGZd v gi s rng A; Xj k\i ^ vi j , k z Nu M < A v $ l mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2{Mỏ) vúi cc cn A v B thỡ mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(Rd) vi cỏc cn ^1 A v ( l + B Chng minh ca nh lớ ny da trờn b sau: B 2.3.3 Cho f e L 2{Md); x , h e R , k e z +, e{x) := (27r)-rf/2e-la:l2/2; ek{x) := kde{kx), v A kf := / * ejfe, ú ký hiu tớch chp Khi ú \\Akf ( x + h) - A t f ( x )II < fc(i+2)/2e~(i2EEici.*2j k Nhng mZd Do ú, ta ó ch {j k ' jk ,j,k a } l mt dóy Bessel vi cn ( B / ) 2\\ ỡ)||2, v t nh lớ 2.1.6 v nh lớ 2.1.8 suy iu phi chng minh Mt hm (x) Ê L 2(Rỏ) c gi lm trc giao i vi a nu vi cp j, m e z d m j m y bt k cỏch chn v A e Mỏ, cỏc hm (aj x + ụ) v (amx + A) trc giao L 2(R.d) iu ny cng ging nh núi rng vi mi cp j , m m j m ỡ v bt k cỏch chn v A cỏc hm exp(a-J'27rô(a:, ))(a~:ix) v exp(a_m2-7rz(x, X))(a~mx) l trc giao L 2{Rd) nh lớ 2.3.5 Nu $ := { j k,j, k zd} l mt dóy na trc giao L 2(Rd), cho ch yu b chn v supp{} cha mt on I cú dng [0,1/0] + h, thỡ l trc giao i vúi a C h n g m in h Ly A e tựy ý Nu {ck, k Ê z d} l dóy cỏc h s 64 Fourier cua e2 (i>A); thi lim N>00 / lim 0(f)e 27ri(i,A} oo / 2iri(t,bk} dt dt \k\^N < IHIằ N lim too / 32ni(t,\) - Ê cfce 2irbi(k,t) dt = \ k \Z N Dieu keo theo 0(i)e27r^i,A^ nam bao dong cua bao tuyen tinh cua {^o,fc, k G Z d} va do vdi bat ky j G Md, (i)e a 32,rl(i >A) thuoc bao dong cua bao tuyen tinh cua & Zd} Vi $ la mia true giao, suy dieu phai chiing minh D in h li 2.3.6 Cho := k G Z d} la khung song nho (cO sd Riesz song nho) L 2(Rd) vdi cac can A va B cho 4>Ê L 2(Md) la true giao doi vdi a Vdi r G 7Ld, cho Ir := [7rr,7r(r + 2)], ^ := L := sup{|fc - Aj)Jfe|, j, k e Z d} < Sr := ess sup{|0(i)|, t G J r} < oo, ,= m = 9d~1B 1(L) y - ' (2/ 1' (2/ ^rez r ' v Kb)d ' ^rez r v Kb)d ' A/eô $ /a mot khung song nho(cO sd Riesz song nho) L 2(Rd) ixft can A va B , va M < A (dac biet, neu Mi < A), thi la mot khung song nho (cd sd Riesz song nho) L 2(Rd) vdi cac can ^1 va ( l + ^ f ) B A 65 C h n g m in h B 2.2.5(i) kộo theo M < M Ký hiu II ||r := II IIl ) ch i cj l dóy s hu hn tựy ý T gi thit v tớnh ng c ca bin i Fourier suy =3 =E ci M h * - ^ {? ) k ^ C h k - )*) Nhng ci h , k - ] Pk) dt - / J c jk{t){e 2TT{bk,t} _ 2Ti(b\j k, dt dớ = Ito i =E / W *)I2 reZ Jớ< (27r6)d Ê s, c fc^e -2TTè(6fc,i} _ e -2wi{bXjớk,t}^ ^ C jfc (e dt e reZ = ( ằ r dE ^ rez Cj k i e * ^ e*( x i - kt ỡ ) Bi vỡ |fc - (-Aj_*)| = I- fc - Aj_fc| < ỡ t := ( Ê reZ s?) dng nh lớ 2.2.3, ta thy rng (2ib)~i S 1Bi (L) \cỡ , t ? 1/2 v ỏp 66 Do ú cM j , k - Pi,k) j < (2ttb)-dS 2B d(L) k lc;-fc|2 j k t nh lớ 2.1.6 v nh lớ 2.1.8 suy iu phi chng minh V d Cho a ^ l mt s nguyờn, v cho trc b > Gi s := { jk j k e Z} l mt c s trc chun L2(R) cho ch yu b chn v supp{0} cha mt khong cú dng [0,1/0] + h Do ú, nh lý 2.3.5 kộo theo (x) trc giao i vi a Cho n > l mt s nguyờn nguyờn t cựng vi a Theo phiờn bn nhiu chiu ca nh lý ly mu th hai, tha I( t ) 4>{t)\ ^ A|^(i)| hu khp mi ni Nu X < (A / B n dy /2 v $ l khung súng nh (c s Riesz súng nh) L2(Rd) vi cỏc cn A v B, thỡ l mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(R d) vi cỏc cn [1 A(ndB / A y / 2]2A v [1 + A(nd/ B / 2]2B 67 C h n g m in h Cho / l phn t bt k thuc L2(Rrf), v cho p ( x ) l hm bt k L 2(Rỏ) cho supp(p) c In v p ch yu b chn Bi vỡ {bd/2(2/n)d/2e~27rin 1(b^x^j Ê z d} l mt c s trc chun ca L 2(In) v f{a j t)p(t) thuc L n), cụng thc Plancherel v ng thc Bessel kộo theo \ ( f Pb/n,j,k)\2 = \ f , ( P b / ni j , k ) ) \ j,kld j,knid Y, a~ờj Y, j ,d f{t)p{a-j t ) e - 2wia~in~1{bkt}dt kZd (bk,t)d t jZd kZd 7" ^ a*i.-i (n/2)i \f(aH)m\2dt In Theo phiờn bn nhiu chiu ca nh lý ly mu th hai {b/nj kjj k E l mt khung súng nh vi cỏc cn n dA v n dB Do ú, ỏp dng ng thc trờn t phi qua trỏi vi p = ta thu c Y ^ a H - ^ n l \f(at)(t)\2dt < nrf | | / | | jZd 7" Bõy gi cng ỏp dng ng thc nh th t trỏi qua phi, nhng vi p = ' tõ thu c V \ ( f ^ , ^ ~ ' b , j, k) \ ^ j,k%d \ { f ỡ b / n , j , k ~ '4}b / n, j , k ) \ j,kld ^ adjb~d{n/2)d If ( a j t)[{t) - {t)]\2dt jr- zHd d In < A2 ^ ajb {n/^)J jZd If { a j t)(t)\2dt ^ X2n dB\\f\\2 7" p dng nh lớ 1.6 v nh lớ 1.8 suy iu phi chng minh 68 Cui cựng, phng phỏp chng minh dựng nh lý trc cho phộp ta chng minh nh lý v tớnh n nh ca khung súng nh v c s Riesz súng nh di nhiu ca dóy ly mu n h lớ 2.3.8 Cho a ^ l mt s nguyờn v cho L 2(M.d) cho ch yu b chn v supp{} cha mt khong cú dng In \ [(n /2 )(l/ ), (n/2)(l/& )]; vi n s nguyờn t cựng vi a Cho |Ajfc k\ ^ L , a := (-7T/ n ) d(A, B), v M := B (n /)dB d(L) Gi s hoc L < - v B d(L) < a, hoc a ^ v o;9l-d' L < 7T cos 1 4' Nu $ mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L 2(Rỏ) vi cỏc cn v B, thỡ l mt khung súng nh (c s Riesz súng nh) L2(R) vi cỏc cn (1 M / A ) 2A v (1 + M / B ) 2B C h n g m in h Nu a ^ v L < 7T cos 1 - d1-*' V2 , thỡ B 2.2.5 (ii) kộo theo B d(L) < a Cho / l phn t tựy ý thuc L 2(Rd) Tin hnh nh chng minh ca nh lý trc, ta thy J ớZd \f(aH){t)\2dt < B ll/ll2 (2.11) " Ngoi Ê Ê l ,0 ^ - < , , * > ! = j,kZd j,kZd = Ysa'dj'2 f(aj jZd kZd In 2tin 1(bk,t) _ TTn 1(bXk,t) ]dt 69 T nh lớ 2.2.3 suy {e 2lin e 2lin 1^)Afcớ)J k e z rf} l mt dóy Bessel L n) vi cn (n/2r)db~dB d(L) Do ú ^2 kZd e ~2 ni n 1(bk,t) _ e ~2rin 1{bXk ,t)-( / ( aJớ)[...]... ngha khung nh sau: n h n g h a 1.2.2 Mt dóy hai hng S O < < 5 < 0 0 trong H l mt khung nu tn ti sao cho 00 ^ll/ll2 5_1) v/ e H, k= l chui hi t khụng iu kin vi mi f H C h n g m in h Gi s / G i S dng cỏc tớnh cht ca toỏn t khung trong B 1.2.9 ta cú 00 / = 5 S - 1/ = Y =1 oo /

Ngày đăng: 17/05/2016, 16:02

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan