B ộ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI LÊ X U Â N T R Ư Ờ N G P H Â N LO Ạ I C Á C D Ạ N G Á N H X Ạ Cơ BẢN L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌ C Hà Nội - 2015 co B ộ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI LÊ X U Â N T R Ư Ờ N G P H Â N LO Ạ I C Á C D Ạ N G Á N H X Ạ Cơ BẢN Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌ C Người hướng dẫn khoa học: T S Trần Q u ốc B ìn h Hà Nội - 2015 co Lời cám ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học KÍT Toán Giải Tích đợt nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, tháng 12 năm 2015 T ác giả Lê X u â n T rư n g Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Trần Quốc Bình Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 T ác giả Lê X u â n T rư n g M ục lục Lời cám dn Mục lục ii M đầu C hư n g Đ iểm b ấ t đ ộ n g c ủ a n h x co b ả n Một số kiến thức chuẩn bị Một số định lý ánh xạ co C hư n g Đ iểm b ấ t đ ộ n g ch u n g c ủ a n h x co 20 2.1 Điểm bất động chung hai ánh xạ co 20 2.2 Điểm bất động chung bốn ánh xạ co 32 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ co giao hoán 40 C hư n g P h â n loại d n g n h x co b ả n 47 3.1 Sự phát triển dạng ánh xạ co 47 3.2 Sự tương đương số dạng ánh xạ co 51 3.3 Định lý hàm nửa liên tục từ phải 56 3.4 So sánh định lý Boyd-Wong định lý Browder 57 3.5 So sánh định lý Matkowski Browder 62 K ế t lu ậ n T ài liệu th a m k h ảo 65 66 M đầu Lý chọn đề tà i Năm 1922, nhà toán học người Ba Lan, Stefan Banach phát biểu nguyên lý ánh xạ co mình, kết khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co Từ năm 60 kỉ trước, nhiều nhà Toán học mỏ rộng nguyên lý ánh xạ co Banach việc thay đổi kiện ban đầu để thu nguyên lý ánh xạ co Trong kể tới kết nhà toán học như: M A Krasnoselskii, E Rakotch, M Edelstein, D Boy - J Wong, F E Browder, A Meir - E Keeler Những năm tiếp theo, kết điểm bất động chung cặp ánh xạ co, họ ánh xạ co nghiên cứu nhiều Các tác giả quen thuộc lĩnh vực kể đến như: G Juck, B Fisher, c s s Chang, S Wong, Đ H Tân Năm 1979, Đ H Tân so sánh dạng ánh xạ co mà gọi nói thu phát triển dạng co theo trình tự: Rakotch, Krasnoselskii, Boyd-Wong, Meir-Keeler Trong đó, dạng co Meir-Keeler th ậ t mở rộng dạng co Boyd-Wong Năm 1997, Jachymski chứng minh dạng co Krasnoselskii, dạng CO Browder dạng co khác tương đương Hơn nữa, Jachymski dạng co Boyd-Wong thực mở rộng dạng CO Browder, dạng co Browder mở rộng dạng co Rakotch Qua kết nghiên cứu trên, nhận thấy dạng ánh xạ co phân loại Vì vậy, hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, chọn đề tài: “P h â n loại d n g n h x co b ả n ” làm luận văn tốt nghiệp Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! M ục đích nghiên cứu + Nắm dạng co đề cập + Hệ thống hóa kết nghiên cứu điểm bất động ánh xạ co so sánh chúng N h iệm vụ nghiên cứu Làm rõ mối liên hệ dạng ánh xạ co bản, mức độ tổng quát tương đương chúng Đ ố i tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co, điểm bất động ánh xạ co + Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp báo, công trình nghiên cứu nước Đ ón g góp luận văn Luận văn tài liệu tổng quan lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động dạng co Chương Đ iểm bất động ánh xạ co 1.1 M ột số kiến thứ c chuẩn bị Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Cho X tập hợp, ánh xạ d : X X X —>• M+ thỏa mãn điều kiện sau với \ / x ,y ,z € X : i) d (x, ỳ) > 0, d (x, y) = X = y ii) d ( x ,y ) = d ( y , x ) iii) d (x, y) < d (x, z) + d (z, y ) gọi mêtric X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric (X,d) Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Trong không gian mêtric (X,d), dãy {x n} c X gọi hội tụ tới điểm X E X d ( x n,x) —»• n —>■ 0 Khi X gọi giới hạn dãy {a;n} Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Trong không gian mêtric (X,d), dãy {rcn} c X gọi dãy Cauchy lim d ( x n, x m) = 0, tức là: m,n-ìoo (Ve > 0) (3N) (Vra, n > N ) ,d (xm, x n) < £ Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Không gian metric (X , d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Cho T ánh xạ từ X vào Khi T gọi có điểm bất động tồn X* E X cho Tx* = X* Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Ánh xạ T từ không gian metric (X,d) vào gọi ánh xạ co tồn số k E [0,1) cho: d ( T x , T y ) ^ k.d(x,y), \/x,y e X Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào gọi ánh xạ co yếu X Ỷ y thì: d { T x , T y ) < d { x , y ), e X Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Ánh xạ T từ không gian metric (X,d) vào gọi tựa co tồn số a E [0,1) thỏa mãn: d ( T x ,T y ) < a.m ax{d(x,y) ,d (x,T x) ,d(y,Ty) ,d(x,T y) ,d(y,Tx)} Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào gọi 0-co với x , y € X , t > thỏa mãn < ệ { t ) < 1, ệ ( t ) < t d (T x , Ty) < ệ (d (x,y)) Đ ịn h n g h ĩa 1.10 Không gian metric X gọi T-quỹ đạo đầy đủ dãy Cauchy ( x , o o ) = ị x , T x , T 2x , } hội tụ điểm nằm X Đ ịn h n g h ĩa 1.11 Với tập A nằm không gian metric X , bán kính tập A kí hiệu ô (A ) xác định sau: 52 c) (K r a s n o s e ls k ij - V ainikko) Tồn ánh xạr : X X X —y R +; với a, b > sup { r (x, y) : a < d (X, y) < b} < 1sao cho: d(Tx, Ty) < r( x, y) d( x, y) , Vx,yeX d) ( K r a s n o s e l s k i j - S t e t s e n k o ) Tồn hàm liên tục tị) : M+ —»• M+; với lị) (t) > t > cho: d ( T x , T y ) < d( x, y) - ý (d(x, y)), G X e) ( B o y d - W o n g * ) Tồn hàm nửa liên tục ệ : R+ —>• M+ cho T ỉà ệ-co Ị) Tồn hàm ệ : R+ —>• R+ với lim sup^(s) < t , t > cho T s —>t ệ-co g) (M a t k o w s k i ) Tồn hàm tăng ngặt ệ : R + —>•R +; lim ệ n (t ) = với t > ft— >00 cho T ệ-co h) Tồn hàm tăng ngặt liên tục ệ : M+ —>• M+ cho T ỉà ộ-co C h ú ý 3.1 Mệnh đề e) đặc biệt hóa điều kiện CO Boyd- Wong (1969), với nguyên ệ hàm nửa liên tục từ phải Tương tự, mệnh đề g) biến thể điều kiện co phát biểu Matkowski (1975), hàm ệ không bao gồm tính đơn điệu ngặt Trước chứng minh định lý trên, ta chứng minh bổ đề sau: B ổ đ ề 3.2 Cho < a < b ta xét hàm số 4> '■ ệ( t ) < t với t > hoặc: H&+ thỏa mãn 53 lim sup ộ( s) < t t £ (a, b) lim sup ộ( s) < a a > Khi tồn hàm liên tục tăng ngặt lị) : [a, b) —> R+sao cho: ệ {t) < ý (t) < t , t e (a, b ) C h ứ n g m in h Ta xét hai trường hợp: 1°) a > Chọn {bn} dãy tăng ngặt, với bo := a bn b Với số tự nhiên bất kỳ, ta định nghĩa: Từ giả thiết bổ đề ta có a n < Đặt a := supneJVct!n Không tính tổng quát, giả sử Q = 1, dãy {an} tăng ngặt Ta xét hàm 4> : ịa,b) —>■M+ với định nghĩa sau: đồ thị 'ệ đa giác với đỉnh phần tử dãy {(òn, a n+ibn) : n e N u {0}} Từ dễ dàng chứng minh hàm tị) thỏa mãn tấ t điều kiện bổ đề 3.2 2°) a = Xét hai dãy {an} {òn} hội tụ đến b thỏa mãn: Tương tự trường hợp 1, ta có a n < 1, đặt a := supn€Na n Không m ất tính tổng quát, giả sử a = 1, dãy {ữín} tăng ngặt Ta định nghĩa dãy { ^ Ị ^ ! {ha;}£!()> no := 0, k € N sau: 54 rk := max {a n+ian : n > n fc_ } n k := max {n > n k- : Oín+iữn = r k} Bây ta xây dựng hàm ĩị) : R + —> R + Đặt ĩp (0) := 0, 'ệ (t ) := OLn+it t G [ani,ồnJ Hơn nữa, ta định nghĩa hàm ĩị> [ồni,oo) trường hợp 1, với a := bni Và (o, anJ , hàm i/j định nghĩa sau: đồ thị -0 đa giác với đỉnh phẩn tử dãy {aUk,rk} : k £ N Từ chứng minh ĩị> thỏa mãn điều kiện bổ đề Từ kết trên, ta chứng minh định lý Việc chứng minh tương đương mệnh đề định lý đưa chứng minh mệnh đề sau: (ò) (c), (ổ) ^ (e), (h) => (a) => (e) => (/) => (h), (h) => (g) => (/) (h) (c) ( /) Việc chứng minh (ò) ^ (c) tham khảo [6], chứng minh (d) => (e) suy tử việc đặt ệ (t) = t — ĩỊj ( t ) , t G K+, (e) => (d) chứng minh Michael [11] Tiếp theo (h) => (a) hiển nhiên đúng, tương tự với (e) => (/) Với việc xét hàm tăng nửa liên tục từ trái ta thu kết kết (e) =>- ( /) ( /) => (h) trình bày bổ đề 3.2 Việc chứng minh (h) =>- (g) vui lòng tham khảo [2] (g) => ( /) chứng minh định lý 3.5 Cuối cùng, ta chứng minh (h) => (c) =>- (/) Giả sử (h) thỏa mãn, ta định nghĩa ánh xạ r : X X X —>• K+ sau: V -n /\ d ( T x , T y ) r : (x, X) := r (x, y ) := — ^ - với X Ỷ y d{x, y Lấy ữ ò, T lã anh Xậ ộ - c o I1GI1 tâ CO! 55 sup { r (x, y) : a < d (X, y) < b} < sup ị ^ — : a < t < ò ị < (c) Để chứng minh (c) ( /) ta xét định nghĩa: A n := I (x, y) e X X X : - < d (x, y) < n | Khi chọn n đủ lớn (n > n 0) tập A n không rỗng Với n ta đăt: d(Tx,Ty) : (X, y) e A n > d{x, y) a n := sup Khi đó, hàm ệ định nghĩa sau thỏa mãn (/): 0(0) := -,n ựto 1 t e u (n —l,n] n n —1 ệ (t ) := a not t € ệ (t ) := a nt Khi (c) => (/) Như định lý chứng minh ■ Qua việc chứng minh định lý trên, ta thu kết quả: Krasnoselskij ^ Browder Boyd - Wong Kết hợp kết định lý 3.1, ta có dãy quan hệ ánh xạ co sau: Banach Boyd — w o n g Rakotch M eir — Keeler Browder Krasnoselskii Edelstein Phần chứng minh ánh xạ co Browder mở rộng ánh xạ co Rakotch tổng quát ánh xạ co Boyd-Wong trình bày phần luận văn 56 3.3 Đ ịn h lý hàm nửa liên tụ c từ phải Với ệ : R+ —>• M+ hàm nửa liên tục từ phải thỏa mãn 4>(t) < t với t > Ta kí hiệu: M _ (ệ) := | í > : lim sup ệ (s) = t ị Sệ (t ) := inf M _ (ệ ) n ( t , 0 ) Đ ịn h lý 3.3 Với ệ : M+ —>• R+ hàm nửa liên tục từ phải thỏa mãn ệ( t ) < t với t > tồn hàm liên tục phải lị) : M+ —»• M+ thỏa mẫn: ệ (t) < lị) (t ) < t với t > Ngoài ta có số kết sau: ỉ) Nếu M _ (ệ) = giả thiết lị) hàm liên tục tăng ngặt M+ ii) Nếu M _ (ậ) Ỷ vói t € (0) ta °ó Sệ (t ) > t Sộ (t ) G M _ (ệ), Sộ (t) = oo Hơn nữa: • Nếu a := inf M _ (ậ) > 0; a G M _ (ệ) R + = [0, a) u u t€M (ộ)[tỉ Sệ(t))> hàm ĩỊ) giả thiết liên tục tăng ngặt khoảng khai triển • Nếu inf M _ (ệ) = 0, (0, 00) = UíeM ^ W ) hàm -ộ giả thiết ỉà liên tục tăng ngặt khoảng khai triển C h ứ n g m in h Giả sử M _ (ộ) = 0, tính liên tục từ phải ta suy lim sup ệ (s) < t với t > Để chứng minh hàm lị) s —¥t yêu cầu ta cần áp dụng Bổ đề 3.2, a = b = oo 57 Giả sử M _ ( ệ ) Ỷ 0) để chứng minh với t e M _ (ộ) s (t) > t, s (t) € M _ (ộ), S ( t ) hữu hạn, cần phải chứng minh tập M _ (ộ) điểm hội tụ bên phải khoảng (0, oo) Giả sử từ bên trái, tồn r > dãy {tn} thỏa mãn {tn} G M _ (ệ ) , t n —>• r + Từ định nghĩa M _ (ệ), ta tìm dãy {sn} cho: T ^ Sn t n j \ ộ (¿>n tr ì) I ^ 0- Điều kéo theo lim sup ệ (s) = r, mâu thuẫn với giả thiết lim sup ệ (s) s —>r+ s— < ệ (r) < r Với lập luận tương tự ta chứng minh cụm điểm bên trái M _ (ệ) gắn với nó, từ dễ dàng chứng minh ỊJ [t, s (t)) D (inf M _ (ộ) , 0 ) Hiển nhiên khoảng [t, s (t)), t e M _ (ệ) rời rạc Khi ta áp dụng Bổ đề 3.2 để định nghĩa hàm “0 tập u [í, s (t)) Nếu a := inf M _ [ộ) > íe M _ { ệ ) a e M _ (ệ) Từ kết u (inf M _ (ệ ), 0 ) ta kết luận t€M _{ệ) UíeM {ệ)[t, s (í)) = [0, 0 ) hoàn toàn đặt lị) (0) := để có hàm mong muốn ■ Trong phần luận văn, tiếp tục so sánh mối quan hệ hai số nguyên lý ánh xạ co nhất, kết đưa Boyd-Wong Browder 3.4 So sánh định lý B oyd-W ong định lý B row der Tại [1], hai nhà toán học D w Boyd J s Wong đưa ví dụ cho thấy định lý họ (tương đương với định lý Boyd-Wong Chương 1) mở rộng cho kết mà Rakotch nêu Xét 58 VÍ dụ: Cho không gian mêtric (X , d) bao gồm đoạn [0,1] số tự nhiên ,3 ,4 , Trong hàm khoảng cách định nghĩa sau: \x-y\ x , y e [0,1] d(x,y) = < X + y X y ị [0,1] Hiển nhiên (X, d) không gian đầy đủ Ta định nghĩa ánh xạ T : X —>X sau: ' Tx X với X e [0,1] ¿i X —1 với X = ,3 ,4 , Khi với x , y € [0,1], đặt X — y = t > 0, ta có: d ( T x , T y ) = ( x - y) ^1 - ị { x + y ^ j < t ( l - với X € {2,3,4, } , x > y có: d ( T x , T y ) = T x + T y < X - + y = d( x, y) - Do đó, ta định nghĩa hàm ệ sau: ộ{t) r t — — với < t < t — với < t < oo Khi ệ hàm nửa liên tục từ phải nửa đoạn [0,0 ), ệ (t) < t với t > 0, điều kiện ệ-co thỏa mãn, T ánh xạ co Boyd-Wong d (Tn, 0) Tuy nhiên n —> oo 1, không tồn hàm giảm d (n, 0) a cho a (t) < với t > nhằm thỏa mãn điều kiện co Rakotch AT V d( Tx , 0) V v Ngoài ra, — — -T - y X —> nên không tôn tai hàm tăng a d {x, 0) cho a( t ) < với t > nhằm thỏa mãn điều kiện co Rakotch 59 Thế định nghĩa lại hàm ộ (t ) ví dụ để thỏa mãn điều kiện CO Browder, phần luận văn hoàn tấ t việc so sánh Định lý điểm bất động vừa nhắc tới Đ ịn h lý 3.4 Xét ệ : M+ —»• R+ hàm nửa liên tục từ phải cho ệ( t ) < t với t > Ta định nghĩa tập M _ (ậ) sau: M _ (ệ) := ị í > : lim sup ộ (s) = í ị Khi hai mệnh đề sau tương đương: i) M _ (ộ) = ii) Trên không gian metric (X, d) với X : T —»• T ỉà ánh xạ ộco Khi tồn hàm tăng liên tục phải lị) : M+ —»• M+ cho T ánh xạ lị)-co Chứng minh (í) => (ỉỉ) Giả sử cho trước ánh xạ T : X —>X ánh xạ 0-co, từ kết định lý 3.3 tồn hàm tăng ìị) : R + —> R+ cho ệ (t) < ĩị) (t ) với t > 0, đồng thời kéo theo T ánh xạ 'ộ-co (ii) => (ị) Giả sử ngược lại, M _ (ệ) Ỷ 0- Khi tồn dãy {tn} tăng ngặt số thực to cho tn —»• to ệ (tn) —>■to, ta giả sử ộ (tn+1) —)• t n với n G N Định nghĩa tập X := {tn : n e N}, hàm khoảng cách d( t n, t m) := m ax{ín, í m} r ỉ ^ m v d ( t n,t n) : Khi (X , d) không gian metric Ta tiếp tục đặt: T (íi) := t\ T (in+i) := tn với n G N 60 Nếu m , n € N , m > n, ta có: d (Ttn:T t m) = t m- < ệ (tm) = ộ (d (tn, tm)) Khi T ánh xạ ệ-co Từ giả thiết T ánh xạ ĩỊj-co với lị* hàm tăng liên tục từ phải Do với X G X thì: d (T nx , t x) = d (T nx , T ntì) < (d (x, íi)) < iị)n (to)- Kết dẫn đến T nx —> tí với X € X Nhưng điều d (Tntn+2 , ti) = t > Vậy tập M _ {ộ) rỗng ■ Từ định lý 3.4, với hàm liên tục từ phải ộ : M+ —>R + cho tập M _ (ậ) không rỗng ánh xạ ệ-co mà định lý điểm bất động Browder không thỏa mãn phần tiếp theo, tìm hiểu ạnh xạ N ói chung cách xác số hàm ệ nói không th ậ t "tốt" cho ánh xạ ệ-co, không tồn metric tương ứng d cho T ánh xạ iị)-co không gian (X , d) với lị) hàm tăng nửa liên tục phải Đ ịn h lý 3.5 Xét ệ : M+ —>• R+ ỉà hàm nứa liên tục từ phải cho ệ( t ) < t với t > Giả sử tập M _ (ệ) không rỗng Khi hai mệnh đề sau tương đương: ỉ ) inf M _ ( ệ ) > ii) Xét không gian mêtric ( X, d) T : X —>• X ỉà ánh xạ ộ-co (X, d), tồn metric p, hàm, tăng liên tục phải ĨỊ : R+ —>• M+ cho T ỉà ánh xạ p-co (X , d) 61 Chứng minh (i) => (ii) Giả thiết cho trước ánh xạ T : X —>■X ánh xạ ộ-co Từ kết định lý 3.3 ta thấy tồn hàm liên tục phải 'ệ cho ệ( t ) < < t với t > 'ệ tăng ngặt [0,a) với a := inf M _ ( ệ ) Theo định lý Boyd-Wong, T điểm bất động v T n x — >• X q v i m ọ i X G X H n n ữ a , n ế u d ( x , x ) < r < a th ì ta thu kết quả: d (T n x ,X q ) < '0n (d (X ,X q )) < iị)n (r ) D o đ ó t a c ó t h ể k ế t lu ậ n r ằ n g T nx —> Xo v i X e B (rc o ,^ ), h ìn h c ầ u mở tâm XQ bán kính r Theo kết Meyers [10], tồn metric p tương ứng cho p {Tx, Ty) < - p (x, y ) Kết c ó đ ợ c k h i đ ặ t TỊ ( t ) : = - với í G R (ii) => ( í ) Giả sử ngược lại, inf M _ ( ệ ) = 0, tồn dãy giảm ngặt {tk}^=1 dãy tăng ngặt cho: t tk € M _ ( ệ ) , tk — > i ậ>(tn^ ) —>■t k 0, tn ^ —>• tk n —> n —> ệ (tn+I(fc)) > tn{k\ ệ{t n){k) > t k+1 k h i k, n oo oo e N Định nghĩa tập X sau: X := { t nw : k , n e N } u {0} Chọn d ( x , y ) = m ax{x,y} X Ỷ y d ( x , x ) := Khi ( X, d) không gian metric, ánh xạ T chọn sau: T (0) := 0, T (tn+! R + s a o c h o p ( T x , T y ) < TỊ ( p ( x , y ) ) với x , y € X Như tồn số thực r cho d(x, 0) < r kéo theo p(rc,0) < Vì tk —»■ 0, t n^ < tk nên tồn số tự nhiên fc0 cho tn{H) < r với n G N Điều dẫn dến d ịtn(k°\ o) < r p {tn^k°\ o) < 1- Từ kết vừa thu được, với n € N ta có: < p ( í 1■R+ ỉà hàm tăng thỏa mãn lim ộn (í) = n-¥ oo với t > Ta định nghĩa tập M _ (ộ) sau: M + (ệ) := ị i > : lim sup ộ (s) = í ị Khi hai mệnh đề sau tương đương: i) M+ {ộ) = ii) Trên không gian metric (X , d) với T : X —)• X ánh xạ ộ-co Khỉ tồn hàm tăng liên tục phảiìị) : K+ —>• M+ cho T ánh xạ 'ộ-co 63 Chứng minh (i) => ( i i ) Từ giả thiết suy lim ộ( s) < t với t > Do tính đơn điệu s->i + ộ ta có: lim ộ (s) < ệ (í) < t với t > Kết hợp hai kết thu s —»i- lim < t với t > 0, dựa vào quan hệ ( /) =>- (a) chứng s->í minh định lý 3.2 ta có điều phải chứng minh (ii) => (i ) Giả sử ngược lại, M+ (ệ ) Ỷ 0- Khi tồn ¿0 € (0, oo) cho lim ệ (t ) = t0 Đặt X K với X, y e X d (X, y) = max {a:, y }, í->fo + (x,x) = Tiếp theo đặt T := ệ, tính đơn điệu ệ nên: d ( Tx , Ty ) = ệ(d(x,y))d(Tx,Ty) = ậ( d( x, y) ) Từ giả thiết (ii) ta suy T ánh xạ ^-co với tị) hàm tăng liê n t ụ c t p h ả i D o đ ó v i m ọ i X e M + t a c ó : “0 (x) = ĩỊj (d (X, 0)) > d( Tx , T0) = ệ ( x ) , từ kéo theo: ĩị) (tữ) = lim lị) (t ) > lim 4>(t ) = tQ, t— >to+ t— >t0+ mâu thuẫn với điều kiện lị) (tQ) < t(Ị Tương tự, ta phát biểu định lý 3.7 dựa định lý 3.5 thuộc Chương Đ ịn h lý 3.7 Xét hàm ệ tương tự nêu Định lý Khi với không gian metric đầy đủ (X, d) ánh xạ ệ-co T : X —>• X tồn metric tương ứng p cho T ỉà ánh xạ co Banach (x , p ) C h ứ n g m in h Định lý 1.2 nêu [6] chứng minh ánh xạ T có điểm bất động X q T nx —>• x ữ với X E X Hơn với r > 0, 64 d (X, Xq) < r d (T nx , x 0) = d (T nx , T nx ữ) < '0” (r) Kết T nx —>• Xo rc thỏa mãn d (x, rro) < r Kết hợp kết Meyers [10], việc chứng minh Định lý hoàn tất 65 Kết luân Luận văn trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co Định lý điểm bất động chung hai ánh xạ co, bốn ánh xạ co, ánh xạ co giao hoán trình bày chi tiết Chương luận văn Luận văn làm rõ mối liên hệ dạng ánh xạ co bản; tương đương dạng co Krasnoselskii, dạng co Browder dạng co khác Hdn nữa, luận văn trình bày so sánh định lý hàm nửa liên tục từ phải Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Lê Xuân Trường 66 Tài liệu tham khảo [1] Boyd D w and Wong J s (1969), “On nonlinear contractions”, Proc Amer Math Soc., (20), 458-464 [2] Browder F (1968), “On the convergence of successive approxima­ tions for nonlinear functional equations”, Indag of Math , (30), 27-35 [3] Chang Shih-Sen (1981), “A common fixed point theorem for com­ muting mappings”, Amer Math S o c (83), 645-653 [4] Ciric Lj B (1974), “A generalization of Banach’s contraction prin­ ciple”, Proc Amer Math Soc , (45), 267-273 [5] Das K M and Naik K V (1979), “Common fixed point theorems for commuting maps on a Metric space”, Amer Math Soc., (77), 369-373 [6] Durungji J and Granas A (1978), “Weakly contractive maps and elementary domain invariance theorems”, Indag Math , (19), 27-35 [7] Edelstein M (1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings”, J London Math Soc., (37), 74-79 [...]... = sup inf { / (rc) : X e X , d (X , rco) ^ v } ỡ x->x0 V>Q lim inf / (X) = inf sup { / (x) : X G X , d (x, Xo) < t} X>Xo T]>0 1.2 M t s nh lý ỏnh x co c bn n h lý 1.1 ( n h x co B a n a c h ) Cho (X,d) l mt khụng gian metric y v T mt ỏnh x co trong X Khi ú tn ti duy nht X* G X m Tx* = X* Ngoi ra, vi mi x X ta cú T nx 0 >X* khi n >0 0 n h lý 1.2 ( n h x co R a k o tc h ) Gi s T l ỏnh x liờn... >X* X Vỡ T l ỏnh x co yu, vi mi n ta cú: d (x*,Tx*) < d{x*,xn+1) + d { x n+1,Tx*) = d (x * ,x n+1 ) + d ( T x n,Tx*) < d ( x * ,x n+1) + d ( x n, x * ) Cho n ằoo ta c d {x*, Tx*) = 0, tc l X* = Tx* Vỡ T l co yu nờn X* l duy nht n h lý 1.7 ( n h x co E d e ls te in ) Cho T l ỏnh x co yu i t khụng gian mờtrc y (X, d) vo chớnh nú Hn na vi mi Xo e X , dóy { T nx } cú mt dóy con hi t Khi ú T cú duy... T x ) Vỡ T l ỏnh x co yu nờn cng liờn tc, do ú / l hm liờn tc trờn khụng gian comư pact X Vy tn ti x 0 Ê X sao cho / (a:0) = min { / (x) : X X } Nu f (xQ) > 0 thỡ X T xq nờn f ( T x o) = d (Txo, T 2xq) < d(xo,Txo) = f (xQ), ta gp mõu thun Vy / (rc0) = 0 v x 0 l im bt ng ca T Tớnh duy nht ca im bt ng l hin nhiờn vỡ T l co yu n h lý 1.8 ( n h x co C iric ) Cho T l ỏnh x ta co i t khụng gian mờtric... x co sau õy 10 n h lý 1.6 ( n h x co M e ir-K e e le r) Cho (X,d) l mt khụng gian metric y , T l mt ỏnh x (e, ) co trong X, tc vi mi Ê > 0; tn ti ụ > 0 tha món nu Ê < d ( x , y ) < Ê + thỡ d (Tx, Ty) < Ê Khi ú T cú im bt ng duy nht X* v vi mi x 0 Ê X ta cú T uX q ằ X* khi n ằoo C h n g m in h Ly Xo tựy ý trong X t Xn + 1 = T x n , cn = d (xn, ớCn+i) vi n = 0,1, 2, Gi s cn > 0 Vỡ T l (e, ) co. .. mt im bt ng duy nht n h lý 1.5 ( n h x CO B oyd - W o n g ) Cho T ỏnh x i t khụng gian metric y (X,d) vo chớnh nú sao cho vi mi x , y X ta cú: d ( T x , T y ) < ớp(d(x,y)) y, (p : [0,0 0 ) > [0, oo), 0, l ỏnh x na liờn tc trờn t phi Khi ú T cú duy nht mt im bt ng X* v vi mi x G X thỡ T nx 0 = X* Do cú dóy quan h gia cỏc dng ỏnh x co (c trỡnh by trong Chng 3 ca lun vn),... mi Xq X thỡ T nx 0 = X* 9 n h lý 1.3 ( n h x co K ra sn o se lsk ii) Gi s T l ỏnh x liờntc t khụng gian metric y (X , d) vo chớnh nú tha mn: d (T x , Ty) < a (a, b) d (X, y ) Vrc, y G x , a < d ( x , y ) < b y, 0 < O' (a, b) < 1 khi 0 < a < b, a,b l cỏc s bt k Khi ú T cú im bt ng duy nht X* v vi mi Xq G X thỡ T nx 0 = X* n h lý 1.4 ( n h x CO B ro w d e r) Cho T l ỏnh x i t khụng gian metric... d(x*,Tx*) < [(1 + a ) d ( x * , T n+1x) + a.d (Tnx , T n+1x) + a d ( T nx,x*)] Cho n ằoo ta thu c d (x*,Tx*) = 0 Chng t rng X* l im bt ng ca T Tớnh duy nht ca im bt ng c suy ra t gi thit T l ta co n h lý 1.9 ( n h x co W a lte r) Cho (X,d) l khụng gian mờtric y , ỏnh x T : X > X cú qu o b chn, hn na vi mi X, y e X ta cú: d ( T x , T y ) < [diam (0 (x,y))] (1.3) ú, 0 ( x , y ) = o (x) u 0 ( y ) = { x... cho vi M > kQthỡ d (zk, z l) < k-Ơ00 2 Do ú, vi s p no ú m 0 < p < ko thỡ nú phi ri vo trng hp p(k) = p vi k vụ hn ln Vỡ th, cú mt dóy con {r (&)} ca dóy {q (fc)} sao cho lim d (zp, z r^ ) = X Nu r (k) = q vụ hn ln thỡ d (zp, z q) = A k >00 Trng hp ngc li, tn ti mt dóy con {s (k )} ca dóy {r (k )} tha món d (zp, z ) = A, vi s (k) > 0 0 , k >oo Trong bt k trng hp no, luụn tn ti p,q > 0 sao cho d (zp,... z q) < [diam ( o (zk_1, ^ _1))] < (A) k >00 19 Nh vy, trong bt c trng hp no ta cng cú iu mõu thun do (A) < A vi mi A > 0 Suy ra T (z ) = z m 20 Chng 2 im bt ng chung ca cỏc ỏnh x co 2.1 im bt ng chung ca hai ỏnh x co n h lý 2.1 Cho S, T l cỏc ỏnh x i t khụng gian metric y (x , d ) vo chớnh nú Gi s tn ti cỏc s thc khụng m a, tha mn cỏc iu kin sau vi mi x , y phón bit thuc X : (i) (ii) (Ui) \... 5 < 1, chỳng ta cú th tỡm c a3, a4 thuc [0, oo) tha man (?) nhng khụng tha man (2.1) iu ny cú th thy khi xột hm / : / (x, y) = (1 - a2 - x) (1 - i - y) - (i + X + a 5) (2+ y + a 5) , ta nh ngha mt tp compact li nh sau: K = { ( x , y ) e [0,1] X [0,1] : i + a2 + X + y + 5< 1} , / t giỏ tr nh nht ti im cc biờn ca K Bng tớnh toỏn,chỳng ta kt lun rng: mm = - ! - a2\ (1 - ai - a2 - a5) T i + a2 + a5