B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG # LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG # Chuyên ngành: Toán Gỉảỉ tích Mã sổ : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Bắc Ninh, trường THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Ngọc Chi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Chi MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c BẢN .3 1.1 Sai phân 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tỉnh chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Nghiêm 1.3 Tuyến tính hoá 21 1.4 Sai s ổ 25 1.4.1 Định nghĩa 25 1.4.2 Quy tắc làm fròn 26 1.4.3 Sai số tỉnh toán 27 1.4.4 Bài toán ngược toán sai số 29 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 31 2.1 Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Ellỉptỉc 31 2.1.1 Bài toán biên Dirichlet 31 2.1.2 Những bước chỉnh việc sai phân hoá toán biên Dirichlet 31 2.2 Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Parabolỉc 46 2.2.1 Bài toán biên phương ừình Parabotíc 46 2.2.2 Những bước chỉnh việc sai phân hoá toán (2.45), (2.46) ! 47 2.3 Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Hyperbolỉc 57 2.3.1 Bài toán 57 2.3.2 Những bước chỉnh việc sai phân hoá toán Hyperbolic 58 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MÁY TÍNH 61 Ví dụ 3.1 Giải toán: 61 Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm toán Dirichlet 64 Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: 68 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần phương trình Parabolic: 69 Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần phương trình: 72 Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic 76 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất toán ứng dụng lí thuyết thủy động học, học lượng tử, điện học- từ trường Đa số toán phức tạp, phương pháp giải Nhiều toán nghiệm theo nghĩa cổ điển, vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng không cần trường hợp Bởi ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần phương trình đạo hàm riêng từ xuất phương pháp giải gần phương trình Trong số phương pháp giải gần phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân (còn gọi phương pháp lưới) sử dụng phổ biến Mục đích phương pháp sai phân đưa toán phương trình đạo hàm riêng toán rời rạc điểm lưới, đặc biệt xung quanh điểm kì dị điểm biên để đưa toán xét hệ phương trình sai phân việc tìm nghiệm số toán chuyển việc giải hệ phương trình đại số phương pháp gần Tuy nhiên tăng cường việc ứng dụng công nghệ thông tin vào việc dạy học toán Và công cụ hữu hiệu để giải gần phương trình đạo hàm riêng phần mềm Maple Từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp sai phân phần mềm Maple giải gần phương trình đạo hàm riêng, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực luận văn tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Các kiến thức sai phân - ứng dụng sai phân việc giải gần phương trình đạo hàm riêng Đổi tượng phạm vỉ nghiên cứu Các kiến thức cần thiết sai phân, phương trình đạo hàm riêng § Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích số phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu Đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống ứng dụng sai phân việc giải phương trình đạo hàm riêng Sử dụng phần mềm Maple giải gần số phương trình đạo hàm riêng CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c BẢN 1.1 Sai phân Xét dãy số {xn}; dạng khai triển là: Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu N có dạng { n } = { , , , , í t , }, dãy số nguyên dương z + có dạng {n} = {1,2, , n , }; dãy số điều hoà Có thể xem dãy số hàm đối số nguyên n Kí hiệu x(ri) = x n 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp hàm số x(ri) = xn với n e Z \ {n} = {0, +1, + 2, , ± n , } (hoặc n e z +, n e N) hiệu: Thí dụ, hàm x n cho dạng bảng n xn ỉ 4 Có sai phân hữu hạn cấp ầ xữ = X1 — x 0= —1 = 2; ầ x2 = x — x 2= —4 = 3; Ax± = x — X ị = —3 = 1; ầ x = x4 — x 3= —7 = —1; Từ sau, nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọitắt sai phân hữu hạn cấp к sai phân cấp k, sai phân cấp gọi tắt sai phân Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn, nói chung, sai phân cấp к hàm x nỉầ sai phân sai phân cấp к — hàm số Như vậy, sai phân cấp hàm xn ầ 2x n = ầ ( ầ x n ) = ầ x n+1 - ầ x n = x n+2 - x n+1 - { x n+1 - X n ) = x n + — x n+1 + x n ; Sai phân cấp hàm xn ầ 3xn = ầ{ầ2xn) = ầ 2x n+1 - ầ 2xn ~ x n+ — x n + + x n+1 — (X n + — Хп + ^-\-Хп) ~ x n+ — x n + + x n + í — x n Nói chung, sai phân cấp к hàm xn ầ kxn = A(Afe_1xn) = ầ k~1xn+1 - Afe_1xn = к = ( 1.1) i =0 kì ° lk ~ i ì ự c - i y Từ công ứiức (1.1), suy số tính chất sai phân sau 64 Neu tăng số điểm lưới xét (giảm bước lưới), phương pháp cho nghiệm xác Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm toán Dirichlet d2u(x,y) — dx2 d2u(x,y) -I - _ dy2 y = X2 + ’ « V2 < y ’ u(M)\MeT = xy G — hình tròn X + y < 1, r biên G Lời giải Do tính chất đối xứng phương trình, điều kiện biên miền G, nên cần xét phần tư hình tròn G Sử dụng lưới đều, bước h = l Phương trình sai phân có dạng: ^hn+ l.n lyn n + U m - l.n ~h2 *hn.n+1 lynn + U m n -1 h2 ^m+l.n - " ^m.n+ ^m.n- : 65 M' A(1,1/2) 12 22 111 E(1,0) 21 Điểm M ( j y ) ị ) nằm biên điểm gần với điểm >4(1; V3 V3 u(,4) * u(M) = 2xM.yM = - - = — Tương tự: V3 V3 U(i4') « u(M') = 2xM.yM = 2- 2 = u (£ ') = u{E) = Gọi a, b, c giá trị hàm It(x, ỵ) điểm lưới: CL — b —li^2 —IÌ2 » ^ —U22 Nhờ tính đối xứng toán ta có hệ phương trình sai phân: 66 a = — Ab b= -7 ( '= a = b b= c + a) /V3 V3 ( c + a) C = Ơ + 24) Ĩ +T + “ a = b = —— 3V3 c= Vậy nghiệm toán là: V3 «11 - V3 u 12 - u 21 - «22 - 3V3 g Ta lập với bước lưới nhỏ hơn: h = l = ị w ầ xấp xỉ với giá trị biên Ta đặt: u(A) = u(A ') = / n r Õ252.0l25 = ,5 , u (5 ) = u (5 ') = y / l - , s 0,5 = yõ/75 67 Ta có hệ phương trình: ' /V a = —ị 4\ V3 + 2c N / V3> b - - h e +0+— c = -Ị (2a + 2d) /V3 3V3 \ d —- j ——I -— -h + c Ị 4ỵ4 / e = ì ( / ) + đ + / + ,5 , ) f = ị ị e + 7 + ,5 , + 3V3> Giải hệ phương trình phần mềm Maple sau: Bước 1: Vào lệnh xác định phương trình hệ 68 >eqnl :=a-l/2*c=sqrt(3)/8; >eqn2 :=b- / *e=sqrt(3)/16; >eqn3:=- / *a+c-1 / *d=0 ; >eqn4:=-1 /4 *c+d-1/4 *e=5 *sqrt(3 )/3 2; >eqn5:=-1 /4 *b-1/4 *d+e-1/4 *f=sqrt(0.9375)/8; >eqn6:=-l/4*e+f=sqrt(0.75)/4+3*sqrt(0.4375)/8+3*sqrt(3)/32; Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn a,b,c,d,e,f >solve({eqnl,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6},{a,b,c,d,e,f}); Chạy chương trình ta kết quả: ( a = 0,4651709546 b = 0,3772976145 c = 0,4973292073 d = 0,5294874600 e = 0,5380888780 / = 0,7614475191 Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: d2u { x ,y ) d2u { x ,y ) _ _ n n ^ ^ n n - + Q - = ỵ y >0 - x - ° '6' < y < 0,3 u(M)\ MẼr = x + 3y vói bước chia h = ,2 , l = , Lời giải Giá trị hàm điểm lưới u 00 = U 01 = 0,3; uữ2 = 0,6; ĨẲQ2 = 0,9;U-LQ= 0,2; u 20 = 0,4; 69 u 30 — 0,6; U3 —0,9; u 32 — 1,2; U33 — 1,5 Ta cần tìm giá trị li điểm là(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2) Hàm / o y ) = x y nên / n = 0,002; / 12 = 0,008; / 21 = 0,004; / 22 = 0,016 Phương trình sai phân có dạng: ^hn+ l.n "I" ^ m - l n , ^m n + lim n + =^^h = £n n -+ U m n -1 Từ ta có hệ phương trình đại số tuyến tính là: f —10ii1;L + 4ii12 + U21 = —1,099992 4ii1;L —10ii12 + Ii22 = —4,99 U11 — 10u21 + 4ii22 = —2,49 9 84 „ u12 + 4ii21 —10ii22 = —6,3 9 Giải hệ phương trình ta được: /u n = 0,499964132 u12 = 0,79994444 ' U21 = 0,699994356 0*22 = 0,999907868 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần phương trình Parabolic: du dt d 2u dx2 Thỏa mãn điều kiện ban đầu: u(x, 0) = cosnx (0 < X < 0,5) điều kiện biên: u ( x , t) = 1; = (0 < t < 0,025) ■} 70 Lời giải Ta chia đoạn [0; 0,5] thành năm phần với bước lưới h = 0,1 Áp dụng công thức: V-m.n+1 ^m+l.n "I"V-m -l.n n h a = —=> l = = 0,005 2 Ta xét với giá trị X 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Để tìm nghiệm gần u(x, t) điểm lưới (m, n) áp dụng công thức *hn.n+ l với n = ^m+l.n "I" ta CÓ U-m.l _ u m+ 1.0 "I" u m - 1.0 n ■ Như U11 = ( u 20 + Uoo) = ^(0,8090 + 1) = 0,9045 = ( u 30 + uio) = U 21 1 (0.5878 + 0,9511) = 0,7695 Lần lượt tính li™™ (m = ,2 ,3 ,4 ,5 ) theo công thức 71 ^-m+l.n "I" U-m.n+l tương tự итп t = 0,005; 0,010; 0,015; 0,020; 0,025 Ta có bảng giá trị gần u(x, t) điểm lưới (m, n) : n \ X 0 ,1 0,3 ,2 0,4 0,5 t \ 0 ,0 0,9511 0,8090 0,5878 0,3090 0,005 0,9045 0,7695 0,5590 0,2939 ,0 1 0,8848 0,7318 0,5317 0,2795 0,015 0,8659 0,7083 0,5057 0,2659 ,0 0,8542 0,6858 0,4871 0,2529 0,025 0,8429 0,6707 0,4694 0,2436 Bây ta tính sai số \ũ — u\ với ũ(x, t) nghiệm toán Ở restart; >n := 5; >m :=5; >h := ; 72 >u := array ( n, m ); >for i from to n u[0,i] := od; >for j from to m u[m,j]:= ; od; >for k from to m u[k,0] := cos((k/10)* evalf(Pi)) od; >for i from to n for j from to m u[ij] := (u[i-l j - ] +u[i+l,j-l ] ) / ; od; od; Chạy chương trình ta kết quả: ARRAY([0 5, 5],[(0, 0) = 1, (0, 1) = 1, (0, 2) = 1, (0, 3) = 1, (0, 4) = 1, (0, 5) = 1, (1, 0) = 0.9510565163, (1, 1) = 0.9045084972, (1, 2) = 0.8847104422, (1,3) = 0.8658813729, (1, 4) = 0.8540917994, (1, 5) = 0.8428792487, (2,0) = 0.8090169943, (2, 1) = 0.7694208843, (2, 2) = 0.7317627457, (2,3) = 0.7081835987, (2, 4) = 0.6857584973, (2, 5) = 0.6705488938, (3,0) = 0.5877852522, (3, 1) = 0.5590169941, (3, 2) = 0.5316567552, (3,3) = 0.5056356215, (3, 4) = 0.4870059882, (3, 5) = 0.4692881540, (4,0) = 0.3090169938, (4, 1) = 0.2938926260, (4, 2) = 0.2795084971, (4,3) = 0.2658283776, (4, 4) = 0.2528178108, (4, 5) = 0.2435029941, (5, 0) = 0, (5, 1) = 0, (5, 2) = 0, (5, 3) = 0, (5, 4) = 0, (5, 5) = ]) Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần phương trình: du dt d2u dx2 Thỏa mãn điều kiện biên u(x, 0) = e x (0 < X < 0,5) 73 điều kiện ban đầu ii(0 ,0 = 0; u ( ' f) = ^ e ~1 (0 —f — 0,025) Lời giải Ta chia đoạn [0; 0,5] thành năm phần với bước lưới h = 0,1 Áp dụng công thức: U-m.n+l n /l a = - = } l = — = 0,005 2 Ta xét vói giá trị X 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Để tìm nghiệm gần u(x, t ) điểm lưới (m, n) áp dụng công thức với n = ta có um+1.0 + um - 1.0 u m l n Như 1 «11 = § O 20 + Uoo) = ^(0,8187 + 1) = 0,9094 „ «21 = ^ 30 + Ulũ) = f (°-7408 + 0,9048) = 0,8228 74 Lần lượt tính Umm (m = ,2 ,3 ,4 ,5 ) theo công thức Щп+1.п "I" V -m -l.n Щп.п+1 Với n=l ta có _ u m2 - ^m+l.l "I" Và tương tự với giá trị n = 2,5 ta có bảng giá trị gần u(x, t) điểm lưới (m, n) : n \ X 0 ,1 t \ 0,3 ,2 0,4 0,5 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,005 0,9094 0,8228 0,7445 0,6737 0,6065 ,0 1 0,9114 0,8270 0,7483 0,6755 0,6065 0,015 0,9135 0,8297 0,7513 0,6774 0,6065 ,0 0,9149 0,8324 0,7536 0,6789 0,6065 0,025 0,9162 0,8343 0,7557 0,6801 0,6065 Bây ta tính sai số \ũ — u\ với ũ(x, t) nghiệm toán Ở (p(t) = 0; ĩp(t) = 0,0605 / ^ o o = e X, M1 = \ũ-u\ 0,025 ta có: , 0,025 l./i2 = Д = 0,00083 75 Ta giải toán cách sử dụng phần mềm Maple sau: >restart; >n := 5; >m :=5; >h := ; >u := array ( n, m ) ; >for i from to n u[0 ,i] := od; >for j from to m u[m,j]:= evalf(sqrt(exp(-l))); od; >for k from to m u[k,0 ] := evalf(exp(-k/1 )) od; >for i from to n - for j from to m - u[ij] := (u [i-lj-l]+ u [i+ lj-l])/ ; >od; >od; Chạy chương trình ta kết quả: ARRAY([0 5, 5],[(0, 0) = 1., (0, 1) = 1, (0, 2) = 1, (0, 3) = 1, (0, 4) = 1, (0, 5) = 1, (1, 0) = 0.9048374180, (1, 1) = 0.9093653766, (1, 2) = 0.9114139097, (1, 3) = 0.9134726941, (1, 4) = 0.9149162600, (1, 5) = 0.9161773508, (2, 0) = 0.8187307531, (2, 1) = 0.8228278194, (2, 2) = 0.8269453881, (2, 3) = 0.8298325199, (2, 4) = 0.8323547016, (2, 5) = 0.8342639838, (3, 0) = 0.7408182207, (3, 1) = 0.7445253996, (3, 2) = 0.7482511299, (3, 3) = 0.7512367090, (3, 4) = 0.7536117075, (3, 5) = 0.7556191930, (4, 0) = 0.6703200460, (4, 1) = 0.6736744403, (4, 2) = 0.6755280297, (4, 3) = 0.6773908949, (4, 4) = 0.6788836844, (4, 5) = 0.6800711836, (5, 0) = 0.6065306597, (5, 1) = 0.6065306597, (5, 2) = 76 0.6065306597, (5, 3) = 0.6065306597, (5, 4) = 0.6065306597, (5, 5) = 0.6065306597]) Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic d2u ( x , i) d2u (x ,t) dx2 dt2 miền [...]... = xn+1 - xa 71=a 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Dị/t/t nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp: F(.xn, ầ x n, A2x n, , Akx n) = 0 trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn; cấp lớn nhất của sai phân (ở đây là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể... nghiệm riêng X* ứng với f n bằng xh = < i + < 2 + < 3 = + n 2n - n 1.3 Tuyến tính hoá Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta đổi biến đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá Một số phương trình sai phân hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân. .. 2 - V2 1 2a + (2 - V2)ồ = 2 7171 Giải hệ này, ta được a = 1, b = 0 và Xn = cos - ự d T r ư ờ n g h ợ p /n = / n i + /n2 + - + fns- Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni, i = 1,2, Nghiệm riêng X* ứng với hàm f n sẽ là Xn = x*!+ x *2 + ■■■+ Xns, do tính tuyến tính của phương trình sai phân Ví dụ: Tìm nghiệm riêng x*n của phương trình sai phân: xn+ 4 ~ 3xn+3 + 3xn+2 — 3xn+1... thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu / n í 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất Nếu f n = 0 và a 0l at , a k là các hằng số, aữ 0, ak 0 thì phương trình (1.2) trở thành Lhxn = aữxn+k + a13ín+fc_1 + - + akxn = 0 (1.3) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số hằng số 1.2.2 Nghiệm Hàm số x n biến n, thoả... tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm X* đơn giản hơn và nhanh hơn Các dạng đặc biệt này của X* là chuyển tương ứng từ các dạng đặc biệt của phương trình vi phân thường Để xác định các tham số trong các 16 dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là phương pháp chọn)... Sb = 24 giải hệ này ta được a = 1, b = 0 và Xn = n 2.2n c Trường hợp f n = acosnx + psin n x với a, p là hằng sổ Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng x*n = acosnx + bsinnx 19 Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân: xn+3 - 2xn+2 - xn+1 + 2xn = (2 - V2)c o s ™ + 2s in ™ Lời giải Tìm x*n dưới dạng: nn nn X* = aco s -1- bsin — 4 4 Thay x*n vào phương trình sai phân và... lên hàm xn, xác định trên lưới có bước lưới h; aữ, a l t , ak với aữ ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm số của n, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm được gọi là ẩn Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của... Vỉ dụ: Tìm các nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân không thuần nhất sau đây: 18 1 xn+4 — 10xn+3 + 35xn+2 —50xn+1 +24xn = 4 8 5n 2 x n+3 - 7xn+2 + 16xn+1 - 12xn = 2n (24 - 24TÌ) Lời giải 1 Phương trình đặc trưng Ắ4 — 10Ằ3 + 35Ằ2 — 50/1 + 24 = 0 có các nghiệm Ăị = 1,Ă2 = 2 , ^ = 3,Ă4 = 4 đều khác 5; Pm(n) là đa thức bậc 0, nên tìm x*n = a 5n Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế... Ví dụ: Phương trình sai phân ^-71+6 — 5 "I" 4 —6^n+3 "I" ^^n+2 —^^n+1 —0 C phương trình đặc trưng Ấ6 - 3ẦS + 4Ằ4 - 6Ằ3 + 5Ằ2 - 3Ằ + 2 = 0 Phương trình đặc trưng có các nghiệm Ải = 3, Ầ2 = 2, Ầ3 = i (kép), Ầ3 = —i (kép), với i2 = —1 Tí Ta có r = 1, (Ọ = -ị, và 5cn = C1 + c2 2n + {At + A2ri)cos^ỵ- + + B2ri)sin^ỵ-, trong đó clt c2, Alt A2, B±i B2 là các hằng số tuỳ ý 1.2.2.2 Nghiệm riêng Xn Phương pháp. .. là các hằng số tuỳ ý Ví dự Phương trình sai phân *n+ 3 - 5*71+2 + 8 * n + 1 - 6 x n = 0 có phương trình đặc trưng Ằ3 - 5Ằ2 + 8 Ằ - 6 = 0 phương trình đặc trưng có các nghiệm Âì = 3, Ằ2 = 1 + i, Ầ2 = 1 — i; với i2 = —í, ta có r = V1 + 1 = V2, tợ ự) = 1 => (p = Ẹ, do vậy x n = cx 3n + i^Í2Ỵ(C l cosn— + c ịs in n —') 4 4 trong đó C-L, c ị, c ị là các hằng số tuỳ ý Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức