BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊmCẨM NGUYÊN NGHIÊN CỨU MỘT SỐ KĨ THUẬT TẤN CÔNG HỆ MÃ CÔNG KHẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã sổ: 60 46 01 12 LU Ẩ• N VĂN T H A• C SĨ TO Á N H O• C Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Dũng Hà Nội, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Trần Văn Dũng Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính ừọng sâu sắc thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học thầy cô giáo ừong nhà trường giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình thực tập Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 thảng 12 năm 2015 Tác giả Hoàng Thị Cẩm Nguyên LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Văn Dũng Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin ừích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, 10 thảng 12 năm 2015 Tác giả Hoàng Thị Cẩm Nguyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên u Dự kiến đóng góp m ới NỘI DUNG Chương 1: TỒNG QUAN VỀ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI 1.1 Cơ sở lí thuyết mật mã khóa công khai 1.1.1 Số học Modulo 1.1.2 Định lí Fermat nhỏ 1.1.3 Định lí phần dư Trung Hoa 1.1.4 Hàm ộ Euler 1.1.5 Kiểm tra tính nguyên tố 1.1.6 Phân số tiếp diễn .11 1.2 Các toán khó liên quan đến hệ mật mã khóa công khai 12 1.2.1 Bài toán phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố 12 1.2.2 Bài toán thặng dư bậc h .12 1.2.3 Bài toán tìm bậc hai mod n 13 1.2.4 Bài toán logarit rời rạc 14 Chương : MỘT SỐ THUẬT TOÁN CỦA HỆ MÃ KHÓA CÔNG KHAI 16 2.1 Hệ mật mã RSA 16 2.1.1 Định nghĩa hệ mật mã RSA 16 2.1.2 Khởi tạo khóa RSA 17 2.1.3 Sử dụng RSA 17 2.1.4 An toàn RSA 19 2.2 Trao đổi khóa Diffie -Heilman .20 2.2.1 Yêu cầu 20 2.2.2 Khởi tạo Diffie - Heilman 21 2.2.3 Trao đổi khóa Diffie - Heilman 21 2.3 Xác thực mẩu tin 22 2.3.1 Xác thực mẩu tin 22 2.3.2 Các hàm băm Hash 23 2.4 Chữ kí điện tà 24 2.4.1 Các tính chất chữ kí điện t .25 2.4.2 Chuẩn chữ kí điện tà (DSS) 25 2.5 Tính an toàn sơ đồ khóa công khai 27 Chương 3: MỘT SỐ KỸ THUẬT TẤN CÔNG TRÊN MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI 29 3.1 Thuật toán xén p 29 3.2 Phân tích thừa số 30 3.2.1 Phân tích thừa số Fermat 31 3.2.2 Phân tích sở 32 3.2.3 Phân tích phân số tiếp diễn 34 3.2.4 Trường số 35 3.2.5 Sàng trường số học 38 3.3 Giải toán logarit ừên trường hữu hạn 41 3.3.1 Định lí phần dư Trung Hoa 41 3.3.2 Thuật toán Pohlig- Hellman 42 Chương 4: ỨNG DỤNG AN TOÀN CÁC THUẬT TOÁN MÃ KHÓA 47 CÔNG KHAI 47 4.1 Một số sai lầm sử dụng RSA 47 4.2 Phục hồi mã mã hóa với số mũ công khai nhỏ 50 4.2.1 Tấn công tin nhắn rập khuôn 50 4.2.2 Tấn công thông điệp liên quan 51 4.2.3 Tấn công đệm ngẫu nhiên 53 4.2.4 Thông tin bị rò rỉ 54 4.3 Nhân tà RSA modulus với số mũ riêng nhỏ d 55 4.3.1 Tấn công phân số tiếp diễn Wiener 56 4.4 Một số kiến nghị sử dụng mật mã khóa công khai 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lí chon đề tài Bảo mật nhu cầu xuất từ lâu đời sống ngưòi Dưới nhu cầu cần thiết “ Mật mã học” đời phát triển ngày mạnh mẽ Mật mã học lĩnh vực liên quan với kĩ thuật ngôn ngữ toán học để đảm bảo an ninh an toàn thông tin Mật mã học lĩnh vực liên ngành, tạo từ số lĩnh vực khác Các dạng cổ mật mã há chủ yếu liên quan đến ngôn ngữ gần tầm quan trọng thay đổi mật mã hóa sử dụng gắn liền nhiều tới toán học cụ thể toán rời rạc bao gồm vấn đề liên quan đến lý thuyết số, lý thuyết thông tin, độ phức tạp tính toán, thống kê tổ hợp Mã hóa thám mã hai mặt vấn đề phát triển song hành Cùng với phát triển mật mã, phương pháp thám mã ngày tinh vi hiệu thách thức lớn nhà mật mã Mục tiêu thám mã tìm điểm yếu không an toàn phương thức mật mã hóa Thám mã thực kẻ công ác ý, nhằm làm hỏng hệ thống; người thiết kế hệ thống (hoặc người khác) với ý định đánh giá độ an toàn hệ thống Cuối kỉ XX hệ mật mã khóa công khai đời, coi tiến triển làm thay đổi tảng cách làm việc hệ thống mật mã hóa Hệ thống mật mã khóa công khai phát triển ứng dụng rộng rãi ừong thương mại điện tà, tạo khóa xác thực mail, xác thực, truy cập từ xa, đặc biệt hệ thống chữ kí điện tà Chính lí sử dụng rộng rãi thương mại điện tử nên có nhiều công nhằm phá vỡ an toàn hệ mật mã Thêm vào đó, chưa có chứng minh khẳng định tảng toán học mật mã dùng khóa công khai “không thể bẻ gãy”, tiến triển toán học tương lai làm cho hệ thống phụ thuộc vào chúng trở nên an toàn Qua tìm hiểu nắm bắt vấn đề, cảm thấy hứng thú với chủ đề phương pháp công mã khóa công khai đồng ý hướng dẫn luận văn từ TS Trần Văn Dũng nên lựa chọn đề tài: “NGHIÊN CỬU MỘT SỎ K Ĩ THUẬT TẨN CÔNG HỆ MÃ CÔNG KHAI • » • VÀ ÚNG DỤNG” cho luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tổng hợp lại phương pháp thám mã mật mã khóa công khai, từ mong muốn người sử dụng tránh lỗi dẫn đến việc an toàn loại mật mã Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết mật mã - Nghiên cứu thuật toán mã hóa thám mã - Nghiên cứu số phương pháp thám mã ứng dụng Đổi tượng nghiên cứu - Các khái niệm mật mã - Cơ sở toán học mã hóa thám mã Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp thu thập thông tin, tài liệu liên quan đến nội dung đề tài - Phân tích tổng hợp hệ thống phương pháp thám mã mật mã khóa công khai Đóng góp mói Luận văn tài liệu hệ thống đầy đủ mật mã số kỹ thuật công thám mã phổ biến Luận văn trình bày theo hướng từ sở lý thuyết toán học đến thực tiễn, hy vọng luận văn tài liệu dễ hiểu ngưòi đọc áp dụng vào thực tiễn NỘI DUNG Chương 1: TỒNG QUAN VÈ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI Mật mã khóa công khai chuyên ngành mật mã học cho phép người sử dụng ừao đổi thông tin mật mà không cần phải ừao đổi khóa chung bí mật trước Điều thực cách sử dụng cặp khóa có quan hệ toán học với khóa công khai khóa cá nhân (hay khóa bí mật) Trong mật mã học khóa công khai, khóa cá nhân phải giữ bí mật khóa công khai phổ biến công khai Trong khóa, dùng để mã hóa khóa lại dùng để giải mã Điều quan trọng hệ thống tìm khóa bí mật biết khóa công khai 1.1 Ctf sở lí thuyết mật mã khóa công khai 1.1.1 Số học Modulo SỐ học modulo sở cho mật mã học nói chung RSA nói riêng Đinh nưhĩa h Cho số nguyên dương N Chúng ta nói hai số nguyên a b đồng dư theo modun N tồn số nguyên k cho a - b = k N Chúng ta miêu tả mối quan hệ kí hiệu sau : a= b mod N Dễ dàng chứng minh quan hệ đồng dư quan hệ tương đương Đinh mhĩa 2: Cho lớp tương đương [x] [ý] theo modun N, ta định nghĩa phép toán sau : Phép cộng: [xị + [ỹị = [x + ỹị Phép nhân: [jc][y] = [xy] Trong luận văn kí hiệu lớp tương đương [x] cách đơn giản X, có điều thay đổi thích rõ ràng Đinh nghĩa 3: Cho số nguyên N > , modulo vòng ZN tập : 46 Tóm tắt chương Trong chương đề cập đến số thuật toán công mật mã khóa công khai như: - Thuật toán xén p - Phân tích thừa số ■ Phân tích thừa số Fermat ■ Phân tích sở ■ Phân tích phân số tiếp diễn ■ Trường số ■ Sàng trường số học - Giải toán logarit trường hữu hạn ■ Định ưphần dư Trung Hoa ■ Thuật toán Pohlig- Hellman Các thuật toán trình bày cụ thể nội dung có ví dụ minh họa để làm rõ cách hoạt động thuật toán ưu điểm 47 Chương 4: ỨNG DỤNG AN TOÀN CÁC THUẬT TOÁN MÃ KHÓA CÔNG KHAI 4.1 Một sổ sai lầm sử dụng RSA Các công trình bày phần tìm lâu trước Họ cho thấy số sai lầm xảy phiên RSA Ý tưởng modulus công cộng phiên RSA với người sử dụng đối tượng đáng tin cậy mà xác định modulus N cung cấp cho người dùng cặp khóa RSA công khai bí mật hợp lệ xác định ệ(rì) , thừa số N Đó là, với người dùng Uị cung cấp khóa công khai (ẽị, N ) khóa riêng ị d ị,N ) , ta thấy không cần việc phân tích modulus thừa số, văn túy giống mã hóa gửi đến cho hai người dùng có số mũ công khai nguyên tố người dùng giải mã mã tương ứng Đinh lý 2: Cho N = pq modulus RSA cho (ev N ) , (e2’N ) hai khóa công khai cho (ổ1 ?ổ2) = Giả sử văn túy m mã hóa với hai mã công khai Biết q = m xmodTV, c2 = rn2m o d N ta cần tính m thời gian đa thức log(iV) Chứns minh: Biết ex £2 , ta tính số nguyên aL,a2 cho aleỉ + a2e2 =1 sử dụng định lí Euclidean mở rộng Giờ ta tính toán: r f c “2 = ma‘e‘m¥ í = mfliỂi+fl2Ể2 = m rnodTV Cả định lí Euclidean mở rộng tính toán thức thực thời gian đa thức log(iV), ta có kết cần chứng minh 48 Ví dụ 18: N - p.q = 17.29 cho hai khóa công khai (e ^N ^ ,(e2,N ^ với =9,e2 = 16 Lấy M =13 Ta có —7.9 + 4.16 = Tính 139 mod 493 áp dụng định lí phần dư Trung Hoa ta có: Đặt A = 139, Щ =17, m2 = 29 Khi = 29, M = 17 29_1 mod 17 = 12“1 m odl7 = 10 suy q = 29.10 = 290 l T ' m od29 = 12 suy c2 =17.12 = 204 ^ = 139(m odl7) = (133)3mod 17 = m odl7 = 13 a2 =139 mod 29 = (133)3 mod 29 = 22 mod 29 = Vậy 139 mod493 =(290.13 +204.5)mod493 =353 Tương tự ta tính 1316 mod 493 = 256 Giả sử biết q , c2 ta có: C?JC? = 353_7.2564 mod 493 Tính 2564 mod 493 = 103 353“7 (mod493) = (3537)“1 mod 493 = 463“1m od493 = 115 Do CĨ.CĨ = 115.103(mod493) = 13 Điều có nghĩa có quyền truy cập vào khóa công khai văn mật mã chặn tất văn túy mà mã hóa hai lần cho hai người sử dụng khác Vào năm 1984, công mạnh mẽ Common Modulus RSA thực DeLaurentis Ông chứng minh bạn chí không cần hai mã hóa văn túy để thực giải mã tất tin nhăn mã hóa Định lý cho ta thấy rằng, người sử 49 dụng hệ thống thực tạo khóa riêng làm việc với khóa công khai Dưới kết quả: Định lí 3: Cho (e,N ) khóa công khai RSA có hiệu lực với khóa riêng tương ứng (d , N ) Cho (ev N ) khóa công khai từ người dùng cho eỉ ^ e Thì khóa riêng {dx, N ) tương ứng (ev N ) tính cách: dĩ —eĩ f ed-ì mod y (ểj , ẻd ) } (*) thời gian đa thức log(iV) Chứns minh: Ta viết lại phương trình: ed = mod^(iV) e d - ì - kệ(N ) với ex số mũ công khai thỏa mãn [el,ệ{N)} = {e^k ộiN )) = k' với k ' ước k Đặt k " = |r , modulus ừong phương trình (*) viết l : ed- _ k ệ { N ) = k „ệ(N ) (ie1, e d - ì ) k' Vì eỉ dl tìiỏa mãn: dl =e~l mod k " ậ ( N ) ^ > d 1e1 =1 mod^(iV) Do ẵx số mũ riêng hợp lệ tương ứng với el Mọi tính toán thực thời gian đa thức log(iV) Ví du 19: Cho 7V= ì S l , e = 3,d = 107 Ta có e d - = 107-1 = 320 = 2.160 Ta có khóa khác có e{ = 11, dỉ = 131 Do gcd(l 1,160) = 1, gcd(l 1,320) = nên ta có k' = l,k" = 50 Tatínhđược 11 m od320 = 291, mà 291.11modl60 = l Do = 291 mod 160 = 131 4.2 Phục hồi mã mã hóa vói sổ mũ công khai nhỏ Trong phần này, bao gồm số công trình bày phần trước liên quan đến an toàn hệ thống mật mã RSA số mũ công khai nhỏ chẳng hạn e = sử dụng Điều xảy thiết bị mã hóa có khả tính toán nhỏ, chẳng hạn điện thoại di động, ác công tầm xa phá vỡ hệ thống, họ không nhắm đến yếu tố modulus mà để phục hồi mã cụ thể phần chúng 4.2.1 Tẩn công tin nhắn rập khuôn Khi mã hóa mã m, ta nên cẩn thận kích thước Với công trình bày phần trước, mã m = phục hồi dễ dàng Nếu số mũ công khai đủ nhỏ có nguy mã thỏa mãn c = me < N Biết điều này, tất Marvin cần làm tính nghiệm thứ e c tập số nguyên Vì văn túy m thỏa mãn m , cho < d , p , q , N > tương ứng khóa riêng nó, ed - 1+ kệ{N) Cho g = ( p - l , q - l ) , g Q=jf'J) k0 = j Ị Nếu d < 2(p+ N phân tích thời gian đa thức log(iV) J Chứns minh: Ta có: x ụ i ) = l c m( p - l , q - l ) = - - m - = (p -ì,q -ì) g _ N -(p +q-\) 8 ta viết lại phương trình sau: ed= + kậ(N ) = 1+ - ậ(N) = l + - ( N - s ) 8o k0 = cho d N : , gQ= j j j j Giả sử ta chia vế phương trình 57 Ẩr_ p Ẩr_ 11 Ẩr kn kns ed = + ĩs- (N - s ) » — = - ! - + - Í - ( N - s) = ——+ —L + — dN g 0d gữdN So N đN g„dN Ta có: e kữ N g 0d dN K K < dg0N dg0N № o )2 Từ định lí phần phân số tiếp diễn, ta thấy số tiếp diễn mở rộng Cho Cị = hội tụ phân hội tụ tìiứ i Vậy j ta có -p-=bL‘ Bây ta nhận thấy phương trình viết là: ed = + kộ(N ) Ộ{N) = e Vì ta biết hội tụ Cj dgọ K gọ K bj p•—— 8o_ _ a ì_ _ v c đoán giá trị | ^ J tìiì ta tính ậ(N) Để tìm hội tụ tính toán ậ(N), ta tiến hành bước sau: hội tụ, ta tính toán trường hợp tương ứng với ậ(N) : ộc = ịjrJ + m Đối với trường hợp ta cố gắng phân tích modulus, có nghĩa giải hệ thống N = pq № '25 Wiener giới thiệu phương pháp khác để tránh công 58 sử dụng số mũ công khai e lớn Đây vấn đề, sau chọn e > r r cân thêm cho e liên tục bội sô Ộ(N) cho đên e thỏa mãn e > N Vì tránh công sử dụng số mũ riêng nhỏ bất đẳng thức cuối thỏa mãn 4.4 Một sổ kiến nghị sử dụng mật mã khóa công khai Một công trình nghiên cứu tài ừợ Quỹ Khoa học Quốc gia Thụy Sỹ nhằm kiểm ừa tính đứng đắn hệ mật mã khóa công khai đưa kết bất ngờ là: khoảng 0,2% khóa công khai không đảm bảo an toàn Sau thống kê phân tích số liệu từ triệu khóa công khai công trình đưa nhiều điểm sai lầm việc sử dụng khóa công khai có liên quan đến số mũ công khai, tính nguyên tố, thừa số nguyên tố nhỏ modulus với thừa số chung Trong phần ừên trình bày số sai lầm thường gặp người sử dụng ừong việc sử dụng mật mã khóa công khai Người dùng nên tránh số sai lầm sau để tránh việc người khác công giải mã mã - Các số mũ công khai nguyên tố - Số mũ công khai nhỏ - Số mũ riêng nhỏ Cần phải lựa chọn tham số cho: - Các số nguyên tố p q đủ lớn cỡ 500 bit; sinhngẫu nhiên thông qua thuật toán kiểm ừa tính nguyên tố thay đổi đốivới từngngưòi sử dụng - Các khóa công khai sinh ngẫu nhiên thay đổi định kì - Đảm bảo tham số a ừong thuật toán Diffie - Heilman g ừong thuật toán DSA nguyên thủy theo modulo số tương ứng 59 - Tham số к thuật toán DSA lựa chọn ngẫu nhiên cho lần ký Như vậy, mật mã khóa công khai có nhiều tiện lợi, dùng cho vấn đề phức tạp Tóm tắt chương Trong chương đưa số sai lầm ngưòi dùng mắc phải sử dụng mật mã khóa công khai: - Sai lầm sử dụng RSA - Phục hồi mã mã hóa với số mũ công khai nhỏ với loại công khác - Tấn công phân số tiếp diễn Wiener nhân tử RSA modulo với số mũ riêng nhỏ Sau đưa số kiến nghị cho người sử dụng mật mã khóa công khai để tăng thêm tính an toàn cho khóa 60 KẾT LUẬN Mật mã khóa công khai hệ thống tương đối lớn phức tạp việc nắm vững nghiên cứu kĩ hệ thống mật mã khóa công khai đòi hỏi nhiều thời gian công sức Qua đề tài trình bày đưa nhìn tổng quát mật mã khóa công khai việc thám mã mật mã khóa công khai Luận văn trình bày có hệ thống vấn đề liên quan đến mật mã khóa công khai sở toán học, toán khó số hệ mật mã khóa công khai.Luận văn trình bày số thuật toán thám mã công mật mã khóa công khai số sai lầm sử dụng người dùng Qua luận văn muốn làm rõ yếu tố gây an toàn sử dụng mật mã khóa công khai mong muốn người dùng có thêm hiểu biết nâng cao tính an toàn cho mật mã Tuy nhiên luận văn số hạn chế chưa đưa ví dụ cụ thể, rõ ràng Hướng phát triển đề tài tìm hiểu thêm số yếu tố gây an toàn cho mật mã, cách thám mã số kiến nghị cho người sử dụng để đảm bảo an toàn sử dụng loại mật mã Cuối lần xin chân thành cảm ơn thầy cô giảng dậy chuyên ngành Toán ứng Dụng, thầy cô phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn thầy TS Trần Văn Dũng tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ cảm ơn đóng góp thầy cô giúp luận văn hoàn chỉnh [...]... Heilman, xác thực mẩu tin và chữ kí điện tử 29 Chương 3: MỘT SỐ KỸ THUẬT TẤN CÔNG TRÊN HỆ MÃ KHÓA CÔNG KHAI Mật mã khóa công khai có độ an toàn cao và dễ sử dụng nên có tính phổ biến lớn, cũng do lí do đó nên luôn có những cuộc tấn công nhằm phá vỡ sự an toàn của loại mật mã này Trong chương này tôi xin giới thiệu một số thuật toán có khả năng thám mã ừên mật mã khóa công khai 3.1 Thuật toán xén ngọn p... : MỘT SỐ THUẬT TOÁN CỦA HỆ MẪ KHÓA CÔNG KHAI Thuật toán mật mã hóa công khai được thiết kế đầu tiên vào những năm 1970 và phát triển rất mạnh mẽ đến ngày nay Có rất nhiều thuật toán đã được phát triển và đánh giá cao như RSA, Diffie -Heilman, xác thực và chữ kí điện tử 2.1 Hệ mật mã RSA RSA là mã công khai được sáng tạo bỏi Rivest, Shamir & Adleman ở MIT (Trường Đại học Công nghệ Massachusetts) vào... nhiều so với mã đối xứng, nên nó thường được dùng mã hóa những thông tin nhỏ quan trọng Tóm tắt chương Trong chương 2 tôi đã trình bày định nghĩa, cách thực hiện và độ an toàn của một số hệ mật mã khóa công khai Trong chương này tôi cũng đã trình bày một số ví dụ để mô phỏng hoạt động của các thuật toán hệ mã khóa công khai Ở phần này do còn hạn chế nên tôi chỉ giới thiệu một số hệ mật mã đặc trưng... khó Mã công khai RSA gồm hai giai đoạn: khởi tạo khóa RSA và giai đoạn mã hóa/giải mã 2.1.1 Đinh ã nghĩa 0 hê• mất ■ mã RSA Ta xem xét hệ mật mã RSA là một bộ < N, M, c, K, E, D >ờ đó: N = pq- modun công khai, kết quả của hai số nguyên tố khác nhau p, q M - tập các bản rõ M =ZN 17 С - tập các bản mã с = ZN K - là một bộ < p, q, e, d >ở đó (d ,ệ (N )) = 1 và ed = 1 mod ậ(N) Kr = là khóa công khai. .. khác - Tấn công thòi gian giống như kẻ cướp đoán số điện thoại bằng cách quan sát một ngưòi nào đó ừong bao lâu chuyển quay điện thoại từ số này sang số khác - Tấn công bản mã chọn trước - RSA có điểm yếu với tấn công bản mã chọn trước; - Kẻ tấn công chọn bản mã và đoán bản rõ được giải mã; - Chọn bản mã cho việc khám phá RSA, cung cấp thông tin để thám mã; 2.2 Trao đổi khóa Diffîe -Heilman 2.2.1 Yêu... cách tấn công khác nhau đối vói mã công khai RSA như sau: Tìm kiếm khóa bằng phương pháp vét cạn, phương pháp này không khả thi vói kích thước đủ lớn của các số hoặc tấn công bằng toán học dựa vào độ khó việc tính AObằng cách phân tích N thành hai số nguyên tố p và q hoặc tìm cách tính trực tiếp ậ ( N ) Trong quá trình nghiên cứu việc thám mã ngưòi ta đề xuất kiểu tấn công thời gian ừong khi giải mã, ... phân tích một số ra thừa số - Có các bước tiến chậm theo thời gian; - Hiện tại cho rằng RSA 1024 hoặc 2048 là an toàn Tấn công thời gian: - Được phát ừiển vào giữa năm 1990; - Paul Kocher chỉ ra rằng kẻ thám mã có thể xác định được khóa riêng nếu theo dõi thời gian máy tính cần để giải mã các bản tin 20 - Tấn công thòi gian không chỉ áp dụng cho RSA, mà cả với các hệ mã công khai khác - Tấn công thòi... Massachusetts) vào năm 1977 RSA là mã công khai được biết đến nhiều nhất và sử dụng rộng rãi nhất hiện nay Nó dựa ừên các phép toán lũy thừa ừong trường hữu hạn các số nguyên theo modulo nguyên tố Cụ thể, mã hóa hay giải mã là các phép toán luỹ thừa theo modulo số rất lớn Việc thám mã, tức là tìm khóa riêng khi biết khóa công khai, dựa ừên bài toán khó là phân tích một số rất lớn đó ra thừa số nguyên tố Nếu không... công khai và một số bài toán khó có liên quan đến mật mã khóa công khai Trong phần cơ sở toán học đã trình bày các vấn đề sau: - Số học modulo - Định lí Fermat nhỏ - Định lí phần dư Trung Hoa - Hàm ệ Euler - Kiểm tra tính nguyên tố - Phân số tiếp diễn Trong mục các bài toán khó liên quan đến hệ mật mã khóa công khai tôi đã trình bày các bài toán sau: - Bài toán phân tích số nguyên thành thừa số nguyên... ,N > là khóa bí mật E - hàm lập mã: E :M ^> c, С - E(m\Kr) = me mod N D - hàm giải mã: D :C m = Е (с\кр) = cd mod N e v ầ d được gọi tương ứng là số mũ công khai và số mũ bí mật số mũ này thỏa mãn phương trình ed -1 = kậ (N ), do đó nó được gọi là phương trình khóa 2.1.2 Khởi tao khóa RSA » Mỗi người sử dụng A tạo một cặp khóa công khai - riêng như sau: 1 Đưa ra hai số nguyên tố lớn p,q 2 Tính N =