Chinh phục tập hình học giải tích Oxyz thực đội ngũ tác giả Lovebook: Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Lê Phương Anh, Nguyễn Thành Đạt Một số thông tin: NXB: ĐH quốc gia HN Số trang: 292 trang khổ A4 Giá: 119000 VND Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015 Ước mơ bạn - Sứ mệnh chúng tôi! � Đặt sách: http://lovebook.vn/ - https://goo.gl/XeHwk5 ☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197 Hotline: 0963 140 260 � Trung tâm giải đáp thắc mắc sách: goo.gl/A7Dzl0 � Tổng hợp video giảng: goo.gl/OAo45w � Kho tài liệu Lovebook: goo.gl/nU0Fze � Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: goo.gl/ol9EmG Chữ ký lời chúc tác giả thành viên Lovebook Sách gốc phải có chữ ký tác giả thành viên Lovebook Bất kể sách chữ ký sách lậu, Lovebook phát hành Lời chúc & kí tặng LOVEBOOK.VN Chinh phục tập hình học giải tích Oxyz Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đặng Thùy Trâm Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim nữa! Lương Văn Thùy LOVEBOOK tin tưởng chắn em đỗ đại học cách tự hào hãnh diện nhất! Bản quyền thuộc Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp Không phần xuất phẩm phép chép hay phát hành hình thức phương tiện mà cho phép trước văn công ty GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Sách dà nh cho:  Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)  Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm tốt cho KÌ THI THPT QUỐC GIA  Học sinh gốc Toán, học Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp kĩ giải toán Toán  Học sinh muốn đạt 9,10 kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)  Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học sở trung học phổ thông  Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán  Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm sách chứa phân tích, tìm tòi thú vị, sáng tạo độc đáo NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI MỞ ĐẦU Các bạn cảm thấy:  Hoang mang lần đầu tiếp xúc với kiến thức hình giải tích Oxyz?  Kiến thức hình giải tích Oxyz nói chung hình giải tích nói riêng phức tạp rộng, dạng đề thi khác xa với kiến thức SGK  Không hình dung phương pháp, ý tưởng làm hình giải tích Oxyz?  Giá có sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu để tự tin học?  … Nếu bạn gặp phải vấn đề trên, chắn Chinh phục hình học giải tích Oxyz sách DÀNH CHO BẠN!!!! Trong sách bạn sẽ: Thử thách thân với hàng loạt tập tác giả chọn lọc kĩ Các tập sách tập điển hình quen thuộc đề thi Ngoài ví dụ giúp bạn định hình dạng toán, sách bao hàm nhiều tập tự luyện có đáp án, giúp bạn có kĩ làm tốt phục vụ cho kì thi tới Tiếp cận nội dung, phương pháp giải toán cách tối ưu Các phương pháp nội dung sách phương pháp chọn lọc kĩ càng, đồng thời trình bày cẩn thận rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ hiểu, dễ học với bạn bắt đầu tiếp xúc với hình giải tích Oxyz Được hỗ trợ trực tuyến cầm tay sách Nếu có khúc mắc trình sử dụng sách, bạn hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả diễn đàn chăm sóc sử dụng sách nhà sách: vedu.vn/forums/ Cuốn sách tập hợp kinh nghiệm, kiến thức hình học giải tích Oxyz tác giả; trình làm việc nghiêm túc, miệt mài tác giả Cuốn sách tâm huyết đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc đạt kết tốt nhất, chinh phục toán hình giải tích Oxyz đề thi THPT Quốc gia tới Mặc dù dành nhiều thời gian tâm huyết để hoàn thiện sách sách chắn tránh khỏi sai sót thời gian kiến thức hạn chế Chúng mong nhận ý kiến đóng góp nội dung sách từ bạn học sinh, sinh viên, thầy cô giáo để lần tái sách hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp bạn, thầy cô xin vui lòng gửi địa o Thư điện tử: gopy.lovebook.vn@gmail.com o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! LỜI CẢM ƠN Chúng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cha mẹ - người có ơn sinh thành nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo nên người Gia đình điểm tựa vững giúp vươn đến thành công ngày hôm Chúng xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người thầy, người cô dạy dỗ suốt năm học vừa qua, người truyền đạt cho không kiến thức mà hiểu biết, kĩ sống Tiếp đến xin cảm ơn anh em bạn bè anh em mái nhà chung LOVEBOOK, anh em giúp đỡ, ủng hộ lúc nơi, giúp có động lực để hoàn tất ước mơ có sản phẩm “tinh thần” đời Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến anh Lương Văn Thùy – Giám đốc VEDU – NHÀ SÁCH LOVEBOOK ủng hộ, động viên hướng dẫn trình hoàn thành sách Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!!! HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn nên học theo thứ tự chủ đề Cuốn sách khác với sách khác, tác giả khuyên bạn nên ĐỌC THẬT KĨ ĐÁP ÁN đáp án sách trình bày phân tích sai lầm mà bạn hay gặp phải phần bình luận, mở rộng thêm toán Các bạn không nên lướt qua đáp án đáp án phần thú vị giá trị sách Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì? Đừng ngại ngần, hỏi !!! - Hỏi bạn bè lớp Học thầy không tày học bạn - Hỏi thầy cô giáo lớp - Hỏi bạn bè cộng đồng mạng - Bạn đăng thắc mắc trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách nhà sách Lovebook để hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/ Ghi chú, đánh dấu Trong trình đọc sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào phần kiến thức mà bạn hay quên, nhầm lẫn, toán mà bạn làm sai phần mà bạn thấy quan trọng Trước thi tháng, bạn nên đọc lại toàn sách sách tổng hợp toàn thứ bạn cần phần Hình giải tích Oxyz, đặc biệt bạn cần xem lại phần đánh dấu bút màu trước để tránh việc lặp lại sai lầm bước vào kì thi thức Kết hợp với đề Trong trình sử dụng sách, để đạt hiệu cao nhất, tốt bạn nên có đề để luyện tập Vì lại ? Các tập tự luyện bên sau chuyên tập dạng trình bày nhằm củng cố kiến thức dạng tập Do đó, để nhớ lâu có kĩ tư tổng hợp kiến thức, chuyên đề với cần phải có đề để làm Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, làm phần học không nên để đến lúc học xong hết chương trình làm Ví dụ bạn đọc hết sách này, bỏ đề đặt bút làm, làm hết tất câu thuộc phần Oxyz Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 đề nằm tập sách Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án lời giải chi tiết cho bạn MỤC LỤC Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ không gian công cụ giải toán A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Hệ tọa độ không gian 1.Hệ trục tọa độ không gian 2.Tọa độ điểm 3.Tọa độ vectơ 4.Biểu thức tọa độ phép toán vectơ 5.Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ hai điểm mút 6.Tích vô hướng hai vectơ 7.Tích có hướng hai vectơ 8.Ứng dụng tích có hướng II ơng trình mặt phẳng 1.Vectơ pháp tuyến mặt phẳng 2.Phương trình tổng quát mặt phẳng 3.Phương trình đoạn chắn 4.Vị trí tương đối hai mặt phẳng 5.Công thức toán III ơng trình đường thẳng 1.Vectơ phương đường thẳng 2.Phương trình tham số đường thẳng 3.Phương trình tắc 4.Phương trình tổng quát 5.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 6.Vị trí tương đối hai đường thẳng 7.Công thức tính toán IV ơng trình mặt cầu 1.Phương trình mặt cầu 2.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 3.Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 4.Vị trí tương đối hai mặt cầu B CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Chuyên đề II: Các toán điểm A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1.Khái niệm 2.Biểu diễn 3.Các phép tính liên quan đến điểm B CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP 1.Các toán sư dụng vectơ để tìm điểm 2.Tìm điểm thuộc mặt phẳng kèm điều kiện phụ 3.Tìm điểm thuộc đường thẳng kèm điều kiện phụ 3.Tìm tập hợp điểm không gian 4.Bài toán khoảng cách Chuyên đề III: Phương trình mặt phẳng A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 13 13 13 13 13 14 15 17 19 22 23 Phư 27 27 27 27 28 29 Phư 31 31 31 31 32 32 32 32 Phư 34 34 34 35 35 36 53 53 53 53 56 56 56 64 79 103 110 119 119 Phân tích Bài toán yêu cầu ta tìm phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, E, F Trong có điểm biết tọa độ A, B, C Còn E, F hình chiếu A lên SB SC Do đó, bắt buộc ta phải tìm tọa độ E, F thỏa mãn tính chất đó; ngoại trừ trường hợp ta đoán tâm mặt cầu nằm đâu dựa vào tính chất E nhìn SA, AB F nhìn SA, AC góc vuông ?! Tuy nhiên cách không tự nhiên đòi hỏi nhanh nhạy bạn nên ta làm theo bước sau đây: • Tìm phương trình đường thẳng SB biết tọa độ S, B • Gọi tọa độ hình chiếu E A lên SB E ( t ,2t ,2 − 2t ) • • Sử dụng ràng buộc AE.SB = để tìm giá trị t Tương tự với đường thẳng SC điểm F Tiếp theo, mặt cầu xác định cần biết tọa độ điểm mà qua nên ta cần sử dụng tọa độ điểm A, B, C, E để viết phương trình mặt cầu sau kiểm tra để thấy tọa độ điểm F thuộc mặt cầu Lời giải Cách 1: Đường thẳng SB có vecto phương SB = (1,2, −2) qua điểm S ( 0,0,2) nên có phương trình tham số: x=t y= 2t z=2 − 2t Đường thẳng SC có vecto phương SC = ( 0,2, −2) qua điểm S ( 0,0,2) nên có phương trình tham số: x= y= 2t z=2 − 2t Gọi tọa độ điểm E hình chiếu A lên SB E ( t ,2t ,2 − 2t ) Khi đó, AE = ( t ,2t ,2 − 2t ) Vì E hình chiếu A lên SB nên ta có: 10 AE ⊥ SB ⇔+ 2.2t + ( −2)( − ) = ⇔ , , = ⇔E 2t t 1.t 1 1 9 9 Gọi tọa độ điểm F hình chiếu A lên SC F ( 0,2t ,2 − 2t ) Khi đó, AE = ( 0,2t ,2 − 2t ) Vì E hình chiếu A lên SB nên ta có: AE ⊥ SB ⇔0.0 + 2.2t + ( −2)( − 2t 2 Gọi phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm A,B,C,E là: ) = ⇔t 2 = ⇔E ( 0,1,1) (x − a) Khi đó, ta có hệ phương trình 2 + ( y − b) + (z − c ) = R2 sau: a A R R 2 +b +c = 2 ∈( S ) 2 a +b +c =R (1 − a ) ∈( S ) − ⇔ R 2a ⇔ a= + ( − b ) + c2 = a + b )(1 − + c )(1 − − 4b = C E∈( S ) + = ⇔ ∈( S ) + (2 − b) + c2 = R B = =R − 2b − 2c =0 b=1 c=0 a Suy tọa độ tâm I , , 2 bán kính R = Ta tính độ dài FI: 2 FI = − + 1− + 0− 10 = =R 9 Do F thuộc mặt cầu ( S ) ta có đpcm Cách 2: Ta chứng minh A, B, C, E, F thuộc mặt cầu đường AB điểm kính Ta tính Ta có: được: AB, AC   = ( 0, 0, ) = AS ⇒SA ⊥ ( ABC ) AC.BC = ⇔AC ⊥ BC  (1) SA ⊥ ( ABC ) ⇒BC ⊥ SA BC ⊥ AC SA ∩ AC = { A} ⇒BC ⊥ ( SAC ) ⇒BC ⊥ AE Mặt khác AE ⊥ SC SC cắt BC C AE ⊥ ( SBC ) nên ⇒AE ⊥ EB ( ) Theo đề ta AF ⊥ FB ( 3) có: Từ (1) , ( ) , ( 3) suy ba điểm C, E, F nhìn đoạn AB góc vuông nên điểm A, B, C, E, F thuộc mặt cầu đường kính AB Bài 5: x−3 y−4 z−6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = , x +1 y +4 z −5 P ) : x + 4y + z + = Viết phương trình mặt phẳng = = d' : mặt phẳng ( (Q ) chứa đường −2 thẳng d' song song với đường thẳng d Lập phương trình mặt cầu có tâm I giao điểm d ( P ) , có bán kính khoảng cách d d’ Lời giải Mặt phẳng (Q ) chứa đường thẳng d’ song song với đường thẳng d nên vecto pháp tuyến (Q ) tích có hướng hai vecto phương đường thẳng d d'  2 11  = ( −8,6, −5) , n (Q ) = u, u' = −2 −2 Suy phương trình mặt phẳng ( Q ) có dạng 8x − 6y + 5z + d = Vì mặt phẳng (Q ) chứa đường thẳng d' tức chứa điểm A ( −1, −4,5) đường thẳng d' nên ta có: ( −1) − ( −4 ) + 5.5 + d = ⇔d = −41 Vậy ta có phương trình mặt phẳng (Q ) 8x − 6y + 5z − 41 = Gọi tọa độ tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng d I ( t + 3,3t + 4,2t + ) Vì I nên ta thuộc ( P ) phương trình sau: có ( t + 3) + ( 3t + ( 2t + ) =0⇔ − 26 ⇔ 19 − , , 15 15 Trên d d’ ta lấy điểm A (3,4,6 ) ,B ( −1, −4,5) Khi tính tọa độ vecto AB = ( −4, −8, −1) ta tính khoảng cách d d’ dựa công thức:    u1 , u2 ( −8 )( −4 ) + ( −8 ) + ( −1)( −5) 11 =   = 2 5 R=h= u , u −8 + + −5 M M ( ) ( ) 2  Vậy ta có phương trình mặt cầu thỏa mãn đề 19 + x− y+ Bà 15 + z 38 − = 15 121 125 i 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x2 + y + z2 − 4x − 4y − 4z = điểm A ( 4,4,0 ) Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B thuộc ( S ) , tam giác Giải hệ phương trình ẩn ta tìm tọa độ điểm B Khi ta cần tìm tích có hướng OA OAB O gốc tọa độ OB Phân tích có Để viết phương trình mặt phẳng ( OAB) với điểm A O biết tọa độ việc lại tìm tọa độ điểm B Khi đó, để có tọa độ điểm không gian ta cần tìm ràng buộc liên quan với điểm toán không khác “điểm B thuộc ( S ) , tam giác phương trình mặt phẳng ( OAB) OAB đều” Điểm B thuộc ( S ) cho ta biết ràng buộc tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình mặt cầu ( S ) : Lời giải 2 ( b − 2) + ( b − 2) + − 2) = 12 Ta viết (b lại phương trình mặt cầu Ràng buộc tam giác OAB tương đương với phương trình là: O B = O A (S) dạng: ( x − 2) + ( y − 2) + ( z − 2) = 12 Ngoài ra, tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình mặt cầu nên A thuộc ( S ) Gọi tọa độ điểm B B ( b1 ,b2 ,b3 ) Theo đề ta có hệ phương trình sau: 2 B∈( S ) ( b − 2) + − 2) + − 2) = 12 (b (b 2 OB = OA ⇔ AB = OA 2 2 2 b +b +b =4 +4 +0 2 2 2 –+ (b –4= + + (b ) + b 2 b1 + b2 + b3 − 4b1 − 4b2 − 4b3 = 2 32 − 4b1 − 4b2 − 4b3 = ⇔ b1 + b2 + − + 32 = ⇔ 32 − 8b1 8b 32 b3 = 32 − 8b2 = b +b + b − 8b [ 2 2 b +b + b = 32 3 b +b +b =8 b =4 3 ⇔ b1 + b2 = ⇔ b1 = − b2 b + b + b = 32 − b ( ) + + = 32 2 b 2 2 2 b =4 0, b = b ⇔ b =4−b ⇔ 1 = 4, b = b = 4, = 0, b = b b =0 B ( 0, 4, ) ⇔ B ( 4,0, ) • b2 = Khi B ( 0,4,4 ) ta có OA = ( 4, 4,0 ) ,OB = ( 0, 4, ) suy vecto pháp tuyến mặt phẳng ( OAB)   OA,OB = 0 4 , 4 = (16, −16,16 ) , 0 Nên phương trình mặt phẳng ( OAB ) có dạng: x − y + z + d = Vì qua điểm O ( 0,0,0) nên d = ta phương trình OAB là: x − y + z = • Khi B ( 0,4,4 ) ta có OA = ( 4, 4,0 ) ,OB = ( 4,0, ) suy vecto pháp tuyến mặt phẳng ( OAB )  00 4  = (16, −16, −16 ) , OA,OB = 04 4 Nên phương trình mặt phẳng ( OAB) có dạng: x − y − z + d = Vì qua điểm O ( 0,0,0) nên d =0 ta phương trình OAB là: x − y − z = Vậy phương trình mặt phẳng ( OAB) thỏa mãn đề x − y + z = x − y − z = Trước sang phần mới, em dành chút thời gian đọc suy ngẫm câu chuyện sau nhé… CHO ĐI VÀ NHẬN LẠI Một hôm, sinh viên trẻ có dịp dạo với giáo sư Vị giáo sư thường sinh viên gọi thân mật tên “người bạn sinh viên” thân thiện tốt bụng ông học sinh Trên đường đi, hai người bắt gặp đôi giày cũ nằm đường Họ cho đôi giày nông dân nghèo làm việc cánh đồng gần bên, có lẽ ông ta chuẩn bị kết thúc ngày làm việc Anh sinh viên quay sang nói với vị giáo sư: “Chúng ta thử trêu chọc người nông dân xem Em giấu giày ông ta thầy em trốn vào sau bụi để xem thái độ ông ta không tìm thấy đôi giày.” Vị giáo sư ngăn lại: “Này, anh bạn trẻ, đừng đem người nghèo để trêu chọc mua vui cho thân Nhưng em sinh viên giả, em tìm cho niềm vui lớn nhiều nhờ vào người nông dân Em đặt đồng tiền vào giày ông ta chờ xem phản ứng ông ta sao.” Người sinh viên làm lời vị giáo sư dẫn, sau hai trốn vào sau bụi gần Chẳng chốc người nông dân xong việc băng qua cánh đồng đến nơi đặt giày áo khoác Người nông dân vừa mặc áo khoác vừa xỏ chân vào giày cảm thấy có vật cứng cứng bên trong, ông ta cúi xuống xem vật tìm thấy đồng tiền Sự kinh ngạc bàng hoàng rõ gương mặt ông Ông ta chăm nhìn đồng tiền, lật hai mặt đồng tiền qua lại ngắm nhìn thật kỹ Rồi ông nhìn khắp xung quanh chẳng thấy Lúc ông bỏ đồng tiền vào túi, tiếp tục xỏ chân vào giày lại Sự ngạc nhiên ông dường nhân lên gấp bội, ông tìm thấy đồng tiền thứ hai bên giày Với cảm xúc tràn ngập lòng, người nông dân quì xuống, ngước mặt lên trời đọc to lời cảm tạ chân thành Ông bày tỏ cảm tạ bàn tay vô hình hào phóng đem lại quà lúc, cứu giúp gia đình ông khỏi cảnh túng quẫn, người vợ bệnh tật không chăm sóc đàn thiếu ăn Anh sinh viên lặng người xúc động, nước mắt giàn giụa Vị giáo sư lên tiếng: “Bây em có cảm thấy vui lúc trước em đem ông ta làm trò đùa không?” Người niên trả lời: “Giáo sư dạy cho em học mà em không quên Đến em hiểu ý nghĩa thật câu nói mà trước em không hiểu: “Cho hạnh phúc nhận về“ III Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng III.1 Mặt cầu cắt mặt phẳng Mặt cầu mặt phẳng không gian Oxyz tương tự đường tròn đường thẳng mặt phẳng Oxy để xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng ta làm hoàn toàn tương tự mặt phẳng Oxy Để chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) ta cần chứng minh khoảng cách từ tâm I mặt cầu ( S ) đến mặt phẳng ( P ) nhỏ bán kính mặt cầu Hơn nữa, ta có hệ thức lên hệ bán kính R mặt cầu ( S ) , bán kính r đường tròn giao tuyến ( C ) khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( P ) : 2 I/ 2P R =r +d ( ) Đó công thức cần đủ cho dạng tập này, ta thử áp dụng với tập Bài 7: (A 2009) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y − z − = mặt cầu ( S ) : x2 + y + z2 −2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn Phân tích Trước hết, để chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu (S ) ta phải tìm bán kính mặt cầu, tọa độ tâm2 I, cách viết 2lại phương trình mặt cầu dạng tắc: ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 25 Đồng nghĩa với việc tọa độ tâm I I (1,2,3) bán kính R = Ngoài ra, ta phải tính khoảng cách từ tâm I (1,2,3) đến mặt phẳng ( P ) sau: 2.1 − 2.2 − − 2 dI/ ( P) = +2 +1=3 Từ đó, so sánh thấy R > dI/ ( P) nên suy mặt phẳng cắt mặt cầu Tiếp theo, ta áp dụng công thức 2 I/ 2P R = r + d ( ) ta hoàn toàn tính r = Để xác định tâm H đường tròn giao tuyến, ta tìm hình chiếu tâm I mặt cầu lên mặt phẳng ( P) hình chiếu tâm H Trước hết, ta xác định đường thẳng qua tâm I vuông góc với ( P ) , tức đường thẳng nhận vecto pháp tuyến mặt phẳng ( P ) làm vecto phương từ suy phương trình tham số đường thẳng x = + 2t y =2 Tiếp theo, cần giải hệ phương trình phương trình đường thẳng − 2t z = phương −t trình mặt phẳng ( P ) , nghiệm tìm tọa độ tâm đường tròn Lời giải 2 Ta viết lại phương trình mặt cầu dạng ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 25 suy tâm bán kính mặt cầu: I (1,2,3) ,R = Khoảng cách từ tâm I (1,2,3) đến mặt phẳng ( P ) là: 2.1 − 2.2 − − 2 = dI/ ( P) +2 +1=3 Vì = dI/ ( P) < R = nên mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng ( P ) theo đường tròn có bán kính: 2 r = R − dI/ P( ) = 2 −3 =4 Đường thẳng d qua điểm I vuông góc với mặt phẳng ( P ) , tức nhận vecto pháp tuyến ( P ) làm vecto phương nên có phương trình : x =1+ 2t y =2 − 2t z=3 −t Khi đó, tọa độ tâm hình tròn giao tuyến nghiệm hệ phương trình sau: x = + 2t y = − 2t ⇔ =3−t =3−t (1 + 2t ) − ( − 2t ) − (3 − t ) − = 2x − 2y − z x = + 2t y = − 2t −4=0 x = + 2t x=3 y = − 2t ⇔ ⇒ y = ⇒H (3,0,2) =3−t z=2 zt = Vậy tọa độ tâm bán kính hình tròn giao tuyến H (3,0,2) r = Bài 8: d: x−1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 2z − = đường thẳng y−1 z−2 = = Gọi A giao điểm d ( P ) Tìm tọa độ điểm M∈d cho mặt cầu tâm M, bán kính MA −1 cắt mặt phẳng ( P ) theo đường tròn có bán kính Phân tích Trước hết, rõ ràng ta tính tọa độ giao điểm d ( P ) cách giải hệ phương trình sau: x − y + 2z − = x−1 y−1 z = = −2 [ −1 y =3 ⇔ x = ⇔A ( 2,3,1) z=1 Tiếp ta gọi độ điểm M∈d M ( t + 1,2t + 1, −t + 2) Và mặt cầu cắt mặt phẳng ta ( P ) thìtheo, có tọa hệ thức: [...]... bụi trong không khí Điểm là những thứ ta sẽ thu được khi băm nhỏ vật chất đến vô cùng và giải chúng khắp không gian v.v… 2.Biểu diễn: Trong hình học giải tích Oxy, chúng ta gặp một dạng biểu diễn của điểm với một cặp số (x;y) thuộc  Thêm một thành phần biểu diễn là chúng ta thêm một chiều cho điểm, trong hình giải tích không gian chúng ta thêm một thành phần nữa: z Một điểm trong không gian sẽ được... II: Các bài toán về điểm A.Lý thuyết trọng tâm 1.Khái niệm Khái niệm về điểm: Chúng ta không có một khái niệm cụ thể nào, nó là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa (trích Wikipedia) Khi học về toán giải tích không gian, điểm lại là cơ sở để xây dựng các khái niệm khác Để giải quyết những bài tập về hình không gian, chúng ta cần một trí tưởng tượng đủ tốt, đừng lo nếu bạn chưa có, nó sẽ đến trong... cho để giải một số bài toán bạn sẽ gặp sau này B.Các dạng bài thường gặp 1.Các bài toán sử dụng vector để tìm điểm Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;b;c), B(m,n,p) Tìm điểm P sao cho (a,b,c,m,n,p,s ∈  ) AP = sBP Lời giải: Nhận xét: khi bắt đầu làm những dạng bài cho hình học giải tích không việc nắm chắc kiếnđộ thức về vector là không thểvà thiếu Chúng ta sẽ bắt với một bàigian, tập... hình giải tích không gian Trong các bài tập tiếp theo, mình sẽ ưu tiên sử dụng cách biến đổi sau hơn cách đầu( không có lí do gì cả, mình thích vậy thôi  ) Trên là công thức tổng quát cho dạng bài với 2 điểm (tuy nhiên mình khuyên bạn không nên cố nhớ công thức trên vì khả năng áp dụng của nó là không cao, thay vào đó hãy thử làm vài bài luyện tập bên dưới đây) Bài 2 (luyện tập): Trong không gian. .. “ăn gian một bước bằng cách tham số hóa tọa độ điểm H và sử dụng tích vô hướng  Khi mở rộng ra giải tích không gian, chúng ta thường hạn chế việc viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm nếu có thể hạn chế được (như bạn có thể đã/sẽ thấy, phương trình viết đường thẳng trong không gian tọa độ 3 chiều so với 2 chiều…khó hơn  )  Bài tập này khác với những bài trên ở chỗ điểm bạn tìm được không. .. + y CA y - y CA y B + zCA z zCA zB = 0  Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn bậc nhất (bằng máy tính) chúng ta tìm được tọa độ điểm H Nhận xét 2: Bạn sẽ sớm cần quen với việc sử dụng tích vô hướng và tích có hướng trong giải tích không gian Đây mới chỉ là một bài tập mở đầu, để nắm vững dạng này , chúng ta sẽ làm một số bài luyện tập Bài 8 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2;1;1);... điểm A(1;0;2), B(3;4;5), C(1;2;3) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải: Nhận xét: Bài toán tìm tọa độ trọng tâm là một trong những bài toán có lời giải một dòng trong hình giải tích phẳng, tuy nhiên điều đó vẫn đúng trong hình học giải tích không gian ? Tất nhiên  Với việc sử dụng vector, chúng ta có một tính chất bất biến: GA +GB+GC = 0  1     3 OA + OB + OC   ⇔ OG = (  Và nếu... vector, tacác c đoạn thể quyết được bàiđược toán điểm khác liên quan đến tổng bình phương thẳng, mấu chốtnhiều cần Nếu đểvào tưởng tượng vịđộ trídài của điểm M giải trong không gian :là nắm B A I M P Bài 12( luyện tập) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; 6; 2); B(-1;4;2) và đường x = -1 - t thẳng d: y 2 Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho MA + MB = 2- t 2 nhỏ nhất Giải z= 3+ 2t Nhận... chúng ta sẽ dựa trên tích vô hướng Mình sẽ nhắc sơ lại một chút về tích vô hướng mà chúng ta đã học: Với 2 vector a(x a , y a , za ) , b(x b ; y b ;z b ) , chúng ta có tích vô hướng của a và b : a�⃗ �b⃗ = xa xb + ya yb + za zb Tích vô hướng của 2 vector cho chúng ta một đại lượng vô hướng (tức là không biểu thị hướng, chỉ biểu thị độ lớn) Chúng ta sẽ sử dụng một tính chất của tích vô hướng trong bài... của mình sau mỗi lần gặp thất bại Thời gian không chờ đợi một ai nhưng không bao giờ là quá muộn Khởi đầu hay kết thúc là do chính bạn Biết yêu thương! Yêu thương vô điều kiện Bạn đã bao giờ làm được điều đó chưa? Hay lúc nào cũng chỉ muốn người khác yêu mình, muốn "nhận" tất cả mà không muốn "cho" đi chút gì? Cuộc sống thật kỳ diệu, không ai có tất cả nhưng cũng không ai mất tất cả Những nỗi đau sẽ