Trích đoạn Cơng phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Tác giả : NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN Giá bìa: 179.000đ Đặt sách Lovebook phiên 2.0: htps://goo.gl/XeHwk5 Giải đáp thắc mắc sách Lovebook: htp://vedu.vn/forums/ Tài liệu Lovebook chọn lọc: htp://tailieulovebook.com Kênh giảng Lovebook: htps://goo.gl/OAo45w Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG LOVEBOOK.VN | LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH � NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN � � �� (T3/2015) � TĂNG HẢI TUÂN – NGUYỄN VĂN HƯỞNG � � �� (T11/2015) II- IỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN NGUYỄN VĂN HƯỞNG Sinh ngày: 21/02/1995 Quê quán: Tứ kỳ - Hải Dương Facebook: htps://www.facebook.com/mathkudo Học vấn:  Cựu học sinh Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương  Giải nhì HSG quốc gia mơn Tốn 2013  K58 KSTN Điều khiển tự động – Đại học Bách khoa Hà Nội  Giải Olympic Sinh viên môn Tốn 2014 • Sở thích: Ăn mì, đá bóng • Câu nói u thích: Tị mị tố chất thành cơng mày mị nhân tố thành cơng • • • • Nguyễn Văn Hưởng TĂNG HẢI TUÂN Sinh ngày: 20/09/1993 Quê quán: Thành phố Thái Bình Hiện nay: Đang sinh sống làm việc Hà Nội Điện thoại, Zalo: 0963 495 209 Học vấn:  Tốt nghiệp loại Giỏi, hệ cử nhân chất lượng cao, chun ngành Sư phạm Vật lí – khóa 61, trường Đại học Sư phạm Hà Nội  Đạt điểm 10 bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lí  Giải sinh viên nghiên cứu khoa học Khoa Vật lí 2015  Tổ trưởng tổ Vật lí cơng ty Vedu • Facebook: htps:// facebook.com/tanghaituan.vlpt • Sáng lập Diễn đàn Vật lí phổ thơng vatliphothong.vn • • • • • Tăng Hải Tuân • Sáng lập trang Học trực tuyến học sinh Việt Nam: hoctructuyen.tv • Tác giả  Công phá đề thi THPT Quốc gia mơn Vật lí  Cơng phá Bất đẳng thức • Đánh giá, nhận xét đề thi THPT Quốc gia môn Tốn, mơn Vật lí cho báo Zing.vn  htp://news.zing.vn/G oi-y-loi-giai-monToan-THPT-Quocgia-post554511.html  htp://news.zing.vn/D e-thi-va-loi-giai-goiy-mon-Vat-lypost555119.html LỜI MỞ ĐẦU “To be successful, you’ve got to be willing to fail” Đây câu nói tiếng, chúng tơi viết có mục đích mình! Khi học bất đẳng thức, cần chuẩn bị tâm lý có tốn khơng thể tự thân giải Cuốn sách viết ra, tổng hợp tất kinh nghiệm học nghiên cứu bất đẳng thức Đối tượng đọc sách là: bạn đam mê mơn Tốn, bạn học sinh chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi, thi chun, sách cịn dùng làm tư liệu cho thầy cô giảng dạy, đặc biệt dành cho sĩ tử khao khát điểm 10 mơn Tốn đại học học sinh ấp ủ huy chương quốc gia, quốc tế Trước vào tìm hiểu sâu sách này, mong muốn bạn hiểu “mạch đập sách” mà viết ra: Phần I: Hai bất đẳng thức cổ điển Đây bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức CauchySchwarz Chúng ta học chúng từ lớp 10 Điều chứng tỏ vai trò hai bất đẳng thức lớn Chính mà chúng tơi đặt phần sách Tiếp theo ba phần quan trọng dành cho bạn ôn thi đại học Ban đầu, không định viết theo phong cách chia “phương pháp giải”, với mục đích dành cho bạn sĩ tử ôn thi, nên viết thành ba phần: Phần II: Bất đẳng thức biến Phần III: Bất đẳng thức hai biến Phần IV: Bất đẳng thức ba biến Ngồi ra, chúng tơi thêm phần V: “Bất đẳng thức lượng giác” bất đẳng thức xuất cách lâu Tại lại đưa vào sách thì: bạn đọc đến đó, bạn hiểu Phần VI: Phương pháp tam thức bậc hai Phần này, muốn giới thiệu cho bạn phương pháp hiệu dễ sử dụng Lời giải sử dụng phương pháp “trong sáng” sử dụng kiến thức cấp THCS mà giải số tốn khó cách dễ dàng Phần VII: Vùng biển chưa khai thác Phần này, mong bạn đọc qua, tham khảo thêm số tư tưởng mà chưa xuất đề thi đại học Tuy mang tư tưởng “chuyên sâu” đưa vào đề thi đại học sau Đối với học sinh thi đại học, sách có điểm lạ so với sách bất đẳng thức khác? Bạn đọc yên tâm rằng, tập sách không lời giải đơn mà cịn có phân tích, suy luận, nhận xét cách sâu sắc Điểm hay sách với học sinh thi đại học nằm 132 tốn tuyển chọn phân tích giải phần VIII Chúng tin sau đọc xong sách này, trình độ bất đẳng thức bạn cải thiện rõ rệt Đối với học sinh chuyên, đọc phần trên, sau đọc, bạn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quận Muốn tìm hiểu sâu hơn, để phục vụ cho thi cấp quốc gia, khu vực cao quốc tế, chúng tơi cố gắng tìm hiểu sâu, rộng mảng bất đẳng thức: Phần IX: Đào sâu mở rộng bất đẳng thức hay dùng Phần X: Một số bổ đề bất đẳng thức hoán vị Phần XI: Những phương pháp toán đại Phần XII: Tổng hợp đề thi chọn HSG quốc gia, chọn HSG tỉnh tỉnh nước Phần XIII: Tuyển tập tổng hợp tốn khó Ngồi ra, chúng tơi trình bày số phụ lục PHỤ LỤC I : Sử dụng bất đẳng thức số tốn Vật lí Ở phần này, bạn thấy ứng dụng bất đẳng thức số toán Vật lí tiêu biểu PHỤ LỤC II : Một số từ ngữ Tiếng Anh hay dùng liên quan đến bất đẳng thức Ở phần này, cung cấp cho bạn đọc số từ ngữ Tiếng Anh để bạn đọc đọc hiểu tài liệu Bất đẳng thức Tiếng Anh cách đơn giản PHỤ LỤC III : Tiểu sử số nhà Toán học đặt tên cho bất đẳng thức kinh điển Mặc dù dành nhiều tâm huyết cho sách, song sai sót điều khó tránh khỏi Để hồn thiện sách, chúng tơi cần đến góp ý bạn đọc, dĩ nhiên, chúng tơi cảm ơn bạn đọc góp ý dẫn tận tình để tái lần sau tốt Mọi ý kiến đóng góp xin gửi hòm thư tác giả: Nguyễn Văn Hưởng mathkudo@gmail.com Tăng Hải Tn tanghaituan@vatliphothong.vn Ngồi ra, chúng tơi mong trao đổi, bàn luận bạn sách nói riêng Bất đẳng thức nói chung trông qua diễn đàn trao đổi, sử dụng sách vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin trân trọng cảm ơn! Thay mặt tác giả Nguyễn Văn Hưởng LỜI CẢM ƠN Cuốn sách hoàn thiện gần tháng Đó khoảng thời gian dài mà người số kiên trì làm việc Để vững vàng suy ngẫm đưa ý tưởng, lựa chọn đắn nhất, cần nhiều giúp đỡ từ người Động lực lớn tạo ra, nói người sinh thành Cha mẹ người không nuôi nấng chúng tơi nên người, mà cịn người giúp chúng tơi nhìn chân trời Mặc dù có lúc hồn cảnh khó khăn, cha mẹ ln tạo điều kiện tốt cho học tập phát triển Thông qua sách này, muốn gửi lời trực tiếp đến cha mẹ mình: “Bố mẹ, yêu bố mẹ nhiều lắm!” Những người ảnh hưởng tới sách bất đẳng thức này, người thầy dìu dắt học THCS THPT Thầy Nguyễn Dũng cô Ngô Thị Hải (hai giáo viên trường Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương) dìu dắt, tạo cho – Nguyễn Văn Hưởng – tảng vững suốt ba năm cấp ba Thầy Bùi Đình Thân, (giáo viên mơn Tốn trường THCS Lương Thế Vinh – Thành phố Thái Bình) ln động viên, chia sẻ, góp ý quý báu kiến thức cách sống, làm để trở thành người thầy tốt với – Tăng Hải Tuân – sinh viên Sư phạm trường phấn đấu trở thành người thầy tốt Em cảm ơn Thầy nhiều!!! “Hi vọng thầy cô thành công nghiệp tạo nhiều lớp trẻ tài phục vụ cho đất nước” Lời cảm ơn xin gửi tới: Thầy Dương Đức Lâm (Đại học Sư phạm Hà Nội - thầy kèm học sinh dự thi IMO 2014 bất đẳng thức) cung cấp cho tài liệu quý Anh Võ Quốc Bá Cẩn, anh Trần Quốc Anh – người anh truyền cảm hứng Bất đẳng thức cho hệ khác học Bất đẳng thức, cho chúng tơi góp ý, đóng góp q báu để sách hoàn thiện Anh Lê Khánh Sỹ (phường Tân An, tỉnh Long An) nhiệt tình góp ý, giúp đỡ, bảo chúng tơi q trình tìm tịi khám phá Bất đẳng thức Anh Lương Văn Thiện, bạn Nguyễn Duy Hưng, Nguyễn Đức Long (những học sinh đạt giải cao kì thi quốc gia, quốc tế) bổ sung góp ý cho sách phong phú Ngồi ra, chúng tơi xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Minh Hiền – học sinh lớp 11 – THPT Gia Viễn A, Ninh Bình giúp chúng tơi chỉnh sửa, hồn thiện hình thức thảo Và đặc biệt, chúng tơi khơng thể qn anh Lương Văn Thùy giám đốc công ty VEDU động viên hỗ trợ q trình thực sách Nếu khơng có hỗ trợ đặc biệt từ anh Lương Văn Thùy nhà xuất sách khơng thể đến tới tay bạn đọc Anh người gợi mở - không sách chúng tơi mà cịn nhiều sách khác - dẫn tận tình để sách vươn lên tầm cao mới, truyền cảm hứng cho người đọc Lời cảm ơn cuối chúng tơi muốn gửi tới, bạn đọc sách Hi vọng sách giúp bạn đọc tìm nhiều mẻ độc đáo, từ yêu bất đẳng thức toán học Hi vọng hơn, có dịp bình luận, chia sẻ nhiều điều lí thú tốn học Một lần nữa, đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! MỤC LỤC PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Bất đẳng thức AM-GM II.Các bất đẳng thức phụ hay dùng III Một số tốn sử dụng AM-GM thơng thường A Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM 2 2 B Sử dụng đẳng thức (a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ca) C Sử dụng bất đẳng thức phụ D Vài bất đẳng thức mạnh bất đẳng thức AM-GM $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Kĩ dự đoán điểm rơi II.Kĩ biến hóa, thứ tự biến $3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU I Kĩ thuật AM-GM ngược dấu II.Đánh giá AM-GM mẫu CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ I Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz II.Một số dạng hay dùng đề thi đại học III Một vài ứng dụng $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ I Làm quen với dạng biểu diễn khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz II.Kĩ thuật chọn điểm rơi III Kĩ thuật thêm bớt IV Kĩ đưa đại lượng giống V Kĩ đổi biến số VI Kĩ nhân, chia đại lượng vào tử mẫu VII Kết hợp nhiều kĩ PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN $1: TƯ TƯỞNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN $2: KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN $3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN $2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DO TÍNH ĐỐI XỨNG $3: BẤT ĐẲNG THỨC CÙNG BẬC VỚI HAI BIẾN $4: MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN $1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN $2: KĨ NĂNG ĐƯA VỀ MỘT BIẾN I Kĩ thuật dồn biến II.Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đẳng thức phụ ý tưởng nhỏ PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Dạng sử dụng loại bất đẳng thức II.Phương pháp dồn biến bất đẳng thức lượng giác PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Một số tính chất tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tam thức bậc để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 13 13 13 13 13 15 15 18 21 24 32 32 42 55 55 60 68 68 68 68 69 74 74 76 81 84 87 89 91 102 102 118 125 129 129 135 139 142 144 144 157 157 165 178 181 185 192 192 193 Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức tam giác PHẦN VII: “VÙNG BIỂN” CHƯA ĐƯỢC KHAI THÁC $1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÊN BIẾT I BÀI TOÁN I: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN II.BÀI TOÁN II: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV III TOÁN III : TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR IV TOÁN IV: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER V TƯ TƯỞNG BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG KHAI TRIỂN ABEL VI THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG SOS $2: MỘT PHƯƠNG PHÁP “LẠ” PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” $2: 132 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI $3: TUYỂN TẬP CÁC CÂU BẤT ĐẲNG TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC 2005-2015 $4: BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG PHẦN IX: ĐÀO SÂU VÀ MỞ RỘNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG $1: PHƯƠNG PHÁP SOS SUY RỘNG Phương pháp S.S Phương pháp S.O.S hoán vị $ 2: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ NHỮNG MỞ RỘNG I Bất đẳng thức Jensen tổng quát II.Bất đẳng thức Karamata III đẳng thức Muirhead $3: BẤT ĐẲNG THỨC VORNICU-SCHUR PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ PHẦN XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC I Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức tích phân A Cơ sở lý thuyết B Bài tập minh họa II.Sử dụng dãy số để chứng minh số bất đẳng thức ba biến đối xứng $3: BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN I Một số kĩ thuật đặc trưng với bất đẳng thức bốn biến II.Bất đẳng thức n biến PHẦN XII: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG TRÊN CẢ NƯỚC PHẦN A ĐỀ BÀI PHẦN B LỜI GIẢI PHẦN XIII: TUYỂN TẬP VÀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TỐN KHĨ $1: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BÀI THI TST (2000-2014) $2: BÀI TẬP TỔNG HỢP $3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN PHỤ LỤC I SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN VẬT LÍ PHỤ LỤC II MỘT SỐ TỪ NGỮ TIẾNG ANH HAY DÙNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ LỤC III TIỂU SỬ MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC ĐƯỢC ĐẶT TÊN CHO 202 222 226 226 226 232 BÀI 237 BÀI 243 247 KĨ 250 253 263 263 270 367 385 390 390 398 403 406 406 408 Bất 411 413 418 440 440 448 448 448 449 453 457 457 465 478 478 482 510 510 542 610 613 619 •Khảo sát hàm f ( x ) tập mà đề cho (giả sử x ∈ a; b ) •Từ f ( x ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x ) suy tập giá trị m Đôi để thỏa mãn yêu cầu toán a;b a;b ta phải lập bảng biến thiên để thấy rõ, ví dụ tiêu biểu (có hai nghiệm) •Kết luận Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x + m − = x Phân tích Đây tốn dễ Tuy nhiên theo cách điều kiện x ≥ −m bình phương giải phần sau, bạn gặp rắc rối phải xét hàm số −m ; +∞ Bài nhắc nhở lại bạn cách giải phương trình vơ tỉ Lời giải Ta có: 2x + m − = x ⇔2x + m = x + 2x + m = ( x + )2 ⇔ m = x + 4x + ⇔ x ≥ −3 x+3≥0 Xét f ( x ) = x + 4x + −3; +∞) Ta có ( x ) = 2x + ⇒f ′ ( x ) = ⇔x = −2 Lập bảng biến thiên cho f ( x ) −3; +∞) suy ra: f ' ≥ m f ( x ) = f ( −2 ) = x∈ −3;+∞) Kết luận: m ≥ thỏa mãn đề Nhận xét: Lưu ý tốn cách giải phương trình dạng ( ) Ta có: 2k ( ) f x= g x ⇔ ) f (=x )g ( x ) 2k 2k f (x) = g (x) g (x) ≥ Không dừng lại biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có tập chứa tham số Lưu ý giải bất phương trình, ta có: f ( x ) ≥ m có nghiệm a; b ⇔m ≤ f ( x ) f ( x ) ≤ m Có nghiệm a; b ⇔m ≥ max f ( x ) a;b a;b Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x − 3x + ≤ m Lời giải CÒN NỮA… ( ) x− x−1 PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC VỚI HAI BIẾN SỐ Bất đẳng thức hai hay nhiều biến số gần xuất thường xuyên đề thi đại học Và bất đẳng thức hai biến đơn giản bạn học tốt phần khác toán Kinh nghiệm gặp bất đẳng thức hai biến số gì? Khơng phải với hai biến số thơi đâu, ba biến Ln có hai mục tiêu chính: Hoặc làm giảm biến dùng đạo hàm, sử dụng loại bất đẳng thức để đánh giá đồng thời chúng Nói đơn giản thực khơng dễ Một tốn ln có nhiều phương pháp giải, bạn tự đặt câu hỏi người ta hình thành phương pháp chưa? Thì với bất đẳng thức hai biến, đại đa số hình thành từ cách giải hệ phương trình hai ẩn số? Vì vậy? Chúng ta tìm hiểu chúng xem nhé! $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN Tư tưởng chung: Từ điều kiện toán rút biến theo biến kia, tìm tập xác định biến xét hàm số tập xác định Bài 1: Cho x,y ∈  thỏa mãn: y ≤ 5, x − 5x = y + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: P = ( x + y )( x + ) Phân tích | Trước giải này, ta chưa nghĩ vội Ta thử đặt câu hỏi hệ { nào, x − 5x = y + ( x + y )( x + ) = m giải thấy phương trình có bậc y nên rút y theo x Tức phương pháp Lời giải Từ giả thiết ta suy ra: x − 5x − = y − ≤ ⇔( x + 1)( x − ) ≤ ⇔− ≤ x ≤ ( ) Ngoài ra: P = x + x − 5x − ( x + ) = f ( x ) Với f ( x ) = x − 17x − 1, − ≤ x ≤ Ta có 17 f ′ ( x ) = 3x − 17; f ′ ( x ) = ⇔ x=± Lập bảng biến thiên cho f x ( ) −1; f (x) ≥ f ta thấy − 17 = − − 34 51 f ( x ) ≤ f ( ) = 113 Ta có P = 113 x = 6, y = nên giá trị lớn P 113 −9 − 34 51 x = − 51 14 + 51 nên giá trị nhỏ P −9 − 34 51 P=  ,y= Bài 2: Cho x + 2y = 2, x, y ∈ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = x + xy + y −1;1 Lời giải Ta có x = − 2y, x ∈ −1;1 ⇒y ∈1 ; Mà y ∈ −1;1 ⇒y ∈ ;1 Ta có 2 P = ( − 2y )2 + ( − 2y ) y + y = f ( y ) Với f ( y ) = 3y − 6y + , 2 ≤ y ≤ Ta có f ′ ( y ) = 6y − ⇒f ′ ( y ) = ⇔y = Lập bảng biến thiên cho f(y) f ( y ) ≥ f ( 1) = ta có ;1 f (y) ≤ f = Khi x = 0, y = P = nên giá trị nhỏ P 7 P = nên giá trị lớn P  4 Khi x = 1, y = Bài Cho x, y số thực thỏa mãn xy − x = y, y ∈ ; Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = ( x + y )( 3x − 35 ) Lời giải Chúng ta sử dụng tư tưởng rút biến theo biến lại Từ giả thiết ta suy y= x x−1 3≤x≤4 − 35 x Ta có f ′ (x) = P = −368 ( x − 1) ( f) =x ≥( f) 3x x−1 2x ( x − )( 3x − ) Do đó, f(x) nghịch biến [3;4] nên Khi x = 4, y = P = f (x) = ⇒f ′ ( x ) < 0,∀x ∈ ( 3; ) −368 f ( x ) ≤ f ( ) = nên giá trị nhỏ P −117 −368 3 3 P = −117 nên giá trị lớn P −117  Khi x = 3, y = Bài : Cho x, y số thực thỏa mãn ( xy + x − 1) = 2y , y ≤ −21 ,x≤ 20 biểu thức P= 3 3x – 2+ ( − 5x ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ − 5x − y+1 Phân tích Đại lượng y biểu thức P xuất nên ta nên rút y theo x Lời giải Ta có ( xy + x − 1) = 2y ⇔3x ( y + 1) = ( y + 1) ⇔ y 3x − +1= 1 −21 ⇒−6 ≤ x < , mặt khác x ≤ ⇒− ≤ x ≤ Mà y ≤ 20 3 Thay vào biểu thức P ta có: Điều kiện y ≠ −1, x ≤ P = ( 3x − ) 3x − − 16 ( 3x − ) + ( − − 5x 5x ) − 5x − 48x + 32 P = f ( x ) = ( 3x − ) 3x − + ( − Với x ∈ −6; 5x ) ta có f ′ ( x ) = 12 3x − + 18 − 5x − 48 Ta có f ′ ( x ) = ⇔2 3x − + − 5x − =0 ⇔2 ( ) ( 3x − + + 3( x + 2) ⇔ ( ) − 5x − = ) + 3 3x − 2 − 3x − + −5 ( x + ) − 5x + =0 ⇔3 ( x + ) − Vì −6 ≤ x ≤ +4 ⇒ ≤ < ≤ ( ) 3x − 2 − 3x − 5x =0 + ( ) 3x − 2 − 3x − + 12 − 5x + 4 f ′ ( x ) = ⇔x = −2 Lập bảng biến thiên Do cho f ( x ) −6; ta có f (≥x )f = 19 +26 39 f ( x ) ≤ f ( −6 ) = 752 + 60 20 Khi x = , y = −2 P = 19 + 26 39 nên giá trị nhỏ P 19 + 26 39 9 3 21 P = 752 + 60 20 nên giá trị lớn P 752 + 60 20 Khi x = −6, y = − 20 Nhận xét: Bài toán hay Hãy cảnh giác tập giá trị x; y trước xét hàm số Nó nhắc nhở ta cách giải phương trình vơ tỷ Trích Trích đoạn đoạn Cơng Cơng pháphá BấtBất đẳng đẳng thức thức – Phiên – Phiên bảnbản 2.0 2.0 Your Your dreams dreams – Our – Our mission mission 3x − = a, − 5x = b đưa hệ phương trình giải Đồng Ngồi cách giải trên, ta đặt thời nhắc nhở đạo hàm hàm phức hợp n m Tổng quát cho phương trình trên: k ax + b ± h cx + d = e ku ± hv = e n ax + b = u Phương pháp giải: Đặt m cx + d = v Giải hệ u, v Tìm x thử lại CỊN NỮA… Ta có hệ n m u −b v −d − =0 a c PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN $1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN Phương pháp để giải cho lớp tốn có dạng sau: Giả thiết cho: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) = 3m Yêu cầu chứng minh: g ( a ) + g ( b ) + g ( c ) ≥ 3α Tư tưởng chung phương pháp này: Dự đoán dấu “=” xảy khi: a = b = c = t Xét hàm số: H (x) = g (x) − k ( f ( x ) − m) + α Số k số nào? Mục đích xét hàm số H ( x ) gì? Thì bắt đầu tìm hiểu qua tốn sau: Bài 1: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của: a b c P= + + ( − a )2 (1 − b )2 ( − c )2 Phân tích lời giải Ta dự đoán dấu xảy a = b = c = Như với tư tưởng ta cần tìm số k để: a (1 a )2 ≥k a− + 3 =k a− 11− 3 + (* ) Để tìm k ta có suy nghĩ đơn giản biến đổi a tương đương 1bất đẳng thức (* ) : − ≥k a− (* ) ⇔ (1 a )2 3 ⇔− 1 a − ( a − 3) ≥k a− ( − a )2 ( * ⇔ 1a − 3 () − a) –k ≥ (1 − a )2 Khi phân tích tiếp ta có tư tưởng chọn k để biểu thức ngoặc đơn chứa k phân tích thừa số a − Khi đó, tựa có dạng m a − 3 ⇒k = 3 −1 1− Đến đây, ta việc thử lại (*) với k = =2 ≥ Ta có (* ) a ⇔ − (1 − a ≥ a) a + ⇔ 3−( − a a )2 a, b, c > 0, a + b + c = ⇒a < < (3 − 2a ) − Lưu ý Do đó, bất đẳng thức (* ) ≥0⇔ (1 − a) ≥ (1 − a) Như ta có ba bất đẳng thức sau: a (1 a) ≥ a4− b ( − b )2 c ( c )2 ≥ +2 ≥3 + b− 3 + c− − Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta thu 9 P ≥ ( a + b + c − 1) + = Đẳng thức xảy a = b = c = 4 Vậy giá trị nhỏ P 2 Do đó, theo tư tưởng ta phải tìm số k để: 1 −a≥k a − + −  Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của: 1 P= + + −a−b−c a b c Phân tích Dự đốn dấu “=” tại: a = b = c = a 3 (* ) Không khác tư tưởng lắm.Ta cố gắng chọn k để có dạng: m a − (* ) ⇔ − − a− 1 ≥k a− a+ a ⇔a − 3 − a 3 −1−k a+ ≥0 ⇒k = −2 Lời giải Ta bắt đầu quay lại: (* ) ⇔ − a ≥ −2 a ⇔a − 3 − a a − 3 − −1+2 a + + ≥0 ⇔a − 2 3+ ≥0 a Bất đẳng thức cuối nên (* ) Do đó, ta có ba bất đẳng thức sau: − a ≥ − a − − a 3 T đ ó t a c ó + 3 c + ≥ + − P3 ≥ − − b c ( ≥ +3 3 = a − + b − + c − b − − Bài 3: (Trung Quốc): Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = ( 3 10 a + b + c b 3  Đẳng thức xảy a = b = c = Chứng minh rằng: − − ) ) − (a 5 +b +c ) ≥1 Lời giải Theo lối phân tích cũ, ta tìm k để: 10a5 − 9a ≥ k1 a − +1 10 –=k a− + (* ) − 3