Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Dạng Nguyên hàm lượng giác hàm có sinx, cosx Ví dụ 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x dx b) I = ∫ cos5 x dx c) I = ∫ cos x dx Hướng dẫn giải: a) I = ∫ sin x dx = ∫ sin x.sin x dx = − ∫ (1 − cos x ) d ( cos x ) = − cos x + cos3 x + C b) I = ∫ cos5 x dx = ∫ cos x.cos x dx = ∫ (1 − sin x ) d ( sin x ) = ∫ (1 − 2sin x + sin x ) d ( sin x ) = sin x sin x + C  → I = sin x − sin x + + C 3 c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được: = sin x − sin x + 1 + cos x  1  + cos x  cos x = ( cos x ) =   = (1 + 2cos x + cos x ) =  + 2cos x +  = + cos x + cos x 4    3x 1 3  Khi I = ∫ cos x dx = ∫  + cos x + cos x  dx = + sin x + sin x + C 8 32 8  Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: cos x dx sin x a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx sin x + 3sin x + cos x dx dx c) I = ∫ d) I = ∫ sin x + sin x cos3 x Hướng dẫn giải: cos x dx d (sin x) a) Ta có I1 = ∫ = sin x + 3sin x + ∫ sin x + 3sin x + ( t + ) − ( t + 1) dt = dt − dt = ln t + + C = ln sin x + + C dt Đặt t = sin x  → I1 = ∫ =∫ ∫ t +1 ∫ t + t + t + 3t + sin x + ( t + 1)( t + ) sin x sin x.cos x dx sin x d (sin x) sin x d (sin x) dx = ∫ = − = ∫ − sin x ∫ sin x − cos x cos x t dt t2 −1 + 1  dt ( t + 1) − ( t − 1)  Đặt t = sin x  → I2 = ∫ =∫ dt = ∫  + =t+ ∫ dt =  dt = t + ∫ t −1 t −1 t −1 ( t + 1)( t − 1)  t −1  b) I = ∫ t −1 sin x − 1 sin x − = t + ln + C = sin x + ln + C  → I = sin x + ln + C t +1 sin x + sin x + dx dx dx sin x dx d (cos x) c) I = ∫ =∫ =∫ = ∫ =− ∫ 2 sin x + sin x 2sin x.cos x 4sin x.cos x sin x.cos x (1 − cos x ) cos x 2 dt (1 − t ) + t  dt dt  Đặt cos x = t  → I3 = − ∫ =− ∫ dt = −  ∫ + ∫ 2 2 (1 − t ) t (1 − t ) t 4 t − t  dt Mà = − + C1 t  1 1+ t  → I = −  − + ln dt (1 − t ) + (1 + t )  dt dt  1 + t  t 1− t ∫ − t = ∫ (1 − t )(1 + t ) dt =  ∫ + t + ∫ − t  = ln − t + C2 ∫t   + C  1 1 + cos x  Thay t = cosx vào ta I = −  − + ln  + C  cos x − cos x  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG d) I = ∫ Facebook: LyHung95 dx cos x dx d (sin x) =∫ = −∫ cos x cos x (1 − sin x )  ( t + 1) − ( t − 1)   1  = ∫ −  dt = ∫   dt =  t −1 t +1  ( t + 1)( t − 1)  Đặt t = sin x  → I = −∫ = dt (1 − t ) 2 = −∫ (t dt − 1)  1 ( t + 1) − ( t − 1) dt   1 dt dt 2dt 1 t −1  +∫ +∫ − +∫ − + ln ∫  = −  = −  + C 2  ( t − 1) t +1  ( t − 1)( t + 1)   t − t + ( t − 1)( t + 1)   t − t + ( t − 1) 1 1 sin x −  Thay t = sinx vào ta I =  − − + ln  + C  sin x − sin x + sin x +  Ví dụ 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: dx 4sin x dx a) I = ∫ b) I = ∫ sin x cos x + cos x Hướng dẫn giải: dx cos x dx d (sin x) a) I = ∫ = = sin x cos x ∫ sin x cos x ∫ sin x (1 − sin x ) Đặt t = sin x  → I5 = ∫ c) I = ∫ sin x dx cos3 x − t + (1 − t ) dt t dt dt d (1 − t ) = dt = + = − + ln t = − ln − t + ln t + C 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1− t t 1− t t (1 − t ) t (1 − t ) 1 Thay t = sinx vào ta I = − ln − sin x + ln sin x + C = − ln cos x + ln sin x + C = ln tan x + C 2 dx V ậy I = ∫ = ln tan x + C sin x cos x b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có: 4sin x 4sin x.sin x (1 − cos x ) sin x = = = (1 − cos x ) sin x = 4sin x − 2sin x + cos x + cos x + cos x 4sin x dx T I = ∫ = ∫ ( 4sin x − 2sin x ) dx = −4cos x + cos2 x + C  → I = −4cos x + cos2 x + C + cos x sin x dx d (cos x) c) I = ∫ = −∫ cos3 x − cos3 x − dt dt Đặt t = cosx ta I = − ∫ = −∫ (t − 1)(t + t + 1) t −1 Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta ( t − 1) ( t + t + 1) = 3t − ( t + t + 1) + ( t − 1) −6 ( t − 1) ( t + t + 1) 2 3t − ( t + t + 1) + ( t − 1) 3t dt dt dt Khi I = ∫ dt = − ∫ + ∫ ∫ 6 t −1 t −1 t + t +1 ( t − 1) ( t + t + 1) d ( t − 1) 3t dt ∫ t − = ∫ t − = ln t − + C1 dt = ln t − + C2 t −1  1 t+  dt dt  + C = arctan  2t +  + C = arctan  3   ∫ t2 + t +1 = ∫ 3      1  3    t +  +     2   1 1  2t +   2t +  Từ I = ln t − − ln t − + arctan  + C = ln t − − ln t − + arctan    + C 2     Bình luận: Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp trên, biến đổi theo hướng khác sau Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I7 = − ∫  → Facebook: LyHung95 dt dt d( t − ) du = −∫ = −∫ = −∫ 2 t −1 ( t − )( t + t + ) u ( u + 3u + ) ( t − ) ( t − ) + 3( t − ) + ) 2 −1 −1 ( 3u + 6u + ) − ( u + 3u + ) + 3u 3u + 6u 1 = = = − + 2 2 u + 3u + 3u 2u ( u + 3u + ) u ( u + 3u + ) u + 3u + 3u u ( u + 3u + ) Thay vào ta : 1 du 1  2u +  I7 = ln u + 3u + 3u − ln u + ∫ = ln u + 3u + 3u − ln u + arctan   + C 2 2  2   3  3  u +  +  2    Ví dụ 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ ( tan x + e 2sin x ) cos xdx b) I = ∫ ( esin x + cos x ) cos x dx sin x d) I = ∫ dx + cos x c) I = ∫ sin x.cos x(2 + cos x) dx Ví dụ 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: b) I = ∫ ( cos3 x − 1) cos xdx x  a) I1 = ∫ 1 + tan x.tan  sin xdx 2  c) I = ∫ cos x + sin x.cos x + sin x d) I = ∫ sin x − sin x dx + cos x BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x dx b) I = ∫ dx sin x.cos x c) I = ∫ sin x ( + sin x ) dx d) I = ∫ sin xdx cos x − dx sin x b) I = ∫ cos3 x dx sin x c) I = ∫ sin x cos x dx d) I = ∫ dx sin x cos x Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ + sin x dx cos x b) I = ∫ sin x.cos x dx + cos x c) I = ∫ sin x dx + cos x d) I = ∫ cos x dx + cos x Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x.cos xdx b) I = ∫ − cos3 x sin x.cos5 x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG c) I = ∫ sin x.cos x(1 + cos x)2 dx Facebook: LyHung95 d) I = ∫ cos x dx + sin x cos x b) I = ∫ sin x dx + cos x Bài 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x(sin x + cos x)dx c) I = ∫ (sin x + cos3 x)dx Bài 6: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x sin x dx − sin x b) I = ∫ ( sin x + sin x ) cos x + 3dx Bài 7: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ c) I = ∫ tan xdx + cos x 3sin x + cos x dx 3sin x + cos x b) I = ∫ dx tan x + cos x d) I = ∫ sin x.cos3 x dx + cos x b) I = ∫ sin x dx + sin x d) I = ∫ sin x + sin x dx + cos x Bài 8: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x(sin x + cos x)dx c) I = ∫ cos xdx + cos x Bài 9: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos x dx sin x b) I = ∫ sin x.cos3 x dx + cos x c) I = ∫ 4sin xdx + cos x d) I = ∫ 3sin x + sin x dx cos x − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!