Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin t ) = a cos t dt a − x đặt x = a sin t  → 2 2  a − x = a − a sin t = a cos t Nếu hàm f(x) có chứa adt  dx = d (a tan t ) = cos t a + x đặt x = a tan t  →  a + x = a + a tan t = a  cos t MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I1 = c) I = ∫ ∫ dx ; ( a = 2) b) I = ; ( a = 1) d) I = x − x dx ; ( a = 3) 4− x x dx 1− x ∫ − x dx ; ( a = 1) ∫ Lời giải:  dx = d (2sin t ) = 2cos t dt dx 2cos t dt a) Đặt x = 2sin t  →  → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t + C 2 2cos t 4− x  − x = − 4sin t = 2cos t x  x Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin    → I1 = arcsin   + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt b) Đặt x = sin t  → 2  − x = − sin t = cos t + cos 2t 1 t Khi I = − x dx = cos t.cos t dt = dt = dt + cos 2t dt = + sin 2t + C 2 2 2 cos t = − sin t = − x Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = x − x t = arcsin x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ arcsin x + x − x2 + C 2 dx = d (sin t ) = cos t dt c) Đặt x = sin t  → 2  − x = − sin t = cos t x dx sin t.cos t dt − cos2t 1 Khi đó, I = ∫ =∫ = ∫ sin t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C cos t 2 1− x  → I2 = cos t = − sin t = − x Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = x − x t = arcsin x arcsin x  → I3 = − x − x2 + C 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dt d) Đặt x = 3sin t  → 2  − x = − 9sin t = 3cos t 81 81 − cos4t Khi đó, I = x − x dx = 9sin t.3cos t.3cos t dt = 81 sin t.cos t dt = sin 2t dt = dt 4 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG = Facebook: LyHung95 81  1  81  t  dt − cos4t dt  =  − sin 4t  + C  2  2  ∫ ∫  x2 cos t = − sin t = − x2 2x  Từ x = 3sin t ⇒   → sin 2t = 1− t = arcsin  x     3 2x2 2x x2  2x2   x Mặt khác, cos2t = − 2sin t = −   = −  → sin 4t = 2sin 2t.cos2t = − 1 −  9   3    x arcsin   2   81   − x − x  − x   + C Từ ta I =    4     Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I1 = ∫ dx ; ( a = 1) x +1 b) I = ∫ c) I = x + x + dx ∫ x dx x2 + ; ( a = 2) Lời giải: dt  = (1 + tan t )dt (1 + tan t )dt  dx = d (tan t ) = x = tan t  →  → I = cos t a) Đặt  ∫ + tan t = ∫ dt = t + C 2 1 + x = + tan t  Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x  → I1 = arctan x + C b) Ta có I = ∫ x + x + dx = ∫ t = x +1 ( x + 1) + d ( x + 1)  →I = ∫ t + dt 2du   dt = d (2 tan u ) = cos u 2du cos u du du →  → I2 = ∫ =∫ =∫ Đặt t = tan u  cos u cos u  + t = + tan u = cos u cos u  cos u d (sin u ) (1 + sin u ) + (1 − sin u ) d (sin u ) d (sin u ) 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ + = ln + C − sin u (1 + sin u )(1 − sin u ) − sin u ∫ + sin u − sin u t t2 t2 2  → = +  → sin u = − c os u = − = cos u 4 + t2 + t2 t x +1 1+ 1+ 1 + sin u + t + C = ln x + x + + C Từ ta I = ln + C = ln t x +1 − sin u 1− 1− 2 4+t x + 2x + 2dt   dx = d (2 tan t ) = cos t = 2(1 + tan t ) dt → c) Đặt x = tan t   x + = tan t +  tan t.2(1 + tan t ) dt sin t sin t.cos t dt sin t d (sin t )  → I3 = ∫ = ∫ tan t + tan t dt = ∫ dt = = ∫ cos4 t ∫ − sin t cos3 t + tan t ( ) Từ phép đặt t = tan u ⇔ tan u = Đặt u = sin t  → I = 4∫  (1 + u ) − (1 − u )   u  du = ∫  du = ∫   du  2 − u (1 + u )(1 − u )     − u ( ) u2  du du 2du d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du  = ∫ − +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫  du = ∫ 2 2 − + (1 − ) (1 + ) (1 − )(1 + ) (1 − ) (1 + ) (1 − u )(1 + u ) u u u u u u u u   1  1 du du 1  − − − ∫ + − −∫ −∫ =− − − ln + u + ln u − + C  du = − 1− u 1+ u 1− u 1+ u 1+ u 1− u 1− u 1+ u 1+ u 1− u  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 u −1 1 u −1 1 sin t − − + ln + C  → I3 = − + ln +C = − + ln + C u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − sin t + sin t + x x2 x2 2 → = + t = + ⇔ c t =  → t = Từ giả thiết x = tan t ⇔ tan t =  tan os sin cos 2t 4 + x2 + x2 x −1 x 1 x + ⇔ sin t =  → I3 = − + ln + C x x x + x2 −1 +1 +1 + x2 + x2 + x2 = Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I1 = ∫ dx b) I = x −1 ∫x dx c) I = x −4 Lời giải: 2 ∫ dx x − 2x − 2    − cos t dt − cos t dt   dx = d  sin t  = sin 2t dx − cos t dt     dx = sin t  → ← →  → I1 = ∫ =∫ a) Đặt x = sin t sin t.cot t x −1  x2 − =  x − = cot t −1   sin t sin t dt d (cos t ) d (cos t ) (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 + cos t = −∫ = = = d (cos t ) = ln + C sin t ∫ − cos t ∫ (1 − cos t )(1 + cos t ) ∫ (1 − cos t )(1 + cos t ) − cos t Từ phép đặt x = 1  → cos t = − sin t = − ⇔ cos t = sin t x x2 − 1 x2 − x  → I1 = ln + C x x2 − 1− x 1+    −2cos t dt −2 cos t dt  dx = dx = d  sin t  = sin t      sin t  → ← → b) Đặt x = sin t  x2 − =  x − = 2cot t ⇒ x x − = 8cot t −  sin t  sin t dx −2cos t dt 1 Khi đó, I = = = − sin t dt = cos t + C 2 8cot t 4 x x −4 sin t sin t ∫ ∫ ∫  → cos 2t = − sin t = − ⇔ cos t = sin t x dx d ( x − 1) t = x −1 c) I = =  → I3 = 2 x − 2x − ( x − 1) − Từ x = ∫ ∫ ∫ x2 − x2 −  → I2 = + C x 4x dt dt = 2 t −3 t2 − ∫ ( )    − cos u du   dt = d  − cos u du  = dt = sin u sin u      → ← → sin u Đặt t = sin u   −3  t − = cot u  t −3 = sin u   → I3 = ∫ = 2∫ dt =∫ − cos u du = −∫ sin u du d (cos u ) d (cos u ) =∫ =∫ 2 sin u − cos u (1 − cos u )(1 + cos u ) sin u cot u t −3 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 + cos u d (cos u ) = ln + C (1 − cos u )(1 + cos u ) − cos u 2 t2 − x2 − 2x − + t2 − 3 1 t x −1 ⇒ cos 2u = − ⇔ cos t =  → I = ln + C = ln + C Từ t = 2 sin u t t 2 t −3 x − 2x − 1− 1− t x −1 Chú ý: Tổng hợp kết ta thu số kết quan trọng sau: 1+ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 dx x = arc tan   + C +a a a dx x+a ∫ x − a = 2a ln x − a + C dx x−a ∫ a − x = 2a ln x + a + C dx ∫ x ± a = ln x + x ± a + C ∫x BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1) I1 = ∫ 4) I = ∫ x dx x2 + 3x − x 2) I = ∫ dx 5) I = ∫ − x2 dx x2 3) I = ∫ x + dx 6) I = ∫ x dx − x2 dx x2 − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!