S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ CĂN THỨC Nguyễn Văn Trung Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong Điền Trong năm gần đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng THCN thường thấy có toán tính phân mà phần lớn tính tích phân hàm số thức, để giúp em học sinh lớp 12 ôn tập tốt toán tích phân hàm số thức cách hệ thống, thân mạnh dạn viết cách hệ thống phương pháp tính tích phân hàm số thức, phần nhằm giúp em học sinh đạt kết tốt kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng THCN năm học 2008 - 2009 dx Dạng 1: ∫ ax + bx + c dx I = Ví dụ : 1.Tính tích phân ∫−1 x + x + Đặt t = x + x + x + 2dt ⇒I =∫ 2t + dx ;a > Tổng quát : Tính tích phân I = ∫ ax + bx + c Đặt t = a x + ax + bx + c 2 dx dx = 2.Tính tích phân I = ∫ ∫ − 3x + x + 1 − 3( x − 1) π π  2   Đặt ( x − 1) = sin t , t ∈  − ;  Tổng quát : Tính tích phân I =∫ dx ;a < ax + bx + c ax + bx + c = m − nu 2 Đặt  π π n u = m sin t ; t ∈  − ;   2 NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 Dạng 2: ∫ (mx + n)dx ax + bx + c Ví dụ : Tính tích phân I = ∫ (4 x + 3)dx x2 − x +1 (x2 – x + 1)’ = 2x – 4x + = 2(2x – 1) + 1 (2 x − 1)dx dx ⇒ I = 2∫ + 5∫ 0 x − x +1 x − x +1 (mx + n)dx Tổng quát : Tính tích phân I = ∫ ax + bx + c TS = A(2ax + b) + B (2ax + b)dx dx ⇒ I = A∫ + B∫ 2 ax + bx + c ax + bx + c dx Dạng 3: ∫ ( ax + b)(cx + d ) Ví dụ : Tính tích phân dx I =∫ (2 x + 3)( x + 1) dx =∫ Đặt : t = ( x + 1) 2x + x +1 2x + x +1 Tổng quát : Tính tích phân ∫ dx n ( ax + b ) k ( cx + d ) n−k MS = (cx + d ) n ( Đặt : t = n Dạng 4: ∫ ax + b k ) cx + d ax + b cx + d ax + b dx cx + d Ví dụ : Tính tích phân I = ∫ 3− x 1+ x NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 Đặt : t = + x ⇒ Tổng quát : Tính tích phân Đặt : t = Dạng 5: ∫x ∫ 3− x dx = − t dt 1+ x ax + b dx cx + d ax + b ; t = cx + d cx + d dx x2 + a dx Ví dụ : Tính tích phân : I = ∫x 2 J= ∫ Giải : dx x2 − dx = x x2 + xdx ∫x 2 x2 − (ĐT TSĐH KA 2003) Đặt : t = x2 − ⇒ t = x2 − ⇒ x2 = t + ⇒ 2tdt = xdx ⇒ xdx = tdt 3 tdt dt I = = Do : ∫1 (t + 3)t ∫1 t + dx ; ∫ x x + a dx Tổng quát : ∫ x x +a Đặt : t = x + a P ( x) dx ax + b + c Ví dụ : Tính tích phân sau : x I =∫ dx (ĐTĐH KA 2004) x −1 1+ 4x − J =∫ dx 3x + 2+ P ( x) dx Tổng quát : ∫ ax + b + c Dạng : ∫ NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 Đặt t = ax + b + c Ta : ax + b = t − c ≥ ax + b = t − 2ct + c ; x = (t − 2ct + c − b) a dx = (2t − 2c)dt a MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài : Tính tích phân sau : dx 1) I = ∫ x + 16 dx 2) J = ∫ x2 + Bài : Tính tích phân sau : dx 1) I = ∫ x2 − x +1 dx 2) J = ∫ − x − 2x + Bài : Tính tích phân sau : (3 x − 6)dx 1) I = ∫ x − 4x + 2) J = ∫ (2 x − 8)dx 1− x − x2 −1 Bài : Tính tích phân sau : 1) I = ∫ −2 dx (2 x + 1) ( x + 1) 2) J = ∫ dx (4 x + 1)( x + 1) Bài : Tính tích phân sau : 1) I = ∫ 2) J = ∫ xdx 1+ x dx x +1 NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 1+ x 3) K = ∫ x+ x dx dx 4) L = ∫ x 2x + 1 Bài : Tính tích phân sau : dx 1) I = ∫ x 1+ x2 2) J = 1+ x2 dx x2 ∫ 1 2 3) K = ∫ x − x dx 2 4) L = ∫ dx x x2 − Bài : Tính tích phân sau : 1) I = ∫ 2) J = ∫ dx + x +1 xdx 2x + 3) K = ∫ 10 4) L = ∫ dx 2x + + 4x + dx x − x −1 Trên số dạng toán tích phân hàm số thức thường gặp kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng THCN môn toán, người viết tích luỹ nhiều năm giảng dạy, số dạng toán người viết đem giảng dạy lớp 12 trường THPT Phong Điền năm gần đây, phần giúp cho em học sinh ôn tập tích phân hàm số thức cách có hệ thống đạt kết cao kì thi Đại học, Cao đẳng THCN NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 LỜI CẢM ƠN Người viết xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Phong Điền quan tâm giúp đỡ, mặt vật chất lẫn tinh thần, cảm ơn ý kiến đóng góp thiết thực quí thầy cô giáo tổ toán, để viết hoàn thành Phong Điền, ngày 20 tháng 05 năm 2009 Người viết sáng kiến kinh nghiệm NGUYỄN VĂN TRUNG NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009 NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT  Phong §IÒn