NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – CĨ LỜI GIẢI NGUN HÀM Ví du 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = x + x x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx Giải 1 x4 3  x  ln x  C a)  f ( x )dx   (x - 3x + )dx   x dx  3 xdx   dx  x x 2x 3x x x x x  C b)  f ( x )dx   (2 + ) dx  dx   dx  ln ln (5x  3)6 5 d (5 x  3)  C c)  f ( x )dx   (5x+ 3) dx  (5x+ 3) 30 sin5 x 4 C d)  f ( x )dx   sin x cosxdx   sin x d (sin x )   Ví du 2ï: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= Giải     Ta có F(x)= x – cos3x + C Do F( ) =  - cos + C =  C = - 6  Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x - Bài tập đề nghò: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y a  (2 x  3x  5)dx c. sin b  x dx x3 dx x2 d  (e2 x  5)e2 x dx e. dx 2x 1 2.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trò nguyên hàm  Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = e1-2x , biết F( )  2 x  3x  3x  1 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = , biết F( 1)  x  2x  TÍCH PHÂN Ví dụ1: Tìm tích phân hàm số sau: a/  (x 1   1)dx b/  (  3sin x )dx cos x  c/  x=  x  dx 2 Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 3 x4 81 a/  ( x  1)dx =  x dx   1dx  (  x )  (  3)  (  1)  24 4 1 1 1 1 3     4 4  b/  (  3sin x ) dx  dx  sin xdx  (4 tan x  3cos x ) 2     cos x cos x    4 4     = (4 tan  cos )  [4 tan(  )  cos(  )] = c/  2 2 2 2 x  dx =  x  dx +  x  dx =  (1  x )dx +  ( x  1)dx =(x- x2 x2 ) 2  (  x ) =5 2 Dạng 1: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)  dx = u(t) dt b2: Đổi cận: x = a  u(t) = a  t =  x = b  u(t) = b  t =  b3: Viết ( chọn  ,  thoả đk đặt trên) b  f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích phân a Ví dụ: Tính :   x dx  §Ỉt x = sint  dx = cost.dt Víi x  [0;1] ta cã t  [0; ]   x 1 12 s in2t 2  2 t  )0 = §ỉi cËn: VËy   x dx =  cos t.dt   (1  cos2t).dt= (t  20 2 0 Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng :    a2  x đặt x= a sint t  [ ; ] 2  a2  x đặt x= a tgt t  ( ; ) 2  x  a2 đặt x= Dạng 2: Tính tích phân b a sin t     t  [ ; ] \ 0 2  f[ (x)]'(x)dx phương pháp đổi biến a Phương pháp giải: b1: Đặt t =  (x)  dt =  '( x ) dx b2: Đổi cận: x = a  t =  (a) ; x = b  t =  (b) b3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm 1 2x  dx Ví dụ : Tính tích phân sau : a/ I   b/ J   x  3.x.dx x2  x  0 Giải: a/ Đặt t = x + x +1  dt = (2x+1) dx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x t Đổi cận: 3 dt Vậy I=   ln t  ln t 1 b/ Đặt t= x   t2= x2+  tdt = x dx x t Đổi cận: t3 Vậy J =  t dt  3 2  (8  3) Bài tập đề nghò:  Bµi TÝnh tích phân sau: 1/I=  (3  cos x ).dx 1 2/J=  (e  2)dx 3/K=  (6 x  x )dx x 0  Bµi Tính tích phân sau: 1/  esin x cos x.dx x e dx 2/  x e 1 e 3/  1  ln x dx x 4/  x( x  3)5 dx Chú ý: đổi biến phải đổi cận Dấu hiệu : Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức Chứa Đặt u = Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx dx Chứa Đặt u = lnx x Dấu hiệu: dx    Đặt x = sint , t   ;   1 x2  2 dx     a  x Đặt x = a.sint , t   ;  dx    Đặt x = tant , t    ;   1 x2  2 dx    Đặt x = a.tant , t    ;   a2  x2  2 Tính tích phân phương pháp tùng phần: b Công thức phần :  u.dv  u.v a b a b b   v.du  u.v '.dx  u.v a   v.u ' dx a a  Ví dụ 1: Tính tích phân sau: b b  a/ I= x.cos x.dx a e  b/J= x.ln x.dx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Giải u  x u '   v '  cos x v  sin x a/ Đặt :  (chú ý: v nguyên hàm cosx )   Vậy I = x cosx Vậy J= lnx -  sin x.dx = cosx  = -1  u'  u  ln x  x b/ Đặt :   v '  x v  x  e e x e2 e2 e e2  e dx   xdx   x 1   x 2 4 1 x2  Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phương pháp giải:Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên phần phân số tính Ví dụ: Tính tích phân sau: 2 2x 1 1 dx (1 )dx [ x ln x 1]12 ln = ln a/ 2x 2x 2 1 b/ x3 3x dx x (x2 x )dx x [ x3 x2 4x 23 ln x 1]0 ln b) Dạng bậc1 bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng tích phân tính *Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: x dx Ví dụ: Tính tích phân : x2 x Giải 5x A B A( x 3) B( x 2) x Đặt = x x ( x 2)( x 3) x x ( x 2)( x 3)  A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2  A=3 cho x=3  B=2 2 x dx 2 )dx (3ln x 2 ln x ) Vậy ta có: = ( x x x x ln 16 27 * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: (2 x 1)dx Ví dụ: Tính tích phân : x2 4x CI: (2 x 1)dx x2 4x Giải ( 2x x 4x x 4x =(ln x  x   ) x 2 )dx d ( x x 4) x2 4x   ln (x 2)2 dx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! CII: Đặt Vậy 2x x 4x B A( x 2) B x ( x 2) ( x 2)2 A  A    Ax -2A+B=   2 A  B   B  2x ( x 2)2 x 1dx x2 4x [ A x (x A( x 2) 2x B 5 ]dx = (2ln x-2 )   ln 2) x-2 *Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví dụ: Tính tích phân :I= (2 x 3)dx x2 2x Giải: 2x dx x 2x I 1 Ta có 0 d(x x2 ( x 1)2 dx d ( x 2 x 4) x2 2x 5J x 4) = ln/x2 +2x+4/  ln  ln3  ln  2x 0 Tình J= ( x 1)2 dx      Đặt x+1= 3tgt (t   ;  )  dx= 3(1  tg2t )dt Khi x= -1 thí t = ; x=0 thí t=  2   J=   3(1  tg t ) 36   dt  1dt   Vậy I= ln  5(  )  (3  3tg t ) 3 6 3/ Tính tích phân hàm vô tỉ: b  Dạng1:  R( x, n ax  b )dx Đặt t= n ax  b a b  Dạng 2:  R( x, n a ax  b )dx cx  d Ví dụ: Tính tích phân I =  Đặt t= n ax  b cx  d  xdx Giải Đặt t =  x  t = 1-x  x= 1-t  dx= -3t2dt x 1 t4 t Đổi cận: Vậy I=  t.(3t )dt  3 t 3dt  3  4/ Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp      Dạng:  sin ax.cos bxdx,  sin ax.sin bxdx,   cos ax.cos bxdx Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu tích phân giải   Dạng:  sin xdx;  n   cos  n xdx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví dụ :    n 1 2n n  sin xdx  sin x sin xdx   (1  cos x ) sin xdx Đặt t =cosx      n    cos x   cos xdx   (cos x ) dx     dx 2n  Dạng:  Dạng: n   R(sin x).cos xdx    R(cos x ).sin xdx   Đặc biệt:  sin2 n x.cos2 k 1 xdx Phương pháp giải: Đặt t =sinx   Đặc biệt:  sin2 n 1 x.cos2 k xdx Phương pháp giải: Đặt t =cosx   Các trường hợp lại đặt x=tgt Ví dụ: Tính tích phân sau:    2 a/  sin x.cos x.dx  b/  sin xdx  c/  cos3 xdx 0 d/  cos3 x sin xdx  4 1 cos x cos2 x 2 Giải a/  sin x.cos x.dx =  (sin x  s in2 x )dx   (  )0  2 2 0   2  cos2 x sin x 2  dx  ( x  )0  2 b/  sin2 xdx      2 0 c/ I=  cos3 xdx =  cos2 x.cos x.dx   (1  sin x ).cos x.dx Đặt t =sinx  dt = cosx dx Đổi cận x  t d/J = t3 Vậy: I=  (1  t ).dt  (t  )  3    2 0 2 2  cos x sin xdx =  cos x sin x.cos x.dx   (1  sin x)sin x.cos x.dx Đặt t = sinx  dt = cosx dx Đổi cận x  1 t3 t5 2 VËy: J=  (1  t )t dt   (t  t ).dt  (  )  15 t 0 Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau:  x dx 2/  cos2 x Bµi : 1/  x.e dx 3x Bµi : 1/ I=  x  x  3x dx x2 e 3/  ln x.dx 4/  x.ln( x  1).dx  5/  e x cos x.dx x  5x  dx x 1 2/ J=  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! dx x  5x  Bµi : 1/ I=  2/ I=  Bµi 4: 1/  x  xdx 2/  2 1 2x dx x  6x  Bµi : 1/ 3 3/ sin x cos4 x.dx  0   2/  sin x.cos x.dx  cos x.dx 3x  dx x  4x  x dx 2 x   3/ I=  4/  sin x dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1/Các kiến thức : a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) b đường thẳng x= a; x=b; y= : S   f ( x ) dx a b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) đường thẳng x= a; x=b : S  b  f ( x)  g ( x) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:  Cách tính S  b  f ( x )dx a TH1: Nếu phương trình f(x) = vô nghiệm (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm b là: S   f ( x )dx a TH2: Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x1  (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S  x1  b f ( x) dx  a  f ( x)dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm x1; x2  (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S  x1  f ( x)dx  a x1  f ( x)dx  x2 x2  f ( x )dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0;2  ] Ox Giải: Ta có :sinx = có nghiệm x=    0;2  diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S=  sin x dx    sin xdx  2  sin xdx   2 = cos x  cos x  =4 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , (P2) y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải Pthđgđ : x2 –2 x = x2 + 2x +1= x = -1/2 Do :S= 1/ (x 2 x) (x 1) dx 1/ = [( x 1)]dx [( x 2 x dx = x x dx 2x) (x 1)]dx 1/ 2 2x) (x 2 x x2 x 1/ 2 = 25 13 (dvdt) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = x , đường thẳng (d): 2x+y-4 = y2 4y GiảiTa có (P): y2 = x  x = (d): 2x+y-4 =  x= y  y2  y Phương trình tung độ giao điểm (P) đường thẳng (d) là: =    y  4 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ( 4  y y2 y y2 y y3  )dy   (2   )dy  (2 y   ) 9 4 12 4 4 2/ Bài tập tương tự : Bài TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cđa hµm sè y = - x2 víi ®-êng th¼ng (d): y = x Bài Cho hµm sè y =  x  1 nã t¹i A(0,1) Bài Cho hµm sè y = (C) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph-¬ng tr×nh tiÕp tun cđa 3x  (C) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trơc Ox; Oy vµ ®-êng 2x  th¼ng x = Bài TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng (C): y  x vµ c¸c ®-êng th¼ng (d): x + y - = ; y = Bài TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng (P): y = x2 - 2x + ;tiÕp tun (d) cđa nã t¹i ®iĨm M(3;5) vµ Oy 3x  5x  Bài Cho hµm sè y = (C) x 1 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C); tiƯm cËn cđa nã vµ x = 2; x= ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY 1/Các kiến thức : Thể tìch vật thể tròn xoay sinh hính phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trính y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục Ox là: b V    f ( x)dx a 2/ Bài tập áp dụng : Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục Ox Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2  y2= R2-x2 R R x3  R3    Thể tích khối cầu : V=    R  x  dx =   R x   =   R3   =  R (đvtt) 3      R R >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1; x = 2; y = 0; y = x2–2x Giải: 2 Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm : S    ( x  x )2 dx    ( x  x  x )dx 1 1 x 18 (đvtt)  x  x ) 1 = 5 Bµi TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng sau :  y = 0, y = x sin x , x = 0, x = = (  u '  u  x §Ỉt :    v   cos x v '  sin x V =   x sin xdx Gi¶i:     V =   x sin xdx =  ( x cos x)      cos xdx  =  0     Bµi TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trơc Oy cđa h×nh giíi h¹n bëi c¸c x2 ®-êng y = , y = 2, y = vµ x = Gi¶i: V =   ydy  ( (y ) = 12  Bài tập đề nghị : Bài 1: Tình diện tìch hính phẳng giới hạn đường: Trục hồnh, y  x2  1, x  0, x  Parabol: y  x  x , đường thẳng x = -1, x = trục hồnh y  s inx, y  0, x  0, x  2 y  x2 , y  2 x  y  x  3x  1, y  x  Bài 2: Tình thể tìch khối tròn xoay tạo nên hính phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục hồnh: y   x y  y  s inx, y  0, x  0, x   / y  cot x, y  0, x  0, x   Bài 3: Tình diện tìch hính phẳng giới hạn đường: Trục hồnh, y  x3  1, x  0, x  Parabol : y  x  x, đường thẳng x = -1, x = trục hồnh y  cosx, y  0, x  0, x  2 y  x , y  x Bài 4: Cho hính phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cosx (0  x   ) hai trục toạ độ Tình thể tìch khối tròn xoay tạo thành quay hính quanh trục Ox >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài 5: Tình thể tìch khối tròn xoay tạo nên hính phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục hồnh: y  x  v y  y  e x , y  0, x  0, x  x4m Bài 6: Cho hàm số y = (C m ) , (m tham số) 1 x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Tình diện tìch hính phẳng giới hạn (C), tiệm cận ngang đường x = 2, x =4 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10