Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – HỘI ĐỒNG QUẢN TRỊ - NHƯ QUỲNH 09 BIẾN DẠNG NGHIỆM KÉP, NGHIỆM BỘI BA Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 1) NGHIỆM BỘI BA • Dạng toán nghiệm bội ba ( x − α ) g ( x ) • Khi giải phương trình f ( x ) = , để kiểm tra tính chất nghiệm có nghiệm bội ba hay không, ta thực theo bước sau: o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có nghiệm x =α o Sử dụng chức để kiểm tra tính chất nghiệm bội: d Nếu ( f ' ( x ) ) ≠ suy x = α nghiệm đơn dx x =α Nếu d ( f ' ( x ) ) = suy x = α nghiệm bội ba dx x =α o Để tìm liên hợp cho Đặt n n g ( x ) toán, ta thực bước sau: g ( x ) = ax + bx + c d n d  g '( x)    , b= − 2aα , c = n g (α ) − aα − bα g ( x) n   dx dx 2n g ( x ) x =α   x=α Tìm giá trị a, b, c ta tìm biểu thức liên hợp o Hoặc kiểm tra nghiệm bội cách tìm giới hạn sau: f ( x) f ( x) f ( x) lim = lim = ≠ lim x →α x − α x→α x →α (x −α ) (x −α ) Ta có a = ( ) 2) HAI NGHIỆM KÉP HỮU TỶ 2 • Dạng tốn nghiệm bội ba ( x − α ) ( x − β ) g ( x ) • Khi giải phương trình f ( x ) = , để kiểm tra tính chất nghiệm có hai nghiệm kép hữu tỷ hay khơng, ta thực theo bước sau: x = α o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có hai nghiệm  x = β o Sử dụng đạo hàm để kiểm tra tính chất nghiệm bội: Ta có đạo hàm f ' ( x ) Nhận thấy f ' (α ) = f ' ( β ) = • Để tìm nghiệm ta có hai hướng chủ đạo LIÊN HỢP đưa phương trình dạng TÍCH CÁC SỐ HẠNG Ví dụ Giải phương trình x − 12 x3 − x − x − 16 + ( x + 3) x + x + = ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Với chức SHIFT CALC TABLE ta tìm hai nghiệm phương trình cho sau: X -5 -4 -3 F(X) 6926.4 2953 992 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Nhập F ( X ) = X − 12 X − X − X − 16 + ( X + 3) X + X + -2 -1 216 15.313 0.9705 48.568 397.79 1515.3 4085 • Start = −5 • End = • Step = Ta nhập thấy phương trình có nghiệm x = đồng thời kiểm tra chức SHIFT CALC ta có x = − Bây ta kiểm tra tính chất nghiệm cách: ( x + 3)( x + 1) • Tính f ' ( x ) = 36 x3 − 36 x − 14 x − + x + x + + x2 + x +  1 • Nhận thấy f (1) = f  −  =  3 2 Suy hai nghiệm kép phương trình cho x = 1; x = − Khi ta có ( x − 1) ( x + 1) tìm biểu thức liên hợp cho • • • • x + x + sau: Ta đặt ( x + 3) x + x + = ax + bx + c a + b + c =  Với hai nghiệm x = 1; x = − ta có hệ phương trình  1 32 a − b + c =  9 Với điều kiện nghiệm kép x = 1; x = − ta 9a + 5b + c = 28 5 17 Do suy a = ; b = ; c = Nên biểu thức liên hợp 4 ( x + 3) x + x + − x − 10 x − 17 Nên phương trình cho tương đương với x − 12 x3 − x + x + + ( x + 3) x + x + − x − 10 x − 17 = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) ( 3x + 1) 2 ( x + 3) x + x + + x + 10 x + 17 =0 2 ⇔ ( x − 1) ( x + 1)  ( x + 3) x + x + + x + 10 x + 16  =   Chú ý ( x + 3) x + x + + x + 10 x + 16 > nên suy x = 1; x = − Hoặc với nghiệm kép hữu tỷ x = 1; x = − ta tạo nhân tử cách sau: a + b = 2  2 x + x + = ax + b ⇒  ⇔ a = − ; b = − ⇒ nhân tử x + x + − x − 2 − a + b = ( ) Sau thực phép chia đa thức là: x − 12 x − x − x − 16 + ( x + 3) x + x + ( x2 + x + − x − ( ) ( )( = x2 + x + + x + 2 x2 + x + + x + )( ) Và ý phương trình x + x + + x + 2 x + x + + x + = vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = − Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( x ∈ ℝ) Ví dụ Giải phương trình x3 − x + 13x − 16 + x − 3x + = PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng chức TABLE ( mode ) máy tính để tìm nghiệm phương trình cho Ta nhập F ( X ) = X − X + 13 X − 16 + X − X + • Start = • End = 10 • Step = Ta bảng giá trị đồ thị sau: Nhận thấy x = nghiệm phương trình cho Và ta kiểm tra Tính chất nghiệm là: X 10 F(X) 9.8564 25.166 52.844 98.66 168.54 268.45 404.39 582.35 Cách Tính giới hạn hàm số • lim • lim • lim x →1 x3 − x + 13x − 16 + x − 3x + =0 x −1 x3 − x + 13x − 16 + x − 3x + ( x − 1) x →1 x3 − x + 13x − 16 + x − 3x + ( x − 1) x →1 =0 ≠0 Cách Kiểm tra đạo hàm  f ' (1) =  Ta có f ' ( x ) = x − 12 x + 13 + thấy  d f x ' = ( ) ( ) x − 3x +  dx x =1  Do ta kết luận x = nghiệm bội bậc ba phương trình cho ( x − 3) Tiếp theo ta tìm biểu thức liên hợp x − 3x + sau: • Đặt f ( x ) = x − x + = ax + bx + c • Ta có giá trị a, b, c là: a = b= d  f '( x)    = dx  2n f ( x )    x =1 d 15 f ( x )) − 2aα = − c = f ( x ) x=α − aα − bα = ( dx x =α Nên biểu thức liên hợp x − 3x + − 3x + 10 x − 15 Khi phương trình cho trở thành: ) ( ) ( x3 − x + x − + x − x + − x + 10 x − 15 = ⇔ ( x − 1) + x − x + − x + 10 x − 15 = ⇔ ( x − 1) + 64 ( x − x + 3) − ( x − 10 x + 15 ) x − x + + x − 10 x + 15 Và ý điều sau:  20  > 0; ∀x • x − 10 x + 15 =  x −  + 3  • = ⇔ ( x − 1) + 3 (11 − x )( x − 1) x − x + + x − 10 x + 15 x − x + = − ( x3 − x + 13 x − 16 ) ≥ ⇔ x3 − x + 13 x − 16 ≤ ⇔ x ≤ =0 11 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ( ∗) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  33 − x 3 Do phương trình ( ∗) ⇔ ( x − 1) 1 +  = ⇔ x = 2  x − 3x + + 3x − 10 x + 15  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình ( x + 3) x = x + + 3x − 3x + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng chức TABLE ( mode ) máy tính để tìm nghiệm phương trình cho Ta nhập F ( X ) = ( X + 3) X − X − − 3 X − X + • Start = • End = 10 • Step = Ta bảng giá trị đồ thị sau: Nhận thấy x = nghiệm phương trình cho Và ta kiểm tra Tính chất nghiệm là: X 10 Kiểm tra đạo hàm x+3 Ta có f ' ( x ) = x + −2− x 2x − ( 3x − 3x + ) F(X) -2 0.1581 0.7239 1.6677 2.952 4.5474 6.4309 8.5839 10.99 13.638  f ' (1) =  thấy  d f ' x = ( ) ( )  dx x =1  Do ta kết luận x = nghiệm bội bậc ba phương trình cho Tiếp theo ta tìm biểu thức liên hợp 3x − 3x + sau: • Đặt f ( x ) = 3x − 3x + = ax + bx + c • Ta có giá trị a, b, c là: a = b= d  f '( x)    =0 dx  2n f ( x )    x=1 d ( f ( x ) ) − 2aα = c = f ( x ) x=α − aα − bα = dx x =α Nên biểu thức liên hợp 3x − 3x + − x Khi phương trình cho trở thành: ( x + 3) x − 3x − + x − 3x − 3x + = ⇔ ( ) ⇔ ( x −3 ) ( ) x +3 ( x ) −1+ ( x − ( x − 1) x −1 + x + x 3x − 3x + + ( ) 3x − 3x + = 3 ( 3x − 3x + ) )  x +  ⇔ x − 1 +  x + x 3x − 3x + + 3x − 3x +  Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( ) ( =0 )   = ⇔ x =1    Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Ví dụ Giải phương trình x3 − x + x − + ( x + 1) x + x − x − = ( x + x − 1) ( x ∈ ℝ)  x − x + x − ≥ PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện toán  ⇔ x ≥ 2  x + x − x − ≥ Bước SHIFT CALC x = ⇒ x = 2.25992105 Bước Thay vào x3 − x + x − = 1.25992105 Do đó, đánh giá x3 − x + x − = x − Do phương trình cho tương đương với ( ) x3 − x + x − − x + + ( x + 1) ( ) x3 + x − x − − x + =  ⇔ ( x3 − x + x − 3)  +  x − 2x + x − + x −  =0 x3 + x − x − + x −  x +1 ⇔ x3 − 3x + 3x − = ⇔ x3 − 3x + 3x − = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = + 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = + Ví dụ Giải bất phương trình x3 + x + x − 16 x + 12 x + x − ≥ x + x − x − PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện toán x ≥ Bước SHIFT CALC x = ⇒ x = 0.793700526 Bước Thay vào x3 + x + x = 2.587401052 Do đó, đánh giá x3 + x + x = x + 2 x + x + x = ( x + 1)2 + x3 −  Ta có  nên ta ghép biểu thức x + − 16 x3 + 12 x + x − 3 16 x + 12 x + x − = ( x + 1) + ( x − 1) Do bất phương trình cho tương đương:   x − ( x − 1) − ≥ ( x3 − 1) ( x + 1) ⇔ ( x3 − 1)  − − x − 1 ≥ f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  Với g ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) 16 x3 + 12 x + x − + (16 x + 12 x + x − 3) Và f ( x ) = x3 + x + x + x + Vì x ≥ suy f ( x) ≥ , g ( x) > nên 4 − − 2x − ≤ − 2x < f ( x) g ( x) g ( x)     ⇔ x ∈ 0;  2 2 x − ≤    x ≥ Khi bất phương trình cho tương đương  Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Ví dụ Giải phương trình x − 12 x3 − x − x − 16 + ( x + 3) x + x + = ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Với chức SHIFT CALC TABLE ta tìm hai nghiệm phương trình cho sau: Nhập F ( X ) = X − 12 X − X − X − 16 + ( X + 3) X + X + X -5 -4 -3 -2 -1 F(X) 6926.4 2953 992 216 15.313 0.9705 48.568 397.79 1515.3 4085 • Start = −5 • End = • Step = Ta nhập thấy phương trình có nghiệm x = đồng thời kiểm tra chức SHIFT CALC ta có x = − Bây ta kiểm tra tính chất nghiệm cách: • Tính ( x + 3)( x + 1) f ' ( x ) = 36 x3 − 36 x − 14 x − + x + x + + x2 + x +  1 • Nhận thấy f (1) = f  −  =  3 2 Suy hai nghiệm kép phương trình cho x = 1; x = − Khi ta có ( x − 1) ( x + 1) tìm biểu thức liên hợp cho • • • • x + x + sau: Ta đặt ( x + 3) x + x + = ax + bx + c a + b + c =  Với hai nghiệm x = 1; x = − ta có hệ phương trình  1 32  a − b + c = Với điều kiện nghiệm kép x = 1; x = − ta 9a + 5b + c = 28 5 17 Do suy a = ; b = ; c = Nên biểu thức liên hợp 4 ( x + 3) x + x + − x − 10 x − 17 Nên phương trình cho tương đương với x − 12 x3 − x + x + + ( x + 3) x + x + − x − 10 x − 17 = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) ( 3x + 1) 2 ( x + 3) x + x + + x + 10 x + 17 =0 2 ⇔ ( x − 1) ( x + 1)  ( x + 3) x + x + + x + 10 x + 16  =   Chú ý ( x + 3) x + x + + x + 10 x + 16 > nên suy x = 1; x = − Hoặc với nghiệm kép hữu tỷ x = 1; x = − ta tạo nhân tử cách sau: a + b = 2  2 x + x + = ax + b ⇒  ⇔ a = − ; b = − ⇒ nhân tử x + x + − x − 2 − a + b = ( ) Sau thực phép chia đa thức là: x − 12 x − x − x − 16 + ( x + 3) x + x + ( x2 + x + − x − ) ( )( = x2 + x + + x + 2 x2 + x + + x + Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC )( ( ) Và ý phương trình x + x + + x + 2 x + x + + x + = vô nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = − ( ) Ví dụ Giải phương trình x x − − x + + 40 x − + 42 x + = 24 ( x − )( x + 3) + 80 PHÂN TÍCH CASIO Với chức SHIFT CALC TABLE ta tìm hai nghiệm phương trình cho sau: Nhập hàm số X F(X) F ( X ) = X X − − X + + 40 X − + 42 X + − 24 ( X − )( X + 3) − 80 ERROR ERROR • Start = 0.4984 • End = 10 0.0454 • Step = 0.0824 Ta nhập thấy phương trình có nghiệm x = đồng thời kiểm tra 0.0355 22 chức SHIFT CALC ta có x = 2.444444444 = 0.0597 0.2774 0.6985 10 1.3563 ( ) Bây ta kiểm tra tính chất nghiệm cách:   • Tính f ' ( x ) = x − − x + + x  − +  x−2 x+3 ( • ) 20 + x−2 21 − x+3 12 ( x + 1) ( x − )( x + 3)  22  Nhận thấy f ( ) = f   =   Suy hai nghiệm kép phương trình cho x = 1; x = − Khi tìm biểu thức nhân tử cho hai sau: • Ta đặt x − + a x + + b 2 + 3a + b =  a = −2  • Với hai nghiệm x = 1; x = − ta có hệ phương trình  ⇔ b = + a + b =   3 • Nhân tử ( ) x−2 −2 x+3 +4 Sau thực phép chia đa thức là: ( ) x x − − x + + 40 x − + 42 x + − 24 ( x−2 −2 x+3+4 Nên phương trình cho tương đương với ( x−2 −2 x+3+4 ) (2 ) ( x − )( x + 3) − 80 = x−2 + x+3 ) x−2 + x+3 =0 ⇔ x−2 +4 = x+3 x =  x ≥  x ≥ ⇔ ⇔ ⇔  x = 22 x − + x − + 16 = x + x − = x − ( )     22 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 2; x = Ví dụ Giải phương trình x − x + x + = x + + x + x + Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC A Phân tích CASIO Tương tự nghiệm kép phương trình, ta có kết sau:  f (a) =   f '( a) = Phương trình f ( x ) = có nghiệm bội ba x = a   f '' ( a ) =  ( 3)  f (a) ≠ Nhập vào máy tính X − X + X + − X + − X + X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 2X − 6X + 8X +1− X + − 9X + 9X + =0 X −1 Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x =  f (1) =   f ' (1) = Kiểm tra  ⇒ x = nghiệm bội ba (1)  f '' (1) =  ( 3)  f (1) ≠ Nhập vào máy tính Ta cần cân ax + b = x + = ( x + ) 2  = a + b = 6.1 + ( )  ⇒ ⇒ a = b = 2 − − 1 2 a = ( x + ) 12 x = ( 6.1 + ) 12.1 =  3 Ta cần cân cx + d = x + x + = ( x + x + )  c + d = 9.1 + 9.1 + ( )3 =  c =  ⇒ ⇒ 18 x + 18.1 + = = d = c = 2 2 3 (9x + x + 9) ( 9.1 + 9.1 + )   Dựa phân tích đó, ta có lời giải tốn sau: B Lời giải ĐK: x ∈ ℝ (*) ) ( ( ) Khi (1) x + − x + + x + − x + x + − x − + x3 − x + x + = Đặt M = ( x + 1) + ( x + 1) x + + 3 (6x + 2) (2) 2   =  x + + x +  + ( x + ) >    12  Ta có x + x + =  x +  + > 2  ⇒ N = ( x + 2) + ( x + 2) x2 + x + + (9 x2 + x + 9) 2 2   =  x + + x + x +  + ( x + x + ) >   Do (2) ⇔ ( x + 1) − ( x2 + ) M + ( x + 2) − (9 x2 + x + 9) N + ( x − x + x − 1) = Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ⇔ x − 3x + 3x − x3 − 3x + 3x − + + ( x − 1) = M N ( x − 1) ⇔ M Với M , N > ⇒ ( x − 1) + N 3 3  + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1)  + +  = M N  (3) 1 + + > nên (3) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = thỏa mãn (*) M N Đ/s: x = C Nhận xét Để tìm lượng cân ax + b = x + ta cách khác sau: Ta viết ( ax + b ) − x − = a x + 3a x 2b + 3axb + b3 − x − = a x3 + ( 3a 2b − ) x + 3ab x + b3 − Ta cần phân tích a x + ( 3a 2b − ) x + 3ab x + b3 − để chứa ( x − 1) = x3 − x + x − a 3a 2b − 3ab b3 − = = = ⇒ a = − a 2b = ab = − b3 −3 −1 a + b3 = ⇒ ⇒ a + b3 = a 2b + ab ⇒ ( a + b ) ( a − ab + b ) − ab ( a + b ) = a b + ab = b = − a ⇒ ( a + b ) ( a − ab + b − ab ) = ⇒ ( a + b )( a − b ) = ⇒  a = b Từ ta tìm a = b = thỏa mãn Chú ý, ta ngầm hiểu với a > Đồng thức ⇒ Ví dụ Giải phương trình x + = ( x − 1) x − + x + A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X + − ( X − 1) X − − X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = X + − ( X − 1) X − − X + =0 X −1 Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x =  f (1) =   f ' (1) = Kiểm tra  ⇒ x = nghiệm bội ba (1)  f '' (1) =  ( 3)  f (1) ≠ Nhập vào máy tính Ta cần cân ax + b = x + = ( x + )  a + b = 6.1 + ( )3 =  ⇒ ⇒ a = b = 2 a = ( x + )− 12 x = ( 6.12 + )− 12.1 =  3 Quan sát ( x − 1) x − có x − Ta cần cân cx + d = x − để liên hợp có nhân tử ( x − 1) (nghiệm kép) Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC c.1 + d = 2.1 − = c =  ⇒ ⇒ = = d = c = 2x −1 2.1 −  Dựa phân tích đó, ta có lời giải tốn sau: B Lời giải ĐK: x ≥ (*) ) ) ( ( Khi (1) ⇔ ( x − 1) x − x − + x + − x + − x ( x − 1) − x − + x + = 2 Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) x + + ( x + ) > 0, ∀x ≥ x − ( x − 1) ( x + 1) − ( x + ) Ta có ( x − 1) + =0 T x + 2x −1 ( x − 1)( x − 1) ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = x3 − 3x + 3x − + =0⇔ T T x + 2x −1 x + 2x −1 1 3 ⇔ ( x − 1)  + =0 (2)  x + 2x −1 T  1 + > nên (2) ⇔ x = thỏa mãn (*) Với x ≥ T > ⇒ x + 2x −1 T Đ/s: x = 3 Ví dụ 10 Giải phương trình x + x − = x x − + ( x + 1) x − A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X + X − − X x − − ( X + 1) X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) Nhập vào máy tính X + X − − X x − − ( X + 1) X − : ( X − ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) Nhập vào máy tính X − X + − X − − X + : ( ( X − )( X − 1) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Như (1) có hai nghiệm x = x = ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1)( x − ) = x − 3x + Ta cần cân ax + b = x − biết hai nghiệm x = 1, x = a.1 + b = 5.1 − = ⇒ ⇒ a = b = a.2 + b = 5.2 − = Ta cần cân cx + d = x − biết hai nghiệm x = 1, x = c.1 + d = 3.1 − = c = ⇒ ⇒ c.2 + d = 3.2 − = d = ( ) ( ) Từ ta nhóm x x − x − + ( x + 1) x + − x − − x − ( x + 1) + x + x − = ⇔ x x − ( 3x − ) x + 3x − x ( x − 3x + ) ( x + 1) − ( 5x − 1) − x + 3x − = + ( x + 1) x + + 5x −1 ( x + 1) ( x − 3x + ) ⇔ + − ( x − 3x + ) = x + 3x − x + + 5x − Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x x +1   ⇔ ( x − 3x + )  + − 1 =  x + 3x − x + + x −  X X +1 + −1 = Nhập vào máy tính X + 3X − X + + 5X −1 Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = X X +1   Nhập vào máy tính  + − 1 : ( X − ) =  X + 3X − X +1 + X −1  Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = X X +1   Nhập vào máy tính  + −  : ( ( X − )( X − 1) ) =  X + 3X − X + 1+ 5X −1  Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm x x +1 Ta sử lý T = + − x + 3x − x + + 5x − 1 x x +1 − + − T= x + 3x − 2 x + + x − = = x − x − 3x − ( x + 3x − x − 3x − ( x + 3x − ) + ( x + 1) − x − − x − ( x + + 5x −1 x + − 5x − + ) 2( x +1+ 5x − ) ) Lượng cân thích hợp lại xuất lời giải toán bắt đầu Một hướng tiếp cận khác sau: Kiểm tra (1) có nghiệm kép x = 1, x = Quay trở lại việc cân ban đầu, ta thấy lượng cân chưa đủ mạnh, cần cân mạnh để nghiệm kép x = 1, x = Tư Liên hợp nghiệm kép x = trước sau liên hợp nghiệm kép x = Hướng khó khăn ta hình dung liên hợp nghiệm kép x = trước biểu thức dấu ngoặc cịn lại phức tạp ( Tư Ta nghĩ đến đại lượng x − x − ) ( x + − x − ) Hướng khả quan vế trái (1) có sẵn x x − + ( x + 1) x − Ta có (1) ⇔ ( x + x − 1) = x x − + ( x + 1) x − ( ⇔ x − 3x − ) + ( x +1− ) ( ) x − − ( x − x + ) − ( x + 1) − x + + x + 10 x − = ( ) Tuyệt vời − ( x + 3x − ) − ( x + 1) + x − + x + 10 x − = vừa ( Từ ta có x − x − 2 ) + ( x +1− 5x − ) lời giải toán bắt đầu B Lời giải ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + x − 1) = x x − + ( x + 1) x − ( ⇔ x − 3x − ) + ( x + − 5x − ) − ( x − 3x + 2) − (( x + 1) − 5x + 1) + x ⇔ ( x − 3x − ) + ( x + − 5x − 1) = ⇔ ( x − 3x − ) = ( x + − 5x − ) = 2 2 2 2 + 10 x − = Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  x ≥  x = x − x =  ⇔ ⇔  x = 3x − ⇔ thỏa mãn (*) x =  x + = x −  ( x + 1) = x −  x = Đ/s:  x = Lời giải 2 ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x x − x − + ( x + 1) x + − x − − x − ( x + 1) + x + x − = ( ) ⇔ x ( ) ( x + 1) − ( x − 1) − x + 3x − = + ( x + 1) x − ( 3x − ) x + 3x − x ( x − 3x + ) x + + 5x −1 ( x + 1) ( x − 3x + ) ⇔ + − ( x − 3x + ) = x + 3x − x + + 5x − x x +1   ⇔ ( x − 3x + )  + − 1 =  x + 3x − x + + x −   x − 3x + = ⇔ x x +1  + −1 = (3)  x + x − x + + x − • • x =1 TH1 x − x + = ⇔  thỏa mãn (*) x = x x +1 TH2 Ta có (3) ⇔ − + − =0 x + 3x − 2 x + + x − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x − x − 3x − ( x + 3x − x − 3x − ( x + 3x − ) + ( x − 3x + ( ( x + + 5x − x + − 5x −1 ) ) x + − 5x − ) ) =0 =0 ( x + 1) − ( x − 1) 2 2 x + 3x − 2 ( x + 1) − x − − x − ) ( x − ( 3x − ) x + 3x − + + + ( x + + 5x −1 x − 3x + ) =0 =0 ( x + + 5x −1 )  1 ⇔ ( x − 3x + )  +   x + 3x − x + + 5x −1  x = ⇔ x − 3x + = ⇔  thỏa mãn (*) x = ( ) ( )  =0    x = Đ/s:  x = Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016