Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 05 KĨ THUẬT LIÊN HỢP BA NGHIỆM HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN x3 + 13 x + 14 x + Ví dụ [Video] Giải phương trình x x + = x2 + x + + x − x − 10 − x Ví dụ [Video] Giải phương trình x − 13 = + 10 − x ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) Ví dụ [Video] Giải phương trình x − x − x + = x + x − + x + x − x + 3x3 + x + x + Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x + x + = ( x ∈ ℝ) x3 + x + 2 x + x + ≥ PHÂN TÍCH CASIO Tương tự ví dụ 2, với điều kiện  , ta tìm nghiệm  x + x + ≠ toán chức SHIFT CALC bảng TABLE sau: X + 3X + X + X + Nhập hàm số F ( X ) = X + X + − Và nhập giá trị: X3 + X +2 • Start = −1 X F(X) • End = -1 ERROR • Step = 0.5 -0.5 -0.045 Ta bảng bên Và ta thấy phương trình có nghiệm 0 x = {0;1} Với nghiệm hữu tỷ, ta chọn x = thấy 0.5 0.0104 ( 2 x3 + x + = = x + , biểu thức liên hợp mà ta chọn ) x3 + x + − x − 1.5 2.5 3.5 4.5 Khi phương trình cho tương đương với: x + 3x3 + x + x + 2 x3 − x x3 + x + − x − = − x − = x3 + x + x3 + x + Nhưng trước liên hợp, ta cần xét trường hợp:  x + ≤ x3 + x2 + + x + = ⇔  ⇔ x = −1 ( loại điều kiện ) 2 x ( x − 1) = Từ suy x3 − x x3 − x x3 + x2 + = + x + ⇔ x3 + x2 + − x − = x + x+2 x +x+2  x ( x − 1) = x3 − x x3 − x  ⇔ = ⇔  x3 + x + = x3 + ( ∗) x3 + x + + x + x + x +  Điều kiện x + x + ≥ Phương trình (*) tương đương với 0.1168 0.5825 1.4004 2.5 3.8219 5.3173 6.9906 8.795 2 x3 + x + = x3 + ⇔ x = x + x + − 2 x + x + + ⇔x = (  x + = x3 + x2 + 2x + x + −1 ⇔  − x + = x3 + x2 +  ) (1) ( 2) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ {−1;0;1}   2 x x − = x + x + = x + x + x − x = ( )    x ≤ x ≤  x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x =0 ( 2) ⇔     x − x + = x + x + 2 x + x =  x ( x + 1) = Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm S = {0;1}  x ≥ −1 (1) ⇔  Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x = x − x − 12 + ( x + ) x + x − + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: x − x − 12 ≥ Đây toán chứa bậc hai, lẫn bậc ba, giải pháp tối ưu liên hợp chứa bậc ba nên toán có ba nghiệm Vậy ta dùng bảng TABLE để xét miền nghiệm sau: Nhập hàm số F ( X ) = X − X − X − 12 − ( x + ) X + X − − Nhập giá trị: • Start = −5 • End = • Step = 0.5 Ta có bảng TABLE bên Và thấy phương trình cho có tới nghiệm Mục tiêu ta tìm biểu thức liên hợp với thức, nên ta xét sau: ( x + 2) x2 + x − • V ới X -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 chứa nghiệm x = −2 nên ta cần tìm biểu thức liên hợp với x + x − cho xuất nhân tử ( x + 1)( x − )( x − 3) Đặt X 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 F(X) 38.9 28.911 19.834 10.015 5.2474 1.9884 -0.753 ERROR ERROR b − a = −2 a =  x + x − = ax + b ⇒ 2a + b = ⇔  , b = −  3a + b =  biểu F(X) ERROR ERROR ERROR ERROR -1.031 2.2055 5.4071 9.5409 14.578 thức liên h ợp x − − x2 + x − x − x − 12 , ta đặt • V ới  4m + 2n + p = m =   x − x − 12 = mx + nx + p ⇒ 9m + 3n + p = ⇔ n = −1 , m − n + p = p =   2 biểu thức liên hợp x − x − x − x − 12 Do phương trình cho tương đương với: x − − x − x − 12 − ( x + ) x + x − = ) ( ) ( ⇔ x − x − x − x − 12 + ( x + ) x + − x + x − = (x ⇔ − x ) − ( x − x − 12 ) x − x + x − x − 12 ⇔ ( x + ) ( x + 1) x − x − x + x + 12 x − x + x − x − 12 + + ( x + 1) − ( x2 + x − )  + ( x + 1) x + x − + ( x + 2x − x − x3 − x + x + 12 ( x + 1) + ( x + 1) x + x − + ( x + 2x − ⇔ ( x + 1)( x + )( x − )( x − 3) f ( x ) = ⇔ x = −1; x = −2; x = 2; x = ) ) =0 =0 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Với f ( x ) = x − x + x − x − 12 + ( x + 1) + ( x + 1) x + x − + Ta thấy x − x + x − x − 12 = x − x + ( x − x ) − 12 ≥ ( x + 2x − ) 12 ⇒ f ( x) > Vậy phương trình cho có bốn nghiệm kể ( x ∈ ℝ) Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình 3x + x − x + = x − x + PHÂN TÍCH CASIO Tương tự ví dụ bên trên, ta khảo sát nghiệm TABLE sau: Nhập hàm số F ( X ) = X + X − X + − X − X + giá trị X -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 • Start = −3 • End = • Step = 0.5 Bảng TABLE có nhiều điều để nói • Phương trình cho có ba nghiệm gồm x = 0; x = nghiệm nằm khoảng ( −1, 5; −1) Và SHIFT CALC ta tìm nghiệm x = −1.666666667 = − • Điểm ý nghiệm x = có dấu hiệu nghiệm bội hàm số tiếp xúc với trục hoành Sau xác định nghiệm, ta tiếp tục dự đoán biểu thức liên hợp Biểu thức liên hợp có dạng ( ) x − x + + ax + bx + c có chứa ba nghiệm F(X) -65.75 -31.06 -8.871 -2.875 6.1435 3.625 -0.625 1.0369 7.0161 20.844 44.894   a = − 1 + a + b + c =   5   ⇔ b = , nhân tử liên hợp cần 0;1; −  , ta có hệ phương trình 1 + c = 3   29 25   + a− b+c=0 c = −1 9   tìm x − x + − x + x − Khi phương trình cho tương đương với: ) ( 3x + x − x + − x − x + = x3 + x − x − x − x + − x + x − = ) ( ⇔ x ( x − 1)( x + ) − x − x + − x + x − = ( ∗) x ( x − 1)( x + ) 1  Chú ý: x − x + =  x −  + > 0; ∀x x − x + − x + x − = 2  x4 − x + + x2 − x +   x ( x − 1)( x + ) 4x = ⇔ x ( x − 1)( x + ) 1 − ( ∗) ⇔ x ( x − 1)( 3x + 5) − =0 4 2 x − x +1 + x − x +  x − x +1 + x − x +  2  x ( x − 1)( x + ) = ⇔ x ( x − 1)( x + ) x − x + + x − x + = ⇔   x − x + + x − x + = ) ( Dùng TABLE ta khảo sát x − x + + x − x + ≥ , thật vậy, ta có: x4 − x + + x2 − 5x + = ( 4x + x + 3) ( x − 1) + ( x − 1) + x − x + 2 ≥ x − + x − x + = ( x − 1) ≥ Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (i ) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  x = 0; x = Do suy phương trình ( i ) vô nghiệm hay nói cách khác ( ∗) ⇔  x = −  Vậy phương trình cho có ba nghiệm kể Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − x + = ( x − 3) x − + ( x − ) x − A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − ( X − ) X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) ( ) Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − ( X − ) X − : ( X − 3) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − ( X − ) X − : ( ( X − 3)( X − ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) Nhập vào máy X − X + − ( X − 3) X − − ( X − ) X − : ( ( X − 3)( X − )( X − ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = 2, x = 3, x = ⇒ ( x − )( x − 3)( x − ) = Quan sát ( x − ) x − có x − ( x − ) x − có x − Ta cần cân ax + b = x − biết nghiệm x = 2, x = 2a + b = 4.2 − = a = ⇒ ⇒ ⇒ nhóm x − − x − 4a + b = 4.4 − = b = −1 Ta cần cân cx + d = x − biết nghiệm x = 2, x = 2c + d = 3.2 − = c = ⇒ ⇒ ⇒ nhóm x − − x − = − d + = − = c d 3.3   Lời giải B (*) Khi (1) ⇔ x − x + − ( x − 3) x − − ( x − ) x − = ĐK: x ≥ ( ) ( ) ⇔ ( x − 3) x − − x − + ( x − ) x − − x − − ( x − x + 3) − ( x − x + ) + x − x + = ⇔ ( x − 3) ( x − 1) − ( x − ) + ( x − 1) − ( 3x − 5) = ( x − 4) x −1 + 4x − x − + 3x − 2 ( x − 3) ( x − x + ) ( x − ) ( x − x + ) ⇔ + =0 x −1 + 4x − x − + 3x − ( x − 3)( x − )( x − ) + ( x − )( x − )( x − 3) = ⇔ x −1 + 4x − x − + 3x − 1   ⇔ ( x − )( x − 3)( x − )  + =0  x − + x − x − + 3x −  1 + > Với x ≥ ⇒ x − + x − x − + 3x − (2) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x = Do (2) ⇔ ( x − )( x − 3)( x − ) = ⇔  x = thỏa mãn (*)  x = Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − x + = ( x − 3) 3x − + x − x + A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − X − X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) ( ) ( ) Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − X − X + : ( X − 3) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − X − X + : ( ( X − 3)( X − ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = Nhập vào máy tính X − X + − ( X − 3) X − − X − X + : ( ( X − 3)( X − )( X − 1) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = 1, x = 2, x = ⇒ ( x − 1)( x − )( x − 3) = Quan sát ( x − ) x − có x − Ta cần cân ax + b = x − biết nghiệm x = 1, x = a + b = 3.1 − = a = ⇒ ⇒ ⇒ nhóm x − x − 2a + b = 3.2 − = b = Ta cần cân cx + d = x − x + biết nghiệm x = 1, x = 2, x = c + d = 9.12 − 8.1 + =   ⇒ 2c + d = 9.2 − 8.2 + = ⇒ c = d = ⇒ nhóm x + − x − x +  3c + d = 9.3 − 8.3 + = Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x − x + − ( x − 3) 3x − − x − x + = ) ) ( ( ⇔ ( x − 3) x − x − + x + − x − x + − x ( x − 3) − x − + x − x + = Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) x − x + + ( x − x + ) (2) x +1  2  =  x2 − 8x + +  + ( x + 1) > 0, ∀x ≥   Do (2) ⇔ ( x − 3) x − ( 3x − ) ( x + 1) − (9 x2 − 8x + ) + =0 T x + 3x − ( x − 3)( x − 1)( x − ) + x3 − x + 11x − = ⇔ T x + 3x − ( x − 1)( x − )( x − 3) + ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇔ T x + 3x − Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 1  ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3)  + =0  x + 3x − T  1 + > Với x ≥ T > ⇒ x + 3x − T x = Do (3) ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇔  x = thỏa mãn (*)  x = (3) Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x3 + x − − ( x − ) x − = x − 10 x + x3 + x − A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X + X − − ( X − ) X − − X − 10 X + X + X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) ( ) Nhập vào máy X + X − − ( X − ) X − − X − 10 X + X + X − : ( X − 3) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = Nhập vào máy X + X − − ( X − ) X − − X − 10 X + X + X − : ( ( X − 3)( X − ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = Nhập vào máy (X ) + X − − ( X − ) X − − X − 10 X + X + X − : ( ( X − 3)( X − )( X − 1) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = 1, x = 2, x = ⇒ ( x − 1)( x − )( x − 3) = Quan sát ( x − ) x − có x − Ta cần cân ax + b = x − biết nghiệm x = 1, x = a = a + b = 6.1 − = ⇒ ⇒ 3a + b = 6.3 − = b = Đại lượng x − 10 x + x + x − có nhân với nên việc cân bình thường phức tạp Chú ý, dễ dàng thấy được, với x = 1, x = 2, x = Do ta nhóm x − 10 x + = x3 + x − x3 + x − − x − 10 x + → x3 + x − ( ) x + x − − x − 10 x + với Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải  x3 + x − ≥   ĐK:  x ≥  6 x − 10 x + ≥ (*) ( ) Khi (1) ⇔ ( x − ) x + − x − + x + x − ( ) x3 + x − − x − 10 x + = (2)   Ta có x − 10 x + =  x − > ⇒ T = x + x − + x − 10 x + >  + 6  x + x − 1) − ( x − 10 x + ) ( x + 1) − ( x − ) ( + x + x − =0 Do (2) ⇔ ( x − ) T x +1+ 6x − 2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( x − ) ( x − x + 3) x3 − x + 11x − =0 T x +1 + 6x − ( x − )( x − 1)( x − 3) + x3 + x − ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇔ T x +1+ 6x −  x3 + x −  ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3)  + =0  x + + 6x −  T   ⇔ + x + x − (3) x3 + x − > T x +1 + 6x − x = Do (3) ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇔  x = thỏa mãn (*)  x = Với (*) T > ⇒ + Ví dụ 10 [Tham khảo] Giải phương trình x − x = ( x − 3) x − + ( x − ) x − ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x − x − ( x − 3) x − + x − x − ( x − ) x − = ( ) ( ) ⇔ ( x − 3) x − x − + ( x − ) x − x − = ( x − 3) ( x − 3x + ) ( x − )( x − 1)( x − 3) ⇔ + =0 x + 3x − x + 4x − 1   ⇔ ( x − )( x − 1)( x − 3)  + =0  x + 3x − x + x −  1 Ta thấy + > 0, ∀x ≥ nên thu ( x − )( x − 1)( x − 3) = ⇔ x ∈ {1; 2;3} x + 3x − x + x − Kết luận phương trình cho có ba nghiệm Ví dụ 11 [Tham khảo] Giải phương trình x − x + 13 x − 11x = ( x − ) x − + ( x − ) x − Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với x − x + 11x − x + x − x − ( x − 3) x − + x − x − ( x − ) x − = ( ) ( ) ⇔ ( x − 3) x − x − + ( x − ) x − x − + x ( x3 − x + 11x − ) = ( x − 3) ( x − 3x + ) ( x − )( x − 1)( x − 3) ⇔ + +x x + 3x − x + 4x − ( x − )( x − 1)( x − 3) = 1   ⇔ ( x − )( x − 1)( x − 3)  + + x =  x + 3x − x + x −  1 Ta thấy + + x > 0, ∀x ≥ nên thu ( x − )( x − 1)( x − 3) = ⇔ x ∈ {1; 2;3} x + 3x − x + x − Kết luận phương trình cho có S = {1; 2;3} Ví dụ 12 [Tham khảo] Giải phương trình x − x = ( x − 1) x − + ( x − ) x − ( x ∈ ℝ) Lời giải Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với x3 − x − ( x − 1) x − + x − x − ( x − ) x − = ( ) ( ) ⇔ ( x − 1) x − x − + ( x − ) x − x − = (x ⇔ − 1)( x − x + ) (x + − )( x − x + 3) =0 x + 5x − x + 4x − ( x + 1)( x − 1)( x − )( x − 3) + ( x − )( x + )( x − 1)( x − 3) = ⇔ x + 5x − x + 4x − x +1 x+2   ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3)  + =0  x + 5x − x + 4x −  x +1 x+2 Nhận xét + > 0, ∀x ≥ nên ta thu ( x − )( x − 1)( x − 3) = ⇔ x ∈ {1; 2;3} x + 5x − x + 4x − Kết luận phương trình cho có S = {1; 2;3} Em gái Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016