Đang tải... (xem toàn văn)
đây tổng hợp nhiều tài liệu hay, có ích trong việc học tập của các sĩ tử đang ôn thi vào lớp 1, đặc biệt là các trường chuyên môn toán vào các trường chuyên của các tỉnh khác nhau. dặc biệt tài liệu này dành cho ai muốn đạt được điểm 10 vàchinh phục được những bài toán khó ở cuối đề thi. đây chỉ là tài liệu sưu tầm được, có đáp án khá đầy đủ và chi tiết. mong rằng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho mội người từ học sinh đến giáo viên
Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Bài 1: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 HƯỚNG DẪN Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = ⇔ x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ ⇒ mim S = x = y = Bài 4: a) Cho a, b, c > Chứng minh : bc ca ab + + ≥a+b+c a b c b) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab HƯỚNG DẪN a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương bc ca bc ab ca ab ; ; , ta a b a c b c có: bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab + ≥2 = 2c; + ≥2 = 2b ; + ≥2 = 2a cộng a b a b a c a c b c b c vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c 3a + 5b ≥ 3a.5b 12 12 ⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤ ⇒ max P = 5 b) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : Dấu xảy 3a = 5b = 12 : ⇔ a = ; b = 6/5 Bài Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 HƯỚNG DẪN 1 1 Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – )2 + ≥ Dấu “=” xảy a = 4 1 Vậy M = ⇔ a=b= Bài Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b HƯỚNG DẪN Đặt a = + x ⇒ b = – a = – (1 + x) = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = 3 Bài Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b HƯỚNG DẪN Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 ⇔ 4ab > ⇔ ab > Vậy a b hai số dấu Bài a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ HƯỚNG DẪN a) Xét hiệu : (a + 1) – 4a = a + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 2 Bài Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) HƯỚNG DẪN a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) Bài Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) HƯỚNG DẪN Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = Bài Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN 2M = (a + b – 2) + (a – 1) + (b – 1) + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998 2 a + b − = Dấu “ = “ xảy có đồng thời : a − = Vậy M = 1998 ⇔ a = b = b − = Bài Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = HƯỚNG DẪN Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = Bài 10 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = HƯỚNG DẪN Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 a+b a+b ab ≤ viết lại dạng ab ≤ (*) (a, b ≥ 0) Bất đẳng thức Cauchy Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta : 2x + xy 2x.xy ≤ =4 Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = ⇒ max A = ⇔ x = 2, y = Bài 11 Cho S = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 HƯỚNG DẪN 1998 > Áp dụng ta có S > 1999 ab a + b Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : Bài 12 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + ≥2 y x x y2 x y b) + − + ≥ x y x y a) x y4 x y2 x y c) + − + + + ≥ x y x y x y HƯỚNG DẪN x y x + y − 2xy (x − y) x y + −2= = ≥ Vậy + ≥ y x xy xy y x 2 2 x y x y x y x y x y b) Ta có : A = + − + = + − + + + Theo câu a : x y x y x y x y x y 2 a) 2 x y2 x y x y A ≥ + − + + = − 1 + − 1 ≥ x y x y x y x y4 x y2 x y c) Từ câu b suy : + − + ≥ Vì + ≥ (câu a) Do : y x y x y x x y4 x y2 x y + − + + + ≥ x y x y x y Bài 13 Cho số x y khác Chứng minh : Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN x y x y2 + + ≥ 3 + y x y x Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 HƯỚNG DẪN 2 x y x y x y2 Đặt + = a ⇒ + + = a Dễ dàng chứng minh + ≥ nên a2 ≥ 4, y x y x y x | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a ⇔ a2 – 3a + ≥ ⇔ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài toán chứng minh x y2 z2 x y z Bài 14 Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x HƯỚNG DẪN Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x z + y x + z x − ( x z + y x + z y ) xyz x y2 z2 ≥ Cần chứng minh tử không âm, tức : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1) Biểu thức không đổi hoán vị vòng x ⇒ y ⇒ z ⇒ x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp : a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ ⇔ z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ Dễ thấy x – y ≥ , x – y z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ ⇔ z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức dúng Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 2 x y z x y z − 1 + − 1 + − 1 + + + ≥ y z x y z x Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) HƯỚNG DẪN a) Ta có : (a + b) + (a – b) = 2(a + b ) ⇒ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự câu b 2 2 Bài 16 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ HƯỚNG DẪN Giả sử a + b > ⇒ (a + b)3 > ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > ⇔ + 3ab(a + b) > Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 ⇒ ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 ⇒ (a – b)2 < 0, vô lí Vậy a + b ≤ Bài 17 Tìm giá trị nhỏ : A = x y z + + với x, y, z > y z x HƯỚNG DẪN Không dùng phép hoán vị vòng quanh x y z x giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : A= x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x x y z x y z + + =3 ⇔ = = ⇔x = y=z y z x y z x x y z x y y z y x y Cách : Ta có : + + = + + + − Ta có + ≥ (do x, y > 0) nên y z x y x z x x y x x y z y z y để chứng minh + + ≥ ta cần chứng minh : + − ≥ (1) y z x z x x Do (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x Bài 18 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = HƯỚNG DẪN Ta có x + y = ⇒ x + 2xy + y = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ A = x = y = 2 Bài 19 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = HƯỚNG DẪN Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3 xyz (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) 2 9 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A ⇒ A ≤ 2 max A = x = y = z = 9 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Bài 20 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) HƯỚNG DẪN Hiệu vế trái vế phải (a – b) (a + b) Bài 21 Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a +b HƯỚNG DẪN ≥ với x, y > : xy (x + y) a c a + ad + bc + c 4(a + ad + bc + c ) + = ≥ (1) b+c d+a (b + c)(a + d) (a + b + c + d) b d 4(b + ab + cd + d ) Tương tự (2) + ≥ c+d a+b (a + b + c + d) Áp dụng bất đẳng thức Cộng (1) với (2) a b c d 4(a + b + c + d + ad + bc + ab + cd) + + + ≥ = 4B b+c c+d d+a a +b (a + b + c + d)2 Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức tương đương với : 2B ≥ ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ ⇔ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : Bài 22 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + HƯỚNG DẪN a) Do hai vế bất đẳng thức không âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B | ⇔ | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 ⇔ A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | ⇔ AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥ b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x) ≥ ⇔ -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = ⇔ -2 ≤ x ≤ Bài 23 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 HƯỚNG DẪN x ≤ −1 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ ⇔ x ≥ Đặt ẩn phụ x − 4x − = y ≥ , ta : 2y2 – 3y – = ⇔ (y – 2)(2y + 1) = Bài 24 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN x +x Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 HƯỚNG DẪN x x ≥ Do : A = x + x ≥ ⇒ A = ⇔ x = Điều kiện tồn Bài 25 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x Điều kiện : x ≤ Đặt HƯỚNG DẪN − x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x ⇒ x = – y2 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13 13 13 11 ≤ max B = ⇔ y=½ ⇔ x= 4 4 Bài 26 So sánh : n + − n + n+1 − n (n số nguyên dương) Ta có : Mà ( n + − n +1 )( HƯỚNG DẪN ) n + + n + = n + + n + > n + + n nên ( n+1 − n )( ) n + + n = n+2 − n + < n + − n Bài 27 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) HƯỚNG DẪN A = - | – 3x | + | 3x – | = ( | 3x – 1| - 1/2 )2 + 3/4 ≥ 3/4 Từ suy : A = 3/4 ⇔ x = 3/4 x = 1/6 Bài 28 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2)2 + (x + y + z) = HƯỚNG DẪN x = ; y = ; z = -3 Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + HƯỚNG DẪN P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = ⇔ ≤x≤ 5 Bài 30 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y x + y2 CMR: ≥2 x−y HƯỚNG DẪN Cách : Xét x + y − 2(x − y) = x + y − 2(x − y) + − 2xy = (x − y − 2)2 ≥ x + y2 ) ( x + y2 Cách : Biến đổi tương đương ≥2 2⇔ ≥8 x−y ( x − y) ⇔ (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 ⇔ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ ⇔ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ ⇔ (x2 + y2 – 4)2 ≥ Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : x + y x + y − 2xy + 2xy (x − y) + 2.1 = = = (x − y) + ≥ (x − y) x−y x−y x−y x−y x−y (x > y) 6+ 6− − 6+ − 6− ;y= x = ;y= 2 2 1 1 1 Bài 31 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : + 2+ = + + a b c a b c Dấu đẳng thức xảy x = HƯỚNG DẪN 1 1 1 2(c + b + a 1 1 = + + = + + + 2 + + = + + + a b c b c abc a b c ab bc ca a 1 = + + Suy điều phải chứng minh a b c Bài 32 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) HƯỚNG DẪN Ta có x (x + 2y – 3) + (y – 2) = ⇔ (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ Do : A2 – 4A + ≤ ⇔ (A – 1)(A – 3) ≤ ⇔ ≤ A ≤ A = ⇔ x = 0, y = ± max A = ⇔ x = 0, y = ± 2 2 Bài 33 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) HƯỚNG DẪN Đặt 0,999 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân a chữ số 20 chöõ soá a < Thật ta có : < a < ⇒ a(a – 1) < ⇒ a – a < ⇒ a < a Từ a < a < suy a < a < Vậy 0,999 99 = 0,999 99 Muốn cần chứng minh a < 2 20 chöõ soá 20 chöõ soá Bài 34 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = HƯỚNG DẪN a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b | A ≤ | x | + + | y | + = + ⇒ max A = + b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b A≥|x|- |y|-1=4- ⇒ A = - (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) Bài 35 Tìm giá trị nhỏ A = x + y4 + z4 biết xy + yz + zx = Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Ta có : HƯỚNG DẪN x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy : x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥ (2) 3 Từ (1) , (2) : A = ⇔ x=y=z= ± 3 Bài 36 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ Thay so sánh HƯỚNG DẪN n + n + n+1 ta so sánh n + − n + n + − n Ta có : n + − n +1 < n +1 − n ⇒ n + n + < n +1 Bài 37 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = HƯỚNG DẪN Từ giả thiết ta có : x − y = − y − x Bình phương hai vế đẳng thức ta : y = − x Từ : x2 + y2 = Bài 38 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x HƯỚNG DẪN Xét A để suy : ≤ A ≤ Vậy : A = ⇔ x = ± ; max A = ⇔ x = 2 Bài 39 Tìm giá trị lớn : M = Ta có : M = ( a+ b ) ( ≤ ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ HƯỚNG DẪN a+ b ) ( + a− b ) = 2a + 2b ≤ a = b max M = ⇔ ⇔a=b= a + b = Bài 40 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) HƯỚNG DẪN Xét tổng hai số : ( 2a + b − cd ) + ( 2c + d − ab ) = ( a + b − ab ) + ( c + d − cd ) + a + c = = (a + c) + ( a − b ) + ( c − d ) ≥ a + c > 2 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Bài 41 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z HƯỚNG DẪN Từ x + y + z = xy + yz + zx ⇒ ( x− y ) +( y− z ) +( z− x ) = Vậy x = y = z Bài 42 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n HƯỚNG DẪN Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ( i = 1, 2, 3, … n ) Bài 43 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) HƯỚNG DẪN Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ ab ≥ 0, ta có : a + b + ab ≥ 2(a + b) ab hay ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab Dấu “ = “ xảy a = b Bài 44 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác HƯỚNG DẪN Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta có b + c > a nên b + c + bc > a hay b + c > a Vậy ba đoạn thẳng Do : Ta có : a2 +1 + a2 +1 = a2 +1 ( = a2 +1 a2 +1 ) ) >( a) 2 a2 + a +1 ≥ Khi có đẳng thức ? HƯỚNG DẪN a2 +1 +1 a2 +1 ≥2 b+ c a , b , c lập thành tam giác Bài 45 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 + ( a + = a2 +1 + a2 +1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a2 +1 a2 + = Vậy a2 +1 ≥ Đẳng thức xảy : ⇔ a = Bài 46 Chứng minh ta có : Pn = 1.3.5 (2n − 1) < ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + HƯỚNG DẪN Ta chứng minh qui nạp toán học : Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 10 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 ⇒ x2 + 1 = ⇒ x = ± Vậy M lớn x = ± x2 b) Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = ⇔ a2 + b2 + c2-ab-bc-ac = ( a + b + c ≠ 0) a b c ⇔ ( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = ⇔ a = b = c ⇒ P = (2008+ )(2008 + ) ( 2008 + ) b c a P = ( 2008 + ) ( 2008 + ) ( 2008 + ) = 20093 Bài 20: Giải phương trình: 2011x + x x + 2011 + x = 2010.2011 HƯỚNG DẪN ⇔ (2011 + x + 2011) x − (2010.2011 − x ) = ⇔ (2011 + x + 2011) x − (2011 − x + 2011)(2011 + x + 2011) = ⇔ (2011 + x + 2011)( x + x + 2011 − 2011) = ⇔ x + x + 2011 − 2011 = (do 2011 + x + 2011 > 2011 > ∀x ) ⇔ x = 2011 − x + 2011 ⇔ x4 + x2 + = x + 2011 − x + 2011 + 1 ⇔ x2 + = x2 + 2011 − 1 1 ( x + 2011 − >0; x + >0) ⇔ x + = x + 2011 = x + 2011 − 2 2 ⇔ x + x + = x + 2011 ⇔ x + x − 2010 = ⇔ x2 + ⇔ t + t − 2010 = (đặt t = x , t ≥ ) ⇔ Vậy phương trình cho có tập nghiệm: t = −1 + S = − 8041 (do t ≥ ) ⇔ x = ± − + 8041 2 −1 + 8041 ; − + 32 Bài 21 Tìm a , b , c biết a , b ,c số dương + 1 + + = a b c abc HƯỚNG DẪN Vì a ; b ; c số dương áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 1 +1 ≥ = + ≥ =2 + ≥ 2 2 a b c a b a b ⇒ ⇒ = c c 2 32 = + 1 + + ≥ a b c abc a b c 32 + 1 + + = a b c abc a = a2 = ⇔ = ⇔ b = 2 b 1 c2 = c = Bài 22: a) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x ≥ y ≥ z 3z - 3x2 = z2 = 16 - 4y2 Tìm giá trị lớn biểu thức : zy + yz + zx Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 64 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 b) Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c chu vi 2p = a+ b + c 1 1 1 Chứng minh : + + ≥ 2( + + ) p−a p −b p −c a b c HƯỚNG DẪN 16 - z 2 32 - z ,x = a) Tìm giá trị lớn của: xy + yz + zx Từ giả thiết ta có: y2 = 4 16- z Vì y ≥ z ⇒ ≥ z2 ⇔ 5t2 ≤ 16 ⇔ z ≤ (1) 16 - z 48 - 3t 5t - 16 = ≤0 12 ⇒ x2 ≤ 3y2 ⇔ x ≤ y (2) Từ ⇒ x ⋅ y ≤ y Mặt khác x2 - 3y2 = Ta có: xz = ( ⋅z≤ ( ) x2 + z ≤ y + z2 ( ) ) ( ) y + z ⇒ xy + yz + zx ≤ y2 + y + z2 + y2 + z2 = 2 2 16 − z + z + 3+ + 2 yz ≤ x ( =2 3 + + + ( ) z ≤ ) + 16 32 ⋅ + + = + 16 ,y=z= 5 32 + 16 Vậy giá trị lớn biểu thức xy + yz + zx đạt 4 , , ⇔ (x; y; z ) = ⋅ 5 b+c−a a+c−b b+a−c b) Ta có: P − a = >0, P−b= > 0, P − c = >0 2 1 4 Áp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta có: + ≥ , + ≥ = x y x+ y p − a p −b 2p − a −b c Tương tự ta có: ( + + ) ≥ ( + + ) Dấu “ =” xảy khi: a=b=c Dấu đẳng thức xảy ⇔ x = p −a p −b p−c a b c Bài 23: a.Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1 1 + < (1 + ) x y z xy b.Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác biết: (a + b )(b + c )(c + a ) = 8abc Chứng minh tam giác cho tam giác HƯỚNG DẪN 2 2 a) Ta có ( z − x − y ) = x + y + z + 2( xy − xz − yz ) ⇒ x + y + z + 2(xy − xz − yz ) ≥ ∀x, y , z Chứng minh Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 65 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 ⇒ xz + yz − xy < 1 1 ⇒ + − < y x z xyz ⇒ xz + yz − xy ≤ (x + y + z )= < + xy b) (a + b )(b + c )(c + a ) = 8abc ⇔ a 2b + bc − 2abc + ac + ab − 2abc + b c + a c − 2abc = ⇒ 1 + < x y z ( ) ( ⇔ b(a − c ) + a (b − c ) + c (b − a ) = 2 Ta có: b(a − c ) ≥ ) ( ) ∀a, b, c a (b − c ) ≥ ∀a, b, c c(b − a ) ≥ ∀a, b, c mà a, b, c ≠ 2 ⇒ b(a − c ) + a (b − c ) + c (b − a ) ≥ ∀a, b, c 2 c(a − b ) Dấu xảy a ( b − c ) b (a − c) = = ⇒a =b=c = Kết luận: Vậy tam giác có cạnh nên tam giác Bài 24: a) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820 b) Cho x, y, z > 0, x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức C = (xyz)(x+y)(y+z)(z+x) HƯỚNG DẪN a) Do 1820 ⋮ 13 13y2 ⋮ 13, x y số nguyên nên ta cần có 7x2⋮ 13 ⇔ x2⋮ 13 ⇔ x⋮ 13 (vì 13 số nguyên tố)⇔ x = 13m với m ∈ Z Tương tự 1820 ⋮ 7x2⋮ 7, x y số nguyên nên ta cần có 13y2 ⋮ ⇔ y2 ⋮ ⇔ y⋮ (vì số nguyên tố)⇔ y = 7n với n ∈ Z Khi phương trình cho trở thành: 7(13m)2 + 13(7n)2 = 1820 ⇔ 13m2 + 7n2 = 20 m =0 ⇒ 13m2 ≤ 20 ⇒ m2 ≤ ⇒ , (vì m ∈ Z) + Nếu m = 20 m = ⇔ n = 20 ⇔ n = ∉ Z (loại) x = ±13 + Nếu m = ⇔ + n = ⇔ n = ⇔ n = ⇔ y = ±7 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (-13; -7) (-13; 7), (13; -7) (13; 7) b) x, y, z > 0, x + y + z = Áp dụng BDT côsi cho số dương : 3 x + y + z 1 xyz ≤ (1) = = 3 27 3 Tương tự ( x + y )( y + z )( z + x ) ≤ x + y + y + z + z + x = = 27 3 Từ (1),(2) ⇒ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) ≤ 729 Vậy giá trị lớn biểu thức x = y = z = 729 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN (2) 66 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Bài 25: a) Cho a , b, c, d > Chứng minh : a b c d 1< + + + x2 + y2 + xy * Vậy x≤ y ≤ - Với x =2 thay vào phương trình ta + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 ⇒ Phương trình nghiệm nguyên - Với x =-2 thay vào phương trình ta - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 ⇒ Phương trình nghiệm nguyên - Với x =1 thay vào phương trình ta + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phương trình ta - y + y2 = y2 hay 1- y = ⇒ y =1 - Với x = thay vào phương trình ta y =0 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 67 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Thử lại ta phương trình có nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) Bài 27: Cho số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 HƯỚNG DẪN Cho số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88=0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Ta có: (x + y)(z + t) + xy + 88 = ⇔ 4(x + y)(z + t) + 4xy + 352 = ⇒ A + 4(x + y)(z + t) + 4xy = = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 + 4xz + 4xt + 4xy + 4yz + 4yt = = x2 + 4x(y + z + t) + 4(z + y + t)2 + 4y2 - 4yz + z2 + z2- 8zt +16t2 + y2- 4yt + 4t2 = = [x + 2(z + y + t)]2 + (2y - z)2 + (z - 4t)2 + (y - 2t)2 ≥ A ≥ 352 Dấu bất đẳng thức xảy ra: 2y – z = z - 4t = ⇔ y - 2t = x + 2y + 2z + 2t = (x + y)(z + t)+ xy + 88 = ⇒ (x; y; z; t) (14; -2; -4; -1) (-14; 2; 4; 1) Bài 28: x4 + a) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho số nguyên dương x y +1 b) Cho x, y , z số dương thoả mãn xyz ≥ x + y + z + tìm giá trị lớn x + y + z HƯỚNG DẪN a) áp dụng BĐT Cautry cho ba số dương x, y, z Ta có x + y +z ≥ 33 xyz Biến đổi ( x + y + z)3 ≥ 27(x + y + z +2 ) Đặt T = x + y + z > ⇒ T ≥ Tìm GTNN T = x = y = z =2 Biến đổi ( T - 6) ( T + 3)2 ≥ x4 + b) Đặt = a Với a số nguyên dương x4 + = a(x2y + 1) ⇔ x2(x2- ay) = a - (1) x y +1 Xét trường hợp sau : x =1 x2 =1 TH1: Nếu a = từ (1) ta có : x2(x2- y) = - 1⇒ ⇔ y = 1 − y = − 2 TH2: Nếu a=2 từ (1) có x (x - 2y)=0, suy x =2y nên có x= 2k, y=2k2 với k số nguyên dương TH3: Nếu a > từ (1), có a – > (a – 2) chia hết cho x2 nên a – ≥ x2 ⇔ a ≥ x2 + > x2 Từ ⇒ < x2- ay < x2- x2y ≤ Điều không xảy Vậy: Cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đề : (1; 2) (2k; 2k2) với k số nguyên dương Bài 29: Cho số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 68 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 ab bc ca + + ≤1 a5 + b5 + ab b5 + c5 + bc c5 + a5 + ca HƯỚNG DẪN Ta có a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 – ab3 +b4 ) =(a + b)[(a - b)2(a2 + ab + b2) + a2b2) Do ( a - b ) ≥ ; a ,b ,c > , nên ( a - b ) ( a + a b + b ) ≥ Suy a5 + b5 ≥ a2 b2 ( a + b ) Đẳng thức sảy a = b ab ab 1 c Do đó: (1)( ≤ = = = 2 5 a + b + ab a b ( a + b ) + ab ab ( a + b ) + ab ( a + b + c ) a + b + c có abc =1) bc a ca b ≤ ≤ (2) (3) b5 + c5 + bc a + b + c c5 + a5 + ca a + b + c ab bc ca a+b+c Cộng vế (1); (2); (3) ta có + + ≤ =1 a5 + b5 + ab b5 + c5 + bc c5 + a5 + ca a + b + c Chứng minh tương tự tacó Dấu “=” xảy a = b = c = 1 1 + + = x y z Chứng minh ba số x, y, z 2006 1 1 Áp dụng giải phương trình sau: + = + 2x +1 x −1 x + 2x − HƯỚNG DẪN Từ giả thiết ta có: 1 1 1 1 x+ y x+ y+z−z + + = ⇔ + + − =0 ⇔ + =0 x y z x+ y+z x y z x+ y+ z xy z (x + y + z ) x + y = = ⇔ ( x + y )(x + z )( y + z ) = ⇔ x + z = ⇔ ( x + y ) + ⇔ ( ) xy z x + y + z y + z = Kết luận: Vậy ba số x, y, z 2006 * Đặt a = 2x + 1, b = x - 1, c = - x- ⇒ a + b + c = 2x - 1 1 Phương trình (*) trở thành + + = theo kết câu a ta có a b c a+b+c ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = Bài 30: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2006 2006 z = 2006 y = 2006 x = 2006 ⇒ a + b = ⇔ x + + x − = ⇔ x = 0(t / m) b + c = ⇔ x − − x − = (vô lí) a + c = ⇔ x + − x − = ⇔ x − = ⇔ x = ( loại) Vậy phương trình có nghiệm là: x = x2 y2 z2 + + Bài 31: Cho x, y, z > thoả mãn: x + y + z = Tìm GTNN P = y+z z+x x+ y HƯỚNG DẪN Vì x, y, z > ta có: áp dụng BĐT Côsi số dương Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN x2 y+z y+z ta được: 69 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 x2 y + z + ≥ y + z x2 y + z x = = x (1) Tương tự ta có: y + z y2 x+z z2 x+ y + ≥ y (2) v + ≥ z (3) x+z x+ y Cộng (1) + (2) + (3) ta được: x2 y2 z2 x + y + x + + ≥ x + y + z ⇒ P ≥ + y + z z + x x + y Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = (x + xy + z )− x + y + z = 2 Vậy P = ⇔ x = y = z = 3 Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1) HƯỚNG DẪN Nhận thấy x = y = nghiệm Với x,y ≠ (1) ⇔ y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2) ⇒ x2 – phải bình phương số nguyên x + a = Hay: x2 – = a2 ⇔ x2 – a2 = ⇔ ( x − a )( x + a) = ⇒ ⇒ x = ⇒ x = ±4 x − a = Thay x =- 4, ta được: y=1; y=-2 Thay x = 4, ta được: y= 1; y=2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2) Bài 33: Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = ( x + 1)( y + 1) đạt giá trị nhỏ Tìm GTNN HƯỚNG DẪN P = (x4 + 1) (y4+ 1) = (x4+ y4) + (xy)4 + Đặt: t = xy, ta có: x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t + 100 Khi : P = t4 + 2t2- 40 t + 101= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45= (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45 Suy P ≥ 45 Đẳng thức xảy t = 2⇔ x+y = 10 xy = Vậy giá trị nhỏ P P = 45 khi: (x,y) = 10 + 10 − ; hoặc: 2 10 − 10 + ; 2 Bài 34: a Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21 b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c ≥ a + b3 + c HƯỚNG DẪN a) Đặt S = x + y ; P = xy ⇒ điều kiện cần để hệ có nghiệm S2 ≥ 4P (*) Phương trình cho tương đương với :S3 – SP + 6P = 21 S3 – 3SP + 6P – = 13 ( S – ) ( S2 + 2S - 3P + ) = 13 (2) Xét nhân tử : M = S2 + 2S – 3P + = ( x + y ) + 2(x + y ) – xy + Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 70 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 = x2 + y2 – xy + 2(x +y ) + = [ ] (x − y )2 + (x + 2)2 + (y + 2)2 ≥ Vậy S – M ước số dương số nguyên tố 13 ta xét trường hợp sau : S − = S = x = x = TH1 : ⇔ ⇔ y = P = y = S + S − P + = 13 S = 15 TH2 : S − = 13 vô nghiệm không thoả mãn (*) ⇔ S + 2S − 3P + = P = 86 Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( ; ) ; ( ; ) 3 b) Với số thực x ta có : ( x − 1)( x − 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x − 1) x + + ≥ Do đó: a + b + c − ( a + b3 + c3 ) = a ( a − 1) + b3 (b − 1) + c (c − 1) 2 = a ( a − 1) + b3 (b − 1) + c3 (c − 1) − ( a − 1) − (b − 1) − (c − 1) = ( a − 1)( a − 1) + (b − 1)(b3 − 1) + (c − 1)(c3 − 1) ≥ Suy : a + b + c ≥ a + b3 + c3 Hoặc: 3( a + b + c ) ≥ 3( a + b3 + c3 ) 3( a + b + c ) ≥ ( a + b + c)( a + b3 + c3 ) nhân vào khai triển rút gọn đưa BĐT Bài 35 Cho số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c ≤ 2009 Chứng minh rằng: + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca HƯỚNG DẪN 1 Áp dụng (a + b + c)( + + ) ≥ Ta có a b c ( 2 2+ )(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca) ≥ a + b + c ab + bc + ca ⇒ 2 2+ ≥ ≥ (1) a + b + c ab + bc + ca (a + b + c)2 Mặt khác từ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ => ab+bc+ca ≤ a2+b2+c2 ( a + b + c) 2007 2007 ⇒ ab + bc + ca ≤ ≤3⇒ ≥ = 669 (2) ab + bc + ca 2009 Từ (1) (2) ta có + ≥ 670 dấu = xảy a = b = c = 2 a +b +c ab + bc + ca Bài 36 : Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c ≠ o a + b + c = 1 + + = a b c a6 + b6 + c6 Chứng minh rằng: = abc a + b3 + c3 HƯỚNG DẪN * a + b + c = => a + b = -c => (a + b)3 = -c => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc 1 * + + = => ab + bc + ca = a b c * a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3) * ab + bc + ca = => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 71 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Do * a6 + b6 + c6 = (3abc)2 – 2.3a2b2c2 = 3a2b2c2 + Vậy: a + b + c 3a b c = = abc a + b + c3 3abc + + = Xét biểu thức :P= x+y2+z3 x y z a.Chứng minh rằng: P ≥ x+2y+3z-3? b.Tìm giá trị nhỏ P? HƯỚNG DẪN Bài 37 : Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : a) Xét nghiệm P=(x+y2+x3) = y2-2y+z3-3z+3=(y2-2y+1)+(z3-3x+2)=(y-1)2+(z-1)2(x+2) ≥ (do x+2>0) Vậy P ≥ x+2y+3z-3 b) Áp dụng BĐT Bu nhi a Cốp ski ta có 2 2 + + ≥ (x+2y+3z)( + + ) =[( x ) + ( y ) + ( z ) ] x y z y y z 1 + z x + y = (1 + + 3) =36 x y z ⇒ x+2y+3z ≥ 36 : = ⇒ P ≥ x + y + z − ≥ − = y = z =1 Đẳng thức xảy khi: + + = ⇔ x = y = z =1 x y z x 2y 3z = = x y z Vạy giá trị nhỏ P = x = y = z = Bài 38 Cho tam giác có số đo cạnh 6; 10 Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp tam giác HƯỚNG DẪN B 2 2 Ta có: BC = AB + AC ⇔ 10 = + ⇔ ∆ABC vuông A, nên trung điểm O cạnh huyền BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) F cạnh BC, AC, AB, S, p, r diện tích, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có: 6.8 + + 10 S = pr ⇔ = r ⇒ r = 2 A Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BF, CD = CE, AE = AF Suy ra: BD + CE + AF = p ⇔ BD + (CE + AE) = p D r O 10 r I r E C ⇔ BD + AC = p ⇔ BD = p – AC = p – b = 12 – = Do OD = OB – OD = – = Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 72 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Theo định lý Pi-ta-go tam giác vuông OID, ta có: OI2 = OD2 + ID2 = 12 + 22 = ⇒ OI = Vậy OI = ( ) Bài 39 : Tìm (x;y) thoả mãn x y − + y x − = xy HƯỚNG DẪN + Điều kiên xác định: x ≥ y ≥ (*) + Đặt a = x − 4; b = y − với a b số không âm điều kiện đề trở thành ( a + ) b + ( b + ) a = ( a + )( b + ) ( a + ) b + ( b + ) a 2b 2a 4b 4a + =1 ⇔ + = (1) ⇔ =1 ⇔ 2 b +4 a +4 b +4 a +4 ( a + )( b + ) 4b 4a 4b 4a + Với a; b b + ≤ 1; a + ≤ Do từ (1) suy b + = a + = (2) Giải (2) ta a = b = Do x = y = + Kiểm tra giá trị x, y thoả mãn điều kiện đề Vậy cặp số (8; 8) cặp số cần tìm Bài 40: Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: 1 (1 + )4 + (1 + ) + (1 + ) ≥ 3(1 + )4 a b c + abc Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: 1 (1 + )4 + (1 + ) + (1 + ) ≥ 3(1 + )4 a b c + abc HƯỚNG DẪN Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ta có: 1 1 1 (1 + )4 + (1 + ) + (1 + ) ≥ (1 + )(1 + )(1 + ) a b c a b c 1 Ta chứng minh: (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ (1 + )3 (*) a b c + abc 1 1 1 1 1 Lại theo BĐT Cô-si ta có: (1 + )(1 + )(1 + ) = + + + + + + + a b c a b c ab bc ca abc 3 1 3 ≥ 1+ + + = (1 + ) ≥ (1 + )3 abc + abc abc (abc) abc ( abc+2 = abc+1+1 ≥ 3 abc ) Vậy (*)được chứng minh ⇒ BĐT cho với a,b,c>0 Đẳng thức xảy a=b=c=1 Bài 41: a) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn A = + x + + y + + z + 3( x + y + z ) b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1) HƯỚNG DẪN Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 73 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 a) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn A = + x + + y + + z + 3( x + y + z ) Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được: + x + x ≤ (1 + 1)(1 + x + x) = 2( x + 1) Tương tự: + y + y ≤ (1 + 1)(1 + y + y ) = 2( y + 1) + z + z ≤ (1 + 1)(1 + z + z ) = 2( z + 1) Bởi A = + x + + y + + x + 3( x + y + z ) ≤ 2( x + y + z + 3) − 2( x + y + z ) + 3( x + y + z ) = + (3 − 2)( x + y + z ) ⇒ A ≤ + ( - ) (1 + + 1)( x + y + z ) ≤ + ( - )3 = + (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x + y + z ≤ ) Vậy giá trị lớn A : + , x = y = z = b) Nhận thấy x = y = nghiệm Với x,y ≠ (1) ⇔ y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2) (2) ⇒ x2 – phải bình phương số nguyên x + a = Hay: x2 – = a2 ⇔ x2 – a2 = ⇔ ( x − a )( x + a) = ⇒ ⇒ x = ⇒ x = ±4 x − a = • Thay x =- 4, ta được: y=1; y=-2 • Thay x = 4, ta được: y= 1; y=2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2) Bài 42 a) Cho xyz = x + y + z = Tìm GTNN B8 = x16 + y16 + z16 a +b−c b+c−a c+a −b b) Cho a, b, c thoả mãn: = = c a b b c a Tính giá trị biểu thức: P = 1 + + 1 + a b c HƯỚNG DẪN a) Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ ∀a,b,c⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8⇔ B8 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B8 ≥ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ≥ x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 ⇔ B8 ≥ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8⇔ B8 ≥ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ≥ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 ⇔ B8 ≥ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ≥ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 ⇔ B8 ≥ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3(do xyz = x + y + z = 3) ⇒ B8min = ⇔ x = y = z = a+b−c b+c−a c + a −b b) Từ gt ta có +2= +2= +2 suy c a b a+b+c b+c+a c+a+b = = c a b Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 74 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = ⇒ a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = -b − abc b c a a + b b + c c + a (−c) (− a ) (−b) P = 1 + + 1 + = = = -1 = a b c abc a b c a b c * Nếu a + b + c ≠ ⇒ a = b = c ⇒ P = 2.2.2 = Bài 43 : Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c chu vi tam giác P P P 2P Chứng minh rằng: + + ≥9 P−a P−b P−c HƯỚNG DẪN 1 với x > 0, y > * Cm BĐT: + ≥ x y x+y Ta có (x - y)2 ≥ ∀x,y ⇔ x2 + y2 -2xy ≥ ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy x+y 1 ⇔ ≥ ⇔ + ≥ với ∀x ; y xy x+y x y x+y * Áp dụng : 1 4 + ≥ = P − a P − b P − a + P − b c 1 + ≥ P − b P − c c 1 + ≥ P − a P − b c 1 1 + + ≥ 2 + + ⇒ P − a P − b P − c b c a P P P 1 ⇔ + + ≥ 2P + + P − a P − b P − c b c a P P P 1 ⇔ + + ≥ (a + b + c ) + + ≥ (1 + + ) = P − a P − b P − c b c a (Áp dụng Bunhacopski) Dấu xảy ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c Bài 44: Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) HƯỚNG DẪN Khai triển rút gọn chia hai vế cho x2 Đặt x + 1/x = y Có nghiệm x = + ± + Bài 45: Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2 ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2 HƯỚNG DẪN Đặt y =3-x toán cho trở thành: tìm GTNN biểu thức: x + y = P= x4 + y4 + 6x2y2 x, y số thực thay đổi thỏa mãn: 2 x + y ≥ x + y + xy = Từ hệ thức ta có: ⇒ (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) ≥ + 4.9 =41 x + y ≥ ⇒ 5(x2 + y2) + 4(2xy) ≥ 41 Mặt khác 16 (x2 + y2) + 25(2xy)2 ≥ 40(x2 + y2)(2xy) (1) Dấu đẳng thức xảy ⇔ (x2 + y2) =5(2xy) Cộng hai vế (1) với 25 (x2 + y2) + 16(2xy)2 ta được: 41[ (x2 + y2) + (2xy)2] ≥ [5(x2 + y2) + 4(2xy)]2 ≥ 412 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 75 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 ≥ 41 ⇔ x4 + y4+6x2y2 ≥ 41 x + y = ( x; y ) = (1; 2) Đẳng thức xảy ⇔ x + y = ⇔ ( x; y ) = (2;1) 2 4( x + y ) = 5(2 xy ) Do giá trị nhỏ P 41 đạt ⇔ x=1 x=2 Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = HƯỚNG DẪN Phương trình cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1) Nhận xét rằng: y ≥ ⇒ x ≤ y + y + y + + y = ( y + 1) 3 2 y + > ⇒ x > y + y + y + − (5 y + 2) = ( y − 1) 3 Từ (2) (3) suy ra: ( y − 1) < x3 ≤ ( y + 1) , Vì y ∈ Z 3 2 (2) (3) x3 = y3 y3 + y2 + y + = y3 ⇒ ⇔ 3 x = ( y + 1) y + y + y + = ( y + 1) 2 y + y + = y = − ( vi y ∈ Z ) y = −1 ⇔ ⇔ ⇔ y = y = y = Với y = -1 ⇒ x= -1 Với y = ⇒ x= Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên (-1; -1) (1; 0) Bài 47: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa món: a + b + c = Tìn giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b + c + ab + bc + ca a 2b + b 2c + c a HƯỚNG DẪN Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 mà a3 + ab2 ≥ 2a2b (Áp dụng BĐT Côsi ) b3 + bc2 ≥ 2b2c c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > Suy P ≥ a + b + c + ⇒ P ≥ a + b2 + c + 2 ab + bc + ca a + b2 + c2 − (a + b + c ) 2(a + b + c ) Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t ≥ Suy P ≥ t + 9−t t t = + + − ≥3+ − = ⇒ P ≥ 2t 2t 2 2 Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Bài 48: Chứng tỏ x0 = + + − nghiệm phương trình: (x − x − 17 ) 2011 −1 = HƯỚNG DẪN Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 76 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Ta có: x03 = ( 9+4 + 9−4 ) = 18 + (9 + 5)(9 − 5).x 3 ⇔ x03 − x0 − 18 = ⇔ x03 − x0 − 17 = ( Suy ra: x03 − x0 − 17 ) 2011 − = 12011 − = Do x= x0 nghiệm phương trình Bài 49: Cho a > 0, b > a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức A = a + b + Ta có A = a + 16a 1 + 2 a b HƯỚNG DẪN 15 + + b 16 a 1 1 ≥ , b2 + ≥ , + ≥ = 2 a ab 2ab 16b b + b + 16b Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a + 16a 1 Mặt khác ta có: + ≥ a b a + b2 16 Từ suy ra: + ≥ 4 + = = 16 ≥ 2 2ab b a + b + 2ab (a + b )2 a a +b 1 1 15 17 Suy ra: + ≥ Vậy: A ≥ + + = 2 2 a b a = b 17 ⇔a=b= Dấu “=” xảy khi: Do MinP = ⇔ a = b = 2 a + b = Bài 50: Tìm số tự nhiên n để n + 21 n – 18 hai số phương Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y = x y HƯỚNG DẪN Để n + 21 n – 18 hai số phương ⇔ n + 21 = p n − 18 = q ( p, q ∈ N ) p − q = (n + 21) − (n − 18) = 39 ⇔ ( p − q )( p + q ) = 39 Vì 39 = 39 = 13 p – q < p + q ; p +q >0 nên p − q =1 p−q =3 p = 20 p =8 Hoặc ⇔ Hoặc p + q = 39 p + q = 13 q = 19 q = p = 20 p =8 Vớ i ⇒ n = 379 (TM) ; Với ⇒ n = 43(TM) q = 19 q = Vậy với n = 379 n = 43 n +21 n – 18 hai số phương Ta có: Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 77 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 x + xy + y = x y ⇔ x + xy + y − x y = ⇔ ( x + y ) − (2 xy + 1)2 = −1 ⇔ ( x + y − xy − 1)( x + y + xy + 1) = −1 x = 2 x + y − xy − = −1 y = x = 2 x + y + xy + = ⇔ ⇔ 2 x + y − xy − = y = −1 2 x + y + xy + = −1 x = −1 y = Vậy phương trình có nghiệm (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) MỜI ĐÓN ĐỌC TIẾP PHẦN https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 78 [...]... A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacôpxki và Cauchy : A =x ( ) 99 99 + 1 101 − x 2 ≤ x (99 + 1)(99 + 101 − x 2 ) = x 10 200 − x 2 < x 2 + 200 − x 2 < 10 = 100 0 2 x 2 ≤ 101 99 99 A = 100 0 ⇔ = ⇔ x = 10 Do đó : - 100 0 < A < 100 0 101 − x 2 1 x 2 = 200 − x 2 min A = - 100 0 với x = - 10 ; max A = 100 0 với x = 10 Bài 67 Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b + =1 x y (a và b là... BIỂN 28 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 x+y= ( 3+ 2 ) 200 + ( 3− 2 ) 200 ( = 5+ 2 6 ) 100 ( + 5−2 6 ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = 5 + 2 6 , b = 5 - 2 6 Sn = (5 + 2 6 )n = (5 - 2 6 )n A và b có tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X2 -10X + 1 = 0, tức là : a2 = 10a – 1 (3) ; b2 = 10b – 1... sau dấu phẩy 107 Chú ý : 10- 7 = 0,0000001 b) Giải tương tự như câu a n nhất (n ∈ N*), ví dụ : 2 ≈ 1, 4 ⇒ a 2 = 1 ; 3 ≈ 1,7 ⇒ a 3 = 2 ; 4 = 2 ⇒ a4 = 2 1 1 1 1 Tính : + + + + a1 a 2 a 3 a1980 Bài 100 Kí hiệu an là số nguyên gần 1 = 1 ⇒ a1 = 1 ; HƯỚNG DẪN Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 27 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 Ta thấy với... an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy ra (an+2 + bn+2) = 10( an+1 + bn+1) – (an + bn), tức là Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10) Do đó Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) 0 Ta có S0 = (5 + 2 6 ) + (5 - 2 6 )0 = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 2 6 ) + (5 - 2 6 ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn là số tự nhiên, và S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận cùng bằng 2, tức là... minh rằng : (8 + 3 7 ) b) Số ( 7 + 4 3 ) a) Số 7 10 có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy HƯỚNG DẪN a) Đặt A = (8 + 3 7 )7 Để chứng minh bài toán, chỉ cần tìm số B sao cho 0 < B < 1 và A 107 + B là số tự nhiên Chọn B = (8 - 3 7 )7 Dễ thấy B > 0 vì 8 > 3 7 Ta có 8 + 3 7 > 10 suy ra : 1 (8 + 3 7 ) 7 < ( 1 ⇒ 8−3 7 107 ) 7 < 1 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 +... x) - 2 (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) + 3 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 16 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 = ( (x + 1)(6 − x) − (x + 2)(3 − x) A2 ≥ 3 Do A > 0 nên min A = ) 2 +3 3 với x = 0 Bài 66 Tìm GTNN, GTLN của : a) A = 2x + 5 − x 2 ( b) A = x 99 + 101 − x 2 ) HƯỚNG DẪN 2 a) Điều kiện : x ≤ 5 * Tìm giá trị lớn nhất : Áp dụng bất... c + a) = 6⇒ a + b + b + c + c + a ≤ 6 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 12 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 (a Bài 52 CM : 2 + c 2 )( b 2 + c2 ) + (a 2 + d 2 )( b 2 + d 2 ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 0 HƯỚNG DẪN Xét tứ giác ABCD có AC ⊥ BD, O là giao điểm hai đường chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0 Ta có... + 4y 2 = 1 y = 5 y = − 5 10 10 Bài 84 Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1 a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết : HƯỚNG DẪN 3 2 0 ≤ x ≤ 1 x ≤ x ⇔ 3 ⇔ x 3 + y3 ≤ x 2 + y 2 = 1 2 y ≤ y 0 ≤ y ≤ 1 x 3 = x 2 max A = 1 ⇔ 3 ⇔ x = 0, y = 1 V x = 1, y = 0 2 y = y Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 22 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10... 3−x max A = 4 ⇔ 2 ⇔ x = 2 x ≥ 0 Bài 105 Giải phương trình : 3 x − 2 + x +1 = 3 HƯỚNG DẪN Điều kiện : x ≥ - 1 (1) Đặt x − 2 = y ; x + 1 = z Khi đó x – 2 = y2 ; x + 1 = z2 nên z2 – y3 = 3 Phương trình đã cho được đưa về hệ : 3 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 29 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 y + z = 3 (2) 2 3 z − y = 3 (3)... n Bài 108 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm : HƯỚNG DẪN Cách 1 : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh đương với a+b+c 3 ≥ abc 3 a+b+c 3 ≥ abc tương 3 x3 + y3 + z3 ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0 Ta có hằng đẳng thức : 3 Sưu tầm & biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 30 Chinh phục điểm 10 - ÔN THI VÀO CẤP 3 (phần 2) - https://www.facebook.com/groups/luyendethivao10 1 (x