Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Phần 1: Những vấn đề chung I Lí chọn đề tài: Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý cho đất nớc Toán học môn khoa học tự nhiên đợc hình thành từ sớm gắn bó chặt chẽ với thực tiễn đời sống ngời Toán học môn khoa học quan trọng, giúp cho việc hình thành phát triển cho ngời học lực t logic, phơng pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, t tởng đạo đức Ngày phát triển tất ngành khoa học nh tất ngành công nghiệp then chốt thiếu toán học, chúng đợc khởi nguồn dựa toán học Sự phát triển đất nớc không phụ thuộc nhiều tài nguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám Việt Nam so với nớc giới tình trạng nghèo nàn, lạc hậu Muốn thoát khỏi tình trạng đuổi kịp nớc giới, Việt Nam phải có lớp ngời đợc trang bị kiến thức tốt, phát huy tính sáng tạo khả nhanh nhạy để nắm bắt kĩ thuật Nhiệm vụ quan trọng ngành GD - ĐT vinh dự đợc Đảng Nhà nớc giao cho Chính năm học, Bộ GD - ĐT có thị kịp thời, Sở GD - ĐT, Phòng GD & ĐT Nhà trờng chủ động đề kế hoạch chi tiết, mục tiêu rõ ràng giao nhiệm vụ cụ thể đến giáo viên Để hoàn thành nhiệm vụ, ngời giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức phơng pháp truyền thụ kiến thức phù hợp Nhng thực tế cho thấy hầu hết giáo viên có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phơng pháp nhiều hạn chế, thầy cô giáo viên dạy toán ngoại lệ Vậy đâu nguyên nhân hạn chế trên? Theo nguyên nhân là: - Giáo viên cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ bớc cần thiết giải toán, toán lạ toán Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục khó nên học sinh cha có phơng pháp suy nghĩ, suy luận việc tìm tòi lời giải toán - Chỉ nặng trình bày lời giải tìm mà không ý đến việc hớng dẫn để học sinh tự tìm lời giải Bởi học sinh hiểu đợc lời giải cụ thể toán cha học tập đợc cách suy luận để giải toán tơng tự - Cha trọng đến việc phân tích toán theo nhiều khía cạnh, theo loại để tạo phơng pháp lời giải khác nhau, cha trọng rèn luyện cho học sinh kĩ thực hành tính toán, biến đổi, suy luận - Cho học sinh giải nhiều tập mà không ý đến việc lựa chọn hệ thống tập đa dạng, đầy đủ Trong trình học tập, học sinh sớm đợc làm quen với môn toán Nhìn chung Toán học môn học trừu tợng Tính trừu tợng logic tăng dần em học lên lớp Từ năm học lớp khó khăn học sinh đợc bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đây đề tài thú vị, thờng quy tắc giả tổng quát Do học sinh hay mắc thiếu sót sai lầm giải toán loại Vậy học sinh thờng mắc phải sai lầm giải toán cực trị? Theo nguyên nhân xuất phát từ lý sau: Ngời giải toán cha có đờng lối rõ ràng giải toán tìm cực trị Cha nắm tính chất bất đẳng thức Cha hệ thống, phân dạng đợc tập loại Không đọc kĩ đầu bài, cha hiểu rõ toán đã vội vào giải toán Không biết đề cập toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ chi tiết kết hợp chi tiết toán, không sử dụng hết giả thiết toán, linh hoạt vận dụng kiến thức có Không tự t lại toán làm sau giải xong xem cha Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng toán khó nhng thú vị Nó lôi nhiều ngời phải say mê, từ em học sinh đến nhà bác học lỗi lạc Tại vậy? Mỗi toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ với số liệu riêng đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện t toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chính thấy kì thi học sinh giỏi toán thờng có toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế đất nớc ngành giáo dục, từ khó khăn giáo viên học sinh thờng hay mắc sai lầm việc giải toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chọn đề tài Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục chơng trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài góp phần vào việc giải khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên học sinh việc dạy học kiến thức chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Nh nhà giáo dục toán học Polya nói: Con ngời phải biết học sai lầm Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục II Cơ sở khoa học Đề tài đợc viết dựa vào sở lí luận thực tiễn II.1 Cơ sở lý luận Thực tế cho thấy Toán học tảng cho ngành khoa học, chìa khoá vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học, kinh tế, quân sống Chính việc dạy học môn toán nhà trờng đóng vai trò vô quan trọng dạy toán chiếm vị trí số môn học nhà trờng, giáo viên, dạy toán niềm tự hào song thử thách vô lớn Để dạy toán học toán tốt Thày Trò không ngừng rèn luyện đầu t trí lực vào nghiên cứu học hỏi Học dạy toán với chơng trình khó, xong dạy học toán đào tạo mũi nhọn lại vô gian truân, việc học dạy không dừng việc ngời học ngời dạy phải có trí tuệ định mà thày trò phải dày công đầu t vào nghiên cứu dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý tính chất toán học nhà toán học nghiên cứu vào giải toán, ngời dạy học toán phải tự rèn luyện nghiên cứu để có công trình toán riêng góp sức để đa môn toán ngày phát triển Thực nhiệm vụ năm học nh đợc phân công Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Yên Dũng, Ban giám hiệu trờng THCS Yên L, qua trình bồi dỡng học sinh giỏi nhiều năm gần thân thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho toán dạng toán công việc khó Đứng trớc toán ngời thày cha hiểu cha có hớng giải ta hớng dẫn học sinh nh nào, thật khó tình nh ngời thày vai trò chủ đạo việc dạy học sinh, học sinh không giải đợc toán nhng lại niềm tin thày cảm thấy việc học toán cực hình khó vô học đợc Toán học môn khoa học nhân loại môn khoa học đa dạng thể loại dạy toán học toán biết hết, đến đỉnh cao trí tuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tự thấy kiến thức toán thân hạn chế, toán Bất đẳng thức, toán Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đây dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong thày trò lại ngại đụng đến khó phải nhiều thời gian để dự đoán kết tìm cách giải, dễ mắc sai lầm Tôi tìm nhiều biện pháp để hớng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải toán dạng phơng pháp mà học sinh thày đợc trang bị cấp học, nhng không thành công thày phải lần mò có lời giải, học sinh hay mắc sai lầm Cho đến ngày đọc đợc báo tác giả Vũ Hữu Bình GV trờng THCS Trng Vơng - Hà Nội báo Toán học tuổi trẻ tháng năm 2000, báo giúp nhiều trình bồi dỡng học sinh giỏi, toán áp dụng kiến thức báo vào, hớng dẫn học sinh hoàn toàn tự tin giữ vai trò chủ đạo để hớng dẫn học sinh, học sinh khai thác toán đợc nhiều cách, tránh đợc sai lầm cố hữu thờng mắc phải giải toán cực trị có hứng thú thực với dạng toán Từ thực tế xin đợc trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp mong đề tài đợc mở rộng phát triển sâu rộng II.2 Cơ sở thực tiễn II.2.1 Tình hình học sinh Đối tợng học sinh khá, giỏi nên kiến thức em nắm tơng đối vững có trí tuệ định Xong toán hay dạng toán em làm đợc, toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hầu hết em cho loại toán khó nên đầu t vào nhiều thời gian mà cha làm đợc lại dễ mắc sai lầm Do em thờng bỏ qua toán để tập trung thời gian giải toán khác nhiều em hứng thú gặp toán II.2.2 Tình hình giáo viên - Thuận lợi: Hầu hết thầy cô có trình độ, đợc đào tạo bản, tâm huyết với nghề cầu tiến - Khó khăn: Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Thời lợng thực dạy lớp 19 tiết/1 tuần chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục vụ tiết dạy đẫ lấp kín thời gian lớp nhà, mặt khác kinh tế thị trờng với đồng lơng không cao, đủ đáp ứng đợc sống đạm bạc chí có phần khó khăn nhà s phạm nên thầy cô giáo bị chi phối nhiều thời gian vào sống cho thân gia đình Trong kiến thức khó lại rộng lớn bao trùm Do để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững sâu hạn chế, nhiều ngời t tởng cần hoàn thành nhiệm vụ đợc nghiên cứu tìm tòi có nhà khoa học Nguyên nhân góp phần không nhỏ cho việc nghiên cứu tìm lời giải cho toán ngời phải có trí tuệ, phải bậc vĩ nhân Suy nghĩ phần Ngọc không mài không sáng đợc Đối với toán tìm cực trị cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm ngời làm toán Do đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết tinh thần học hỏi cao đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh khoa học với dạng toán song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, nội dung sách giáo khoa hành II.2.3 Các tài liệu Các tài liệu tham khảo môn toán THCS dành cho giáo viên học sinh số lợng, có vô số lan tràn khắp thị trờng, mục đích kinh doanh bề sách đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung trùng lời giả sơ sài, chí nhiều sách có nhiều sai sót, tính s phạm không cao Các sách Bộ giáo dục lý s phạm khuôn khổ chơng trình học cấp học nên phần giải toán tìm cực trị sai lầm dễ mắc chơng trình THCS có tính chất giới thiệu thông qua vài tập mà không viết riêng thành tài liệu để giáo viên học sinh cấp học tham khảo Chính lý nêu trên, chon đề tài Một số sai lầm thờng gặp toán tìm cực trị cách khắc phục chơng trình THCS để nghiên cứu thực Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Phần 2: Nội dung I Vài nét khái quát tình hình địa phơng huyện Yên Dũng nhà trờng I.1 Đặc điểm I.1.1 Thuận lợi - Huyện Yên Dũng có bề dày thành tích bồi dỡng HSG, mạnh đội ngũ giáo viên có tay nghề chuyên môn cao, kiến thức vững vàng - Về phía học sinh em hiếu học, có ý thức tốt - Chính quyền tổ chức đoàn thể quan tâm coi trọng công tác giáo dục - Các bậc phụ huynh đặc biệt coi trọng việc học tập - Cơ sở vật chất nhà trờng đầy đủ để học ca I.1.2 Khó khăn - Do không hình thức tuyển chọn học sinh nh trớc nên lực học học sinh không đồng đều, mức độ đào tạo, dạy dỗ trờng không đồng đều, nhiều em ham chơi, coi nhẹ việc học Về phía gia đình nhiều hộ gặp khó khăn mải miết làm ăn nên thiếu phối hợp với nhà trờng giáo dục em Còn phận giáo viên công tác cha thực nỗ lực, trách nhiệm cha cao I.2 Phơng pháp đối tợng nghiên cứu I.2.1 Phơng pháp Trong trình nghiên cứu đề tài dùng phơng pháp sau: - Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu su tầm đợc - Điều tra, trò chuyện với giáo viên học sinh - Tự tìm hiểu đối tợng học sinh - Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy - Cập nhật thông tin từ mạng Internet Dựa vào phơng pháp phân tích nguyên nhân định hình cho việc nghiên cứu đề tài I.2.2 Đối tợng Đối tợng nghiên cứu môn toán kiến thức toán học có liên quan đến dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, sai Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục lầm học sinh thờng mắc phải cách khắc phục trọng tâm nghiên cứu đề tài II Phần II.1 Phơng pháp trình bày đề tài Đề tài đợc trình bày dới dạng đa tập cụ thể, tập đợc đa lời giải sai, phân tích sai lầm cách khắc phục, đồng thời đa lời giải đúng, cuối đa tập đề nghị cho ngời đọc Các sai lầm thờng mắc phải đợc liệt kê dạng đợc nêu rõ phần giải đáp II.2 Nội dung cụ thể II.2.1 Một số tính chất bất đẳng thức Cho a, b, c số thực Tính chất 1: a b b a a b a=b b a Tính chất Tính chất Tính chất bắc cầu a b a c b c Tính chất a b a + c b + c a b a+c b+d c d Tính chất Chú ý: Không đợc trừ hai bất đẳng thức chiều cho ac bc c > Tính chất a b ac bc c < Tính chất a b Tính chất Nhân vế hai bất đẳng thức chiều hai vế không âm a b ac bd c d Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục a1 b1 a b Tổng quát: 2 a1a2 an b1b2 bn 0, n N * an bn Chú ý: Không đợc chia hai bất đẳng thức cho Tính chất Nâng luỹ thừa hai vế bất đẳng thức * a b a n b n , n N * * a b a n b n (n N * , n M 2) Tính chất 10 a b n a n b , n N * , n Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa số m n > * am an a > m n > * am an < a < b a 1 a b ab > Tính chất 12 II.2.2 Một số kiến thức thờng dùng để giải toán cực trị hình học II.2.2.1 Sử dụng quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu - Quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu thờng đợc sử dụng dới dạng: + Trong tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng), cạnh góc vuông AB cạnh huyền BC AB BC , dấu xảy A trùng với C; + Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến đờng thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đờng thẳng có độ dài nhỏ + Trong đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đờng thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đờng thẳng sông song có độ dài nhỏ + Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm đến đờng thẳng, đờng xiên lớn hình chiếu lớn II.2.2.2 Sử dụng quan hệ đoạn thẳng đờng gấp khúc Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục - Quan hệ đoạn thẳng đờng gấp khúc đợc sử dụng dới dạng: + Với ba điểm A, B, C ta có AB + BC AC Dấu đẳng thức xảy B thuộc đoạn thẳng AC + Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A B ngắn độ dài đờng gấp khúc có hai đầu A B II.2.2.3 Sử dụng bất đẳng thức đờng tròn - Các bất đẳng thức đờng tròn đợc thể định lý: + Trong dây đờng tròn, dây lớn đờng kính + Trong hai dây đờng tròn: *Dây lớn dây gần tâm * Dây gần tâm dây lớn + Trong hai cung nhỏ đờng tròn, cung lớn góc tâm chắn cung lớn + Trong hai cung nhỏ đờng tròn, cung lớn dây trơng cung lớn II.2.3 Một số bất đẳng thức thờng vận dụng để tìm cực trị * Bất đẳng thức Côsi Dạng bản: Cho a, b , ta có bất đẳng thức a + b ab Dấu đẳng thức xảy a = b Dạng tổng quát: Cho số không âm a1 , a2 , a3 , , an Ta có bất đẳng thức a1 + a2 + a3 + + an n n a1a2 a3 an với n N , n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 = = an * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng bản: Với a, b, c, d số thực tuỳ ý ta có ( ac + bd ) ( a + b )( c + d ) Dấu đẳng thức xảy a b = c d Dạng tổng quát: Cho hai số ( a1 , a2 , a3 , , an ) , ( b1 , b2 , b3 , , bn ) , ta có ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) ( a12 + a22 + a32 + + an2 )( b12 + b22 + b32 + + bn2 ) 10 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Bài Lời giải toán sau có sơ hở không? Cho số không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức xy + yz + zx xyz Lời giải Ta có x x ( y z ) = ( x y + z )( x + y z ) = (1 y )(1 z ) (1) Tơng tự y (1 x )(1 z ) (2) z (1 x )(1 y ) (3) Từ (1), (2), (3) suy ( xyz ) (1 x ) (1 y ) (1 z ) (4) 2 2 Suy xyz (1 x )(1 y )(1 z ) = ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) xyz = ( xy + yz + zx ) xyz Suy xy + yz + zx xyz Đẳng thức xảy x = y = z = , lúc giá trị lớn biểu thức Sai lầm tởng đúng? Có nguyên nhân dẫn tới sai lầm giải toán Lời giải toán sau có sai lầm không? Nếu có nguyên nhân nào? Bạn có khắc phục đợc không? a 2009 + b 2009 + c 2009 Bài Chứng minh a, b, c > 2008 2008 2008 abc a +b +c Lời giải áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dơng ta có: a 2009 + b 2009 + c 2009 3 a 2009b 2009 c 2009 (1) 65 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục a 2008 + b 2008 + c 2008 3 a 2008b 2008c 2008 (2) Vì vế (1) (2) dơng nên chia vế (1) cho (2) ta có a 2009 + b 2009 + c 2009 abc a 2008 + b 2008 + c 2008 Bài Cho a, b Chứng minh a b2 a b + + + (1) b a b a Các bạn hy tìm hộ xem, lời giải đẹp dới có thiếu sót không? Lời giải : Ta có: a b a b (1) + + + + a b a 4 b a b + b a a b a b + + (2) b a b a Vì a b + nên (2) với a, b (ĐPCM) b a Bài Trong học toán, thầy giáo đa đề nh sau : Tìm giá trị lớn biểu thức f ( x ) = x + x 3x Một học sinh đ xung phong lên bảng trình bày lời giải nh sau : Điều kiện để f(x) có nghĩa: x x ( x + 1)(1 x ) x (*) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có : f ( x ) = 1.x + 1 x x + x + (1 x x ) 66 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục = 2 x + + 2 1 Với x = thoả mãn (*) x + = Khi f(x) đạt giá trị lớn 2 Cả lớp trầm trồ thán phục lời giải đợc nghĩ nhanh ngắn gọn Một lúc sau Bạn có đoán đợc diễn biến tiết học không ? Bài Một bác thợ gò hàn định làm bể tôn có dạng hình hộp đứng, đáy hình vuông, nắp, tích 4m3 Để tiết kiệm chi phí, bác thợ gò hàn tính toán kỹ xác định kích thớc bể để lợng tôn phải sử dụng Bác thợ thực nh sau: Gọi cạnh đáy chiều cao bể lần lợt x y (mét, x; y > ) Thể tích bể V = x y = (m3 ) Diện tích lợng tôn phải sử dụng (không tính nếp gấp viền cạnh) S = x + xy (m ) áp dụng BĐT Cô si cho hai số dơng ta có S = x + xy x3 y Đẳng thức xảy x = xy x = y x = x = y Từ tìm Khi 2 = x y = y Khi S = x + xy = (m ) Phải bác thợ gò hàn đ tính đúng? 67 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Bài Cho tam giác nhọn ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi R1 , R2 lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM, ACM Xác định vị trí điểm M để tổng R1 + R2 nhỏ Một học sinh đ giải nh sau : Lời giải: Vẽ đờng cao AH tam giác ABC (H thuộc BC) Ta có H điểm cố định, độ dài AH không đổi AM AH Vì 2R1 đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM nên R1 AM R1 AM Tơng tự ta có R2 AM Suy R1 + R2 AM AH Độ dài AH không đổi, đẳng thức xảy M trùng H Vậy M chân đờng cao vẽ từ A tam giác ABC tổng R1 + R2 nhỏ Lời giải có sai không? ` 68 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Bài Qua đỉnh A tam giác ABC, dựng đờng thẳng d cho tổng khoảng cách từ đỉnh B C tới d lớn Lời giải cho trớc Gọi BB, CC lần lợt khoảng cách từ đỉnh B C tới d Hai tam giác ABE ACE có chung đáy AE đờng cao tơng ứng với đáy BB CC Ta có: S ABC = S ABE + S ACE = 1 AE.BB '+ AE.CC ' 2 Suy BB '+ CC ' = S ABC AE Ta thấy BB '+ CC ' nhận giá trị lớn AE nhận giá trị nhỏ nhất, AE đờng cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC, tức d BC Nếu AH độ dài đờng cao kẻ từ A AH BC = BC tam giác ABC AE = AH , ( BB '+ CC ') = AH Lời giải có đấy, nhng bạn có chấp nhận không? Bài 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + xy y + 2022 Lời giải đẹp Ta có P = ( x + y + + xy x y ) + ( x + x + ) + ( y y + ) + 2008 P = ( x + y 1) + ( x + ) + ( y 3) + 2008 2 69 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Do ( x + y 1) 0, ( x + ) 0, ( y 3) nên P 2008 2 Vậy Min P = 2008 Tìm cực trị dễ phải không bạn? Bài 11 x + y = 2a Cho ( x, y ) nghiệm hệ phơng trình 2 x + y = a + 2a (I ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = xy Lời giải gọn 3a 6a + ( a 1) + Dễ dàng tính đợc F = = , 2 3a 6a + ( a 1) + 1 = , dấu = xảy Ta thấy F = 2 2 a = nên F = a = ( a 1) + lớn, biểu thức F Mặt khác dễ thấy a lớn F = 2 không đạt giá trị lớn 70 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Phần Kết luận chung I Kết quả, đánh giá Trên vài kinh nghiệm nhỏ đợc rút từ thực tế năm giảng dạy thân Toán cực trị chuyên đề lớn thiếu sót, sai lầm thờng gặp phải không ít, nhiên với khả mình, đề cập đến số dạng đơn giản mà em thờng gặp chơng trình lớp 8, lớp Tôi sâu vào vấn đề nhỏ hớng dẫn, giúp em có kỹ nhìn nhận sai lầm lời giải ví dụ điển hình từ tìm cách giải theo yêu cầu toán Với việc làm nh nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng Bớc đầu thấy có số kết sau: -Trớc thực đề tài này, đầu năm học cho học sinh giỏi lớp (năm học: 2006-2007) phụ trách làm toán tìm cực trị lớp 8, ghi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm ngộ nhận nh nêu đề tài Năm học 2007 - 2008 cho học sinh đợc học kiến thức đề tài (Tôi dùng máy chiếu Projector dạy trực tiếp học sinh), sau em nắm bắt đợc nội dung kiến thức kỹ làm toán cực trị tiến nhiều đặc biệt kiểm tra, 100% học sinh không mắc phải sai lầm đáng tiếc nữa, nghĩ dó thành công bớc đầu đề tài -Phần lớn học sinh say mê giải cực trị, em không sợ lúng túng giải toán cực trị - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học toán, từ tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển t logic, óc quan sát, suy luận toán học - Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em không ngại khó, mà tự tin vào khả học tập - Nhiều em giỏi tìm đợc cách giải hay ngắn gọn phù hợp đặc biệt không mắc sai lầm đáng tiếc 71 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Về tính ứng dụng đề tài, trớc hết đề tài phù hợp câu lạc Toán học, Các đội tuyển học sinh giỏi, kể học sinh cấp mảng sơ cấp Học sinh dùng làm tài liệu học tập, vừa có kinh nghiệm tránh đợc số sai lầm giải toán cực trị, vừa đợc bồi dỡng kiến thức cách giải toán cực trị Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời nâng cao trình độ chuyên môn, đúc rút kinh nghiệm Bồi dỡng HSG phụ đạo HS yếu nhiệm vụ hàng ngày giáo viên, Các đồng chí giáo viên tham khảo nâng cao kiến thức thân, lựa chọn toán thích hợp để kết hợp dạy học sinh phần học tơng ứng (VD: Dạy 3, 4, 10 bồi dỡng vào phần Các đẳng thức đáng nhớ - Tiết ặ Đại số 8) Nếu đề tài đợc cấp cho phép phổ rộng, giáo viên Copy sử dụng công nghệ thông tin để bồi dỡng học sinh thuận lợi, học sinh hứng thú học tập, giải phóng sức lao động cho giáo viên, hiệu giảng dạy đợc nâng lên Tôi trực tiếp thử nghiệm cách dạy để bồi dỡng học sinh đạt đợc kết tốt Mặt khác giáo viên dễ dàng tiếp tục phát triển đề tài theo t kinh nghiệm giảng dạy Kết hợp sử dụng công nghệ thông tin trình giảng dạy, giáo viên thực nh sau: Cách Giáo viên trực tiếp trình chiếu File Word dạy HS trực tiếp lớp Cách Trên sở nội dung đề tài, GV phát triển phần nội dung đề tài để dạy cho học sinh Ví dụ phát triển tập số 30, kết hợp trình chiếu phần mềm Powerpoint phần mềm Sketchpad đạt hiệu cao Tuy bên cạnh kết đạt đợc số học sinh lời học, cha có khả tự giải đợc toán Đối với em đó, việc thực khó khăn Một phần khả học toán 72 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục em hạn chế, mặt khác dạng toán lại khó, đòi hỏi t nhiều em Một yếu tố ảnh hởng đến chất lợng học em có lẽ phơng pháp giảng dạy thân đôi lúc cha thực hợp lý, mặt khác em cha tự tìm cho phơng pháp học phù hợp II Bài học kinh nghiệm Từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy nh học rút sau viết sáng kiến kinh nghiệm, thấy số sai lầm chủ yếu ngời giải toán thờng mắc phải giải toán cực trị là: Chứng minh f m , khẳng định giá trị nhỏ f m mà không m số Trong làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ dấu không đồng thời xảy Không xác định điều kiện xảy dấu BĐT f m điều kiện xảy dầu không thoả mãn giả thiết Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế BĐT mà điều kiện hai vế không âm Lập luận lại sai khẳng định A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ mà cha đa nhận xét tử mẫu số dơng Nhầm tởng vai trò biến nh nên thứ tự ẩn Hiểu sai nhiều loại BĐT nh A2 + m m , Vận dụng sai tính chất BĐT nh nhân hai BĐT chiều mà điều kiện hai vế BĐT f ( x ) a không xảy đẳng thức ứng với giá trị x = x0 (x0 thoả mãn điều kiện toán) kết luận biểu thức f ( x ) đạt giá trị nhỏ a biểu thức f ( x ) không đạt giá trị nhỏ 10 Xác định sai điều kiện biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết sai 11 Sử dụng mặt phẳng toạ độ nhng việc chọn điểm cha phù hợp 73 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục 12 Không xét hết trờng hợp toán mà kết luận 13 Sai lầm kiến thức khẳng định có f ( x) g ( x) (hoặc f ( x) g ( x) ) f ( x) đạt giá trị nhỏ (lớn nhất) g ( x) đạt giá trị nhỏ (lớn nhất) 14 Không vị trí tồn hình để biểu thức đạt cực trị vị trí tồn hình để biểu thức đạt cực trị mà không kiểm tra xem điều có tồn thực tế hình vẽ hay không 15 Chỉ f p (hoặc f p ) khẳng định f đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) p đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) 16 Không xét hết trờng hợp toán mà kết luận Trong trình giảng dạy, hẳn mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lợng học tập em tốt hơn, tạo cho em có đầy đủ điều kiện bớc vào sống học lên Vì đòi hỏi ngời tạo sản phẩm cần phải: - Có kiến thức vững chắc, có phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh - Yêu cầu học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành loại toán, giải nhanh, thành thạo nhiều cách Trên sở giải tập, biết đặt tập để kích thích say mê học toán - Đa dạng hoá loại tập, kể loại tập yêu cầu học sinh phát thiếu sót, sai lầm lời giải cho trớc từ tìm cách giải - Giáo viên có điều kiện bổ sung, củng cố kiến thức cũ học mới, tránh đợc tình trạng sai sót, rút đợc hạn chế học sinh lớp trớc để uốn nắn học sinh lớp sau tránh đợc sai sót mà lớp trớc mắc phải Đồng thời, giúp học sinh lớp sau học đợc kiến thức hay anh chị lớp trớc làm đợc Từ đó, khơi gợi đợc tinh thần thích khám phá, ham hiểu biết em - Ngoài ra, bên cạnh kinh nghiệm có đợc giảng dạy, thân thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp để tìm hớng dạy phù hợp 74 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục với trình độ nhận thức học sinh Mỗi năm, lại có dịp đợc tham khảo thêm tài liệu hớng dẫn nên từ việc nhận thức kĩ truyền thụ kiến thức cho học sinh đợc nâng cao, đồng thời tránh đợc sai lầm cho học sinh trình học toán Những sai lầm giải toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cho thấy: linh hoạt giải toán cần thiết nhng tuỳ tiện, phải đảm bảo nguyên tắc định Toán học đòi hỏi t rành mạch; mập mờ đôi chút dẫn đến sai lầm Việc nghiên cứu đề tài việc làm thiết thực, góp phần cho GV dạy tốt hơn, học sinh học chủ động hơn, đặc biệt phát sai lầm toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ để tự điểu chỉnh, khắc phục, sửa chữa Đề tài nêu lên số sai lầm điển hình toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ tạo cho học sinh thêm linh động, chắn giải toán Những biện pháp học trình bày trên, bớc đầu đạt đợc kết cha thật mỹ mãn tâm ý thân Tuy nhiên, thực tốt nghĩ góp phần đổi phơng pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo để nâng cao chất lợng học sinh nói chung chất lợng mũi nhọn nói riêng Mặt khác, với cách trình bày nh (nếu thành công), thiết nghĩ, sau đợc học xong tài liệu học sinh không mắc sai lầm giải toán cực trị mà hình thành cho phơng pháp giải đắn, xác Nội dung đề tài kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé để góp phần nâng cao chất lợng giáo dục, không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong đợc góp ý, xây dựng thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp bớc hoàn thiện phơng pháp giảng dạy Từ đó, thân có điều kiện cống hiến nhiều trí lực cho nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu mong ớc toàn Đảng, toàn dân ta quan tâm Tôi hy vọng đề tài 75 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy học phần chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, góp phần tạo hứng thú cho học sinh học tập phần Đề tài nhiều hạn chế nh: - Các tập cha nhiều; - Cách trình bày cha thật súc tích, khoa học; - Tôi mong nhận đợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo, em học sinh đề tài để rút kinh nghiệm cho việc viết đề tài lần sau Tôi xin chân thành cảm ơn! Yên Dũng, tháng 10 năm 2008 Ngời viết Lơng Văn Lý Địa chỉ: Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang ĐT: CQ: 0240 3870109 DĐ: 0978571559 76 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Các sách tham khảo 500 toán chọn lọc bất đẳng thức - Võ Đại Mau - NXB trẻ TPHCM Rèn t qua việc giải toán - Nguyễn Thái Hoè - NXBGD - 1998 Bất đẳng thức chọn lọc cấp - Nguyễn Vũ Thanh - NXB Đà Nẵng 1997 Những toán chọn lọc - Đỗ Đức Thái NXBGD 1996 Kiến thức ôn luyện toán THCS Hàn Liên Hải NXB Hà Nội 2002 Báo Toán tuổi thơ - NXBGD Báo Toán học tuổi trẻ - NXBGD Mạng Internet 77 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục Mục lục Nội dung Trang Phần Những vấn đề chung I Lí chọn đề tài II Cơ sở khoa học II.1 Cơ sở lý luận II.2 Cơ sở thực tiễn Phần Nội dung I Vài nét khái quát tình hình địa phơng huyện Yên Dũng nhà trờng II Phần II.1 Phơng pháp trình bày đề tài II.2 Nội dung cụ thể II.2.1 Một số tính chất bất đẳng thức II.2.2 Một số kiến thức thờng dùng để giải toán cực trị hình học II.2.3 Một số bất đẳng thức thờng vận dụng để tìm cực trị II.2.4 Đờng lối tổng quát giải toán cực trị II.2.5 Các tập minh hoạ II.2.6 Phần giải đáp Hớng dẫn Cách khắc phục II.2.7 Các tập đề nghị Phần Kết luận chung I Kết quả, đánh giá II Bài học kinh nghiệm 1 4 7 8 8 10 12 12 33 63 69 69 72 78 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp giải toán tìm cực trị cách khắc phục nhận xét, đánh giá SKKN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang [...]... nhất của M là 7964, giá trị này đạt đợc khi x = y 12 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục 13 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Bình luận Nhng! x = y thì M = 2039 Vậy sai lầm ở đâu? Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu... Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục x2 y2 z2 3 + + 2 2 2 2 2 2 y +z z +x x +y 2 Mặt khác chứng minh đợc Suy ra M 3 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 2 ( a 2 + b2 ) Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3 , giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi 2 ( a + b2 ) 2 x = y = z Cách giải trên phải chăng là đúng! Bạn giải bài toán này nh thế nào? Bài 10 Tìm giá trị nhỏ... Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục II.2.4 Đờng lối tổng quát giải bài toán cực trị * Cực trị đại số: Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f ta phải thực hiện hai bớc: - Bớc 1: Chứng minh f m (hoặc f m ) với m là hằng số - Bớc 2: Trả lời câu hỏi dấu bằng xảy ra khi nào? và kết luận * Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình... Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42 Vậy giá trị lớn nhất của P là 42 Bình luận Bài làm khá đẹp, nhng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục nh thế nào? Bài 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + x Lời giải sai: 2 1 1 1 1 1 Ta có A = x + x = x + x... Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục S r 2S S 2 2S r 2 S 2r 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi CM = CN, khi đó tam giác CMN cân tại C mà CO là đờng phân giác nên CO cũng là đờng cao của tam giác CMN, hay MN CO tại O Vậy min S = 2r 2 khi và chỉ khi MN CO tại O Lời giải đ đúng cha? ý kiến của bạn thế nào? B.3 Một số loại sai lầm khác thờng mắc Bài 31... Lời giải thuyết phục đấy chứ, có cần phải giải lại không? 16 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Bài 8 Cho a, b, c là các số dơng, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c P = 1 + 1 + 1 + 5b 5c 5a Một bạn học sinh đã giải nh sau: Do a, b, c là các số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta... Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Ta có: x 2 6 x + 10 = ( x 3) + 1 1 2 ( ) min x 2 6 x + 10 = 1 x = 3 Vậy max A = 1 x = 3 Bình luận: Lời giải có vẻ khá trơn, nhng nếu đi thi mà làm vậy thì trợt Tại sao vậy? Bài 14 Tìm x để biểu thức P = 1 đạt giá trị lớn nhất x + 2x 3 2 Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này nh sau:... giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi x = Bình luận: 23 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Trong lớp có hai nhóm đa ra các nhận xét khác nhau, nhóm thứ nhất cho là lời giải của bạn học sinh trên có vấn đề, nhóm thứ hai hoàn toàn nhất trí với lời giải trên Còn bạn, bạn sẽ đứng ở nhóm nào? Tại sao? Bài 20 Tìm giá trị. .. y = ; x = Bình luận: Lời giải rất logic, liệu các bạn có chấp nhận không? 24 Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục x + y = m Bài 22 Cho ( x, y ) là nghiệm của hệ phơng trình 2 2 2 x + y = m + 6 (I ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = xy + 2 ( x + y ) Lời giải hay x + y = m Từ hệ (I).. .Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a a1 a2 a3 = = = = n b1 b2 b3 bn (Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa) * Bất đẳng thức Trêbusep a b a b a + b A + B aA + bB hoặc , ta có: 2 2 2 A B A B Dạng cơ bản: Cho Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc A = B Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng