Chương IV phần tử tự động (các khâu bản) 4.1 Khái niệm khâu Khi nghiên cứu hệ thống tự động, ta thường gặp phần tử có tính chất đặc trưng (mặc dù chúng có tính chất vật lý giống khác nhau) hoạt động tuân theo định luật hay nói cách khác chúng biểu thị phương trình động giống Các phần tử gọi phần tử (hay khâu bản) Khâu khâu biểu thị phần tử có đồng tính chất lý, hóa, kỹ thuật đồng cấu tạo có định hướng Một phần tử gọi có định hướng tín hiệu (năng lượng, vật chất, sản phẩm ) truyền khâu từ vào đến đầu theo hướng định, tín hiệu vào thay đổi tín hiệu thay đổi theo, tín hiệu vào không thay đổi tín hiệu không thay đổi Một ví dụ khâu nồi tàu thủy Nếu giả thiết thay đổi nhiên liệu vào buồng đốt đại lượng vào thay đổi lượng sinh nồi đại lượng ra, loại trừ yếu tố khác ảnh hưởng đến sinh nồi không sử dụng hệ thống tự động điều chỉnh thay đổi lưu lượng không làm thay đổi lượng nhiên liệu cấp vào buồng đốt ngược lại thay đổi lượng nhiên liệu cấp vào buồng đốt dẫn đến thay đổi lượng sinh Nồi coi khâu với lượng nhiên liệu cấp tín hiệu vào lượng sinh tín hiệu Các hệ thống tự động nghiên cứu khác mặt cấu trúc, tính chất vật lý, ứng dụng, số lượng phần tử, chúng tạo nên kết hợp phần tử Về mặt cấu trúc hệ thống tự động có nhiều hệ cấu, cấu tạo kết hợp chuỗi nhóm cấu trúc Các phần tử tạo nên đầy đủ phần tử biểu thị cho nhóm cấu trúc Một phần tử hệ thống phức tạp mà thường phân biệt thành thành phần tử có ý nghĩa toán học Việc phân chia hệ thống thành phần tử nắm định luật biểu thị toán học cho phép ta phân tích tổng hợp hệ thống tự động cách dễ dàng Trong thực tế phần tử biểu thị cách gần nhóm cấu trúc hệ thống Những phần tử cấu thành nên hệ thống tự động bao gồm: a Phần tử tỷ lệ lý tưởng (không quán tính) b Phần tử tỷ lệ quán tính bậc bậc hai c Phần tử dao động d Phần tử tích phân lý tưởng, tích phân bậc hai e Phần tử vi phân lý tưởng, vi phân thực tế f Phần tử có tính trễ Ta khảo sát tính chất phần tử Nguyên lý chung để khảo sát phần tử đặt đầu vào tín hiệu chuẩn tín hiệu hàm đột biến đơn vị, hàm đenta hay hàm bước nhảy tốc độ, sau nghiên cứu phản ứng phần tử thông qua tín hiệu Thông thường, 59 người ta khảo sát phần tử tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị hay gọi hàm nhảy bậc x = 1(t) (đặc tính hàm mô tả phần trên) Trước khảo sát phần tử cách cụ thể cần có quy ước giả thiết sau: a Trong phần tử tác động ngược đại lượng đối tới đại lượng vào b Các giá trị tuyệt đối tín hiệu vào ký hiệu dấu “0” chân ký hiệu biến số, ví dụ xo yo Sở dĩ phải đưa khái niệm giá trị tuyệt đối trình phân tích trạng thái tĩnh thường đủ thông tin để chọn điểm công tác biết phương trình đặc tính tĩnh y = f(x) Do phải biết phương trình (hoặc đồ thị) đặc tính tĩnh y o = f(xo) toàn miền xác định tín hiệu c Độ lệch tín hiệu vào so với trạng thái tĩnh ban đầu ký hiệu x, y số (hoặc ký hiệu ∆y ∆x) Độ lệch thường sử dụng để xây dựng phương trình động (phương trình phần tử trạng thái không ổn định (trạng thái động)) xây dựng phương trình chung Các bước chung để khảo sát toán học phần tử bản: Nêu định nghĩa, viết phương trình vi phân biểu thị phần tử, xác định đặc tính tĩnh phần tử Xác định hàm truyền phần tử Xây dựng đặc tính thời gian phần tử: Cho tín hiệu vào tín hiệu chuẩn (hàm đột biến đơn vị) khảo sát phản ứng phần tử qua tín hiệu Xây dựng đặc tính tần số phần tử: - Xác định hàm tần phần tử - Xây dựng đặc tính tần số - biên độ, pha, đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Nyquist biểu đồ Bode) Đánh giá đặc điểm tính chất động phần tử Phương trình động tổng quát phần tử bản: d n y( t ) d n −1 y(t ) dy( t ) Tn + Tn −1 + + T1 + y( t ) = n n −1 dt dt dt dx(t − τ1 ) d m x( t − τ m ) = K[x(t − Tc ) + T1 + + Tm ] dt dt m T1, T2 τ1, τm số thời gian khâu Tc: thời gian chết khâu, xuất khâu có trình tích luỹ lượng 4.2 Khâu tỷ lệ (phần tử tỷ lệ) Phương trình tổng quát biểu thị phần tử tỷ lệ tính quán tính (phần tử tỷ lệ lý tưởng) có dạng y(t) = K.x(t) với y(t) đại lượng ra, x(t) đại lượng vào K hệ số tỷ lệ Hàm truyền phần tử có dạng G( p ) = Y( p ) =K X(p) 60 Phương trình đặc tính tĩnh phần tử y o = K.xo (hoặc dạng giá trị tuyệt đối y o = K.xo + C với C hệ số biểu thị dịch chuyển đường đặc tính so với gốc toạ độ) Đặc tính tĩnh khâu thể hình (4.2.1) yo arctgK xo Hình 4.2.1: Đặc tính tĩnh phần tử tỷ lệ lý tưởng Đặc tính thời gian Cho tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị 1(t) tín hiệu phần tử y(t) = K.1(t) = K y(t) x(t) K 1(t) t K t Hình 4.2.2: Phản ứng khâu tỷ lệ lý tưởng với tín hiệu vào hàm 1(t) Hàm tần đặc tính tần số phần tử tỷ lệ lý tưởng G( jω) = G( p ) p = jω = K , phần thực R(ω) = K phần ảo Q(ω) = Đồ thị đặc tính tần số biên độ, pha (biểu đồ Nyquist) phần tử tỷ lệ lý tưởng biểu thị hình (4.2.3) jQ(ω) K G(jω) R(ω) Hình 4.2.3: Đặc tính tần số - biên độ, pha (biểu đồ Nyquist) Đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Bode) phần tử biểu thị hình (4.2.4) L(ω) = 20 lg α = 20 lg [R(ω)]2 + [Q(ω)]2 = 20 lg K , 61 ϕ(ω) = arctg Q(ω) = arctg = R(ω) K Bode Diagrams 21 Phase (deg); Magnitude (dB) 20.5 20lgK 20 19.5 19 0.5 -0.5 -1 -1 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 4.2.4: Đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Bode) Nhận xét: Từ đặc tính thời gian: phản ứng (tín hiệu ra) phần tử tỷ lệ lý tưởng tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị 1(t) xuất có tín hiệu vào, tín hiệu có độ lớn gấp K lần tín hiệu vào Từ đặc tính tần số: phản ứng phần tử tỷ lệ lý tưởng không phụ thuộc vào tần số tín hiệu vào, tín hiệu tín hiệu vào lệch pha mà khác biên độ Một số thí dụ phần tử tỷ lệ bản: a Cánh tay đòn: y a b x Tín hiệu vào độ dịch chuyển x, y: b Y( p ) b y = x → G(p ) = = =K a X( p ) a A b Mạch điện với điện trở thuần: 62 B R1 U1 R2 U2 Giả sử phụ tải ký hiệu U1, U2 điện áp, R1, R2 điện trở thì: U2 = R2 U (p ) R2 U ⇒ G(p ) = = =K R1 + R U (p) R1 + R c Phần tử cảm biến áp suất kiểu màng: p y Nếu bỏ qua khối lượng chi tiết chuyển động ma sát công chất Giả sử A diện tích có ích màng, y chuyển dịch cần, p áp suất công chất tác dụng phía màng, C độ cứng lò xo từ phương trình cân lực A.p = C.y xác định mối quan hệ chuyển dịch y áp suất: y= A Y( p ) A p ⇒ G( p ) = = =K C X(p) C d Cơ cấu cam: y x ỏ 63 Với x y độ dịch chuyển α góc nghiêng cam thì: Y( p ) = tgα = K X( p ) y = x.tgα ⇒ G(p ) = Nếu prô-phin cam đường thẳng, phải thay cách kẻ đường tiếp tuyến với đường cong điểm công tác định mức ký hiệu độ nghiêng thay (tgα)n ta có: y = x.(tgα)n 4.3 Phần tử quán tính bậc hai 4.3.1 Phần tử quán tính bậc Phương trình vi phân tổng quát phần tử quán tính bậc sau: T dy( t ) + y( t ) = K.x ( t ) dt (4.3.1) Y ( p) K = X(p) Tp + (4.3.2) K hệ số tỷ lệ, T số thời gian Hàm truyền có dạng: G ( p) = Phương trình đặc tính tĩnh phần tử y o = K.xo, đặc tính tĩnh phần tử quán tính bậc giống đặc tính tĩnh phần tử tỷ lệ lý tưởng biểu thị hình (4.2.1) Đặc tính thời gian Cho tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) ta có phương trình động: T dy( t ) + y(t ) = K.1(t ) dt (4.3.3) Để khảo sát phản ứng phần tử với tín hiệu vào x(t) = 1(t) ta giải phương trình tìm y(t) Cách thứ nhất: Giải phương trình vi phân sử dụng hàm truyền G(p) phần tử ảnh Laplace tín hiệu vào 1(t) I(p) = 1/p K K Y(p ) = G(p ).X(p ) = G( p ).I(p ) = G( p ) = = p (Tp + 1) p T p( p + ) T Dùng phép biến đổi Laplace ngược để xác định hàm gốc y(t) Tra bảng có hàm gốc 1 t −t − T T (1 − e ) = T (1 − e ) đó: p( p + ) ( ) T T y(t ) = L−1 [Y(p )] = K T (1 − e −t / T )] T y(t ) = K.(1 − e − t / T ) (4.3.4) Cách thứ hai: Giải phương trình vi phân tuyến tính 64 T dy( t ) + y( t ) = dt (4.3.5) tìm nghiệm tổng quát ytq Sau tìm nghiệm riêng y r phương trình (4.3.3) Nghiệm tổng quát cần tìm phương trình 4.3.3 y(t) = ytq + yr Nghiệm tổng quát 4.3.5 có dạng y(t ) = C.e điều kiện đầu Vậy y tq = C.e −t / T −t / T với C số tích phân xác định từ Phương trình 4.3.3 có nghiệm riêng yr = K (thay vào phương trình thấy nghiệm đúng) => y(t) = ytq + yr = C.e-t/T + K (4.3.6) Với điều kiện ban đầu y t =0 = thay vào 4.3.6 có C.e-0/T + K = => C + K = => C = - K Vậy y(t) = - K.e-t/T + K = K(1 - e-t/T) (4.3.7) Đồ thị đặc tính thời gian phần tử (biểu thị y(t)) thể hình 4.3.1 Từ đồ thị ta thấy khác với phần tử tỷ lệ lý tưởng (hay gọi phần tử tính quán tính) tín hiệu vào hàm bước nhảy đơn vị x(t) = 1(t) tín hiệu y(t) phần tử quán tính đạt giá trị K với thời gian dài không hạn chế, tên phần tử quán tính bắt nguồn từ nguyên nhân Hệ số T gọi số thời gian phần tử, T khoảng thời gian để hệ thống đạt trạng thái cân tốc độ biến thiên không đổi tính từ thời điểm xuất nhiễu Ta chứng minh số thời gian T đoạn AC hình 4.3.1: AC = mà BC = [K − K.(1 − e Hơn tgα = −t / T BC tgα (4.3.8) )] = K.e − t / T dy d[K.(1 − e t / T )] K.e − t / T = = dt dt T 65 => AC = BC K.e − t / T = −t / T = T tgα K.e T Nếu ta thay t = T vào phương tình 4.3.7 đó: y t =T = K.(1 − e −t / T ) t =T = K.(1 − e −T / T ) = K.(1 − ) = 0,632.K e Qua ta thấy số thời gian T phần tử tỷ lệ có tính quán tính thời gian kể từ lúc bắt đầu có tín hiệu vào x(t) thông số đạt giá trị 0,632K Hàm tần đặc tính tần số phần tử quán tính bậc G( jω) = G( p )p = jω = => R(ω) = − K K(Tjω − 1) K KTω = = − + j T.( jω) + (Tω)2 + (Tω)2 + (Tω)2 + K KTω , Q(ω) = ( Tω) + ( Tω)2 + Biểu đồ Nyquist α(ω) = [ R (ω)] + [ Q (ω)] = K (Tω)2 + , ϕ(ω) = arctg Q(ω) = arctg(−Tω) R(ω) Để xây dựng đặc tính tần số ta lập bảng biến thiên: ω R(ω) Q(ω) α(ω) K K φ(ω) 1/T K/2 -K/2 K - π/4 ∞ 0 - π/2 Hoặc theo cách khác: K2 Có α (ω) = R (ω) + Q (ω) = ( Tω)2 + 2 [ => K = R (ω) + Q (ω) + (Tω) R (ω) + Q (ω) 2 2 2 ] Q(ω)  Q(ω)  Q (ω) mà − Tω = ⇒ (Tω)2 =   = R (ω) thay vào ta có: R(ω) R ( ω )   K2.R2(ω) = R4(ω) + R2(ω).Q2(ω) + Q4(ω) = [R2(ω) + Q2(ω)]2 K.R(ω) = R2(ω) + Q2(ω) K2 K2 K  K 2 hay R(ω) − R (ω) − K.R(ω) + + Q (ω) = + Q ( ω ) =    4  4 2 Trên mặt phẳng toạ độ R(ω), Q(ω) phương trình đường tròn bán kính K/2 tâm có tọa độ (K/2, 0) Biểu đồ Nyquist phần tử quán tính bậc biểu thị hình 4.3.2 66 Hình 4.3.2: Biểu đồ Nyquist Diagrams 0.8 Nyquist 0.6 Biểu đồ Bode Imaginary Axis 0.4 L(ω) = 20lgα(ω) = 0.2 20lgK - 10lg[(Tω)2 + 1] -0.2 Nếu vẽ xác -0.4 -0.6 L(ω) đường cong -0.8 -0.5 0.5 1.5 đây: Real Axis Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (dB) -5 -10 -15 -20 -20 -40 -60 -80 -1 10 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 4.3.3: Biểu đồ Bode Tuy nhiên thay L(ω) gần đường tiệm cận sau: Khi ω > 1/T lấy gần L(ω) = 20lgK - 20lgT - 20lgω L(ω) 20lgK 20lgK - 20lgT - 20lgự ω = 1/T lg ω Sai số lớn thay L(ω) đường tiệm cận ΔL(ω) max = 20lgK - {20lgK - 10lg[T.(1/T) + 1] } = 10lg2 < (db) đạt ω = 1/T Nhận xét: Từ đặc tính thời gian: phản ứng (tín hiệu ra) phần tử quán tính bậc tín hiệu vào hàm bước nhảy đơn vị x(t) = 1(t) xuất tín hiệu vào thay đổi tăng dần theo qui luật hàm mũ với số thời gian T, số thời gian nhỏ phản ứng phần tử gần với phản ứng phần tử tỷ lệ lý tưởng Từ đặc tính tần số: với dải tần số tín hiệu vào nhỏ phản ứng phần tử quán tính bậc giống với phản ứng phần tử tỷ lệ lý tưởng, tần số tín hiệu vào lớn độ lệch pha tín hiệu vào tín hiệu lớn, tín hiệu chậm pha so với tín hiệu vào Một số ví dụ minh hoạ 67 Ví dụ 1: Chuyển động quay khối lượng trục ω M J ω Tín hiệu vào mômen quay M, tín hiệu vận tốc góc ω Trên sở định luật cân mômen ta có: M=J dω + ϕ.ω dt J mô men quán tính khối lượng so với trục quay, ϕ hệ số ma sát Hoặc viết: J dω + ω = M ϕ dt ϕ Thay J = T = K ta có phương trình: ϕ ϕ T dϕ + ω = K.M dt Ví dụ 2: Két chất lỏng với lượng nước thoát tự Q1 A h Q2 v2 Tín hiệu vào lưu lượng nước cấp Q1 tín hiệu mức chất lỏng h trạng thái cân ta có Q1o = Q2o Viết phương trình Becluli cho mặt thoáng 1.1 2.2 v12 p1 v2 p + +h= + +0 2g γ 2g γ Coi v1 = p1 = p2 (áp suất khí quyển) v = 2gh 68 Với phần tử bậc hai dao động hệ số ξ nhỏ thời gian dao động tín hiệu kéo dài, tức thời gian để phần tử trở trạng thái cân sau cho tín hiệu vào hàm bước nhảy đơn vị dài Các hình vẽ sau biểu thị tín hiệu phần tử dao động bậc hai với hệ số ξ khác Step Response 1.2 1 0.8 0.8 Amplitude Amplitude Step Response 1.2 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 10 15 Time (sec.) 10 15 Time (sec.) Hình vẽ bên phải đặc tính thời gian khâu bậc hai quán tính với hệ số ξ nhỏ, hình bên trái ứng với ξ lớn Step Response Step Response 1 Amplitude 1.5 Amplitude 1.5 0.5 0.5 10 15 Time (sec.) 10 15 20 Time (sec.) Hình vẽ bên phải đặc tính thời gian khâu bậc hai dao động với hệ số ξ lớn, hình bên trái ứng với ξ nhỏ Từ đặc tính tần số: Tín hiệu phần tử tỷ lệ bậc hai chậm pha so với tín hiệu vào, tần số tín hiệu vào lớn góc chậm pha lớn dải tần số thấp phản ứng phần tử gần giống với phần tử quán tính bậc Phần tử tỷ lệ bậc cao phân tích cấu trúc thành phần tử bậc hai để khảo sát 4.4 Phần tử tích phân 4.4.1 Phần tử tích phân lý tưởng (khâu tích phân bản) Phương trình động tổng quát mô tả khâu tích phân lý tưởng có dạng dy(t ) = K.x(t ) dt (4.4.1) Sau lấy tích phân hai vế với điều kiện ban đầu ta có: t y(t ) = K.∫ x(t )dt = t ∫ x(t )dt T (4.4.2) 73 T = 1/K số thời gian tích phân Hàm truyền G( p ) = Y( p ) K = = X(p ) p Tp (4.4.3) Đặc tính thời gian Cho tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) Như ta biết ảnh hàm đột biến đơn vị X(p ) = p Trên sở hàm truyền phần tử ta có: Y( p ) = 1 X( p ) = => y(t ) = L−1{Y(p )} = t Tp Tp T (4.4.4) Đồ thị y(t) thể hình x(t) y(t) 1(t) arctgK Hình 4.4.1: Đặc tính thời gian phầnt tử tích phân bậc Hàm tần đặc tính tần số G( jω) = Phần thực phần ảo R(ω) = 0, Q(ω) = − α(ω) = R (ω) + Q (ω) = 1 = − j T jω Tω (4.4.5) Tω Q(ω) π = arctg(−∞) = − , ϕ(ω) = arctg R(ω) Tω L(ω) = 20 lg α(ω) = −20 lg(Tω) = −20 lg T − 20 lg ω (4.4.6) Các đồ thị đặc tính tần số 74 Nyquist Diagrams Bode Diagrams 20 0.8 Phase (deg); Magnitude (dB) 0.6 Imaginary Axis 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -40 -89 -89.5 -90 -90.5 -0.8 -1 -1 -20 -91 -0.5 0.5 -1 10 10 Real Axis 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 4.4.2: Đặc tính tần số Nhận xét Từ đặc tính thời gian: Phản ứng phần tử tích phân lý tưởng cho tín hiệu vào hàm bước nhảy đơn vị xuất có tín hiệu vào sau tăng dần theo thời gian Tốc độ tăng tín hiệu phụ thuộc vào độ lớn số thời gian tích phân Từ đặc tính tần số: Tín hiệu phần tử tích phân lý tưởng chậm pha so với tín hiệu vào góc 90o Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Két chứa chất lỏng thoát có điều chỉnh (thoát không tự do) Q1 h P Q2 Tín hiệu vào lưu lượng cấp Q thoát Q2, tín hiệu mức chất lỏng h két Giả sử Q không phụ thuộc vào h mà phụ thuộc vào suất bơm P Điều kiện để thiết lập trạng thái cân Q1o = Q2o Nếu Q1o = const ta nhận đặc tính tĩnh h = ϕ(Q2o) Theo lý thuyết Q2o = Q1o có khả xảy với giá trị mức công chất ho Trong thực tế < ho < hmax đặc tính có dạng đường gạch hình 4.4.3 ho Q1o = const homax 75 Q2o = Q1o Q2o Hình 4.12: Đặc tính tĩnh trạng thái động thay đổi mức chất lỏng két biểu thị phương trình K.(Q1 - Q2) dh(t ) = dt (4.26) K = 1/A tiết diện bề mặt két Trên sở phương trình 4-26 ta xác định hàm truyền Khi Q1o = const (∆Q1 = 0) G(p) = H( p ) K = Q1 ( p ) p Khi Q2o = const (∆Q2 = 0) G(p) = H( p ) K =− Q (p) p Q1 Q2 h(t) h(t) 1(t) 1(t) t t Trên hình 4.12 biểu thị thay đổi mức chất lỏng két thay đổi lưu lượng nước cấp, lưu lượng nước thoát theo quy luật hàm bước nhảy đơn vị Ví dụ 2: Mạch điện có cuộn cảm với cảm kháng L hình vẽ A i L U B Tín hiệu vào điện áp đặt lên cuộn cảm, tín hiệu dòng điện qua cuộn cảm Phương trình động biểu thị mối quan hệ tín hiệu tín hiệu vào có dạng: L di(t ) = U(t) dt 76 Ví dụ 3: Hệ xylanh điều khiển thuỷ lực hình vẽ x y Q px pn px At p t pd Hoạt động: Van trượt điều khiển chuyển động xy-lanh điều khiển làm đóng mở cửa điều khiển Giả sử van trượt điều khiển lên, cửa điều khiển mở ra, cửa phía thông với đường dầu vào có áp suất cao, cửa phía thông với đường dầu xả áp lực Dầu có áp lực cao vào khoang phía xy-lanh lực, dầu khoang phía xy-lanh lực lại thoát piston lực bị đẩy xuống Nếu cửa điều khiển hình chữ nhật ta giả sử A diện tích cửa điều khiển mở hoàn toàn, a chiều cao cửa, quy đổi diện tích cửa điều khiển thành diện tích hình chữ nhật có chiều cao a chiều rộng quy đổi b = A/a Giả thiết đặc tính hoạt động tuyến tính, rò rỉ, bỏ qua ngoại lực tác dụng lên piston, bỏ qua lực ma sát trọng lượng chi tiết, giả thiết van trượt điều khiển lên, lưu lượng dầu thuỷ lực qua cửa điều khiển vào thoát khỏi xy-lanh lực Q v, Qr xác định theo công thức: Q v = α.A S 2 ∆p v , Q r = α.A S ∆p r ρ ρ α hệ số dòng chảy, phụ thuộc vào cấu tạo van trượt, hệ số Reynold độ mở cửa điều khiển, α = 0.6, AS diện tích lưu thông cửa điều khiển Giả sử van trượt điều khiển dịch chuyển đoạn x, ta có AS = x.b, ρ trọng lượng riêng dầu thuỷ lực, Δpv = pn - pt độ chênh áp trước sau cửa điều khiển phía (phía dầu vào xy-lanh lực) Δp r = pd - px độ chênh áp trước sau cửa điều khiển phía (phía dầu vào xy-lanh lực) Có thể coi p x = pt = pd, Qr = Qv Δpv = Δpr => pt = pd = pn p => Δpv = Δpr = n 2 Thay AS, Δpv vào có: Q v = α.b.x pn p p = α.b.x n = K S x với K S = α.b n ρ ρ ρ Qv, Qr xác định theo dịch chuyển piston lực Qv = Qr = At dy dt 77 Như KS.x = At At dy t hay y = ∫ x.dt ; T = KS dt T 4.4.2 Phần tử tích phân bậc 1 Phương trình vi phân tổng quát phần tử tích phân bậc sau: d y( t ) dy( t ) T + = Kx(t ) dt dt (4.4.1) K hệ số tỷ lệ, T số thời gian Nếu lấy tích phân hai vế với điều kiện đầu viết: T t dy(t ) + y(t ) = K ∫ x(t )dt dt Hàm truyền có dạng: G( p ) = Y( p ) K K = = X(p ) p(Tp + 1) p Tp + (4.3.2) Như khâu tích phân bậc hai phân tích cấu trúc thành khâu quán tính bậc mắc nối tiếp với khâu tích phân lý tưởng Phương trình đặc tính tĩnh khâu y o = K.t, đặc tính tĩnh phần tử tích phân bậc hai giống đặc tính tĩnh phần tử tích phân lý tưởng Đặc tính thời gian Cho tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) ta có phương trình động: T t dy( t ) + y(t ) = K.∫ 1(t )dt dt (4.3.3) Để khảo sát phản ứng phần tử với tín hiệu vào x(t) = 1(t) ta giải phương trình tìm y(t) Cách thứ nhất: Giải phương trình vi phân sử dụng hàm truyền G(p) phần tử ảnh Laplace tín hiệu vào 1(t) I(p) = 1/p K K Y( p ) = G(p ).X(p ) = G(p ).I(p ) = G(p ) = = p p(Tp + 1) p T 1 p (p + ) T Dùng phép biến đổi Laplace ngược để xác định hàm gốc y(t) Tra bảng có hàm gốc p (p + ) T y(t ) = L−1 [Y(p )] = t −t  −  1  T T t − + e = T t − + e      T   1 T   T 1 K 21  T  t − + e −t / T  = K ( t − T + T.e −t / T ) T T  y(t ) = K.(t − T + T.e − t / T ) (4.3.4) 78 Cách thứ hai: Giải phương trình vi phân tuyến tính T dy( t ) + y( t ) = dt (4.3.5) tìm nghiệm tổng quát ytq Sau tìm nghiệm riêng y r phương trình (4.3.3) Nghiệm tổng quát cần tìm phương trình 4.3.3 y(t) = ytq + yr Nghiệm tổng quát 4.3.5 có dạng y(t ) = C.e điều kiện đầu Vậy y tq = C.e −t / T −t / T với C số tích phân xác định từ Phương trình 4.3.3 có nghiệm riêng yr = K.(t - T) (thay vào phương trình thấy nghiệm đúng) => y(t) = ytq + yr = C.e-t/T + K.(t - T) (4.3.6) Với điều kiện ban đầu y t =0 = thay vào 4.3.6 có C.e-0/T + K.(0-T) = => C - KT = => C = KT Vậy y(t) = K.T.e-t/T + K.(t - T) = K.(t - T + Te-t/T) (4.3.7) Đồ thị đặc tính thời gian phần tử (biểu thị y(t)) thể hình 4.3.1 y(t) K x(t) 1(t) K t p(Tp + 1) t T Hình 4.3.1: Đặc tính thời gian phần tử Step Response 2.5 Amplitude 1.5 0.5 -0.5 Time (sec.) Hàm tần đặc tính tần số phần tử tích phân bậc hai G( jω) = G( p ) p = jω = => R(ω) = − K j.K(T jω − 1) K.T.ω K = =− − j 2 2 jω.(T jω + 1) ω(T ω + 1) ω( T ω + 1) ω( T ω2 + 1) K.T.ω K , Q(ω) = − 2 ω( T ω + 1) ω(T ω2 + 1) 79 Biểu đồ Nyquist α(ω) = [ R (ω)] + [ Q (ω)] = K ω T ω2 + , ϕ(ω) = arctg Q(ω) = arctg( ) R(ω) Tω Biểu đồ Nyquist phần tử tích phân bậc hai biểu thị hình 4.3.2 Nyquist Diagrams 500 400 300 Imaginary Axis 200 100 -100 -200 -300 -400 -500 -800 -600 -400 -200 200 400 600 800 Real Axis Hình 4.3.2: Biểu đồ Nyquist Biểu đồ Bode Để xây dựng đặc tính tần số ta dùng phương pháp cộng đồ thị khâu tỷ lệ quán tính khâu tích phân lý tưởng L(ω ) = 20lgα (ω ) = 20 lg K − 20 lg ω − 20 lg T 2ω + Đặc tính thay gần hai đường tiệm cận Khi ω > 1/T L(ω) ≈ 20lgK – 20lgT Bode Diagrams 40 Phase (deg); Magnitude (dB) 20 -20 -40 -100 -120 -140 -160 -2 10 -1 10 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 4.3.3: Biểu đồ Bode 80 L(ω) 20lgK - 20lg ω 20lgK - 20lgT ω = 1/T lg ω Nhận xét Từ đặc tính thời gian: Khi cho tín hiệu vào hàm bước nhảy đơn vị phần tử tích phân bậc hai cho tín hiệu tăng theo thời gian theo quy luật hàm mũ Từ đặc tính tần số: Tín hiệu phần tử tích phân bậc hai chậm pha so với tín hiệu vào góc nằm khoảng từ 90o đến 180o 4.5 Khâu vi phân 4.5.1 Khâu vi phân lý tưởng Phương trình động mô tả khâu vi phân lý tưởng có dạng sau: y( t ) = T dx ( t ) dt (4.5.1) T số thời gian vi phân Tín hiệu phần tử vi phân lý tưởng tỷ lệ với vận tốc tín hiệu vào Hàm truyền phần tử có dạng G ( p) = Y ( p) = T.p X ( p) (4.5.2) Các đặc tính thời gian Để nghiên cứu trình động phần tử cho tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị x = 1(t) Y(p) = G(p).X(p) = T.p.X(p) mà X(p) = 1 => Y(p) = T.p = T p p Tra bảng tìm hàm gốc y(t) = T δ(t) δ(t) hàm xung đơn vị xác định sau: t < δ(t) = ∞ t = 0 t > Phản ứng khâu vi phân lý tưởng có quy luật biến thiên theo hàm δ(t) thể đồ thị đặc tính hình 4.5.1 y(t) x(t) 1(t) 81 Tp t t Hình 4.5.1: Đặc tính thời gian Nếu cho tín hiệu vào hàm bước nhảy tốc độ x(t) = f(t), f(t) định nghĩa sau: f(t) = t < f(t) = t t ≥ Y(p) = G(p).X(p) = T.p.X(p) mà X(p) = 1 ⇒ Y(p) = T.p = T p p p => y(t) = T.1(t) Phản ứng phần tử với tín hiệu vào hàm bước nhảy tốc độ thể hình vẽ 4.5.2 y(t) T.1(t) x(t) f(t) Tp t t Hình 4.5.2: Phản ứng phần tử với hàm bước nhảy tốc độ Hàm tần đặc tính tần số phần tử vi phân lý tưởng G(jω) = T.jω = j.Tω (4.5.3) Phần thực R(ω) = phần ảo Q(ω) = T.ω Biểuđồ Nyquist: α (ω ) = R (ω ) + Q (ω ) = (T ω ) = T ω ,ϕ (ω ) = arctg Q(ω ) = arctg (+∞) = +90 R (ω ) Biểu đồ Bode: L(ω) = 20lgα(ω) = 20lgT + 20lgω Các đặc tính tần số thể hình 4.5.3 82 Nyquist Diagrams Bode Diagrams 500 40 400 20 Phase (deg); Magnitude (dB) 300 Imaginary Axis 200 100 -100 -200 -20 91 90.5 90 -300 89.5 -400 -500 -0.5 89 10 0.5 -1 10 Real Axis 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 4.5.3: Các đặc tính tần số Nhận xét Từ đặc tính thời gian: Phản ứng khâu vi phân lý tưởng tín hiệu vào hàm bước nhảy đơn vị hàm xung đơn vị xuất có tín hiệu vào Tín hiệu đạt giá trị ∞ có tín hiệu vào sau triệt tiêu Trên thực tế trình vật lý xảy thời gian thực với vận tốc hữu hạn nên không tồn phần tử vi phân lý tưởng Từ đặc tính tần số: Đặc tính tần số - biên độ pha (biểu đồ Nyquist) vectơ nằm trục Q(ω) có gốc gốc tọa độ, độ lớn ∞ Đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha đường thẳng cắt trục lgω điểm có ω = 1/T Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mạch điện có tụ điện với điện dung C hình vẽ: A i C U B Tín hiệu vào điện áp U đặt lên tụ, tín hiệu dòng điện i qua tụ i(t) = dU C dt Khi đưa điện áp U đột ngột vào tụ điện, dòng điện qua tụ điện tăng vọt lên vô 4.5.2 Phần tử vi phân thực tế Phương trình động phần tử vi phân thực tế sau: T dy( t ) dx ( t ) + y( t ) = K dx dt (4.5.4) K hệ số tỷ lệ, T số thời gian vi phân Hàm truyền phần tử sau: 83 G ( p) = Y ( p) K.p K = = p X(p) T.p + T.p + (4.5.5) Như phần tử vi phân thực tế phân tích cấu trúc thành phần tử tỷ lệ quán tính mắc nối tiếp với phần tử vi phân lý tưởng Đặc tính thời gian Cho tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) phản ứng phần tử biểu thị thông qua tín hiệu y(t) Y(p) = G (p).X(p) = K.p K K = = T.p + p T.p + T p + T Tra bảng tìm hàm gốc: y( t ) = L−1 { Y(p)} = t K −T e T Phản ứng phần tử biểu thị đường đặc tính hàm mũ hình 4.5.5 y(t) x(t) 1(t) A Kp t B α t C Tp + T T Step Response 0.9 0.8 Amplitude 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Time (sec.) Hình 4.5.5: Đặc tính thời gian Nếu kẻ tiếp tuyến với đường cong điểm A Ta chứng minh T = |BC| 84  K − Tt  e d t T Có AB K −T dy (t ) BC = , AB = e , tgα = =  tgα T dt dt   t   = − K e −T , T2 => BC = T hay T = |BC| Hàm tần đặc tính tần số Trên sở hàm truyền xác định hàm tần G ( jω) = G ( jω) = K jω T jω + (4.5.6) K j ω K jω.(1 − T jω) KTω2 + K jω KTω2 Kω = = = + j 2 2 T jω + 1 − (T jω) 1+ T ω 1+ T ω + T ω2 KTω Kω ⇒ R (ω ) = , Q(ω ) = 2 1+ T ω + T 2ω Đặc tính tần số - biên độ pha: α (ω ) = R (ω ) + Q (ω ) = Kω + T ω ,ϕ (ω ) = arctg Q(ω ) = arctg R (ω ) Tω Có thể chứng minh biểu đồ Nyquist phần tử đường tròn có tâm (0,K/2) bán kính K/2 Đặc tính lôgarit tần số – biên độ, pha: L(ω ) = 20 lg α (ω ) = 20 lg K + 20 lg ω + 20 lg + T 2ω L(ω) thay đường tiệm cận sau: Khi ω > 1/T thay L(ω) ≈ 20lgT + 20lgω - (20lgT + 20lgω) = Các đặc tính tần số phần tử vi phân thực tế biểu thị hình vẽ sau: Nyquist Diagrams Bode Diagrams 0.5 -10 0.3 -20 Phase (deg); Magnitude (dB) 0.4 Imaginary Axis 0.2 0.1 -0.1 -0.2 -0.3 -30 -40 80 60 40 -0.4 20 -0.5 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 10 -2 Real Axis 10 -1 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 4.5.6: Các đặc tính tần số Nhận xét Từ đặc tính thời gian: Phản ứng phần tử vi phân thực với tín hiệu vào hàm đột biến đơn vị tín hiệu có tính quán tính Hằng số thời gian vi phân nhỏ phần tử vi phân thực gần với phần tử vi phân lý tưởng 85 Từ đặc tính tần số: độ lệch pha ϕ(ω) phần tử mang dấu dương phần tử vi phân thực tế dễ dàng cho qua tín hiệu có tần số cao gây cản trở cho tín hiệu vào có tần số thấp Do có tính chất đặc biệt phần tử công nghiệp sử dụng lọc tín hiệu có tần số thấp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hệ học bao gồm lò so giảm chấn thuỷ lực hình vẽ K y A ? x Đại lượng vào phần tử độ dịch chuyển x xylanh giảm chấn đại lượng độ dịch chuyển y piston giảm chấn Trạng thái tĩnh xảy lò xo trạng thái tự thể phương trình y o = giá trị xo Trong trạng thái động, lực làm biến dạng lò xo cân với lực cản giảm chấn thuỷ lực tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động V piston so với xylanh Clx.y = V.λ Clx: độ cứng lò xo, λ: hệ số giảm chấn giảm chấn Hệ số giảm chấn λ tỷ lệ thuận với diện tích A piston tỷ lệ nghịch với độ mở van f, λ phụ thuộc vào độ nhớt chất lỏng hình dạng tiết diện lưu thông van  dx dy  −  Vận tốc chuyển động tương đối piston so với xylanh V =   dt dt   dx dy  −  => Clx.y = λ   dt dt  λ Thay T = dy dx + C lx y = λ dt dt λ dy dx số thời gian T + y = T C lx dt dt Hàm truyền có dạng: G ( p) = Y ( p) T.p = X(p) T.p + Ví dụ 2: Mạch điện với tụ điện điện trở, mạch điện với điện trở cuộn cảm hình vẽ: 86 i Uv i C R Ur R L Uv Ur Với mạch điện gồm tụ điện điện trở: t t t 1 U q U r dt Uv = Ur + Uc = Ur + = Ur + ∫ idt = Ur + ∫ r dt = Ur + C C R RC ∫0 C Lấy đạo hàm hai vế: RC dU v ( t ) dU r ( t ) + Ur(t) = RC dt dt Với mạch điện gồm tụ điện cuộn cảm: t t U R Uv = Ur + UR = Ur + iR= Ur + R ∫ r dt = Ur + ∫ U r dt L L 0 Lấy đạo hàm hai vế: L dU r ( t ) L dU ( t ) + Ur(t) = v R dt R dt Câu hỏi ôn tập: Trình bày phần tử tỷ lệ Trình bày phần tử quán tính bậc Trình bày phần tử quán tính bậc hai Trình bày phần tử tích phân lý tưởng Trình bày phần tử tích phân bạc Trình bày phần tử vi phân lý tưởng Trình bày phần tử vi phân thực tế 87 [...]... khảo sát 4. 4 Phần tử tích phân 4. 4.1 Phần tử tích phân lý tưởng (khâu tích phân cơ bản) 1 Phương trình động tổng quát mô tả khâu tích phân lý tưởng có dạng dy(t ) = K.x(t ) dt (4. 4.1) Sau khi lấy tích phân cả hai vế với điều kiện ban đầu bằng 0 ta có: t y(t ) = K.∫ x(t )dt = 0 1 t ∫ x(t )dt T 0 (4. 4.2) 73 T = 1/K là hằng số thời gian tích phân 2 Hàm truyền G( p ) = Y( p ) K 1 = = X(p ) p Tp (4. 4.3) 3... mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào có dạng: L di(t ) = U(t) dt 76 Ví dụ 3: Hệ xylanh điều khiển thuỷ lực như hình vẽ x y Q px pn px At p t pd Hoạt động: Van trượt điều khiển chuyển động trong xy-lanh điều khiển làm đóng hoặc mở các cửa điều khiển Giả sử van trượt điều khiển đi lên, các cửa điều khiển được mở ra, cửa phía trên thông với đường dầu vào có áp suất cao, còn cửa phía dưới thông... cửa điều khiển không phải là hình chữ nhật ta giả sử A là diện tích của cửa điều khiển khi mở hoàn toàn, a là chi u cao của cửa, quy đổi diện tích cửa điều khiển thành diện tích một hình chữ nhật có chi u cao là a và chi u rộng quy đổi là b = A/a Giả thiết rằng các đặc tính hoạt động đều là tuyến tính, không có rò rỉ, bỏ qua ngoại lực tác dụng lên piston, bỏ qua lực ma sát và trọng lượng của các chi tiết, ... T jω Tω (4. 4.5) 1 Tω Q(ω) π 1 = arctg(−∞) = − , ϕ(ω) = arctg R(ω) 2 Tω L(ω) = 20 lg α(ω) = −20 lg(Tω) = −20 lg T − 20 lg ω (4. 4.6) Các đồ thị đặc tính tần số 74 Nyquist Diagrams Bode Diagrams 1 20 0.8 0 Phase (deg); Magnitude (dB) 0.6 Imaginary Axis 0 .4 0.2 0 -0.2 -0 .4 -0.6 -40 -89 -89.5 -90 -90.5 -0.8 -1 -1 -20 -91 -0.5 0 0.5 1 -1 0 10 10 Real Axis 1 10 10 2 Frequency (rad/sec) Hình 4. 4.2: Đặc tính... tiết, giả thiết van trượt điều khiển đi lên, lưu lượng dầu thuỷ lực qua cửa điều khiển vào và thoát ra khỏi xy-lanh lực Q v, Qr có thể xác định theo công thức: Q v = α.A S 2 2 ∆p v , Q r = α.A S ∆p r ρ ρ α là hệ số dòng chảy, phụ thuộc vào cấu tạo của van trượt, hệ số Reynold và độ mở của cửa điều khiển, α = 0.6, AS là diện tích lưu thông của cửa điều khiển Giả sử van trượt điều khiển dịch chuyển một... đến 180o 4. 5 Khâu vi phân 4. 5.1 Khâu vi phân lý tưởng 1 Phương trình động mô tả khâu vi phân lý tưởng có dạng như sau: y( t ) = T dx ( t ) dt (4. 5.1) T là hằng số thời gian vi phân Tín hiệu ra của phần tử vi phân lý tưởng tỷ lệ với vận tốc của tín hiệu vào 2 Hàm truyền của phần tử có dạng G ( p) = Y ( p) = T.p X ( p) (4. 5.2) 3 Các đặc tính thời gian Để nghiên cứu quá trình động của phần tử cho tín hiệu... Nyquist của phần tử tích phân bậc hai được biểu thị trên hình 4. 3.2 Nyquist Diagrams 500 40 0 300 Imaginary Axis 200 100 0 -100 -200 -300 -40 0 -500 -800 -600 -40 0 -200 0 200 40 0 600 800 Real Axis Hình 4. 3.2: Biểu đồ Nyquist Biểu đồ Bode Để xây dựng các đặc tính tần số ta có thể dùng phương pháp cộng đồ thị của khâu tỷ lệ quán tính và khâu tích phân lý tưởng L(ω ) = 20lgα (ω ) = 20 lg K − 20 lg ω − 20 lg T... chất ho Trong thực tế 0 < ho < hmax và đặc tính có dạng là đường gạch trên hình 4. 4.3 ho Q1o = const homax 75 Q2o = Q1o Q2o Hình 4. 12: Đặc tính tĩnh ở trạng thái động sự thay đổi mức chất lỏng trong két có thể biểu thị bằng phương trình K.(Q1 - Q2) dh(t ) = dt (4. 26) K = 1/A tiết diện bề mặt của két Trên cơ sở phương trình 4- 26 ta xác định hàm truyền Khi Q1o = const (∆Q1 = 0) thì G(p) = H( p ) K = Q1... K.(t - T) (4. 3.6) Với điều kiện ban đầu y t =0 = 0 thay vào 4. 3.6 có C.e-0/T + K.(0-T) = 0 => C - KT = 0 => C = KT Vậy y(t) = K.T.e-t/T + K.(t - T) = K.(t - T + Te-t/T) (4. 3.7) Đồ thị đặc tính thời gian của phần tử (biểu thị y(t)) được thể hiện trên hình 4. 3.1 y(t) K x(t) 1(t) K t p(Tp + 1) t T Hình 4. 3.1: Đặc tính thời gian của phần tử Step Response 2.5 2 Amplitude 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 1 2 3 4 5 Time... Tp (4. 4.3) 3 Đặc tính thời gian Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) Như ta đã biết ảnh của hàm đột biến đơn vị là X(p ) = 1 p Trên cơ sở hàm truyền của phần tử ta có: Y( p ) = 1 1 1 X( p ) = 2 => y(t ) = L−1{Y(p )} = t Tp Tp T (4. 4 .4) Đồ thị của y(t) thể hiện trên hình x(t) y(t) 1(t) arctgK Hình 4. 4.1: Đặc tính thời gian của phầnt tử tích phân bậc nhất 4 Hàm tần và các đặc tính tần số