Chương II KHÁI NIỆM VỀ CHẾ ĐỘ ĐỘNG VÀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG ĐIỀU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG ĐIỀU CHỈNH 2.1 Chế độ làm việc tĩnh chế độ làm việc động hệ thống tự động điều chỉnh Bất kỳ hệ thống tự động điều chỉnh có hai chế độ làm việc, chế độ làm việc tĩnh chế độ làm việc động 2.1.1 Chế độ làm việc tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh: Chế độ làm việc tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh trạng thái hệ thống mà thông số biểu thị trình không thay đổi theo thời gian Chế độ làm việc tĩnh xác lập có cân tác động hệ thống (tác động điều chỉnh tác động nhiễu loạn) Trong khai thác người ta mong muốn hệ thống tự động điều chỉnh làm việc chế độ tĩnh Khi làm việc chế độ tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh cần đạt yêu cầu sau: - Hệ thống trạng thái cân ổn định - Phải đảm bảo độ xác cần thiết, nghĩa sai số tĩnh (sai lệch điều chỉnh) phải nằm giới hạn cho phép Chế độ làm việc tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh đặc trưng đặc tính tĩnh Đặc tính tĩnh (còn gọi đặc tính điều chỉnh hệ thống tự động điều chỉnh khâu) mối quan hệ tín hiệu vào tín hiệu chế độ làm việc tĩnh Đặc tính tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh biểu thị hình vẽ đây: y2 y1 y(t) x2 f(t) x1 f(t) y(t) Hình 2.1.1: Đặc tính tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh hữu sai hệ thống tự động điều chỉnh vô sai Trong thực tế khai thác hệ thống tự động điều chỉnh thấy tồn lực ma sát chi tiết chuyển động, nên tất yếu có vùng không nhạy Điều có nghĩa đại lượng điều chỉnh thay đổi giá trị không vượt khỏi vùng không nhạy hệ thống điều chỉnh 21 tồn chế độ tĩnh Chính vậy, đặc tính tĩnh thực tế miền (vùng) đường (xem hình vẽ đây) f(t) f(t) y2 yo y1 y(t) y2 yo y1 y(t) Hình 2.1.2: Đặc tính tĩnh thực tế Thông số ∆y = y2 - y1 biểu thị miền không nhạy hệ thống có đặc tính tĩnh thể hình vẽ Thông số đặc trưng chế độ tĩnh hệ số không nhạy ε hệ số không đồng δ Hệ số không đồng hệ số không nhạy tính toán theo công thức sau: δ= y max − y 100% ( y max + y ) ε= y − y1 ( y + y1 ) (2.1.1) 100% (2.1.2) ymax, ymin: giá trị đại lượng điều chỉnh tương ứng với nhiễu loạn có giá trị nhỏ f nhiễu loạn có giá trị lớn fmax y2, y1: giá trị đại lượng điều chỉnh cận miền không nhạy với giá trị nhiễu loạn định f(t) f(t) f max f max f f yfmax y2 yfmin y1 y(t) yfmax yfmin y(t) Hình 2.2.3: Các thông số đặc trưng chế độ tĩnh Trong kỹ thuật, giá trị chấp nhận hệ số không nhạy nằm giới hạn ε < ÷ 5% Đối với hệ thống vô sai hệ số không đồng δ = 0, với hệ thống hữu sai δ ≠ giá trị chấp nhận hệ số không đồng nằm khoảng giá trị δ < 10% 22 2.1.2 Chế độ làm việc động hệ thống tự động điều chỉnh: Chế độ làm việc động hệ thống tự động điều chỉnh trạng thái mà cân tác động bị phá vỡ, thông số trình điều chỉnh thay đổi theo thời gian Khi kết thúc chế độ động hệ thống trở trạng thái cân tĩnh trở trạng thái cân ban đầu Quá trình động xảy hệ thống chuyển từ trạng thái tĩnh sang trạng thái tĩnh khác gọi trình độ hay trình chuyển tiếp hệ thống điều chỉnh tự động điều chỉnh Quá trình độ hệ thống tự động điều chỉnh thường có dạng sau đây: - Quá trình độ nhiều dao động (đường hình vẽ) - Quá trình độ dao động (đường 2) - Quá trình độ điều chỉnh (đường 3) - Quá trình độ trình đơn điệu (đường 4) y(t) yo Hình 2.1.4: Quá trình chuyển tiếp hệ thống tự động điều chỉnh t hệ thống tự động điều Trong kỹ thuật, để đảm bảo cho hệ thống hoạt động tốt, trình động chỉnh phải thỏa mãn yêu cầu sau đây: - Quá trình động hệ thống phải đưa hệ thống tới trạng thái ổn định Đồ thị biểu diễn thay đổi đại lượng điều chỉnh (đặc tính động hay đặc tính độ hệ thống) phải tiệm cận với giá trị cho trước yo - Quá trình động hệ thống phải thoả mãn số chất lượng điều chỉnh: thời gian điều chỉnh, độ điều chỉnh, hệ số suy giảm biên độ, tần số dao động, chu kỳ dao động, tổng độ lớn tác động điều chỉnh a Thời gian điều chỉnh tđc Thời gian điều chỉnh khoảng thời gian từ hệ thống bắt đầu chế độ động đến giá trị đại lượng điều chỉnh thoả mãn bất đẳng thức: y ( t ) − y o ≤ ∆y ∆y: giá trị qui định trước theo yêu cầu kỹ thuật Thường ∆y quy định tương đương với miền không nhạy hệ thống nằm khoảng ± ~ 5% giá trị lớn (hoặc giá trị định mức) đại lượng điều chỉnh 23 yo Äy2 Äy Äy1 Δy Äymax y(t) Tđc t Hình 2.1.5: Các thông số đặc trưng cho trạng thái động hệ thống tự động điều chỉnh Thời gian điều chỉnh thời gian cần để hệ thống khôi phục lại trạng thái cân ổn định có tác động nhiễu loạn phá vỡ trạng thái cân trước Thời gian điều chỉnh cho phép đánh giá tác động hệ thống tự động điều chỉnh nhanh hay chậm Để hệ thống hoạt động tốt thời gian điều chỉnh phải nhỏ thời gian điều chỉnh qui định ([tđc]) b Độ điều chỉnh Δymax Độ điều chỉnh độ lệch cực đại đại lượng điều chỉnh so với giá trị cho trước σ max = ∆y max 100(%) yo [ Yêu cầu trình động hệ thống phải thỏa mãn: σ max (%) ≤ σ max (2.1.3) ] Giá trị độ điều chỉnh cho phép [Δymax] thường nằm khoảng 20 ÷ 30% Thời gian điều chỉnh tđc độ điều chỉnh Δymax hai thông số quan trọng chúng có mối liên kết mật thiết với nhau, hàm Kinh nghiệm khai thác hệ thống tự động điều chỉnh việc điều chỉnh hai thông số giá trị thích hợp cần thiết hệ thống hoạt động ổn định, tin cậy c Hệ số suy giảm biên độ (hệ số tắt dần) ψ độ dao động m Các số thể tính chất tắt dần đặc tính động, chúng xác định sau: ψ =1− ∆y ∆y1 1 ∆y m = − ln(1 − ψ ) = ln 2π 2π ∆y (2.1.4) Quá trình độ tắt nhanh ψ m lớn Khi ψ = (m = ∞) trình độ dao động Ngược lại ψ = (m = 0) trình động hệ thống dao động không tắt Hiển nhiên hệ thống có dao động tốt Vì để hệ thống hoạt động tốt ψ phải lớn giá trị qui định [ψ] 24 Ngoài số nêu người ta quan tâm đến số khác số lần dao động, chu kỳ dao động 2.2 Phương trình động phần tử hệ thống tự động 2.2.1 Khái niệm chung Để biểu thị toán học trình chuyển tiếp (quá trình độ) người ta đưa khái niệm gọi phương trình động Có thể định nghĩa: Phương trình động phần tử hay hệ thống tự động phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng đại lượng vào hệ thống trạng thái động (hay nói cách khác trạng thái có tác động nhiễu loạn, đại lượng điều chỉnh biến đổi theo thời gian) Phương trình động phần tử hệ thống tự động thường biểu thị dạng phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân, phương trình vi phân toán tử Như biết để dễ dàng cho tính toán khảo sát mà đảm bảo độ xác, phương trình động hệ thống tự động tuyến tính thường biểu thị dạng tổng quát có hệ số số sau: d n y( t ) d n − y( t ) dy(t ) d m x( t ) d m − x( t ) dx(t ) a n n + a n− n− + + a + a o y(t ) = b m m + b m− m− + + b + b o x(t ) (2.2.1) dt dt dt dt dt dt Với n m bậc đạo hàm n > m; y(t): thông số ra; x(t): thông số vào; a, b: hệ số số; t: biến thời gian Từ phương trình (2.1) rút phương trình đặc tính tĩnh hệ thống (các đạo hàm y(t) x(t) theo thời gian không): y= bo x ao (2.2.2) Tuy nhiên hệ thống tuyến tính hoá phương trình tiếp tuyến với đường cong đặc tính thực mà tiếp điểm gốc tọa độ (0,0) 2.2.2 Những phương trình phần tử tuyến tính Các phần tử hệ thống học, thuỷ lực, khí nén điện xếp thành loại phần tử sau: a Các phần tử biến đổi tổn thất lượng thành nhiệt lượng: + Ma sát hệ học, chất lỏng chất khí + Điện trở tích cực hệ thống điện b Các phần tử tích trữ lượng dạng năng: + Đàn hồi vật thể rắn, chất lỏng chất khí + Mức chất lỏng két + Tụ điện hệ thống điện c Các phần tử tích trữ lượng dạng động năng: + Vật rắn, chất lỏng khí có khối lượng + Cuộn cảm hệ thống điện 25 2.2.3 Các phần tử có tổn thất lượng a Sức cản ma sát hệ thống học Trên hình 2.2.1 thể sức cản ma sát chuyển động tịnh tiến, giả thiết hệ số sức cản Rm chuyển động số, lực ma sát tỷ lệ với vận tốc Fr = Rm.V FR = Rm.V F V G Hình 2.2.1: Sức cản ma sát hệ thống học chuyển động tịnh tiến Trên sở phương trình cân F = FR ta có phương trình động: F = Rm.V (2.2.3) F: lực tác dụng; V: vận tốc chuyển động; G: trọng lượng vật; Rm: hệ số ma sát; FR: lực ma sát b Sức cản ma sát chuyển động quay Trên hình 2.2.2 biểu thị vật chuyển động quay quanh trục, mô men ma sát chuyển động quay tồn gối đỡ M w MR Hình vẽ 2.2.2: Sức cản ma sát hệ thống chuyển động quay Trong chuyển động quay, mômen ma sát tính theo công thức: MR = Rω.ω (2.2.4) Với Rω: hệ số ma sát; ω: vận tốc góc; MR: mômen ma sát Từ phương trình cân M = MR ta có phương trình động: M = Rω.ω (2.2.5) Với M: mômen quay c Lực cản dòng chảy hệ thống thuỷ lực khí nén Đối với trình chảy chất lỏng chất khí đường ống, ma sát tỷ lệ thuận với vận tốc lưu động dòng công chất V, vận tốc V lại tỷ lệ thuận với lưu lượng dòng chảy liên tục 26 A q p1 p2 Hình 2.2.3: Sức cản dòng chảy Vậy giảm áp suất đoạn ống tỷ lệ với lực ma sát A.∆p = FR (2.2.6) Với A: Diện tích tiết diện ngang ống; ∆p = p1 - p2: độ chênh áp suất; FR: lực ma sát FR = K.V = K q A (2.2.7) K: hệ số số; V: Vận tốc lưu động dòng công chất; q: lưu lượng dòng chảy công chất Vậy phương trình động là: ∆p = RP = K q = Rp.q A2 (2.2.8) K : hệ số ma sát A2 d Điện trở tích cực hệ thống điện A IAB R UAB B Hình 2.2.4: Điện trở tích cực hệ thống điện Với điện trở R mạch điện hình vẽ 2.2.4, độ chênh điện áp qua điện trở (hiệu điện hai điểm A B) UAB = VA - VB = IAB.R (IAB: cường độ dòng điện chạy mạch) Như phương trình động phần tử có tổn thất lượng xét có dạng tương tự biểu thị cách tổng quát: y(t) = K.x(t) (2.2.9) 2.2.4 Các phần tử tích trữ lượng dạng a Phần tử đàn hồi hệ thống học với chuyển dịch tịnh tiến Lực đàn hồi lò xo F tỷ lệ với độ biến dạng lò xo x F = K1.x (2.2.10) 27 Với K1 hệ số độ cứng lò so (ngược với hệ số đàn hồi) Vi phân hai vế phương trình (2.2.1) theo thời gian ta có: dF dx = K = K v(t ) dt dt Với v(t) = (2.2.11) dx vận tốc chuyển dịch lò xo dt Từ rút phương trình động: t F(t ) = K1 ∫o v(t )dt + Fo (2.2.12) Fo: giá trị lực đàn hồi ban đầu lò xo (ở thời điểm t = 0) b Phần tử đàn hồi hệ thống học với chuyển động quay Mômen quay M tỷ lệ với góc quay α: M = K2.α (2.2.13) K2: hệ số số Lấy đạo hàm hai vế phương trình sau tích phân theo thời gian ta có phương trình động: t M(t) = K2 ∫ ω( t ) + M o Với ω(t) = (2.2.14) dα : vận tốc góc; Mo: mô men quay ban đầu (mô men quay thời điểm t = 0) dt c Phần tử chứa chất lỏng hay chất khí chịu nén với áp đàn hồi Khi bị nén áp suất chất lỏng hay chất khí tăng lên, lúc chúng tích trữ lượng dạng áp lực Năng lượng giải phóng chất lỏng hay chất khí giãn nở Có thể so sánh tượng với việc lò xo học bị nén lại, lò xo tích trữ lượng dạng lực đàn hồi Hệ số tích trữ áp đàn hồi (tương tự hệ số đàn hồi lò xo) tính đơn vị thể tích công chất lỏng hay khí biểu thị mối quan hệ thay đổi thể tích thay đổi áp suất Gọi K hệ số tích trữ áp đàn hồi K xác định theo công thức: K= dV Vo dp (2.2.15) Vo: thể tích ban đầu; dV: thay đổi thể tích; dp: thay đổi áp suất F = p.A ÄV = A.x Hình 2.2.5: Sự đàn hồi chất lỏng, chất khí 28 F: lực tác dụng; ∆V: thay đổi thể tích; A: tiết diện piston; x: dịch chuyển piston; p: áp suất chất lỏng Từ phương trình rút ra: dp = 1 dv K V0 (2.2.16) Lấy đạo hàm vế theo thời gian dp 1 dv = = q( t ) dt K Vo dt K.Vo Với q(t ) = (2.2.17) dV : lưu lượng dòng chảy công chất dt Tích phân vế ta có phương trình động: p( t ) = t ∫0q(t )dt + p o K.Vo (2.2.18) po: áp suất ban đầu (tại thời điểm t=0) d Phần tử chứa chất lỏng (trong hệ thống thuỷ lực) với cột áp Trong phần tử chất lỏng chứa bình tạo áp suất p đáy bình (cột áp chất lỏng) ∆V V = A.h q p Hình 2.2.6: Cột áp chất lỏng két chứa Hệ số biểu thị mối quan hệ gia tăng thể tích chất lỏng (nâng cao mức chất lỏng bình) tăng áp suất cửa vào bình Ch xác định sau: Ch = ∆V ∆V => ∆p = Ch ∆p (2.2.19) Lấy vi phân vế phương trình (2.2.10) sau lấy tích phân ta phương trình động: dp dv = = q(t ) dt C h dt C h (2.2.20) t q(t )dt + p o C h ∫0 (2.2.21) p( t ) = po: cột áp ban đầu chất lỏng bình (tại thời điểm t = 0) 29 q( t ) = dV : lưu lượng dòng chảy dt e Phần tử tích điện hệ thống điện (tụ điện) A i C UAB B Hình 2.2.7: Tụ điện mạch điện Với tụ điện có điện dung C mạch điện ta có: C= ∆q => U = ∆q ∆U C (2.2.22) Lấy vi phân vế phương trình (2.2.13) sau lấy tích phân ta phương trình động: dU dq = = i(t ) dt C dt C (2.2.23) t ∫ i(t )dt + U o C (2.2.24) U (t ) = Uo: độ chênh điện ban đầu tụ (tại thời điểm t = 0) Như ta thấy phương trình động phần tử tích trữ có dạng giống không phụ thuộc vào tính chất vật lý chúng, dạng chung là: t y(t ) = K.∫0 x(t )dt + y o (2.2.25) 2.2.3 Các phần tử tích trữ lượng dạng động a Vật thể rắn có khối lượng m chuyển động tịnh tiến Theo định luật Niu-tơn lực tỷ lệ với gia tốc: F=m F; lực tác dụng; v: vận tốc chuyển động, dv dt (2.2.26) dv : gia tốc chuyển động dt b Vật thể chuyển động quay Nếu ký hiệu M mômen quay, J mômen quán tính vật qui đường tâm trục quay, ự: vận tốc góc, dω : gia tốc góc, ta có phương trình xác định mô men quay: dt M = J dω dt (2.2.27) c Phần tử cảm ứng hệ thống điện (cuộn cảm) 30 A i L U AB B Hình vẽ 2.2.8: Cuộn cảm hệ thống điện Với phần tử cảm ứng cuộn cảm hệ thống điẹn hình 2.2.7 ta có: U AB = L di(t ) dt (2.2.28) Như phương trình động phần tử tích trữ lượng động có dạng giống biểu thị tổng quát sau: y(t) = K dx(t ) dt (2.2.29) 2.2.4 Phương pháp thành lập phương trình động cho hệ thống tự động Như phần ta thấy, phần tử đặc trưng phương trình riêng Phương pháp chung để thành lập phương trình động cho phần tử hệ thống phương pháp dùng phương trình tổng quát Lagrange sau: d  ∂T  ∂T ∂V p ∂f   − + = ∑ λα α dt  ∂x i  ∂x i ∂x i α =1 ∂x i (2.2.30) i = 1,2,3 ; p = 1,2,3 xi: thông số; T: động năng; V: năng; fi(t): nhiễu loạn có liên quan đến thông số xi Phương trình Lagrange ứng dụng cho hệ thống học, khí nén, thuỷ lực, điện Ví dụ: Thành lập phương trình động cho hệ thống học bao gồm vật có khối lượng m, lò xo có độ đàn hồi K giảm chấn có độ giảm chấn Z K F m x Z Hình 2.2.9: Hệ thống giảm chấn khí m: khối lượng; K: độ đàn hồi; x: dịch chuyển; f: tác động bên ngoài; Z: độ giảm chấn 31 Thông số đặc trưng cho dịch chuyển hệ thống x, thông số kích thích bên tạo chuyển động lực f Động năng, công suất tổn thất tính sau: T= 1 m(x ) ; V = K.x ; P = Z( x ) 2 (2.2.31) Thay vào phương trình Lagrange ta có phương trình động hệ học sau: (2.2.32) m x + z x + kx = f Phương trình (1) có dạng giống phương trình hệ thống RLC sau: A L U R i C U B Hình 2.2.10: Mạch điện RLC LC d i( t ) di(t ) + RC + i(t ) = C.U dt dt (2.2.33) Đối với hệ thống thuỷ lực khí nén tương đương ta sử dụng phương trình Lagrange để xây dựng phương trình động theo phương pháp Tuy nhiên nhiều trường hợp không thiết phải sử dụng phương trình Lagrange mà dùng phương pháp đơn giản áp dụng trực tiếp định luật vật lý thích hợp người ta thành lập phương trình động hệ thống Ví dụ hệ thống học sử dụng định luật sau: a Định luật bảo toàn khối lượng cho phần tử hệ thống có thông số mức chất lỏng áp suất b Định luật bảo toàn lượng cho phần tử hệ thống có thông số lượng, nhiệt dòng chảy c Định luật Niu-tơn II (phương trình DALAMBERT) cho vật rắn phần tử có khối lượng tham gia chuyển động Câu hỏi ôn tập: Trình bày chế độ làm việc tĩnh hệ thống tự động điều chỉnh Trình bày chế độ làm việc động hệ thống tự động điều chỉnh 32 [...]... i L U AB B Hình vẽ 2. 2.8: Cuộn cảm trong hệ thống điện Với phần tử cảm ứng như cuộn cảm trong hệ thống điẹn ở hình 2. 2.7 ta có: U AB = L di(t ) dt (2. 2 .28 ) Như vậy phương trình động của các phần tử tích trữ năng lượng động năng cũng có dạng giống nhau và có thể biểu thị tổng quát như sau: y(t) = K dx(t ) dt (2. 2 .29 ) 2. 2.4 Phương pháp thành lập phương trình động cho các hệ thống tự động Như ở phần trên... tổn thất được tính như sau: T= 1 1 m(x 2 ) ; V = K.x 2 ; P = Z( x 2 ) 2 2 (2. 2.31) Thay vào phương trình Lagrange ta sẽ có phương trình động của hệ cơ học như sau: (2. 2. 32) m x + z x + kx = f Phương trình (1) có dạng rất giống phương trình ở hệ thống RLC như sau: A L U R i C U B Hình 2. 2.10: Mạch điện RLC LC d 2 i( t ) di(t ) + RC + i(t ) = C.U dt 2 dt (2. 2.33) Đối với các hệ thống thuỷ lực và khí... Định luật bảo toàn năng lượng cho các phần tử hoặc hệ thống có các thông số năng lượng, nhiệt và dòng chảy c Định luật Niu-tơn II (phương trình DALAMBERT) cho các vật rắn hoặc các phần tử có khối lượng tham gia chuyển động Câu hỏi ôn tập: 1 Trình bày về chế độ làm việc tĩnh của hệ thống tự động điều chỉnh 2 Trình bày về chế độ làm việc động của hệ thống tự động điều chỉnh 32 ... chung để thành lập phương trình động cho mỗi một phần tử hoặc một hệ thống là phương pháp dùng phương trình tổng quát Lagrange như sau: d  ∂T  ∂T ∂V p ∂f   − + = ∑ λα α dt  ∂x i  ∂x i ∂x i α =1 ∂x i (2. 2.30) i = 1 ,2, 3 ; p = 1 ,2, 3 xi: là các thông số; T: động năng; V: thế năng; fi(t): nhiễu loạn có liên quan đến các thông số xi Phương trình Lagrange có thể ứng dụng cho các hệ thống cơ học, khí... Thành lập phương trình động cho hệ thống cơ học bao gồm vật có khối lượng m, lò xo có độ đàn hồi K và bộ giảm chấn có độ giảm chấn Z K F m x Z Hình 2. 2.9: Hệ thống giảm chấn cơ khí m: khối lượng; K: độ đàn hồi; x: sự dịch chuyển; f: tác động bên ngoài; Z: độ giảm chấn 31 Thông số đặc trưng cho sự dịch chuyển của hệ thống là x, thông số kích thích bên ngoài tạo chuyển động là lực f Động năng, thế năng... dựng phương trình động theo phương pháp trên Tuy nhiên trong nhiều trường hợp không nhất thiết phải sử dụng phương trình Lagrange mà dùng phương pháp đơn giản hơn là áp dụng trực tiếp các định luật vật lý thích hợp người ta cũng có thể thành lập được phương trình động của hệ thống Ví dụ như trong các hệ thống cơ học có thể sử dụng các định luật sau: a Định luật bảo toàn khối lượng cho các phần tử hoặc