Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - Dương xuân giáp CáC ĐịNH Lý ergodic luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị Luận án tiến sĩ toán học NGHệ AN - 2016 Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - Dương xuân giáp CáC ĐịNH Lý ergodic LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên đa trị Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học: gs ts Nguyễn văn quảng GS Charles castaing Nghệ an - 2016 i LI CAM OAN Lun ỏn ny c hon thnh ti Trng i hc Vinh, di s hng dn ca GS TS Nguyn Vn Qung v GS Charles Castaing Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi Cỏc kt qu c trỡnh by lun ỏn l trung thc, c cỏc ng tỏc gi cho phộp s dng v cha tng c cụng b trc ú Tỏc gi Dng Xuõn Giỏp ii LI CM N Lun ỏn ny c hon thnh di s hng dn ca GS TS Nguyn Vn Qung v GS Charles Castaing Tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc ti hai Thy-nhng ngi ó t bi toỏn, hng dn, giỳp tn tỡnh v chu ỏo sut quỏ trỡnh tỏc gi hc v thc hin lun ỏn Tỏc gi xin cm n TS Nguyn Vn Hun v ThS Nguyn Trn Thun v nhng tho lun v gúp ý t lỳc vit bn tho cho ti hon thin lun ỏn Trong quỏ trỡnh hon thnh lun ỏn, tỏc gi ó nhn c s quan tõm v gúp ý ca PGS TS Nguyn Thnh Quang, PGS TS Trn Xuõn Sinh, PGS TS Trn Vn n, TS Nguyn Trung Hũa, TS Nguyn Th Th, PGS TS Lờ Vn Thnh, PGS TS Kiu Phng Chi, TS Nguyn Thanh Diu, TS Vừ Th Hng Võn, TS V Th Hng Thanh, TS Lờ Hng Sn cựng cỏc nh khoa hc v bn bố ng nghip Tỏc gi xin chõn thnh cm n v nhng s giỳp quý bỏu ú Tỏc gi xin c gi li cm n ti Khoa S phm Toỏn hc v Phũng o to Sau i hc, Trng i hc Vinh v s h tr v to mi iu kin thun li tỏc gi hon thnh nhim v ca mt nghiờn cu sinh Tỏc gi xin gi li cm n ti Vin Nghiờn cu cao cp v Toỏn vỡ ó h tr v to iu kin thun li cho tỏc gi c hc v nghiờn cu ti Vin Tỏc gi cng xin gi li cm n ti nhng ngi h hng v nhng ngi bn thõn thit ó luụn ng viờn v khớch l tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v cụng tỏc Cui cựng, tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti gia ỡnh ó luụn l ch da vng chc cho tỏc gi yờn tõm hc tp, nghiờn cu v cụng tỏc Dng Xuõn Giỏp iii MC LC Mt s ký hiu thng dựng lun ỏn M u Chng Mt s tớnh cht v hi t Mosco v hi t Wijsman 13 1.1 Mt s kin thc chun b 13 1.2 Mt s tớnh cht v hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng cỏc úng ca khụng gian Banach 21 1.3 Mt s tớnh cht v hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr 1.4 Nhn xột 29 32 Chng nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu 33 2.1 Mt s kin thc chun b 33 2.2 nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu cho phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian Banach thc, kh ly 35 2.3 nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu cho bin ngu nhiờn a tr 40 2.4 nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin ngu nhiờn m 48 Chng Lut s ln i vi mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr 3.1 Mt s kt qu b tr 53 53 3.2 Lut s ln i vi mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr 57 Chng Lut s ln i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr 4.1 Dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc 77 77 4.2 Lut s ln i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr 79 Kt lun chung v kin ngh 92 Danh mc cỏc cụng trỡnh liờn quan trc tip n lun ỏn 93 Ti liu tham kho 94 MT S Kí HIU THNG DNG TRONG LUN N N Q R R+ n nmin nmax hp cỏc s nguyờn dng hp cỏc s hu t hp cỏc s thc hp cỏc s thc khụng õm phn t n := (n1 , n2 , , nd ) Nd phn t := (1, 1, , 1) Nd phn t := (2, 2, , 2) Nd phn t := (3, 3, , 3) Nd giỏ tr nmin := min{ni : i = 1, 2, , d} giỏ tr nmax := max{ni : i = 1, 2, , d} |n| giỏ tr |n| := d ni i=1 X x A X B S c(X) coA clA (, A, P) T IT BX Bc(X) AF x , x EF t- lim inf An nmax t- lim sup An nmax M- lim nmax Wijs- An lim nmax An khụng gian Banach thc, kh ly chun ca phn t x X chun ca A, vi A X khụng gian i ngu ca X hỡnh cu n v úng ca X mt cu n v ca X khụng gian cỏc úng, khỏc rng ca X bao li úng ca A, vi A X bao úng ca A, vi A X khụng gian xỏc sut phộp bin i bo ton o trờn khụng gian xỏc sut (, A, P) -i s cỏc T -bt bin -i s Borel ca X -i s Effră os ca c(X) -i s nht ca A m bin ngu nhiờn a tr F o c giỏ tr ca phim hm x (x X ) ti im x X k vng ca bin ngu nhiờn F gii hn di ca mng {An : n Nd } c(X) ng vi tụpụ t nmax gii hn trờn ca mng {An : n Nd } c(X) ng vi tụpụ t nmax gii hn dng Mosco ca mng {An : n Nd } c(X) nmax gii hn dng Wijsman ca mng {An : n Nd } c(X) nmax IA h.c.c mn mn log+ a a+ a tr i tr i-j hm ch tiờu ca A hu chc chn giỏ tr ln nht ca hai s thc m v n giỏ tr nh nht ca hai s thc m v n lụgarit c s ca a 1, vi a R+ giỏ tr a+ := max{a, 0}, ú a R giỏ tr a := max{a, 0}, ú a R trang th i ti liu c trớch dn t trang th i n trang th j ti liu c trớch dn kt thỳc chng minh M U Lý chn ti 1.1 Thi gian gn õy, nh lý ergodic v lut s ln i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v cú nhiu ng dng ti u ngu nhiờn, thng kờ, toỏn kinh t, y hc v mt s lnh vc khỏc Bin ngu nhiờn a tr l s m rng ca phn t ngu nhiờn Chớnh vỡ vy, vic nghiờn cu nh lý ergodic v lut s ln cho cỏc bin ngu nhiờn a tr khụng ch cú ý ngha lý thuyt m cũn cú ý ngha thc tin 1.2 Thc tin ũi hi chỳng ta nghiờn cu v mng nhiu chiu cỏc bin ngu nhiờn i vi cu trỳc nhiu chiu, quan h th t thụng thng trờn cỏc ch s khụng cú tớnh cht tuyn tớnh Do ú, m rng cỏc nh lý gii hn i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr t trng hp dóy sang trng hp mng nhiu ch s ng vi nmax hoc nmin , chỳng ta s gp nhiu iu bt thng iu ny gúp phn lm cho cỏc kt qu nghiờn cu v cỏc nh lý gii hn a tr dng lut s ln v dng nh lý ergodic i vi cu trỳc nhiu chiu cú nhiu ý ngha 1.3 Lý thuyt ergodic bt ngun t ngnh c hc thng kờ Nghiờn cu cỏc nh lý ergodic c bt u vo nhng nm 1931-1932 bi G D Birkhoff [10] v J v Neumann [59] Trong my thp k gn õy, nh lý ergodic Birkhoff ó c m rng theo hai hng chớnh: cho cu trỳc nhiu chiu v cho cỏc hm a tr Theo hng th nht, vo nm 1951-khụng lõu sau H E Robbins t bi toỏn v tớnh ỳng n ca nh lý ergodic Birkhoff cho trng hp hai chiu (xem [21]), N Dunford [21] v A Zygmund [75] ó thit lp nh lý ergodic Birkhoff i vi h khụng giao hoỏn cỏc phộp bin i bo ton o tng ng cho cỏc trng hp tham s ri rc v tham s liờn tc Kt qu ny sau ú c N Dunford, J T Schwartz [22] v N A Fava [27] tng quỏt lờn cho trng hp toỏn t Cỏc kt qu trờn tip tc c m rng cho trng hp tng cú trng s cỏc cụng trỡnh ca R L Jones v J Olsen [46], M Lin v M Weber [52], F Mukhamedov, M Mukhamedov v S Temir [58], T Yoshimoto [73] Theo hng th hai, vo nm 1991, J Ban [5] thit lp nh lý ergodic Birkhoff cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr compact hoc giỏ tr m trờn khụng gian Banach ng vi hi t theo khong cỏch Hausdorff Cho ti nm 2003, C Choirat, C Hess v R A Seri [17] thu c nh lý ergodic Birkhoff cho cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr li ng vi hi t Kuratowski Gn õy, H Ziat [74] chng minh nh lý ergodic Birkhoff cho cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t: Mosco, Wijsman v Slice Do ú, nghiờn cu nh lý ergodic Birkhoff cho c cu trỳc nhiu chiu v cho cỏc hm a tr ang l cú tớnh thi s 1.4 Lut s ln a tr c chng minh ln u tiờn vo nm 1975 bi Z Artstein v R A Vitale [3] cho cỏc bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc compact ca Rd , ng vi hi t theo khong cỏch Hausdorff Kt qu ny sau ú c m rng theo hai hng chớnh: cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc compact ca khụng gian Banach v cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng (cú th khụng b chn) ca khụng gian Banach Theo hng th nht, chỳng ta cú th tham kho cỏc cụng trỡnh ca N Cressie [20], C Hess [34], M L Puri v D A Ralescu [61], E Gine, M G Hahn v J Zinn [31], F Hiai [40], Z Artstein v J C Hansen [1], A Colubi, M Lopez-Diaz, J S Dominguez-Menchero v M A Gil [19], P Teran v I Molchanov [69], K A Fu v L X Zhang [29], Theo hng th hai, lut s ln c chng minh u tiờn bi Z Artstein v S Hart [2] cho hi t Kuratowski i vi cỏc bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca Rd Sau ú nú c tip tc nghiờn cu bi F Hiai [41] v C Hess [37, 38, 39] cho cỏc loi hi t Mosco v Wijsman Cho n nay, nghiờn cu v lut s ln cho cỏc bin ngu nhiờn a tr l mt cú tớnh thi s ca lý thuyt xỏc sut 1.5 Lut s ln a tr ch yu trung nghiờn cu cỏc bin ngu nhiờn c lp Tuy nhiờn, thc t khụng phi lỳc no chỳng ta cng cú th gi thit c rng cỏc bin ngu nhiờn l c lp Mt hng phỏt trin ca lut s ln a tr l nghiờn cu lut s ln i vi dóy v mng cỏc bin ngu nhiờn a tr m iu kin c lp c thay th bi cỏc iu kin ph thuc nh c lp ụi mt, ph thuc hoỏn i c, ph thuc 2-hoỏn i c õy l mt hng nghiờn cu cú giỏ tr v mt thc tin 1.6 Cỏc nh lý gii hn dng lut s ln v dng nh lý ergodic xỏc sut a tr thng c nghiờn cu cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc compact hoc khụng gian cỏc compact yu hoc khụng gian cỏc li hoc khụng gian cỏc úng, ca mt khụng gian Banach Do ú, cỏc kt qu theo hng nghiờn cu ny v cỏc chng minh ca chỳng cú s kt hp v giao thoa gia lý thuyt xỏc sut, gii tớch li v gii tớch hm 1.7 Hi t theo khong cỏch Hausdorff thng c s dng nghiờn cu cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr l compact i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr l úng, ngi ta thng s dng cỏc loi hi t: hi t Kuratowski (ng vi tụpụ Fell, xem [9]), hi t Mosco (c gii thiu [56, 57]) v hi t Wijsman (c gii thiu [70, 71]) Hi t Kuratowski phự hp cho vic thit lp lut s ln a tr i vi cỏc khụng gian hu hn chiu Hi t Mosco l mt m rng ca hi t Kuratowski i vi khụng gian Banach Loi hi t ny phự hp cho cỏc khụng gian phn x v cú ng dng thỳ v cỏc bt ng thc bin phõn (xem [56, 57]) Vi m rng phự hp cho cỏc khụng gian khụng phn x, hi t Wijsman ó c gii thiu v thớch hp cho vic nghiờn cu v tc hi t v cũn c s dng chng minh lut s ln cho hi t Slice-mt loi hi t cú nhiu ng dng ti u ngu nhiờn Do vy, nghiờn cu cỏc nh lý gii hn cho cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi 85 n = 2C1 n=1 i=1 n 2C1 n=1 i=1 n 2C1 E((|s(x , Fni )|)) (n) E(( x Fni )) (n) E(( Fni )) (n) n=1 i=1 < (do (|t|) v (4.2.3)), (4.2.18) v n=1 n E hni i=1 p.k p n n=1 i=1 np 2p1 (E|s(x , Fni )|p + E|E(s(x , Fni ))|p ) np p.k (theo bt ng thc cr ) n n=1 i=1 n p2 k 2p k n=1 i=1 p.k E|s(x , Fni )|p np E Fni np p p.k < (theo (4.2.4)) (4.2.19) vi k l mt s nguyờn dng no ú p dng [12, nh lý 2.2, nh lý 2.3, nh lý 2.4] cho mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn {hni : n 1, i n}, ta nhn c n n hni () h.c.c n i=1 iu ny cú ngha l n n s(x , Fni ()) n n i=1 E(s(x , Fni )) h.c.c n (4.2.20) i=1 Hn na, t cỏc iu kin (4.2.5), (4.2.6) v B 3.1.1, Es(x , Fni ) = s(x , clEFni ) s(x , X) < i (4.2.21) Do gi thit {Fni : n 1, i n} cú k vng b chn nờn {s(x , Fni ) : n 1, i n} cng cú k vng b chn Theo B 4.1.3, n n E(s(x , Fni )) s(x , X) n i=1 (4.2.22) 86 T (4.2.20) v (4.2.22), ta suy s(x , Gn ()) s(x , X) h.c.c n T ú, ỏp dng nh lý 1.2.5, w- lim sup cl n n n Fni () coX h.c.c i=1 Vỡ vy, ta nhn c lut s ln theo hi t Mosco Lp lun tng t nh chng minh ca nh lý 3.2.1 ta thu c lut s ln theo hi t Wijsman 4.2.2 Chỳ ý Trong nh lý 4.2.1, nu iu kin (4.2.1) c tha vi r = hoc r = thỡ cú th lc b iu kin (4.2.4) nh lý tip theo l mt m rng cỏc kt qu ca A Bozorgnia, R F Patterson v R L Taylor [12, nh lý 2.2, nh lý 2.3, nh lý 2.4] cho trng hp cỏc bin ngu nhiờn a tr 4.2.3 nh lý Gi s {Fni : n 1, i n} l mt mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp theo hng, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian Rademacher dng p (p (1, 2]) Gi s {an : n 1} l dóy tng ngt cỏc s thc dng cho lim an = + v gi s (t) l hm s n liờn tc, chn, nhn giỏ tr dng cho (|t|) (|t|) v r+p1 |t| r |t| |t| (4.2.23) vi r l s nguyờn khụng õm no ú Khi ú, nu +) E(Fni , AFni ), n E(( Fni )) +) (an ) n=1 i=1 n +) n=1 (4.2.24) i=1 E Fni apn p < , (4.2.25) p.k < , (4.2.26) 87 vi k l mt s nguyờn dng no ú, thỡ s- lim inf cl n an n Fni () h.c.c (4.2.27) i=1 Chng minh Vi mi n 1, i n, t gi thit (4.2.24), tn ti fni SF1 ni (AFni ) cho Efni = Hn na, {Fni : n 1, i n} l mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp theo hng v fni l AFni -o c, nờn mng tam giỏc {fni : n 1, i n} cng c lp theo hng Lp lun nh chng minh ca nh lý 4.2.3, (|t|) |t| Do ú ( fni () ) ( Fni () ) vi mi n 1, i n, Kt hp iu ny vi cỏc gi thit ca nh lý, ta thu c n E(( fni )) (an ) n=1 i=1 v n=1 n E fni p n E(( Fni )) n=1 i=1 p.k n apn i=1 n=1 i=1 (an ) E Fni p apn < p.k < , vi k l s nguyờn dng no ú T ú, ỏp dng [12, nh lý 2.2, nh lý 2.3, nh lý 2.4], an n fni () h.c.c n i=1 iu ny kộo theo (4.2.27) 4.2.4 Chỳ ý Trong nh lý 4.2.3, nu iu kin (4.2.23) c tha vi r = thỡ cú th lc b iu kin (4.2.26), v nu iu kin (4.2.23) c tha vi r = thỡ cú th lc b cỏc iu kin (4.2.24), (4.2.26) Vớ d sau õy s chng t kt lun ca nh lý 4.2.3 khụng th thay th bi kt lun mnh hn M- lim cl an n Fni () = {0} h.c.c i=1 88 4.2.5 Vớ d Cho X = R v p = Gi s (t) = |t|3+ , ú (0, 1) l mt s thc c nh Khi ú, (t) l hm s liờn tc, chn, nhn giỏ tr dng v tha (|t|) (|t|) , |t| (r = 3) |t|3 |t|4 Gi s rng Fni () = [1, 1] vi mi , n 1, i n Khi ú E(Fni , AFni ) v AFni = {, } Do ú, {Fni : n 1, i n} l mng cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp theo hng Cho an = n vi mi n Khi ú Fni () = v Fni () = vi mi , an n n 1, i n T ú, n n=1 i=1 n=1 n i=1 E(( Fni )) (an ) E Fni n = n=1 i=1 2k n3+ n = a2n n=1 i=1 n2 = n2+ n=1 2k = n=1 < , < n2k Nh vy, tt c cỏc gi thit ca nh lý 4.2.3 c tha Tuy nhiờn, M- lim cl an n Fni () = [1, 1] = {0} h.c.c i=1 Trong chng minh ca nh lý 4.2.1, s dng B 4.1.3 cho cỏc mng (l,j) tam giỏc {E(s(xj , Fni )) s(xj , X) : n 1, i n} v {zki : k 1, i k}, ta cn iu kin k vng b chn ca mng tam giỏc {Fni : n 1, i n} Vớ d sau õy s chng t rng iu kin k vng b chn khụng c suy t cỏc iu kin cũn li, ngha l, cú th chn c mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr {Fni : n 1, i n} khụng tha iu kin k vng b chn mc dự cỏc iu kin cũn li c tha 4.2.6 Vớ d Gi s X, p, an v hm (t) c nh ngha nh Vớ d 4.2.5 Chn Fni () = [n , n ] vi mi , n 1, i n, ú s thc dng s ch phn sau Khi ú {Fni : n 1, i n} l mt mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn c lp theo hng v tha E(Fni , AFni ) 89 Hn na, Fni () = sup { x : x Fni ()} = sup |x| : x n , n = n 3+ , Fni Fni 1 () = () = sup |x| : x , = , an n n n n ú = (3 + ) > T ú, E(( Fni )) (an ) n n=1 i=1 n=1 n i=1 E(( Fni )) (an ) E Fni a2n (n 3+ ) n = = 3+ = 3+() , (n) n n n = n3+() n=1 i=1 2k n n=1 i=1 = = n=1 = n=1 2k n2+() < , n2(1) 2k = n12 n=1 n(24)k < Ta chn tha , 3+ + ( ) > 1, (2 4)k > 0[...]... minh nh lý ergodic Birkhoff v lut s ln a tr cỏc chng tip theo Cỏc kt qu chớnh ca Chng 1 l nh lý 1.2.3, nh lý 1.2.5, nh lý 1.2.6, nh lý 1.2.7, nh lý 1.3.1 v nh lý 1.3.3 Chng 2 trỡnh by v nh lý ergodic Birkhoff i vi cu trỳc nhiu chiu cho bin ngu nhiờn n tr v a tr Mc 2.1 gii thiu mt s khỏi nim v tớnh cht c bn ca lý thuyt ergodic phc v cho ni dung chớnh ca chng Trong mc 2.2, chỳng tụi thit lp nh lý ergodic. .. thc v kh ly õy l kt qu quan trng thit lp nh lý ergodic Birkhoff a tr cú cu trỳc nhiu chiu Mc 2.3 trỡnh by nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman Trong mc ny, chỳng tụi cũn chng minh nh lý ergodic Birkhoff a tr dng nhiu chiu i vi trng hp phộp bin i bo ton o khụng c gi thit l ergodic Mc 2.4 trỡnh by nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin ngu nhiờn... Banach v i vi mng nhiu chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr i vi nh lý ergodic, chỳng tụi thit lp nh lý ergodic Birkhoff i vi cu trỳc nhiu chiu cho cỏc trng hp: n tr v a tr Núi riờng, nh lý ergodic Birkhoff a tr c chỳng tụi thit lp cho cu trỳc hai chiu i vi lut s ln cho mng hai ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr, chỳng tụi nghiờn cu cho trng hp m n Kt hp dng nh lý Stolz cho mng hai ch s, tớnh cht v s hi t khi m n ... khụng gian cỏc tp con úng ca khụng gian Rademacher dng p, hoc ph thuc 2-hoỏn i c Cỏc kt qu chớnh ca Chng 3 l nh lý 3.2.1, nh lý 3.2.2, nh lý 3.2.6, nh lý 3.2.7 v nh lý 3.2.8 Chng 4 trỡnh by v lut s ln i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman Mc 4.1 thit lp dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc Mc 4.2 nghiờn cu lut s ln cho mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr tha món:...6 t Mosco v Wijsman mang ti nhiu iu thỳ v v ý ngha Vi cỏc lý do nờu trờn, chỳng tụi chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l: Cỏc nh lý ergodic v lut s ln i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr 2 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun ỏn l thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu, thit lp lut s ln i vi mng hai ch s v mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ... s dng phi hp cỏc phng phỏp nghiờn cu lý thuyt thuc cỏc chuyờn ngnh lý thuyt xỏc sut, gii tớch li v gii tớch hm nh: k thut li húa, dng nh lý Stolz, 6 í ngha khoa hc v thc tin Cỏc kt qu ca lun ỏn gúp phn lm phong phỳ thờm cho hng nghiờn cu v cỏc nh lý gii hn trong xỏc sut a tr Lun ỏn l ti liu tham kho cho sinh viờn, hc viờn cao hc v nghiờn cu 7 sinh chuyờn ngnh Lý thuyt xỏc sut v Thng kờ toỏn hc 7 Tng... j 1 iu ny kộo theo nmax {xj : j 1} s- lim inf Fn () h.c.c p dng nh lý 1.2.3 mt ln na v ly nmax bao úng hai v bao hm thc trờn, ta thu c A s- lim inf Fn () h.c.c nmax T nh lý 1.2.6, chỳng tụi thu c nh lý 1.3.2 v nh lý 1.3.3 sau õy v phn lim sup ca hi t Wijsman cho trng hp mng nhiu ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr 30 1.3.2 nh lý Gi s D l mt tp con m c, trự mt trờn X v F, Fn (n Nd ) l cỏc bin ngu... cu (xem [15, 64]) nh lý ergodic Birkhoff c in c phỏt biu nh sau: Nu T l phộp bin i bo ton o trờn khụng gian o (, A, à) v f L1 , thỡ trung bỡnh cng 1 An f := n n1 f Ti i=0 hi t hu khp ni (ng vi o à) ti mt hm T -bt bin f tha món f 1 f 1 v vi mi tp T -bt bin A A m à(A) < ta u cú f dà. f dà = A A Kt qu ny sau ú c tip tc nghiờn cu v m rng theo nhiu hng khỏc nhau c bit, nh lý ergodic Birkhoff i vi... ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc tp con úng ca khụng gian Banach thc, kh ly vi cỏc gi thit khỏc nhau 3 i tng nghiờn cu - nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu - Lut s ln i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr 4 Phm vi nghiờn cu Lun ỏn tp trung nghiờn cu nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu, lut s ln i vi mng hai ch s v mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc tp con úng... ()) + p 31 Bng cỏch cho p , ta nhn c lim sup d(x, Fn ()) d(x, F ()) (1.3.4) nmax S dng nh lý 1.2.6, khng nh (1.3.4) trờn s ỳng vi mi x X Vỡ vy, nh lý c chng minh Bng k thut tng t nh trong chng minh ca nh lý 1.2.6, ta thu c tớnh cht sau õy ca hi t Wijsman i vi mng nhiu chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr 1.3.4 nh lý Gi s D l mt tp con m c, trự mt trờn X v F, Fn (n Nd ) l cỏc bin ngu nhiờn a tr Khi ú, mng