VIN HN LM KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC TRNG HONG MT S MI LIấN H GIA IấAN N THC V TH Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62 46 01 04 TểM TT LUN N TIN S TON HC H NI - 2015 Lun ỏn c hon thnh ti: Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH Lờ Tun Hoa Phn bin 1: Phn bin 2: Phn bin 3: Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm Lun ỏn cp Vin hp ti Vin Toỏn hc - Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam vo hi gi ngy thỏng nm 2015 Cú th tỡm lun ỏn ti: - Th vin Quc gia H ni - Th vin Vin Toỏn hc M u Mi quan h gia hai chuyờn ngnh i s giao hoỏn v Lý thuyt t hp ó c bit t lõu Nm 1975, Stanley dng mt kt qu ca i s giao hoỏn gii quyt gi thuyt chn trờn cho mt cu tn ti hn 10 nm Chng minh ca ụng da vo mt c trng ca Reisner v tớnh Cohen-Macaulay ca iờan sinh bi cỏc n thc khụng cha bỡnh phng thụng qua tớnh trit tiờu ca nhúm ng iu n hỡnh rỳt gn Cho G l th n trờn nh {x1 , , xn } v cnh E(G) Mt iờan liờn kt vi th G nh sau: I(G) = (xi xj |xi xj E(G)) S := k[x1 , , xn ] c gi l iờan cnh ca th G Mi iờan ny tng ng mt-mt vi mt iờan sinh bi cỏc n thc bc hai khụng cha bỡnh phng th G c gi l Cohen-Macaulay (tng ng, Gorenstein) (trờn k ) nu I(G) l iờan Cohen-Macaulay (tng ng, Gorenstein) trờn k nghiờn cu tớnh Cohen-Macaulay v Gorenstein ca I(G), chỳng ta cú th ỏp dng cỏc tiờu chun ca Reisner (B 1.2.3) v Stanley (B 1.2.6) Tuy nhiờn, trng hp ny phc n hỡnh liờn kt vi I(G) l khỏ phc tp, v hn na nhiu trng hp chỳng ta khụng th c c cỏc tớnh cht ca I(G) t chớnh th G Do ú, mc ớch ca lun ỏn nghiờn cu bi toỏn sau: Bi toỏn 1: Tỡm c trng cho tớnh Cohen-Macaulay v Gorenstein ca I(G) da vo cu trỳc ca G ? Nm 1990, Villarreal ó gii quyt bi toỏn trờn cho tớnh Cohen-Macaulay ca th cõy Vo nm 2005, Herzog v Hibi ó gii quyt bi toỏn cho tớnh Cohen-Macaulay v Gorenstein ca th hai phn Trng hp th dõy cung c gii quyt bi Herzog, Hibi v Zheng vo nm 2006 Gn õy, Vander Meulen, Van Tuyl v Watt (2014) ó xột bi toỏn cho cỏc th c gi l vũng trũn Nhỡn chung, tớnh Cohen-Macaulay ca th khụng ch ph thuc vo cu trỳc ca th m cũn ph thuc vo c s ca trng c s iu ny cú ngha l chỳng ta ch cú th gii quyt bi toỏn cho mt s lp th Trong lun ỏn ny, chỳng tụi tỡm cỏc lp th mi m bi toỏn cú li gii vũng ca G , kớ hiu girth(G), l di ca chu trỡnh nh nht G Nu G khụng cha chu trỡnh, thỡ ta quy c girth(G) bng vụ cựng Kt qu u tiờn ca lun ỏn l c trng hon ton tớnh Cohen-Macaulay cho cỏc th cú vũng ln hn hoc bng (nh lý 3.2.4) Kt qu ny liờn quan n cỏc lp th quen bit lý thuyt t hp nh: th ph tt, th cú phõn tớch nh, lp PC v lp SQC i vi tớnh Gorenstein, chỳng tụi a mt c trng cho lp th khụng cha tam giỏc (nh lý 3.3.8) c trng ny ca chỳng tụi l thun tỳy t hp gii thớch ti chỳng tụi trung n lp th ny, chỳng tụi ó xõy dng mt th cú 182 nh m tớnh Gorenstein ca nú khụng nhng ph thuc vo G m cũn ph thuc vo trng c s (Mnh 3.3.2) Mc ớch tip theo ca lun ỏn l gii quyt bi toỏn sau: Bi toỏn 2: Tỡm c trng cho tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 da vo cu trỳc ca G Thc ra, bi toỏn trờn c t mt cỏch tng quỏt cho ly tha th m ca iờan sinh bi cỏc n thc khụng cha bỡnh phng Cú rt nhiu nh toỏn hc quan tõm n ny nh: Cowsik v Nori (1976); Rinaldo, Terai v Yoshida (2011); N.C.Minh v N.V.Trung (2009, 2011); N.Terai v N.V.Trung (2012); Cui cựng, N.Terai v N.V.Trung (2012) ó gii quyt hon ton ú vi m Vn cũn li l trng hp m = Kt hp cỏc kt qu ca N.C.Minh v N.V.Trung (2011) v Rinaldo, Terai v Yoshida (2011), chỳng ta cú mt tiờu chun kim tra tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha th hai ca iờan n thc khụng cha bỡnh phng Tuy nhiờn, tiờu chun ny khỏ phc v cha thun tỳy t hp Do ú, ngi ta mun cú c mt tiờu chun d kim tra hn Chỳng tụi s bt u vi trng hp iờan sinh bi cỏc n thc bc hai khụng cha bỡnh phng Mi iờan nh vy s tng ng vi mt th n ú chớnh l lý m chỳng tụi mun trung gii quyt bi toỏn Vic nghiờn cu tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha th hai ca iờan n thc khụng cha bỡnh phng cũn liờn quan n tớnh Gorenstein ca iờan ú Vn ny liờn quan n mt gi thuyt ca Vasconcelos (1987) Nm 2011, Rinaldo, Terai v Yoshida a kt lun trng hp iờan cnh rng nu I(G)2 l Cohen-Macaulay vi mi trng k thỡ G l th Gorenstein Mt cõu hi t nhiờn c h a rng nu c nh trng k thỡ t iu kin I(G)2 l Cohen-Macaulay cú suy G l Gorenstein hay khụng? õy cng chớnh l mt lớ na ca chỳng tụi cho vic nghiờn cu tớnh Gorenstein ca I(G) bi toỏn Chỳng tụi ch rng tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 tng ng vi th G l Gorenstein khụng cha tam giỏc (nh lý 4.1.8) Hn na, da vo kt qu phõn loi th Gorenstein bi toỏn 1, lp tc chỳng tụi cú th kt lun c rng tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 c c trng thun tỳy t hp Chỳng tụi cng xột bi toỏn tng t vi bóo hũa ca ly tha th m ca iờan n thc khụng cha bỡnh phng Vi m 3, tớnh Cohen-Macaulay ca nú tng ng vi tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha th hai (Mnh 4.2.1) Tuy nhiờn, iu ú s khụng cũn ỳng m = Cng nh trng hp ly tha thụng thng th hai, bi toỏn sau c xut hin mt cỏch t nhiờn: Bi toỏn 3: Tỡm c trng t hp cho tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 da vo G Vi bi toỏn ny, chỳng tụi a mt c trng thun tỳy t hp cho tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 (nh lý 4.2.5) c trng ny núi rng I(G)2 l Cohen-Macaulay nu v ch nu G l khụng cha tam giỏc a phng, -ti hn v thuc lp th W2 Cựng vi c trng v tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 nh lý 4.1.8 chỳng tụi cú th xõy dng mt vớ d cho I(G)2 l Cohen-Macaulay, nhng I(G)2 khụng Cohen-Macaulay (Vớ d 4.2.7(1)) Bõy gi chỳng tụi gii thiu cu trỳc ca lun ỏn Ngoi phn m u, kt lun, bng kớ hiu v bng thut ng, lun ỏn chia lm bn chng Trong Chng 1, chỳng tụi gii thiu mi quan h gia iờan n thc v phc n hỡnh Trong Mc 1.1, chỳng tụi gii thiu s lc cỏc khỏi nim c bn i s giao hoỏn nh iờan Cohen-Macaulay, iờan Gorenstein v iờan khụng trn ln Trong Mc 1.2, chỳng tụi gii thiu cỏc c trng ca phc n hỡnh Cohen-Macaulay v phc n hỡnh Gorenstein s dng c cỏc c trng ny, chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v cỏc tớnh cht ca ng iu n hỡnh rỳt gn T ú, chỳng tụi chng minh hai tớnh cht b tr v tớnh trit tiờu ca cỏc ng iu n hỡnh rỳt gn (B 1.2.9, H qu 1.2.10) Mc 1.3 s trỡnh by cụng thc Takayama nh l mt nhng cụng c chớnh ca cỏc chng sau Trong Chng 2, chỳng tụi nghiờn cu cu trỳc mt s lp th Mc 2.1 s trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v th v chng minh mt s tớnh cht ca lp th ph tt Trong Mc 2.2, chỳng tụi gii thiu v chng minh mt s tớnh cht ca lp th W2 Kt qu chớnh mc ny l c trng lp th W2 trng hp khụng cha tam giỏc (nh lý 2.2.8) v trng hp khụng cha tam giỏc a phng v -ti hn (nh lý 2.2.11) Trong Mc 2.3 s trỡnh by mt s lp th quan trng nh: th cú phõn tớch nh, lp th PC v SQC T ú, chỳng tụi ch rng mi th thuc lp SQC u cú phõn tớch nh v ph tt (nh lý 2.3.11) Trong Chng 3, chỳng tụi phõn loi hon ton th Cohen-Macaulay vi vũng ln hn hoc bng v th Gorenstein khụng cha tam giỏc Mc 3.1 s trỡnh by mt tng quan cỏc kt qu ó c gii quyt v vic phõn loi cỏc lp th Cohen-Macaulay v Gorenstein Kt qu chớnh Mc 3.2 l c trng hon ton th Cohen-Macaulay vi vũng ln hn hoc bng (nh lý 3.2.4) Trong Mc 3.3, chỳng tụi c trng thun tỳy t hp th Gorenstein khụng cha tam giỏc (nh lý 3.3.8) Trong trng hp th cha tam giỏc, chỳng tụi xõy dng mt th gm 182 nh m tớnh Gorenstein khụng nhng ph thuc vo cu trỳc ca th m cũn ph thuc vo trng c s (Mnh 3.3.2) i vi th phng khụng cha tam giỏc, chỳng tụi a mt minh tng minh cho tớnh Gorenstein ca lp th ny (H qu 3.3.10) Trong Chng 4, da vo cu trỳc cỏc lp th chng 2, v vic phõn loi cỏc th Gorenstein chng 3, chỳng tụi c trng c tớnh CohenMacaulay ca I(G)2 v I(G)2 da vo cu trỳc ca th G Trong Mc 4.1, chỳng tụi nghiờn cu c trng tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha tng trng th hai I(G)(2) (nh lý 4.1.5) T kt qu ú mc 4.2 s gii quyt c bi toỏn (nh lý 4.2.9) Nh mt h qu, chỳng tụi a li gii cho gi thuyt ca Rinaldo, Terai v Yoshida (H qu 4.2.10) Tip theo, chỳng tụi c trng cho tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 (nh lý 4.2.13) Kt qu ny cng chớnh l li gii cho bi toỏn K thut ch yu l da vo vic cu trỳc lp th W2 v phõn loi cỏc th Gorenstein Cỏc kt qu lun ỏn c trỡnh by 04 bi bỏo, ú 02 bi ó ng trờn quc t danh sỏch SCI v SCIE, 01 bi c nhn ng Vietnam Journal of Mathematics v 01 bi ó gi ng Chng Mt s kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi nờu li mt s khỏi nim v kt qu ó bit i s giao hoỏn nhm giỳp vic trỡnh by rừ rng v h thng cỏc kt qu cỏc chng sau Ngoi cng trỡnh by v chng minh hai kt qu mi cn thit cho cỏc chng sau 1.1 Vnh Cohen-Macaulay v vnh Gorenstein Trong lun ỏn ny, nu khụng núi gỡ khỏc, ta kớ hiu S l vnh a thc trờn trng k tựy ý v I l iờan ca S t R := S/I Ta kớ hiu m l iờan cc i thun nht ca R Kớ hiu Hmi (R) l mụun i ng iu a phng th i ca R vi giỏ m sõu ca R, kớ hiu l depth R, l di ca cỏc dóy chớnh quy thun nht cc i Nu depth R = dim R, thỡ R c gi l vnh Cohen-Macaulay v I c gi l iờan Cohen-Macaulay Da vo nh lý trit tiờu ca Grothendieck, ta cú mt c trng rng: vnh R l Cohen-Macaulay nu v ch nu Hmi (R) = vi mi i < dim R Gi s R cú mt gii t phõn bc ti tiu trờn S cú dng nh sau: (R) (R) (R) p 0 i=1 S(dpi ) ã ã ã i=1 S(d1i ) i=1 S(d0i ) R 0, ú (R), , p (R) = Nu R l vnh Cohen-Macaulay v p (R) = 1, thỡ R c gi l vnh Gorenstein v I c gi l iờan Gorenstein 1.2 Iờan n thc khụng cha bỡnh phng Cho S = k[x1 , , xn ] l vnh a thc trờn trng k Mt iờan I S c gi l iờan n thc nu nú c sinh bi cỏc n thc S Kớ hiu sinh n thc ti tiu ca I l G(I) Iờan I c gi l iờan n thc khụng cha bỡnh phng nu G(I) l gm cỏc n thc cú dng xa vi a {0, 1}n Mt phc n hỡnh l hp bao gm cỏc ca V := V () = {x1 , , xn } tha tớnh cht sau: nu F G v G thỡ F Mt iờan liờn kt vi phc n hỡnh nh sau: I = (xj1 ã ã ã xji | {xj1 , , xji } / ) S c gi l iờan Stanley-Reisner Phc n hỡnh c gi l thun (tng ng, Cohen-Macaulay, Gorenstein) nu I l iờan khụng trn ln (tng ng, Cohen-Macaulay, Gorenstein) Kớ hiu Hi (; k) l ng iu n hỡnh rỳt gn th i ca Sau õy l mt tiờu chun quan trng cũn gi l tiờu chun Reisner kim tra mt phc n hỡnh l Cohen-Macaulay: B 1.2.3 (Reisner, 1976) Phc n hỡnh l Cohen-Macaulay trờn k nu v ch nu Hi (lk F ; k) = vi mi F v i < dim(lk F ), ú lk F = {G | G F , G F = } l phc ni ca c trng Euler rỳt gn ca c xỏc nh nh sau: d1 (1)i dimk Hi (; k) () := i=1 Mt phc n hỡnh c gi l Euler nu l thun v (lk F ) = (1)dim(lk F ) vi mi F Vi S V , ta xỏc nh phc ca trờn S nh sau |S := {F | F S} Ta t core(V ) := {v V | st (v) = }, core() := |core(V ) Sau õy l tiờu chun mt phc n hỡnh l Gorenstein: B 1.2.6 (Stanley, 1996) Cho l phc n hỡnh vi core() = Khi ú, cỏc khng nh sau l tng ng: (1) l Gorenstein; (2) l phc Euler v Cohen-Macaulay; 0, (3) Vi mi F , Hi (lk (F ); k) = k, nu i < dim lk (F ) nu i = dim lk (F ) B 1.2.9 Gi s l phc n hỡnh Gorenstein vi = core() Nu = S V cho |S l nún, thỡ Hi (\S, k) = vi mi i H qu 1.2.10 Nu phc n hỡnh l Gorenstein thỡ \F l CohenMacaulay vi mi F 1.3 Cụng thc Takayama Cho I l iờan n thc tựy ý vnh a thc S = k[x1 , , xn ] Vi mi a = (a1 , , an ) Zn , ta t Ga = {xi | < 0} v nh ngha phc n hỡnh sau: a (I) := F \Ga | Ga F {x1 , , xn }, vi mi xb G(I), tn ti i F cho < bi Kớ hiu (I) l phc n hỡnh liờn kt vi iờan cn (I) = {{xi1 , , xik } {x1 , , xn }|xi1 xik / I} Vi mi j n, kớ hiu j (I) := max{bj |xb G(I)} I , tc l nh lý 1.3.1 (Cụng thc Takayama) dimk Hi|Ga |1 (a (I); k) nu Ga v dimk Hmi (S/I)a = aj < j (I), j = 1, , n, ngc li Cỏch mụ t a (I) nờu trờn gõy khú khn cho vic ỏp dng D.H Giang v L.T Hoa ó a mt mụ t khỏc thun li hn C th: B 1.3.2 (D.H Giang v L.T Hoa, 2010) a (I) l phc n hỡnh gm cỏc cú dng F \Ga , ú Ga F {x1 , , xn } cho xa / ISF vi SF = S[x1 i |xi F ] S dng mụ t trờn, N.C.Minh v N.V.Trung ó a mt iu kin kim tra tớnh Cohen-Macaulay ca iờan n thc khụng trn ln bt k nh sau: nh lý 1.3.4 (N.C Minh v N.V Trung, 2011) Cho I l iờan n thc khụng trn ln Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: (1) I l iờan Cohen-Macaulay, (2) a (I) l Cohen-Macaulay vi mi a Nn Lun ỏn ny s quan tõm nghiờn cu cỏc dng ly tha khỏc ca iờan C th, vi s nguyờn dng m, + Ly tha (thụng thng) th m ca iờan I , kớ hiu I m , l tớch m ln iờan I + Ly tha tng trng th m ca iờan I , kớ hiu I (m) , l giao ca cỏc thnh phn nguyờn s ca I m liờn kt vi cỏc iờan nguyờn t ti tiu ca I + Bóo hũa ca iờan I , kớ hiu I , l giao ca cỏc thnh phn nguyờn s ca I liờn kt vi iờan nguyờn t ti tiu ca I khỏc m Bóo hũa ca ly tha th m ca iờan I , kớ hiu I m , cng c xem xột (1) (Plummer, 1993) th G c gi l ph tt nu mi c lp cc i ca G u cú cựng lc lng (2) Cho u1 , , us l cỏc nh phõn bit Mt ng i di s 1, kớ hiu u1 us , l mt dóy cỏc cnh u1 u2 , u2 u3 , , us1 us Mt chu trỡnh di s (hoc gi l s-chu trỡnh) (s 3) l mt ng i u1 us u1 , kớ hiu l (u1 us ) hoc Cs Mt 3-chu trỡnh c gi l tam giỏc (3) Mt th c gi l khụng cha tam giỏc nu nú khụng cha mt th tam giỏc no Mnh 2.1.7 Cho G l mt th Ta cú cỏc khng nh sau: (1) Nu Gx l ph tt vi (Gx ) = (G) vi mi nh x, thỡ G l ph tt (2) Nu tn ti x V cho Gx v G\x l ph tt vi (G\x) = (Gx ) + 1, thỡ G l ph tt v (G) = (G\x) (3) Nu Gab l ph tt vi (Gab ) = (G) vi mi cnh ab, thỡ G l ph tt 2.2 Lp th W2 nh ngha 2.2.1 (Staples, 1979) (1) Mt th ph tt G gi l thuc lp W2 nu |V | v bt c hai c lp ri u cú th m rng thnh hai c lp cc i ri Ta vit G W2 nu G thuc lp W2 (2) Mt cnh e ca G c gi l -ti hn (hoc, ti hn) nu (G\e) > (G) Nu mi cnh ca G l ti hn thỡ G c gi l -ti hn Chỳng ta cú mt c trng cho cỏc th khụng cha tam giỏc thuc W2 nh sau: nh lý 2.2.8 Cho G l th khụng cha tam giỏc v khụng cha nh cụ lp cho |V | Khi ú, G thuc W2 nu v ch nu Gab l ph tt v (Gab ) = (G) vi mi cnh ab nh ngha 2.2.9 Mt th G c gi l khụng cha tam giỏc a phng nu Gv khụng cha tam giỏc vi mi v V 10 Chỳ ý rng, lp th khụng cha tam giỏc l lp thc s ca lp th khụng cha tam giỏc a phng Sau õy l mt c trng cho lp th -ti hn khụng cha tam giỏc a phng v thuc W2 nh lý 2.2.11 Cho G l th khụng cha tam giỏc a phng v khụng cha nh cụ lp cho |V | Khi ú, G l -ti hn v thuc W2 nu v ch nu Gab l ph tt v (Gab ) = (G) vi mi cnh ab ca G Mt th c gi l hon ton ri rc nu nú l th rng hoc l th khụng cha cnh no Mnh 2.2.14 Gi s G l th liờn thụng, khụng cha tam giỏc a phng vi (G) v Gxy l ph tt vi (Gxy ) = (G) vi mi xy E(G) Khi ú, tn ti v V cho G[NG (v)] l hon ton ri rc 2.3 th cú phõn tớch nh nh ngha 2.3.1 (Woodroofe, 2009) Ta núi th G cú phõn tớch nh nu G l th hon ton ri rc hoc tn ti nh v cho: (i) c hai th G\v v Gv cú phõn tớch c nh, v (ii) khụng cú c lp no Gv l c lp cc i G\v nh ngha 2.3.4 (1) (Randerath v Volkmann, 1994) nh v ca th G c gi l n hỡnh nu G[NG [v]] l th y , v ta núi th ny l mt n hỡnh ca G (2) (Finbow, Hartnell v Nowakaski, 1993) 5-chu trỡnh C5 ca th G c gi l 5-chu trỡnh c bn nu C5 khụng cha hai nh k G cú bc ln hn hoc bng ba (3) (Randerath v Volkmann, 1994) 4-chu trỡnh C4 ca th G c gi l 4-chu trỡnh c bn nu nú cha hai nh k bc hai, v hai nh cũn li thuc vo mt n hỡnh hoc mt 5-chu trỡnh c bn ca G nh ngha 2.3.6 (Randerath v Volkmann, 1994) Cho G l th vi nh V v cnh E(G) Kớ hiu C l gm cỏc nh ca cỏc 5-chu trỡnh 11 c bn G ; S l gm cỏc nh ca cỏc n hỡnh ca G ; v Q l gm hai nh bc hai ca cỏc 4-chu trỡnh c bn G Ta núi G thuc lp SQC nu V = S Q C cho cỏc n hỡnh S l hp ri ca S ; cỏc hai nh bc hai ca 4-chu trỡnh c bn Q l hp ri ca Q; v cỏc 5-chu trỡnh c bn C l hp ri ca C Tip theo s ch mi th thuc lp SQC u cú phõn tớch nh nh lý 2.3.11 Nu G SQC thỡ G cú phõn tớch nh v ph tt 12 Chng th Cohen-Macaulay v Gorenstein Trong chng ny, trc ht chỳng tụi s gii thiu qua mt s kt qu ó bit v th Cohen-Macaulay khụng ph thuc c s Sau ú, chỳng tụi phõn loi th Cohen-Macaulay vi vũng ln hn hoc bng v th Gorenstein khụng cha tam giỏc Hn na, chỳng tụi cng chng t rng núi chung tớnh Gorenstein ca th cng ph thuc c s bng cỏch xõy dng mt th 182 nh m tớnh Gorenstein ca nú ph thuc vo trng c s ng nhiờn th ú cú cha tam giỏc T õy tr v sau ta luụn xột S = k[x1 , ã ã ã , xn ] l vnh a thc trờn trng k v iờan cc i thun nht l m = (x1 , ã ã ã , xn ) 3.1 Tng quan v th Cohen-Macaulay v Gorenstein vũng ca G , kớ hiu girth(G), l di ca chu trỡnh nh nht G nu G cha chu trỡnh, hoc bng vụ cựng nu G khụng cha chu trỡnh Mt th c gi l cõy nu nú liờn thụng v khụng cha chu trỡnh no Nu G l th vi nh V = {x1 , , xn }, thỡ ta nh ngha iờan cnh liờn kt vi G l iờan I(G) = (xi xj |xi xj E(G)) k[V ] = k[x1 , , xn ] = S th G l Cohen-Macaulay (tng ng Gorenstein) (trờn trng k ) nu S/I(G) l Cohen-Macaulay (tng ng, Gorenstein) trờn trng k Vic nghiờn cu tớnh Cohen-Macaulay ca mt th khụng h n gin Vỡ 13 vy, cỏc nhúm tỏc gi ó xem xột nhiu lp th khỏc Kt qu u tiờn v hng ny c cho bi Villarreal xột lp th cõy nh lý 3.1.2 (Villarreal, 1990) Cho G l th cõy Khi ú, G l CohenMacaulay nu v ch nu |V | hoc < |V | = 2r v tn ti cỏc nh phõn bit x1 , , xr , y1 , , yr cho degG (xi ) = 1, degG (yi ) 2, v xi yi E(G) vi mi i = 1, , r M rng kt qu trờn, Estrada v Villarreal (1997) xột tớnh Cohen-Macaulay ca th khụng cha chu trỡnh l, tc l th hai phn Tuy nhiờn, c trng ca hai ụng khụng din t c hon ton bng ngụn ng th Herzog v Hibi a mt c trng khỏc cho tớnh Cohen-Macaulay v Gorenstein ca th hai phn hon ton bng ngụn ng th nh lý 3.1.3 (Herzog v Hibi, 2005) Cho G l th hai phn khụng cha nh cụ lp vi song phõn hoch (A, B) Khi ú: (1) G l Cohen-Macaulay nu v ch nu |A| = |B| v cỏc nh A = {x1 , , xn } v B = {y1 , , yn } cú th c ỏnh s li cho: (a) xi yi E(G) vi mi i = 1, , n; (b) Nu xi yj E(G) thỡ i j ; (c) Nu xi yj , xj yk E(G), thỡ xi yk E(G) (2) G l Gorenstein nu v ch nu G l hp ri ca cỏc cnh Mt cnh ni hai nh ca mt chu trỡnh m khụng phi l cnh ca chu trỡnh c gi l dõy cung th c gi l th dõy cung nu mi chu trỡnh di u cú dõy cung Nu th dõy cung cha chu trỡnh thỡ mi chu trỡnh ti tiu u cú di bng Núi riờng, th dõy cung cú vũng bng hoc vụ cựng nh lý 3.1.4 (Herzog, Hibi v Zheng, 2006) Cho G l th dõy cung Khi ú, (1) G l Cohen-Macaulay nu v ch nu G l ph tt (2) G l Gorenstein nu v ch nu G l hp ri ca cỏc cnh Cui cựng, chỳng tụi gii thiu mt lp th na Cho n l s nguyờn v S {1, , n2 }, th vũng trũn Cn (S) l th trờn nh 14 {x1 , , xn } cho xi xj E(Cn (S)) nu v ch nu min{|ij|, n|ij|} S nh lý 3.1.5 (Vander Meulen, Van Tuyl v Watt, 2014) Cho n v d l cỏc s nguyờn vi n 2d v G = Cn (1, , d) Khi ú, G l Cohen-Macaulay nu v ch nu n 3d + v n = 2d + 3.2 th Cohen-Macaulay Cho G l th vi nh V := V (G) v cnh E(G) Trong mc ny s phõn loi th Cohen-Macaulay vi girth(G) B 3.2.2 (xem Bjăorner, 1995) Mt th cú phõn tớch nh l th CohenMacaulay v ch nú l ph tt Tuy nhiờn, th Cohen-Macaulay khụng nht thit cú phõn tớch nh Kt qu chớnh ca mc ny s chng t rng vũng thỡ mi th CohenMacaulay u cú phõn tớch nh nh lý 3.2.4 Cho G l th liờn thụng vi girth(G) Khi ú, cỏc khng nh sau l tng ng: (1) G l Cohen-Macaulay; (2) G l ph tt v cú phõn tớch nh; (3) G {K1 } PC ; (4) G SC ; (5) G SQC Nu G l th cõy, thỡ girth(G) Do ú, nh lý 3.1.2 l mt h qu ca nh lý trờn T nh lý trờn ta cng thy nu tớnh Cohen-Macaulay ca th G ph thuc vo c s ca trng k thỡ girth(G) 3.3 th Gorenstein khụng cha tam giỏc Trong mc ny, chỳng tụi a mt c trng thun tỳy t hp cho tớnh Gorenstein ca th khụng cha tam giỏc Chỳ ý rng, th G khụng cha 15 tam giỏc nu v ch nu girth(G) gii thớch ti li trung nghiờn cu th khụng cha tam giỏc, chỳng tụi s ch rng th cha tam giỏc tớnh Gorenstein ca th tng quỏt l ph thuc c s ca trng c s Mnh 3.3.2 Tớnh Gorenstein ca th ph thuc vo c s ca trng B sau a mt iu kin cn cỏc th khụng cú nh cụ lp l Gorenstein B 3.3.5 Nu G l th Gorenstein khụng cha nh cụ lp vi |V | thỡ G W2 iu ngc li l khụng ỳng Chng hn, C3 W2 , nhng khụng l Gorenstein Núi cỏch khỏc, lp W2 cha thc s lp th Gorenstein Tuy nhiờn, chỳng tụi s ch rng th thuc W2 khụng cha tam giỏc l Gorenstein Bõy gi s a kt qu chớnh mc ny nh lý 3.3.8 Gi s G l th khụng cha tam giỏc v khụng cha cỏc nh cụ lp cho |V | Khi ú, G l Gorenstein nu v ch nu G thuc W2 nh ngha 3.3.9 (Rinaldo, Terai v Yoshida, 2011) Vi mi s nguyờn n 1, ta nh ngha Gn (Hỡnh 3.4) l th vi nh {x1 , , x3n1 } v cnh {x1 x2 , {x3k1 x3k , x3k x3k+1 , x3k+1 x3k+2 , x3k+2 x3k2 }k=1,2, ,n1 , {x3l3 x3l }l=2,3, ,n1 } 10 11 3n 3n 3n 3n 3n 3n + 3n + 3n 3n Hỡnh 3.4 Mt th gi l phng nu nú cú th biu din c trờn mt phng cho cỏc ng cong biu din cỏc cnh hoc khụng giao hoc giao ch cỏc nh chung Khi ú, ta cú th phõn loi c hon ton cỏc th phng Gorenstein khụng cha tam giỏc H qu 3.3.10 Gi s G l th phng, liờn thụng, khụng cha tam giỏc Khi ú, G l Gorenstein nu v ch nu G {K1 } {Gn |n 1} 16 Chng Tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha ca iờan cnh Mc ớch chớnh ca chng ny l a c trng cho tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha tng trng th hai ca iờan cnh T ú thit lp cỏc c trng thun tỳy t hp cho ly tha th hai v bóo hũa ca chỳng 4.1 Ly tha tng trng th hai Cho I l iờan bt k S = k[x1 , , xn ] Nhc li, ly tha tng trng th m ca iờan I , kớ hiu I (m) , l giao ca cỏc thnh phn nguyờn s ca I m liờn kt vi cỏc iờan nguyờn t ti tiu ca I Nu I l iờan cn vnh a thc trờn trng c s khụng, Nagata v Zariski ch rng I (m) l iờan sinh bi cỏc a thc trit tiờu n cp m trờn a affin V (I), tc l: I (m) = |a| f n f | I vi mi a N v |a| = a1 a x1 xnn n i=1 m ú l mt lý ngi ta quan tõm nghiờn cu cỏc tớnh cht i s ca I (m) i vi tớnh cht Cohen-Macaulay ca I (m) , vic s dng tiờu chun Reisner (thụng qua k thut c gi l "phõn cc húa") khụng hiu qu bng vic s dng cụng thc Takayama (2005) Da vo cụng thc ny, N.C.Minh v N.V.Trung (2011) v N.Terai v N.V.Trung (2012) ó a v gii quyt mt s v t hp v quy hoch tuyn tớnh Kt qu nhn c l mt liờn h p gia i s giao hoỏn v t hp trỡnh by kt qu ú, xin nhc li khỏi nim sau: 17 nh ngha 4.1.1 Mt phc n hỡnh khỏc rng c gi l matroid nu nú tha tớnh cht sau: nu F, G v |F | > |G|, thỡ tn ti mt phn t j F \ G cho G {j} nh lý 4.1.3 (N.Terai v N.V.Trung, 2012) Cho l phc n hỡnh vi (m) dim v s nguyờn m Khi ú, I l Cohen-Macaulay nu v ch (m) nu phc matroid Trong trng hp ú, I l Cohen-Macaulay vi mi m i vi ly tha tng trng th hai c trng tớnh Cohen-Macaulay phc hn nhiu N.C.Minh v N.V.Trung ó a mt c trng nh sau: (2) nh lý 4.1.4 (N.C.Minh v N.V.Trung, 2011) I l Cohen-Macaulay nu v ch nu l phc Cohen-Macaulay v xU st (U \{x}) l phc CohenMacaulay vi mi U V v |U | dim + c trng trờn khụng ch phc m cũn khụng hon ton t hp Chỳng tụi mun tỡm mt c trng d kim tra hn lun ỏn ny, chỳng tụi s bt u vi trng hp n gin l lp iờan sinh bi cỏc n thc bc hai, tc l s trung vo nghiờn cu I(G)(2) Kt qu chớnh ca mc ny l: nh lý 4.1.5 Cho G l th vi nh V = {1, , n} v := (G) Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: (1) I(G)(2) l Cohen-Macaulay, (2) l Cohen-Macaulay v st (p) st (q) l Cohen-Macaulay vi mi cnh pq ca G , (3) G l Cohen-Macaulay, Gpq l Cohen-Macaulay v (Gpq ) = (G) vi mi cnh pq ca G Trong mc tip theo chỳng tụi s ỏp dng nh lý 4.1.5 nghiờn cu ca ly tha bc hai v bóo hũa ca nú 4.2 Ly tha th hai v bóo hũa ca nú Cho I l iờan cn thun nht ca S Mt kt qu thỳ v ca Cowsik v Nori (1976) núi rng I m l Cohen-Macaulay vi mi m (hoc, vi vụ hn m 1) tng ng vi I sinh bi mt dóy chớnh quy, hay núi cỏch khỏc I l 18 iờan giao y i vi iờan Stanley-Reisner, N.Terai v N.V.Trung a kt qu mnh hn nh sau: nh lý 4.2.1 (N.Terai v N.V.Trung, 2012) Cho l phc n hỡnh vi dim Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: (1) Im l Cohen-Macaulay vi mi m 1; (2) Im l Cohen-Macaulay vi mt m no ú; (3) I l giao y Cho J l iờan bt k S Nhc li, bóo hũa ca iờan J , kớ hiu J , l giao ca cỏc thnh phn nguyờn s ca J liờn kt vi iờan nguyờn t ti tiu ca J khỏc m Kt qu sau núi rng tớnh Cohen-Macaulay ca Im (m 3) cng kt lun I l giao y Mnh 4.2.2 Cho l phc n hỡnh vi dim v s nguyờn m Khi ú, Im l Cohen-Macaulay nu v ch nu I l giao y Trong trng hp ú, Im l Cohen-Macaulay vi mi m Chỳ ý rng iu kin nh lý 4.2.1 v Mnh 4.2.2 khụng th thay th bng iu kin m Tớnh Cohen-Macaulay ca I2 hay I2 hon ton khỏc so vi cỏc ly tha cũn li Cho I l iờan n thc khụng cha m ca S v G(I) = {xH1 , , xHs }, ú xH = xH x vi H {x1 , , xn } t H = {H1 , , Hs } Lỳc ú, {xi , xj , xk } c gi l tam giỏc c bit ca H(I) nu tn ti Hi , Hj , Hk H(I) cho Hi {xi , xj , xk } = {xj , xk }, Hj {xi , xj , xk } = {xi , xk }, Hk {xi , xj , xk } = {xi , xj } Trong trng hp ny, ta núi rng Hi , Hj , Hk lp thnh tam giỏc c bit (2) Rinaldo, Terai v Yoshida a tiờu chun xỏc nh ng thc I2 = I nh sau: nh lý 4.2.4 (Rinaldo, Terai v Yoshida, 2011) Cho l phc n hỡnh, t I := I Khi ú, cỏc iu kin sau tng ng: (1) I = I (2) ; 19 (2) Nu tn ti Hi , Hj , Hk H(I) lp thnh tam giỏc c bit, thỡ xH1 H2 H3 xH1 H2 H3 I I2 Tng t nh nh lý trờn cng cú mt tiờu chun xỏc nh ng thc (2) = I nh sau: Mnh 4.2.5 Cho l phc n hỡnh Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: (2) (1) I2 = I ; (2) Vi mi j n, t Ij := Ilk (xj ) Nu tn ti H1 , H2 , H3 H(Ij ) lp thnh mt tam giỏc c bit, thỡ xH1 H2 H3 xH1 H2 H3 Ij2 Kt hp nh lý 4.1.4, nh lý 4.2.4 v Mnh 4.2.5, ta cú mt tiờu chun kim tra tớnh Cohen-Macaulay ca I2 v I2 Tuy nhiờn, cỏc tiờu chun ny khỏ phc v cú yu im l cha thun tỳy t hp Do ú, chỳng tụi mun tỡm mt tiờu chun tt hn v thun tỳy t hp Trng hp tng quỏt cũn m Do ú mt ln na, chỳng tụi s bt u vi trng hp n gin l iờan sinh bi cỏc n thc bc hai, tc l iờan cnh tng ng vi mt th n Mt khỏc, vic nghiờn cu tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha th hai ca iờan khụng cha m liờn quan n tớnh Gorenstein ca nú C th, Rinaldo, Terai v Yoshida chng minh kt qu sau: Mnh 4.2.6 (Rinaldo, Terai v Yoshida, 2011) Nu I2 l Cohen-Macaulay vi mi trng k , thỡ l Gorenstein T ú, h a cõu hi: Nu c nh trng k , thỡ t iu kin I2 l CohenMacaulay cú suy l Gorenstein hay khụng? Chỳ ý rng, cõu hi trờn cũn liờn quan n mt gi thuyt ca Vasconcelos (1976) Trong mc ny, chỳng tụi s a mt iu kin cn v hon ton da trờn cu trỳc ca G cho tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 v I(G)2 Trờn c s ú gii quyt cõu hi nờu trờn cho trng hp iờan cnh Trc ht, t nh lý 4.2.4 ta cú kt qu sau: B 4.2.7 (hoc xem Simis-Vasconcelos-Villarreal, 1994 v RinaldoTerai-Yoshida , 2011) Cho G l th Khi ú, I(G)2 = I(G)(2) nu v ch nu G khụng cha tam giỏc T ú cú th chng minh nh lý chớnh u tiờn mc ny 20 nh lý 4.2.9 Gi s G l th khụng cha nh cụ lp vi |V | Khi ú, cỏc iu kin sau tng ng: (1) I(G)2 l Cohen-Macaulay; (2) G l th Gorenstein khụng cha tam giỏc; (3) G l th thuc lp W2 khụng cha tam giỏc p dng nh lý trờn, chỳng tụi phõn loi tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha th hai ca iờan liờn kt vi cỏc th phng nh ó trỡnh by cui Chng H qu 4.2.10 Cho G l th phng, liờn thụng Khi ú, cỏc khng nh sau l tng ng: (1) I(G)2 l Cohen-Macaulay; (2) G l th Gorenstein khụng cha tam giỏc; (3) G {K1 } {Gn |n 1}, ú Gn c cho Hỡnh 3.4 Chỳ ý rng, Rinaldo, Terai v Yoshida (2011) a gi thuyt rng I(Gn )2 l Cohen-Macaulay vi mi s nguyờn n H qu trờn cng chớnh l cõu tr li cho gi thuyt ny Tip theo, chỳng tụi s nghiờn cu tớnh Cohen-Macaulay ca I(G)2 Ta cú chỳ ý sau: Chỳ ý 4.2.11 (1) Trong trng hp I = I(G), iu kin (2) ca Mnh 4.2.5 tng ng vi G l th khụng cha tam giỏc a phng (2) Iờan I(G)2 l Cohen-Macaulay nu v ch nu G l th Cohen-Macaulay, khụng cha tam giỏc a phng, v Gab l Cohen-Macaulay vi (Gab ) = (G) vi mi ab E(G) Da vo chỳ ý trờn v vi cỏc kt qu t hp Chng cú th chng minh c kt qu chớnh th hai ca mc ny l: nh lý 4.2.13 Cho G l mt th khụng cha nh cụ lp cho (G) Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: (1) I(G)2 l Cohen-Macaulay; 21 (2) G l th khụng cha tam giỏc a phng, -ti hn v Gorenstein; (3) G l th khụng cha tam giỏc a phng, -ti hn v thuc lp W2 ; (4) G l th khụng cha tam giỏc a phng, v Gab l ph tt vi (Gab ) = (G) vi mi ab E(G) 22 Kt lun Trong lun ỏn ny chỳng tụi ó thu c nhng kt qu sau õy: (1) a mt s kt qu v cu trỳc ca mt s lp th: th ph tt, lp th W2 , th cú phõn tớch nh (2) c trng th Cohen-Macaulay vi vũng ln hn hoc bng (3) c trng th Gorenstein khụng cha tam giỏc (4) a mt c trng cho tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha tng trng th hai ca iờan cnh T kt qu ú, thit lp cỏc c trng thun tỳy t hp cho tớnh Cohen-Macaulay ca ly tha th hai v bóo hũa ca chỳng 23 Cỏc cụng trỡnh liờn quan n lun ỏn D T Hoang, N C Minh and T N Trung, Combinatorial characterzations of the Cohen-Macaulayness of the second power of edge ideals, Journal of Combinatorial Theory, Series A , 120 (2013), no 5, 1073-1086 D T Hoang, N C Minh and T N Trung, Cohen-Macaulay graphs with large girth, Journal of Algebra and Its Applications, 14 (2015), no 7, 16 pages D T Hoang and T N Trung, A characterization of triangle-free Gorenstein graphs and Cohen-Macaulayness of second powers of edge ideals, Journal of Algebraic Combinatorics (to appear) DOI: 10.1007/s10801-015-0631-0 D T Hoang, Cohen-Macaulayness of saturation of the second powers of edge ideals, Vietnam Journal of Mathematics (to appear) Cỏc kt qu lun ỏn c tỏc gi bỏo cỏo ti Xờmina ti phũng i s - Vin Toỏn hc H Ni Hi ngh Nghiờn cu sinh ca Vin Toỏn hc, 10/2012; 10/2013; 10/2014 Hi ngh i s - Hỡnh hc - Tụpụ, Thỏi Nguyờn 11/2011; Tun Chõu 12/2014 Hi tho liờn kt Nht Bn - Vit Nam v i s giao hoỏn ln th 7, Quy Nhn 12/2011 i hi Toỏn hc ton quc, Nha Trang 8/2013 24 [...]... một số lớp đồ thị Trong chương này sẽ đưa ra một số đặc trưng và tính chất của lớp đồ thị phủ tốt, lớp đồ thị W2 Một số kiến thức cơ bản của đồ thị có thể tham khảo trong Diestel (2000) 2.1 Đồ thị phủ tốt Cho G là đồ thị với tập đỉnh V := V (G) và tập cạnh E(G) Một cạnh e ∈ E(G) nối hai đỉnh x và y được kí hiệu là xy (hoặc yx) Trong trường hợp này, ta nói x và y kề nhau Trong toàn bộ luận án này đồ. .. Van Tuyl và Watt, 2014) Cho n và d là các số nguyên với n ≥ 2d ≥ 2 và G = Cn (1, , d) Khi đó, G là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu n ≤ 3d + 2 và n = 2d + 2 3.2 Đồ thị Cohen-Macaulay Cho G là đồ thị với tập đỉnh V := V (G) và tập cạnh E(G) Trong mục này sẽ phân loại đồ thị Cohen-Macaulay với girth(G) ≥ 5 Bổ đề 3.2.2 (xem Bj¨orner, 1995) Một đồ thị có phân tích đỉnh là đồ thị CohenMacaulay khi và chỉ... 2.3.4 (1) (Randerath và Volkmann, 1994) Đỉnh v của đồ thị G được gọi là đơn hình nếu G[NG [v]] là đồ thị đầy đủ, và ta nói đồ thị con này là một đơn hình của G (2) (Finbow, Hartnell và Nowakaski, 1993) 5-chu trình C5 của đồ thị G được gọi là 5-chu trình cơ bản nếu C5 không chứa hai đỉnh kề nhau trong G có bậc lớn hơn hoặc bằng ba (3) (Randerath và Volkmann, 1994) 4-chu trình C4 của đồ thị G được gọi là... quả đã biết về đồ thị Cohen-Macaulay không phụ thuộc đặc số Sau đó, chúng tôi phân loại đồ thị Cohen-Macaulay với độ vòng lớn hơn hoặc bằng 5 và đồ thị Gorenstein không chứa tam giác Hơn nữa, chúng tôi cũng chứng tỏ rằng nói chung tính Gorenstein của đồ thị cũng phụ thuộc đặc số bằng cách xây dựng một đồ thị 182 đỉnh mà tính Gorenstein của nó phụ thuộc vào trường cơ sở Đương nhiên đồ thị đó có chứa... án này đồ thị được xét là đồ thị đơn (tức là, đồ thị vô hướng, không có khuyên, và giữa hai đỉnh có nhiều nhất một cạnh) Một tập các đỉnh của G gọi là độc lập nếu không có hai đỉnh nào trong tập đó kề nhau Số độc lập của G , kí hiệu α(G), là lực lượng lớn nhất của các tập độc lập của đồ thị G Nếu G là đồ thị rỗng, nghĩa là V = ∅, thì ta quy ước α(G) = 0 Với mỗi S ⊆ V , ta kí hiệu G|S là đồ thị con cảm... (2) G là đồ thị không chứa tam giác địa phương, α-tới hạn và Gorenstein; (3) G là đồ thị không chứa tam giác địa phương, α-tới hạn và thuộc lớp W2 ; (4) G là đồ thị không chứa tam giác địa phương, và Gab là phủ tốt với α(Gab ) = α(G) − 1 với mọi ab ∈ E(G) 22 Kết luận Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả sau đây: (1) Đưa ra một số kết quả về cấu trúc của một số lớp đồ thị: đồ thị phủ... là một đặc trưng cho lớp đồ thị α-tới hạn không chứa tam giác địa phương và thuộc W2 Định lý 2.2.11 Cho G là đồ thị không chứa tam giác địa phương và không chứa đỉnh cô lập sao cho |V | ≥ 2 Khi đó, G là α-tới hạn và thuộc W2 nếu và chỉ nếu Gab là phủ tốt và α(Gab ) = α(G) − 1 với mọi cạnh ab của G Một đồ thị được gọi là hoàn toàn rời rạc nếu nó là đồ thị rỗng hoặc là đồ thị không chứa cạnh nào Mệnh... thích tại sao lại tập trung nghiên cứu đồ thị không chứa tam giác, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng khi đồ thị chứa tam giác tính Gorenstein của đồ thị tổng quát là phụ thuộc đặc số của trường cơ sở Mệnh đề 3.3.2 Tính Gorenstein của đồ thị phụ thuộc vào đặc số của trường Bổ đề sau đưa ra một điều kiện cần để các đồ thị không có đỉnh cô lập là Gorenstein Bổ đề 3.3.5 Nếu G là đồ thị Gorenstein không chứa đỉnh cô... ngôn ngữ đồ thị Herzog và Hibi đưa ra một đặc trưng khác cho tính Cohen-Macaulay và Gorenstein của đồ thị hai phần hoàn toàn bằng ngôn ngữ đồ thị Định lý 3.1.3 (Herzog và Hibi, 2005) Cho G là đồ thị hai phần không chứa đỉnh cô lập với song phân hoạch (A, B) Khi đó: (1) G là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu |A| = |B| và các đỉnh trong A = {x1 , , xn } và B = {y1 , , yn } có thể được đánh số lại sao... tôi muốn tìm một tiêu chuẩn tốt hơn và thuần túy tổ hợp Trường hợp tổng quát vẫn còn mở Do đó một lần nữa, chúng tôi sẽ bắt đầu với trường hợp đơn giản là iđêan sinh bởi các đơn thức bậc hai, tức là iđêan cạnh tương ứng với một đồ thị đơn Mặt khác, việc nghiên cứu tính Cohen-Macaulay của lũy thừa thứ hai của iđêan không chứa mũ liên quan đến tính Gorenstein của nó Cụ thể, Rinaldo, Terai và Yoshida chứng