Chƣơng DẠNG TOÀN PHƢƠNG NỘI DUNG CHÍNH 5.1 – Trị riêng, vectơ riêng 5.2 – Chéo hoá ma trận 5.3 – Dạng toàn phƣơng 5.4 – Đƣa dạng toàn phƣơng dạng tắc  Chƣơng Dạng toàn phƣơng 5.1 Trị riêng, vectơ riêng 5.1.1 Đa thức đặc trƣng Định nghĩa 5.1.1 Cho A ma trận vuông cấp n Ta gọi đa thức đặc trưng ma trận A đa thức pA( ) det(A I n ) Ví dụ 5.1.1 Tìm đa thức đặc trưng ma trận A 2 2 1 Giải Ta có pA( ) det(A I 3) 2 1  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Định lí 5.1.1 (Cayley – Hamilton) Mỗi ma trận vuông A nghiệm đa thức đặc trưng nó, tức pA(A) 0 4 Ví dụ 5.1.2 Cho ma trận A 2 f (x ) x8 6x 12x 8x Tính f (A) Tìm A (nếu có) x4 6x 12x 10x  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Giải Đa thức đặc trưng A pA(x ) det(A x 4 x xI ) 0 x3 6x 12x x Thực phép chia đa thức f (x ) cho đa thức pA(x ), ta f (x ) pA(x )(x Theo Định lí 5.1.1, ta có pA(A) f (A) pA(A)(A5 A) 2A x) 2x Do 1I 1 0 4 0 2 0  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Để xét tính khả nghịch A, ta thấy A3 pA(A) Suy 8I Hay I3 6A2 A3 6A2 12A A(A2 6A 12I ) 12A+8I A(A2 6A (A2 6A 12I ) 12I ) A Vậy A khả nghịch ma trận nghịch đảo A A (A A 12I ) 1 0 Cuối ta 6A  Chƣơng Dạng toàn phƣơng 5.1.2 Giá trị riêng, vectơ riêng Định nghĩa 5.1.2 Cho A ma trận vuông cấp n Các nghiệm thực đa thức đặc trưng pA( ) gọi giá trị riêng ma trận A Nếu giá trị riêng A det(A phương trình tuyến tính (A có vô số nghiệm x1 xn I ) n I ) n Do đó, hệ  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Định nghĩa 5.1.3 Cho giá trị riêng A Tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính (A I )X 0, n gọi không gian riêng ma trận A ứng với giá trị riêng kí hiệu E ( ) Định nghĩa 5.1.4 Cho giá trị riêng A Các vectơ khác không nghiệm hệ (A I )X n 0, gọi vectơ riêng ma trận ứng với giá trị riêng Nói cách khác, tập vectơ riêng ma trận ứng với giá trị riêng E( ) \ {0}  Chƣơng Dạng toàn phƣơng 5.1.3 Phƣơng pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trưng pA( ) Bƣớc 2: Giải phương trình pA( ) Bƣớc 3: Đối với trị riêng i det(A I n ) để tìm trị riêng , tìm vectơ riêng tương ứng cách giải hệ phương trình tuyến tính (A Ví dụ 5.1.3 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng ma trận A i I )X i n  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Giải Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trưng ma trận A pA( ) A I2 2 Bƣớc 2: Giải phương trình đặc trưng pA( ) riêng 1, ta giá trị Bƣớc 3: Tìm vectơ riêng  Với 1 : Để tìm vectơ riêng ta giải hệ phương trình (A I2) x y  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Hay 2x 3y 0, 2x 3y Nghiệm hệ : x 3a, y 2a, a Không gian riêng A ứng với E(1) {(3a, 2a ) | a Các vectơ riêng A ứng với x 1 } có dạng (3a, 2a), với a A có vectơ riêng độc lập Do đó, dim E(1) tuyến tính ứng với 1 u1 (3, 2)  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Chứng minh Ta có XT AX (PY )T A(PY ) Y T PT APY Vì P ma trận trực giao làm chéo hóa A nên PT P 1AP P D ma trận chéo Do XT AX Y T P 1APY Y T DY y 1 y 2 y n n Từ Định lí 5.4.1, ta đưa bước để đưa dạng toàn phương Q(x ) dạng tắc phương pháp biến đổi trực giao sau:  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Bƣớc 1: Viết ma trận A dạng toàn phương Bƣớc 2: Chéo hóa A ma trận trực giao P (tức tìm ma trận trực giao P cho P 1AP D ma trận chéo) Bƣớc 3: Kết luận dạng tắc cần tìm Q (y ) Y T DY với , , , n y 1 y 2 y , n n trị riêng A Chú ý bước 2, ma trận trực giao P làm chéo A phải có cột vectơ trực chuẩn, ta phải trực chuẩn hóa hệ vectơ riêng độc lập tuyến tính A  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5.4.1 Đưa dạng toàn phương Q(x ) 2x12 2x 22 2x1x 3x 32 2x 2x dạng tắc phương pháp biến đổi trực giao Giải Ma trận Q(x ) A Ma trận A có trị riêng 1 1 1, 2, , với vectơ riêng chuẩn hóa phương pháp Gram-Schmidt u1 , , ; u2 , , ; u3 , ,  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Ma trận trực giao P làm chéo hóa A P 3 x2 x3 3 Thực phép đổi biến số X x1 1 PY , hay 1 2 Ta dạng tắc Q (y ) y1 y3 y2 y12 2y22 4y32  Chƣơng Dạng toàn phƣơng 5.4.2 Phƣơng pháp Lagrange Nội dung phương pháp Lagrange biến đổi biểu thức tọa độ dạng toàn phương thành tổng bình phương Thuật toán Lagrange chia làm bước sau:  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Bƣớc 1: Chọn số hạng có chứa x k2 (akk 0) Nếu số hạng biểu thức tọa độ dạng toàn phương tìm aij 0, ta đổi biến yi xi xj ; yj xi xj ; yk xk , (k i, k j ) Khi đó, xuất số hạng chứa yi2 Bƣớc 2: Tách biểu thức tọa độ dạng toàn phương thành hai nhóm, nhóm có chứa xk , nhóm lại không chứa xk Bƣớc 3: Trong nhóm thứ ta lập thành tổng bình phương Bƣớc 4: Quay lại bước 1, 2, cho nhóm thứ hai tiếp tục tìm dạng tắc  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5.4.2 Đưa dạng toàn phương Q(x ) 2x12 2x1x 2x 22 2x 2x 3x 32 dạng tắc phương pháp Lagrange Giải Thực phép biến đổi Q(x ) 2x12 2x 22 2x1x (2x12 2x1x ) x12 2x1 x 2 x1 x1 x3 x3 3x 32 2x 2x (2x 22 x3 2 x 22 2 x2 3x 32 ) 2x 2x 2x 22 2x x x3 2x 2x x3 2 x3 2x 32 2x 32  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Đặt y1 x1 x , y2 Q(y ) x 3, y3 x2 2y12 2y22 x 3, ta dạng tắc 2y32 Nếu đặt y1 x1 x , y2 x2 x 3, y 2y12 2y22 y32 dạng tắc Q(y ) 2x 3, Do ta thấy dạng tắc dạng toàn phương không Ví dụ 5.4.3 Đưa dạng toàn phương Q(x ) 2x1x2 2x1x 6x 2x  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5.4.3 Đưa dạng toàn phương Q(x ) 2x1x2 2x1x dạng tắc phương pháp Lagrange Giải Đặt y1 x1 x2 , y2 x1 x2 , y3 x y2, x y3 Suy x1 y1 y2, x y1 Khi đó, Q(x ) trở thành Q(y ) 2y12 2y22 4y1y3 8y2y3 Bây thực phép biến đổi tương tự ví dụ 6x 2x  Chƣơng Dạng toàn phƣơng 5.4.3 Luật quán tính Như ta thấy, dạng toàn phương có nhiều dạng tắc khác Tuy nhiên, dạng tắc có đặc điểm chung số hệ số dương âm không đổi, gọi số quán tính dương (hoặc âm) Định lí 5.4.2 Chỉ số quán tính dương (âm) dạng tắc dạng toàn phương không phụ thuộc vào phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc Định lí 5.4.3 Cho dạng toàn phƣơng Q(x ) n Q(x ) xác định dƣơng (âm) số quán tính dƣơng (âm) n  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5.4.4 1) Trong , dạng toàn phương Q(x ) 2x12 x22 4x 32 có số quán tính dương nên xác định dương 2) Trong , dạng toàn phương Q(x ) 5x12 2x22 x 32 3x 42 có số quán tính âm nên xác định âm  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Nhận xét 5.4.1 1) Một dạng toàn phương xác định dương (âm) ma trận có trị riêng dương (âm) 2) Một dạng toàn phương nửa xác định dương (âm) ma trận có trị riêng không trị riêng lại dương (âm) Cho ma trận vuông A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an ann Ta gọi định thức a11 , a11 a12 a21 a22 , , định thức ma trận A n A  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Định lí 5.4.4 (Sylvester) Cho dạng toàn phương Q có ma trận A Khi đó, ta có 1) Q xác định dương định thức k A dương; 2) Q xác định âm định thức A đan dấu với  Chƣơng Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5.4.5 Xác định dấu dạng toàn phương x12 Q(x ) 2x22 2x1x2 2x2x 2x 32 2x1x Giải Ma trận dạng toàn phương A 1 1 1 Các định thức 1 0; 1 0; Vậy Q(x ) dạng toàn phương xác định âm A  Chƣơng Dạng toàn phƣơng [...]... nên i 0, 0 , ta được 0 Vậy i 0, i điều này có nghĩa là hệ {u1, u2, , uk , uk 1 } độc lập tuyến tính i 1, k  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 5. 2 Chéo hóa ma trận 5. 2.1 Ma trận vuông chéo hóa đƣợc Định nghĩa 5. 2.1 Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận P vuông cấp n khả nghịch sao cho P 1AP là ma trận chéo Khi đó, ma trận P được gọi là ma trận làm chéo hóa A hay ma trận A được... 5 Dạng toàn phƣơng 1 3 Ví dụ 5. 2.1 Chéo hóa ma trận A (nếu được) 2 4 Giải Ma trận A có 2 giá trị riêng là 1, 1 2 2 và có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính là (3, 2) và 1 (1,1) 2 Do số các vectơ riêng bằng cấp của A nên A chéo hóa được Ma trận P cần tìm là P 3 1 2 1 Khi đó, ta có 1 P AP Nếu chọn P 1 3 1 2 1 thì P AP 1 0 0 2 2 0 0 1  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5. 2.2 Chéo hóa ma trận A 3 1 7 5. .. 0 6 0 0 0 0 0 Tổng số chiều của E( 2) và E(4) là 2 n 3 nên A không chéo hóa được  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 5. 2.2 Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao Định nghĩa 5. 2.2 Ma trận vuông P cấp n được gọi là ma trận trực giao nếu P khả nghịch và PT P 1 Khi đó, PT P PPT In Định lí 5. 2.2 Ma trận vuông P cấp n là ma trận trực giao khi và chỉ khi các cột của P lập thành một hệ vectơ trực chuẩn... chuẩn là  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng X1 1 2 , 1 2 1 , 0 , X2 Một cơ sở của E (8) là X3 6 , 1 3 , 1 3 , 1 3 Ma trận trực giao P làm chéo hóa A là P 1 1 1 2 1 6 1 3 1 2 6 2 3 1 6 3 0 6 , 2 6 (1,1,1) Trực chuẩn hóa Gram- Schmidt hệ vectơ {X 3 } , ta được vectơ X3 1  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 5. 3 Dạng toàn phƣơng 5. 3.1 Dạng toàn phƣơng Định nghĩa 5. 3.1 Một dạng toàn phương trên cấp bậc hai của n biến... )n n là đa thức đẳng  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Khi đó Q(x ) được viết lại dưới dạng ma trận Q(x ) (x1 x 2 xn ) a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2n x 2 an1 an 2 ann xn XT AX , trong đó A là ma trận đối xứng và được gọi là ma trận của dạng toàn phương Ví dụ 5. 3.1 1) Q(x ) T X AX (x1 x 2 ) là dạng toàn phương trên 2 3 2 2 x1 5 x2 với ma trận A 3x12 3 2 4x1x 2 2 5 5x 22  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 2) Q(x ) XT... chéo a1 0 0 0 a2 0 0 an 0  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5. 3.3 Trong 1) Q(x ) 2) Q(x ) 3) Q(x ) x12 2x12 x 22 2x 22 3 các dạng toàn phương sau ở dạng chính tắc x 32 ma trận tương ứng A1 x 22 ma trận tương ứng A2 3x 32 ma trận tương ứng A3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 5. 3.3 Phân loại dạng toàn phƣơng Định nghĩa 5. 3.2 Dạng toàn phương Q(x ) được... 0 ) 0 sao cho 0 5) Nếu Q(x ) có thể nhận giá trị âm và cũng có thể nhận giá trị dương thì ta nói Q(x ) không xác định dấu  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5. 3.4 1) Q(x ) 2x12 x 22 là dạng toàn phương xác định dương trên 2 2) Q(x ) x12 2x 32 là dạng toàn phương nửa xác định dương trên 3 3) Q(x ) x12 2x22 là dạng toàn phương không xác định dấu trên 2  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 5. 4 Đƣa dạng toàn... w (w1, w1, , wn ) E( ) Khi đó, ta có Av v, Aw w  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng và v, w v1w1 v2w2 vnwn [v ]t [w ] 0 Thật vậy, do A là ma trận đối xứng Ta sẽ chứng minh v, w nên v, w v, w [Av ]t [w ] Av, w [v ]t At [w ] [v ]t A[w ] v, w v, w Do đó ) v, w ( vì nên suy ra v, w 0 0, v, Aw  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Nhận xét 5. 2.1 1) Trong Định lí 5. 2.3, ma trận P có thể chọn là ma trận có các cột là hệ... 4x 2x 3 3 4x 22 với ma trận 1 1 A x3 1 4 3 2 3 2 4 4x 32  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Ví dụ 5. 3.2 Tìm ma trận của dạng toàn phương Q(x ) 2x12 2x1x2 x22 6x1x 3 3x 32 2x2x 3 Giải Ta viết lại Q(x ) 2x12 x1x 2 x 2x1 x 22 3x1x 3 3x 3x1 Do đó ma trận của dạng toàn phương là A 2 1 1 3 1 1 3 1 3 3x 32 x 2x 3 x 3x 2  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng 5. 3.2 Dạng chính tắc của dạng toàn phƣơng Dạng toàn phương Q(x ) được... Ta biết rằng không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được, tuy nhiên đối với ma trận đối xứng chúng ta có kết quả sau  Chƣơng 5 Dạng toàn phƣơng Định lí 5. 2.3 Ma trận vuông A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi tồn tại một ma trận trực giao P làm chéo hóa A Định lí 5. 2.4 Cho A là ma trận đối xứng Khi đó, các vectơ riêng thuộc những không gian riêng khác nhau sẽ trực giao theo tích vô hướng Euclide