ĐỀ SỐ 15 ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= x +1 x −1 Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = −x + x −1 Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = m ( x −1) + cắt đồ thị ba điểm phân biệt A (1;1) , M , N cho tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị M N 27 Câu (1,0 điểm) a) Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z − z + = Tính giá trị biểu thức A = ( z1 −1) 2014 + ( z −1) 2014 b) Giải phương trình log x − log ( x −1) = Câu (1,0 điểm) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x ln x , trục hồnh x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hồnh Câu (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x − y +1 z = = Tìm tọa độ giao điểm −2 −1 d ( P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến ( P ) ( P ) : x + y + z − = đường thẳng d : Câu (1,0 điểm) sin 2α cos 4α + 10 Ann−2 = nC nn+2 − n + 19 b) Tìm số ngun dương n thỏa mãn đẳng thức Pn − Pn +1 a) Cho góc α thỏa mãn tan α = −2 Hãy tính A = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = a vng góc với đáy Gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AM , SB Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có đỉnh A (5; −4 ) Gọi E trung điểm cạnh AD , hình chiếu vng góc B lên CE H (−1; −2 ) Tìm tọa độ điểm C , biết trung điểm F cạnh BC nằm đường thẳng d : x − y + = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình ( x + 1) 3x + + x + x + ≥ x − x + + x Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x , y, z thuộc nửa khoảng (0;1] thỏa mãn x + y ≥ + z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + y + z z + x xy + z HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Bạn đọc tự làm Câu Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng d là: −x + x −1 = m ( x −1) + x = ⇔ ( x −1)( x + x − + m ) = ⇔   x + x − + m = (*) Để đường thẳng d cắt đồ thị ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai  ∆ = − m > m <   nghiệm phân biệt khác ⇔  ⇔ 1 + − + m ≠  m ≠ Giả sử M ( x1 ; y1 ) , N ( x ; y2 ) với x1 , x hai nghiệm phương trình (*)  x1 + x = −1 Theo Vi-et, ta có    x1 x = m − u cầu tốn ⇔ f ' ( x1 ) f ' ( x ) = 27 ⇔ (−3 x12 + 3)(−3 x 22 + 3) = 27 2 ⇔ ( x1 x ) − ( x12 + x 22 ) + = ⇔ ( x1 x ) − ( x1 + x ) − x1 x  + =    m = −1 ⇔ m − 2m − = ⇔   m = Đối chiếu điều kiện tương giao, ta m = −1 giá trị cần tìm Bài tập tương tự Cho hàm số y = −2 x + x + Tìm tất giá trị m để đường thẳng d : y = 2mx − m + cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị A, B, C Câu a) Xét phương trình z − z + = Ta có ∆ ′ = 16 − 20 = −2 = (2i ) − 2i + 2i = − i; z2 = = + i 2 2014 2014 1007 1007 = (1 − i ) + (1 + i ) = (1 − i )  + (1 − i )      Phương trình có hai nghiệm phức z1 = Ta có A = ( z1 −1) 2014 = (−2i ) 1007 + ( z −1) 2014 + (2i ) 1007 = (−2 ) 1007 i 1007 + 21007.i 1007 = Vậy A =  x > b) Điều kiện:  ⇔ x >1   x −1 > Với điều kiện phương trình cho trở thành log x + log ( x −1) =  x = −1 (loại) ⇔ log  x ( x −1) = log 2 ⇔ x ( x −1) = ⇔   x = ( thoả mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x =  x > 0, ln x ≥ Câu Phương trình hồnh độ giao điểm x ln x = ⇔  ⇔ x =1   x = ∨ ln x = e ( Thể tích khối tròn xoay cần tìm V = π ∫ x ln x ) e dx = π ∫ x ln xdx e Tính A = ∫ 1  du = dx  u = ln x   x x ln xdx Đặt  ⇒  dv = x dx  x v =  e Khi A = e e x5 x5 x5 ln x − ∫ x dx = ln x − 5 25 1 e = e5 e5 4e − + = + 25 25 25 25  4e 1 Vậy V = π  +  (đvtt)  25 25  Bài tập tương tự Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = ln x , trục hồnh x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hồnh Bài tập tương tự Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x ln x , y = x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hồnh Bài tập tương tự Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = ( x − ) ln x , y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hồnh Bài tập tương tự Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x ln (1 + x ) , y = x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hồnh + x ln x , y= x x x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục Bài tập tương tự Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = hồnh Hướng dẫn Bài tập tương tự Thể tích V = π ∫ ln xdx = 2π (ln −1) (đvtt) e Bài tập tương tự Thể tích V = π ∫ x ln xdx = π (5e − 2) 27 (đvtt)  16  Bài tập tương tự Thể tích V = π ∫ ( x − 2) ln xdx = π − + ln 2 (đvtt)   1 Bài tập tương tự Thể tích V = π ∫ x ln (1 + x ) dx = Bài tập tương tự Thể tích V = π ∫ π (2 ln −1) (đvtt)  + x ln x    − dx = π ln xdx = π (2 ln −1)  ∫  x x2   Câu Gọi A giao điểm d ( P ) Suy ● A ∈ d nên A (2 + t ; −1 − 2t ; −t ) ● A ∈ ( P ) nên (2 + t ) + (−1 − 2t ) + (−t ) − = ⇔ t = −1 Với t = −1 , ta A (1;1;1) Ta có M ∈ d nên M (2 + m; −1 − 2m; −m ) Khi đó, ta có d  M , ( P ) = (2 + m ) + (−1 − 2m ) + (−m ) − ⇔2 3= −2 m − 1+1+1  M (4; −5; −2) t = ⇔ t +1 = ⇔  ⇒   t = −4   M (−2;7;4 ) Vậy có hai điểm M thỏa mãn tốn M ( 4; −5; −2) M (−2;7;4 ) Câu a) Ta có A = sin 2α sin 2α = cos 4α + cos 2α 2t 1− t α = cos 1+ t 1+ t 2 tan α − tan α Do sin 2α = = − , cos α = =− + tan α + tan α 10 Thay sin 2α = − cos 2α = − vào A , ta A = − 5 * b) Điều kiện: n ∈ ℕ  10 Ann−2 n !  (n + 2)! Ta có = nC nn+2 − n + 19 ⇔ 10 = n − n + 19  n !− (n + 1)!  P −P 2!  n !2! Nhắc lại cơng thức: Nếu đặt t = tan α sin 2α = n n +1  (n + 1)(n + )  ⇔ 5.n ! = n − n + 19.n !.(1 − n −1)   ⇔ 10 = (n + 3n + 2n − n + 38)(−n ) ⇔ n − 3n − 2n − 38n −10 = n = ⇔ (n − 5)(n + 2n + 8n + ) = ⇔   n + n + 8n + =  Vì n ∈ ℕ * nên n + 2n + 8n + = vơ nghiệm Đối chiếu điều kiện ta có n = giá trị cần tìm Câu Diện tích hình vng ABCD cạnh a S ABCD = a a3 Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD = S ABCD SA = (đvtt) 3 S M K I A D E O B C Gọi O = AC ∩ BD , suy MO SB Do d [SB, AM ] = d SB, ( AMO ) = d S , ( AMO ) = d  D, ( AMO ) Gọi I trung điểm AD , suy MI SA nên MI ⊥ ( ABCD ) Khi d [SB, AM ] = d  D, ( AMO ) = 2d  I , ( AMO ) Kẻ IE ⊥ AC ( E ∈ AC ) Gọi K hình chiếu I ME , suy IK ⊥ ME IE ⊥ AC Ta có  ⇒ AC ⊥ ( MIE ) ⇒ AC ⊥ IK   AC ⊥ MI Từ (1) (2) , suy IK ⊥ ( AMO ) nên d  I , ( AMO ) = IK Ta có MI = (1) (2 ) SA a DO a ; IE = = = 2 Trong tam giác vng MIE , ta có IK = MI IE MI + IE 2 = a 21 14 a 21 Vậy d [SB , AM ] = 2d  I , ( AMO ) = IK = Câu Ta chứng minh AH ⊥ HF Thật vậy: Ta có BHE = BFE = 90 , suy tứ giác BFHE nội tiếp Suy BHF = BEF (cùng chắn cung BF ) (1) Do ABFE hình chữ nhật nên BEF = BAF (2 ) Từ (1) (2 ) , suy BHF = BAF nên tứ giác ABFH nội tiếp Mà ABF = 90 suy AHF = 90 hay AH ⊥ HF B A F E H C D Đường thẳng HF qua H (−1; −2) có VTPT AH = (−6;2) nên HF : 3x − y + =  x − y + = Do F = HF ∩ d nên tọa độ điểm F thỏa mãn hệ  ⇒ F (0;1)  3 x − y + = Đường thẳng BH qua H (−1; −2 ) có VTPT AF = (−5;5) nên BH : x − y −1 = Đường thẳng CE qua H vng góc với BH nên CE : x + y + = Điểm C ∈ CE nên C (t ; −t − 3) Suy B (−t ;5 + t ) Vì B ∈ BH nên −t − (5 + t ) −1 = ⇔ t = −3 Vậy C (−3;0) Câu Phân tích Sử dụng casio tìm hai nghiệm x = 0, x = nên bất phương trình có nhân tử chung dạng x ( x −1) = x − x Do ghép bậc với thức để liên hợp dạng ( x + 1)  3x + − (ax + b ) (cx + d )− x − x + 1 với   khi x = ⇒  a, b thỏa mãn hệ  khi x = ⇒  khi x = ⇒  c , d thỏa mãn hệ   khi x = ⇒  Điều kiện: x ≥ − Bất phương trình tương đương ( x + 1)  x + − ( x + 1) + ( x + 1)(−x + x ) ⇔ 3x + + x + a = ; ⇒   3x + = = ax + b = a + b b = 3x + = = ax + b = b c = ⇒  ⋅ x − x + = = cx + d = c + d d = x − x + = = cx + d = d (1− (−x + x ) + ) x − x + + x + 3x − x ≥ x − x +1 +1 + ( x − x )( x + ) ≥  x +1  ⇔ (−x + x ) + − x − 4 ≥  3x + + x +  x − x +1 +1 Do 10 x +1 3x + + x + + x − x +1 +1 −x −4 < (* ) x +1 + − x − = −x −1 < 0, ∀x ≥ − x +1 Do (*) ⇔ −x + x ≤ ⇔ x ≤ x ≥   Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S = − ;0 ∪ [1; +∞)   Bài tập tương tự Giải bất phương trình x −11 − x −16 x + 28 ≥ − x Hướng dẫn 11 Điều kiện: x ≥ Bất phương trình tương đương  x −11 − ( x − 5) + (2 x −10) − x −16 x + 28  ≥       2  ⇔ ⇔ ( x − 6)  − ≥  x −10 + x −16 x + 28 x −11 + x −  ⇔ ( x − 6) 2 x −11 − x −16 x + 28 ≥0 2 ( x − 5) + x −16 x + 28  x −11 + x −   ( ( ) ) ⇔ ( x − 6) 2 x −11 − x −16 x + 28 ≥ ( x − 6) (−2 x + 24 x − 72) ⇔ 2 x −11 + x −16 x + 28 ≥ ⇔ −2 ( x − 6) ≥ Đáp số: x = Câu 10 Do x , y , z ∈ (0;1] nên ta có xy ≤ z ≤ z Suy xy + z ≤ + z mà + z ≤ x + y nên xy + z ≤ x + y z z ≥ , ∀z ∈ (0;1] Khi xy + z x + y  x y z x   y   z   + 1 + −3 P≥ + + = 1 +  + 1 +    z+y z+x x+y  y+z  z +x  x + y  Từ ta  1  − = ( x + y + z ) + +  x + y y + z z + x   1 1   − = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x )  + +   x + y y + z z + x   1 1 Áp dụng đánh giá (a + b + c ) + +  ≥ ∀a, b, c > Ta P ≥ − =  a b c  2 Dấu '' = '' xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P ; ( x ; y; z ) = (1;1;1) 11