ĐỀ BÀI Câu 1: Hai tia đối nhau trên hình vẽ này là : A. Ox và Ay B. Ox và Oy C. Ax và Oy D. Cả 3 câu đều đúng . x O A y Câu 2: Cho tập hợp A = { 0 ; 1 ; 2 } . Số phần tử của tập hợp A là : A. không có phần tử nào . B. 2 phần tử . C. 1 phần tử . D. 3 phần tử . Câu 3: Kết quả của phép tính: a 15 :a, a≠0 là: A. a 14 B. a 15 C. a 16 D. a Câu 4: Khi nhân và chia hai lũy thừa cung cơ số ta làm như sau: ( Với cơ số khác 0) A. Giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ. B. Cộng cơ số với cơ số và cộng số mũ với số mũ C. õCả A, B, C đều sai. D. Giữ nguyên cơ số và nhân các số mũ. Câu 5: Phân tích số 60 ra thừa số nguyên tố , cách viết nào sau đây là đúng : A. 60 = 2 2 .3.5 B. 60 = 3.4.5 C. 60 = 2.3.10 D. 60 = 2 2 . 15 Câu 6: Giá trò của biểu thức A = 2 3 .2 2 .2 0 là : A. 8 0 = 1 B. 2 0 = 1 C. 2 5 = 32 D. 2 5 = 10 Câu 7: Giá trò của tích: m.n 3 với m=3 và n =2 là: A. 18 B. -18 C. -24 D. 24 Câu 8: Tập hợp các số tự nhiên x sao cho 12 ≤ x ≤ 17 là : A. E = { 13 ; 14 ; 15; 16 ; 17 } B. E = { 12 ; 13 ; 14 ; 15; 16 } C. E = { 12 ; 13 ; 14 ; 15; 16 ; 17 } D. E = { 13 ; 14 ; 15; 16 } Câu 9: Thứ tự thực hiện các phép tính không có dấu ngoặc là: A. Nhân và chia ->Cộng và trừ ->Lũy thừa B. Lũy thừa ->Cộng và trừ - Nhân và chia C. Lũy thừa -> Nhân và chia -> Cộng và trừ D. Cộng và trừ -> Nhân và chia -> Lũy thừa Câu 10: Trong các số sau số nào chia hết cho cả 2 ; 3 ; 5 ; 9 . A. 2006 B. 1999 C. 2010 D. 1890 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÚ N TRƯỜNG CẤP 2-3 TÂN LÂP MÃ ĐỀ: 132 KIÊM TRA HỌC KÌ II NĂM 2008-2009 MƠN:TỐN - 6 Thời gian: 90 phút Câu 11: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng EF khi : A. ME = MF B. ME = MF = 2 EF C. ME + MF = EF D. Tất cả dều đúng Câu 12: x và 15 là hai số nguyên tố cùng nhau , vậy c là số nào sau đây : A. 3 B. 7 C. 9 D. 5 Bài 2 a>. Điền vào chỗ trống (……) 13. Số nguyên tố là số tự nhiên……………………… chỉ có………………….là 1 và chính nó . 14. Trong ba điểm thẳng hàng ……………………….điểm …………… ……hai điểm còn lại . b>. Điền dấu “ x “ vào ô thích hợp : Câu Đúng Sai 15. Môït số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3 . 16. Tập Z bao gồm hai bộ phận là số nguyên dương và số nguyên âm . 17.Nếu một số chia hết cho 2 thì tận cùng là chữ số 8. 18. Nếu một số có tận cùng là 0 thì chia hết cho cả 2; 3; 5; và 9 19. ƯCLN ( 27;54; 108) = 108 20.BCNN (11;71) = 1 Phần II .Tự Luận (5 điểm ) Bài 1 (1,0 điểm) Thực hiện phép tính : a>. 45.27 + 55.27 – 1300 b>. 5.7 2 – 24 : 2 3 Bài 2 (1,0 điểm) Tìm x , biết : a>. 5x – 30 = 50 b>. 2x – (-17) = 19 Bài 3 (1,5 điểm) Một trường tổ chức tuyển sinh vào lớp 6 ở đầu năm học. Nếu xếp ở mỗi lớp là40 HS hay 45 HS thì vừa đủ không thừa em nào. Tính số học sinh mà trường tuyển sinh được? Biets rằng số HS khối 6 tuyển được từ 300 đến 400 học sinh. Bài 4 (1,5 điểm) Trên tia Ox , lấy hai điểm M và N sao cho OM = 4 cm ; ON = 8 cm . a>. Tính MN . b>. Điểm M có là trung điểm của đoạn ON không ? vì sao ? ………………HẾT…………… SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH KỲ THI BỒI DƯỢNG THƯỜNG XUYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC GIÁO VIÊN THPT, NĂM HỌC 20152015-2016 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; −1; −2) , B (3;1;1) mặt phẳng (P ) : x − 2y + z − = a) Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q ) qua A, B vuông góc với mặt phẳng (P ) Câu 2 (3,0 điểm) a) Giải bất phương trình sau: (2x + 3)(1 − + 3x )2 ≤ 9x  3  (x − y ) + + x + 3xy = y + 3x y + b) Giải hệ phương trình sau:  x − 4y − = y +  Câu 3 (3,0 điểm) Tính tích phân sau: a) I = ∫ x −3 x +1 +x + dx b) K = ∫ (x + 1)dx x6 +1 - HẾT Cán coi thi không giải thích thêm! ĐÁP ÁN THAM KHẢO GV: Lưu Công Hoàn – Trường THPT Nguyễn Trãi, Lương Sơn, Hòa Bình FB: https://www.facebook.com/hoan.lc86 Câu (4,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; −1; −2) , B (3;1;1) mặt phẳng (P ) : x − 2y + z − = a) Gọi H hình chiếu điểm A lên mp(P) H = d ∩ (P ) , với d đường thẳng qua A vuông góc với mp(P)  x = + t Vì d ⊥ (P ) ⇒ d có VTCP ud = nP = (1; −2;1) nên d có phương trình: y = −1 − 2t  z = −2 + t  Vì H ∈ d ⇒ H (1 + t; −1 − 2t; −2 + t ) Do H ∈ (P ) : x − 2y + z − = nên ta có: + t − 2(−1 − 2t ) + (−2 + t ) − = ⇔ 6t − = ⇔ t = ⇒ H ( ;− ;− ) 3 3 Vì A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên H trung điểm AA ' nên suy  x = 2x − x = H A  A '  y = 2y − y = − 11 ⇒ A '  ; − 11 ; −  H A   A ' 3   z A ' = 2z H − z A = −  b) Ta có : AB = (2;2; 3) nP = (1; −2;1) VTPT mp(P)   Vì (Q) qua A, B vuông góc với (P) nên (Q) có VTPT nQ = AB, nP  = (8;1; −6)   ⇒ (Q ) : 8(x − 1) + 1(y + 1) − 6(z + 2) = hay (Q ) :8x + y − 6z − 19 = Câu 2 (3,0 điểm) Câu 2a 2a) Giải bất phương trình sau: (2x + 3)(1 − + 3x )2 ≤ 9x Đk: x ≥ − t2 −1 Đặt t = + 3x (t ≥ 0) ⇒ x = Thế vào BPT cho ta được: (2t + 7)(t − 1)2 ≤ 3(t − 1)2 ⇔ (2t + 7)(t − 1)2 ≤ 3(t − 1)2 (t + 1)2 ⇔ (t − 1)2[3(t + 1)2 − (2t + 7)] ≥ ⇔ (t − 1)2 (t + 6t − 4) ≥ (*) +) Dễ thấy t = thỏa mãn (*) nên nghiệm (*) Khi đóù: + 3x = ⇔ x = nghiệm BPT cho +) Xét với t ≠ (t − 1)2 > nên ta có: t ≥ −3 + 13  (*) ⇔ t + 6t − ≥ ⇔  t ≤ −3 − 13  Kết hợp với đk t ≥ suy t ≥ −3 + 13 nghiệm (*) Khi đó: + 3x ≥ −3 + 13 ⇔ + 3x ≥ 22 − 13 ⇔ x ≥ − 13 nghiệm BPT cho x = Vậy BPT cho có nghiệm  x ≥ − 13  3  (x − y ) + + x + 3xy = y + 3x y + (1) Câu 2b) 2b) Giải hệ phương trình sau:  x − 4y − = y + (2)  (x − y )5 + ≥ Điều kiện:  y ≥ −5  Ta có: (1) ⇔ (x − y )5 + + x + 3xy = y + 3x 2y + ⇔ ( (x − y )5 + − 1) + (x − 3x 2y + 3xy − y ) = ⇔ (x − y )5 + (x − y )3 = (x − y )5 + +   (x − y )2  ⇔ (x − y )  + 1 =  (x − y )5 + +    (x − y )2 ⇔ x = y Do + > 0, ∀x , y ∈ ℝ (x − y )5 + + Thế x = y vào (2) ta phương trình: y − 4y − = y + ⇔ (y − 4y − 5) − ( y + − 2) =   y +1   ⇔ (y + 1)(y − 5) − = ⇔ (y + 1) y − − =0 y +5 +2 y + +   y = −1 ⇒ x = −1(TMĐK)  ⇔  = (*) y − − y + +  Đặt t = y + (t ≥ 0) ⇒ y = t − Khi đó: (*) ⇔ (t − 10) − = ⇔ t + 2t − 10t − 21 = t +2 ⇔ (t + 3)(t − t − 7) = ⇔ t − t − = (vì t + > 0, ∀t ≥ 0)  t = − 29 (loại)  ⇔  + 29 t = (thỏa mãn)  + 29 + 29 + 29 Khi đó: y + = ⇔y = ⇒x = (TMĐK) 2  + 29 + 29  Vậy HPT cho có nghiệm (x ; y ) = (−1; −1),( ; )   2   Câu 3 (3,0 điểm) Tính tích phân sau: a) I = ∫3 x −3 x +1 +x + dx Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 2 t2 − (t − 2)(t + 2) 2t − 4t ⇒I =∫ 2tdt = ∫ 2tdt = ∫ dt ( t + 1)( t + 2) t + t + t + 1 2   2t(t + 1) − 6(t + 1) + 6  dt =∫ dt = ∫ 2t − +  t +1 t + 1 1 = (t − 6t + ln | t + |) = (−8 + ln 3) − (−5 + ln 2) = −3 + ln 1 b) K = (x + 1)dx = x6 +1 ∫ = ∫ 1 ∫ (x − x + 1) + x dx (x + 1)(x − x + 1) dx x dx = K + K + x + ∫0 x + +) Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan2 t )dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = ⇒ K1 = ∫ dx = x2 +1 π ∫ π π + tan t π dt = dt = t = ∫ + tan2 t +) Đặt t = x ⇒ dt = 3x 2dx ⇒ x 2dx = ⇒ K2 = ∫ 1 dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = x2 dt π dx = ∫ = K = t +1 12 x +1 Vậy K = K + K = π π Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi học sinh giỏi Tỉnh lớp 12 Năm học 2006 - 2007 Môn thi: toán (bảng A) Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Giải phơng trình: 3 4 2 3 log 2 2 2 + + + = ữ x x x b) Chứng minh phơng trình: x 5 4x 2 4x = 1 có đúng một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dơng. Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 2 3 5y x x = + b) Cho các số thực x; y thỏa mãn: 0 < x y < Chứng minh: ( ) ( ) 3 3 6 sin 6 sinx x y y y x . Bài 3: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) = + = + + = + + + 2 2 3 4 2 4 6 4 2 2 1 3 1 4 1 x y x y z y y z x z z z Bài 4: a) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (C). Biết (C) có phơng trình: (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 5; ã ABC = 90 0 ; A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4. Tìm tọa độ các đỉnh B; C. b) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho điểm B(-3;0), C(3;0) Điểm A di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thỏa mãn: độ dài đ- ờng cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm I thuộc một đờng cong cố định. ---------Hết------------ Họ và tên thí sinh .SBD: . Đề chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Năm học 2006 - 2007 đáp án và biểu điểm chấm đề chính thức Môn: Toán (Bảng A) ---------------------------------------------- Bài Nội dung Điểm Bài 1: (5,5đ) a.(2,5đ) - TXĐ: D = [0; +). Đặt x t= 0 PT trở thành: 2 3 4 2 3 2 2 0 2 t t log t + + + = ữ (1) Xét f(t) = 2 3 4 2 3 2 2 2 t t log t + + + ữ với t 0 Có f '(t) = 2 3 4 1 2 1 2 2 3 2 2 t t ( t ) .ln t .ln + + + + ữ Ta có: f '(t) > 0 t 0, 1 0 2 f = ữ pt (1) có một nghiệm duy nhất t = 1 2 . Vậy pt đã cho có một nghiệm x = 1 4 0.25 0.25 0.25 0.5 0.75 0.25 0.25 b.(3đ): Ta có pt x 5 = (2x + 1) 2 Nếu x là nghiệm thì x 5 0 x 5 = (2x + 1) 2 1 x 1 Với x 1 xét f(x) = x 5 - 4x 2 - 4x - 1 Ta có: f '(x) = 5x 4 - 8x - 4; f "(x) = 20x 3 - 8 > 0 với x 1 f '(x) đồng biến trên [1, +), mà f '(1) = -7; x Limf '(x) + = + x 0 (1; +) để f '(x 0 ) = 0 Ta có bảng biến thiên: x 1 x 0 + f'(x) - 0 + f(x) + -8 Dựa vào bảng biến thiên suy ra pt: f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó có giá trị dơng đpcm. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 f(x 0 ) Bài 2: (6 điểm) a. (3đ): TXĐ: D = 5 5; Ta có: f '(x) = 3 + 2 2 2 5 5 x x x = 2 2 2 3 5 2 5 5 x x x + f '(x) = 0 2 2 3 5 2 5 0x x + = ; x ( ) 5 5; 2 4 2 5 2 4 11 20 0 x x x = 2 2 4 2 x x x = = = Có f(2) = 8, f(-2) = -8, ( ) 5 3 5f = , ( ) 5 3 5f = Max f(x) = 8 khi x = 2; Min f(x) = -8 khi x = -2 0.25 0.5 0.25 1.0 0.5 0.5 b. (3đ) Do 0 < x y < sinx > 0, siny > 0 Bất đẳng thức 3 3 6 6x x y y sin x siny Xét f(t) = 3 6t t sin t với t (0; ) Có f '(t) = ( ) ( ) 2 3 2 3 6 6t sin t t t cost sin t Xét g(t) = (3t 2 - 6)sint - (t 3 - 6t)cost với t (0; ) Có g'(t) = t 3 sint > 0 t (0; ) g(t) đồng biến trên (0; ) g(t) > g(0) = 0 f'(t) > 0 với t (0; ) f(t) đồng biến trên (0; ) mà x y f(x) f(y) suy ra đpcm. 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 3: (3 điểm) Trờng hợp 1: Với x = 0 thì hệ có nghiệm x = y = z = 0. Trờng hợp 2: Với x 0 để hệ có nghiệm thì x > 0, y > 0, z > 0 Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ có: 2x 2 = y(1 + x 2 ) 2xy x y 3y 3 = z(y 4 + y 2 +1) z.3y 2 y z (vì y 4 + y 2 + 1 3y 2 ) 4z 4 = x(z 6 + z 4 + z 2 +1) x.4z 3 z x (vì z 6 + z 4 + z 2 + 1 4z 3 ) Vậy: x y z x x = y = z Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: x = y = z = 1 Hệ có 2 nghiệm: x = y = z = 0 hoặc x= y = z = 1 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 Bài 4: (5,5 đ) a. (3đ): (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 5 Do ã 0 90ABC = C đối xứng với A qua I C(0; -4) có pt đờng thẳng AC Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 5 Năm học 2008-2009 (Thời gian 90 phút) Bài 1 ( 5điểm ) .Cho dãy số sau :10;16; 22 ; 28 ; 34 ; 40 ; . 1,Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu triên của dãy số trên . 2,Số 126 có phải một số trong dãytrên không ? Vì sao ? Bài 2(5 điểm ). Cho biêủ thức A= 53,7 : (x-3,5 ) 1,Tính giá trị biểu thức A khi x= 5 2. Tính giá trị của x khi A = 3 Bài 3.(5 điểm ) Số học sinh khá của một trờng tiểu học chiếm 35%số học sinh toàn trờng .Só học sinh giỏi chỉ bằng 60%số học sinh khá .Còn lại là học sinh trung bình .Số học sinh trung bình là 220 em .Tính số học sinh giỏi và học sinh khá của trờng tiểu học đó. Bài 4 : (5điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 96 m.Biết rằng nếu tăng chiều rộng thêm 4,5 m và giảm chiều dài đi 5,5mthì mảnh đật đó trở thành hình vuông .Hãy tính diện tích mảnh vờn đó . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Bài 1: (1,5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 4x – 2y = 10 3x – 4y = 12 b) x 2 – ( 2- 3 )x - 2 3 = 0 c) 4x 2 + 7x 2 – 2 = 0 Bài 2: (1đ) Rút gọn: a) 3 3 13 2 23 2575 + − − − − b) 521028521028 +−+++ Bài 3: (1,5đ) Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hàm số y= - 4 1 x 2 có đồ thị (P) và đường thẳng (D): y = - x a) Vẽ (P) và (D) b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) c) Viết phương trình đường thẳng (D 1 ) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ là -2 Bài 4: (1đ) Cho phương trình: x 2 – ( m + 3 )x + m + 2 = 0 a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 với mọi giá trị của m b) Tính A = x 2 1 + x 2 2 - 6x 1 x 2 theo m. Bài 5:(1đ) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Người ta làm lối đi rộng 2m xung quanh vườn. Khi đó diện tích còn lại là 1.656m 2 . Tính chu vi khu vườn hình chữ nhật. Bài 6: ( 4đ) Cho đường tròn (O) và 1 điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm ) và cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N) với đường tròn. Gọi E là trung điểm của dây MN. I là giao điểm thứ 2 của đường thẳng CE với đường tròn. a) Chứng minh: 4 điểm A, O,E,C cùng thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh: AC 2 = AM.AN c) Chứng minh: BI// MN d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Câu 1 : (1,5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : a) 3x – 4y = 25 5x – 7y =43 b) 2 x + ( 7 - 1 )x - 7 = 0 c) 6 4 x - 2 x - 1 = 0 Câu 2 : ( 1,5đ ) Thu gọn các biểu thức sau : ( ) 2 5 2 3 5A = − + 2 a a b b a b B ab a b a b    + + = −  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    với 0; 0;a b a b≥ ≥ ≠ Câu 3 : ( 1,5đ ) Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 80m . Nếu tăng chiều rộng lên 2 lần và giảm chiều dài 10 m thì diện tích tăng thêm 100 2 m . Tính kích thước ban đầu của miếng đất ? Câu 4 : ( 2 đ ) Cho phương trình : 2 x - 2( m – 1 ) x + 2 m - 3m - 4 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x và 2 x b) Đặt A = 2 2 1 2 1 2 .x x x x+ − 1) Tìm m sao cho A = 20 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng . Câu 5 : ( 3,5đ ) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) có BC = 3R ; AD là đường cao và AM là đường kính của đường tròn ( O ) . a) Chứng minh : AB . AC = AD . AM . b) Tia AD cắt đường tròn ( O ) tại K . Chứng minh : Bốn điểm B , C , M , K là đỉnh của hình thang cân . c) Gọi H là điểm đối xứng của K qua BC . Tính độ dài AH theo R . d) Tia BH cắt cạnh AC tại E , tia CH cắt cạnh AB tại D . Tính độ dài DE theo R. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Bi 1 (1.5đ) Thu gọn biểu thức sau : a) A = 5 5 5 5 1 1 5 1 5 1    − + + +  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    b) B = ( ) 1 1 1: 1 : 2 1 x x x x −   + +   + + ( x ≥ 0 ) Bi 2 : (1.5đ) Giải cc phương trình v hệ phương trình : a) 3x 2 – 2x – 1 = 0 b) (x 2 – x) 2 + x(x – 1) = 6 c) 2 5 6 3 15 x y x y − =   − + =  Bi 3 : (2đ) Cho hm số y = ax 2 v cĩ đồ thị l ( P) qua M(2 ;1) a) Xc định a v vẽ (P) với a vừa tìm được b) Cho đường thẳng (D) : 4 m y x= + ( với m l tham số ) Tìm gi trị của m để (D) cắt ( P) tại 2 điểm phn biệt A, B sao cho x A 2 + x B 2 = 20 Bi 4: (1đ) Một ơ tơ đi từ A đến B cch nhau 60 km theo một vận tốc đ định . Biết rằng nếu ơ tơ tăng vận tốc thm 10km/h thì sẽ đến B sớm hơn dự định 18 pht . Tính vận tốc dự định của ơ tơ Bi 5 (4đ) Cho ∆ABC (AB <AC) cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O;R) . Đường phn gic trong của gĩc BAC cắt BC tại D v cắt đường trịn (O) tại M . Từ D kẻ DE v DF lần lượt vuơng gĩc với AB v AC . a) Chứng minh tứ gic AEDF nội tiếp . Xc định tm K của đường trịn ny. b) I. Khái niệm bất phương trình một ẩn 1. Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng (1) trong đó và là những biểu thức của x. Ta gọi và lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực sao cho là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Chú ý Bất phương trình (1) cũng có thể viết dưới dạng sau . 2. Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số để và có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). Chẳng hạn điều kiện của bất phương trình là và . 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chẳng hạn Có thể được coi là những bất phương trình ẩn tham số . II. Hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình . Giải. Giải từng bất phương trình ta có Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình này ta được : Giao của hai tập hợp trên là đoạn . Vậy tập nghiệm của hệ là hay còn có thể viết là . III. Một số phép biến đổi bất phương trình 1. Bất phương trình tương đương Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm(có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng ký hiệu là để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng ký hiệu để chỉ sự tương đương đó. 2. Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như thế được gọi là các phép biến đổi tương đương. Chẳng hạn, khi giải hệ bất phương trình trong ví dụ 1 ta có thể viết Dưới đây ta sẽ lần lượt xét một số biến đổi thường sử dụng khi giải bất phương trình. 3. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. Ví dụ 2. Giải bất phương trình Phân tích bài toán Khai triển và rút gọn từng vế ta được bất phương trình Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của vế phải bất phương trình này (thực chất là cộng hai vế của bất phương trình với biểu thức ta được một bất phương trình đã biết cách giải. Giải Vậy nghiệm của bất phương trình là Nhận xét. Nếu cộng hai vế của bất phương trình với biểu thức ta được bất phương trình . Do đó Như vậy chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. 4. Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. nếu nếu Ví dụ 3. Giải bất phương trình Vậy nghiệm của phương trình là 5. Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều