CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Kiến thức Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= 1 z= 2z a +b z Thương z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z = z.z −1 = z z Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Các phép toán số phức − i Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 2 Ví dụ 1: Cho số phức z = Giải: 3 − i ⇒ z = + i 2 2 *Vì z =   3 − i÷ *Ta có z =  = + i − i= − i ÷ 2  2  4 2   3 + i÷ = + i2 + i= + i ⇒ ( z ) =  ÷ 2  2  4 1   3 i ÷ + i÷ = + i+ i− =i ( z )3 =( z )2 z =  + ÷ ÷  2  2  4 1 3 + 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i )(3 − 2i ) + 3+i Giải: 3−i 3−i = 5+i + Ta có z = + i + (3 + i )(3 − i) 10 Ta có: + z + z2 = + Suy số phức liên hợp z là: z = 53 − i 10 10 Ví dụ 3: Tìm phần ảo số phức z biết z = Giải: ( )( ( +i ) ( − 2i ) ) z = + 2i − 2i = + 2i Suy ra, z = − 2i Phần ảo số phức z = − Ví dụ 4: Tìm mơ đun số phức z = Giải: Ta có: z = (1 + i )(2 − i) + 2i 5+i = 1+ i 5 26 Vậy mô đun z bằng: z = +  ÷ = 5 − 3i ) Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z = ( 1− i Tìm mơđun số phức z + iz Giải: ( Ta có: − 3i ) Do z = = −8 −8 = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + ( −4 + 4i ) i = −8 − 8i Vậy z + iz = Ví dụ 6: Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  x=−  3 x + y = y −  ⇔ ⇔ 5 x = x − y y =   x =  2 x + y + = 3x − y + − x + y = 11 ⇔ ⇔  − x + y = x − y − −5 x + y = −3 y =  11 b) Theo giả thiết ta có: c) Ta có ( − 2i ) = ( − 2i ) ( − 2i ) = ( −3 − 4i ) ( − 2i ) = 2i − 11 Suy x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i ⇔ x ( + 5i ) + y ( 2i − 11) = −35 + 23i 3 x − 11 y = −35 x = ⇔ ( x − 11 y ) + ( x + y ) i = −35 + 23i ⇔  ⇔ 5 x + y = 23 y =  Bài tập tự luyện Bài Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Bài Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x(3 − 2i ) + y (1 − 2i )3 = 11 + 4i + 3i Bài Cho hai số phức: z1 = + 5i ; z = − 4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 Bài Tìm phần thực, phần ảo mô đun số phức: a) z = (2 + 3i )(1 − i ) − 4i b) z = (2 − 2i )(3 + 2i )(5 − 4i ) − (2 + 3i) c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i) d) z = −2 + 5i (1 + 3i)(−2 − i)(1 + i ) e) z = Bài Tìm số phức: 2z + z (1 + 2i )( −4 + i ) (1 − i )(4 + 3i ) 25i , biết z = − 4i z Bài Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức Bài Cho số phức z = w= z +i iz − 1 + 7i + (3 − 2i )(−1 + 3i) Tính mơ đun z tìm tọa độ điểm biểu diễn + 2i hình học z hệ tọa độ Oxy Bài Cho z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 + 2i ) = + 8i Tìm mơđun số phức w = z + + i 1+ i Bài 10 Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo z 2−i = ( − i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn ( − 2i ) z − 1+ i mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 12 Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, z = x + yi (x,y ∈ Z) 2.2 Dạng 2: Tính i n áp dụng Chú ý:  i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N*Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N*  (1 + i ) = 2i ; ( − i ) = −2i  ∆ ; ∆3 Ví dụ 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 2: Tính số phức sau: 16 a) z = (1+i) 1+ i  1− i  b) z =  ÷ + ÷ 1− i  1+ i  15 Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i b) Ta có: + i (1 + i)(1 + i ) 2i = = =i 1− i 2 16 1− i 1+ i   − i  16 = −i Vậy  + ⇒ ÷ ÷ =i +(-i) = 1+ i − i + i     Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: + ( + i ) + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) 20 Giải: P = + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) (1+ i) 20 20 ( 1+ i) = 21 −1 i = ( + i )  ( + i ) = ( 2i ) ( + i ) = −210 ( + i )   10 −2 ( + i ) − ⇒P= = −210 + ( 210 + 1) i i Vậy phần thực −210 phần ảo 210 + 21 10  Bài tập tự luyện Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 10 1+ i  z=  ÷ + ( − i ) + ( + 3i ) ( − 3i ) + i 1− i  Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn: Bài ( z + − 3i ) ( − i ) = (1 + i)2011 Tìm phần thực, phần ảo số phức z = (1 + i )19 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z = x + yi với x, y ∈ R Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z − ( + 3i ) z = − 9i Giải: Gọi z= a+ bi (a,b ∈ R ) ta có: z − ( + 3i ) z = − 9i ⇔ a + bi − ( + 3i ) ( a − bi ) = − 9i −a − 3b = a = ⇔ −a − 3b − ( 3a − 3b ) i = − 9i ⇔  ⇔ a − b =  b = −1 Vậy z= 2-i ( ) Ví dụ 2: Tính mơ đun số phức z biết rằng: ( z − 1) ( + i ) + z + ( − i ) = − 2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b∈ R ) Ta có ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 1) + 2bi  ( + i ) + ( a + 1) − bi  ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a=  a − b =   ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − ) i = − 2i ⇔  ⇔ a + b − = −2 b = −  Suy mô đun: z = a + b = 2 Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z + z.z + z = z + z = Giải Gọi z = x + iy (x, y∈ R), ta có z = x − iy; z = z = z z = x + y 2 2 z + z.z + z = ⇔ 4( x + y ) = ⇔ ( x + y ) = (1) z + z = ⇔ x = ⇔ x = (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = ±1 Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z + − 2i = z + + 4i Giải Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ) Theo ta có x + + ( y − 2) i = x + + ( − y ) i ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 3) + ( y − ) ⇔ y = x + 2 2 z − 2i x + ( y − ) i x − ( y − ) ( y − 1) + x ( y − 3) i = = Số phức w = x + (1− y) i z +i x + ( y − 1)  x − ( y − ) ( y − 1) = 12  x=−    ⇔ w số ảo  x + ( y − 1) > y = x +  y = 23   12 23 i Vậy z = − + 7 z − 2i số ảo z +i Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết z = z + z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) ta có: z + z + z ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi 2 ⇔ a − b + 2abi = a + b + a − bi  a = b =  2 2 a = −2b a − b = a + b + a ⇔ ⇔ ⇔ a = − ; b =  b ( 2a + 1) = 2ab = −b  a = − ; b =  1 1 Vậy z=0; z = − + i; z = − − i 2 2 −1 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) Ta có z = a + b z = a − b + 2abi a + b2 = a = a = ±1 ⇔ ⇔ Yêu cầu toán thỏa mãn  2 b = b = ±1 a − b = Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z − 5+i −1 = z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) a + b ≠ ta có 5+i 5+i − = ⇔ a − bi − − = ⇔ a + b − − i − a − bi = z a + bi a + b − a − = 2 ⇔ ( a + b − a − 5) − b + i = ⇔  b + = z− ( )  a = −1; b = − a − a − = ⇔ ⇔ b = −  = a = 2; b = − Vậy z = −1 − i z = + i ( ) Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z − i = ( z − 1) z + i số thực Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y ∈ R ) Khi đó, z − i = ⇔ x + ( y − 1) = ( 1) ( z − 1) ( z + i ) = ( x − + yi ) ( x − ( y − 1) i ) = x ( x − 1) + y ( y − 1) + ( x + y − 1) i ( z − 1) ( z + i ) ∈ R ⇔ x + y − = ( ) Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i  Bài tập tự luyện Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z − + i = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( + i ) = 10 z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn z − ( + 2i ) = 26 z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z = z số ảo b) z = phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn z = z2 số ảo Bài Giải phương trình: a) z + z = b) z + z = z Bài Tìm số phức z biết ( z + 1)(1 + i ) + z −1 = | z |2 1− i Bài Tìm số phức z biết: z − = (1 + i )( z − 1) có phần ảo _ _ Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: z − = 17( z + z ) = z z z =  Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn  z − + i = ( )   ( + i ) 2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến mơđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z − + i =2 b) + z = − i c) z − 4i + z + 4i = 10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z − + i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = y B ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ1 biểu diễn số phức x A z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = -2 -1 O b) Xét hệ thức + z = z − i ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| -1 -2 ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z − 4i + z + 4i = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = ⇒ Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y2 + =1 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − i = ( 1+ i) z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ) Ta có: z − i = ( + i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i ⇔ x + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) 2 ⇔ x + y + xy − = ⇔ x + ( y + 1) = 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình x + ( y + 1) = 2 ( + 3i ) Ví dụ 3: Cho số phức z = (1 + i ) Tìm tập hợp điểm biểu diễn A = z + 2iz , biết x − y − = Giải t = ⇔ t − 4t = ⇔  t = t = ⇒ B ( 0; − 1) , C ( 4; − 1) t = ⇒ B ( 4; − 1) , C ( 0; − 1) Giả sử z2 = x + yi x, y ∈ R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: uur nP = ( a, b, c ) , a + b + c ≠ Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường trịn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) Ta có x − + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i (1) ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x + ( y − 2) ⇔ y = − x + Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z = x + y = x + x − x + 16 = x − x + 16 Hay z = ( x − ) + ≥ 2 Do z ⇔ x = ⇒ y = Vậy z = + 2i ( ) Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i ) z + + 3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Đặt z= x+ yi (x, y ∈ R ) ta có u = ( x + 3) + ( y − 1) i  ( x + 1) − ( y − 3) i  = x + y + x − y + + ( x − − y − ) i Ta có: u ∈ R ⇔ x − y − = Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mơ đun z nhỏ độ dài OM nhỏ ⇔ OM ⊥ d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện Z ( + i ) − + 2i = 13 Giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − yi z (1 + i ) − + 2i = 13 39 ⇔ x2 + y − x − y + =0 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy ⇒ M ∈ (C ) đường tròn có tâm 26 I ( ; ) bán kính R = 2 Gọi d đường thẳng qua O I ⇒ d : y = x 15 ) M ( ; ) 4 4 Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C) ⇒ M ( ; OM > OM OM = OI + R ≥ OM ( M ∈ (C )) Ta thấy  ⇒ số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z = 15 + i 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u = Giải Đặt z= x+ yi (x, y ∈ R ), đó: u= ( x + ) + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y + 3) i   x − ( y − 1) i  x + ( y − 1) i x + ( y − 1) z + + 3i số ảo z −i (x = + y + x + y − 3) + ( x − y + 1) i x + ( y − 1) 2  x + y + x + y − = ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔ u số ảo  2 x + y − > ( )  ( x; y ) ≠ ( 0;1) Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1)  Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z + (1 − 3i ) = z + − 2i b) z − i = z − z + 2i Bài Trong số phức thỏa mãn z − + 3i = c) z − ( − 4i ) = Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − i = z − 3i − Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 5i = z + − i Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z − − i = 52 , tìm số phức z mà z − + 2i nhỏ Bài Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn z − + 2i = , tìm số phức có z nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ i) z + = 1− i Tìm số phức có mơ đun nhỏ nhất, lớn 2.5 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.5.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = ⇒ w có bậc hai +) Nếu w = a > (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai − - − +) Nếu w = a + bi (b ≠ 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w ⇔ z2 = w ⇔ (x+yi)2 = a + bi  x2 − y = a ⇔ 2 xy = b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a) + i Giải: b) -1-2 i 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  (1)  y =  x − y = x 2 ⇔ Khi đó: z = w ⇔ (x+yi) = + i⇔   x − 45 = (2)  xy =  x2 (2) ⇔ x4 – 4x2 – 45 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x=3⇒y= x = -3 ⇒ y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i  − (1)  x − y = −1  y = x 2 ⇔ Khi đó: z = w ⇔ (x+yi) = -1-2 i ⇔   x − = −1 (2)  xy = −2  x2 (2) ⇔ x4 + x2 – = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x= 2 ⇒y=- x=- ⇒y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C ∈ C, A ≠ 0) Phương pháp: Tính ∆ = B2 – 4AC −B + δ −B − δ *) Nếu ∆ ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = , z2 = 2A 2A (trong δ bậc hai ∆) B *) Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = − 2A Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức a) z − z + = b) x + x + = c) z + z − = Giải: a) z − z + =  ∆ = − = −3 = 3i  bậc hai ∆ ±i  Phương trình có nghiệm: z1 = b) x + x + = 1+ i 3 = + i, z2 = − i 2 2  ∆ = − 20 = −16 = 16i  Căn bậc hai ∆ ±4i  Phương trình có nghiệm: x1 = −1 − 2i, x2 = −1 + 2i c) z + z − =  Đặt t = z2  Phương trình trở thành: z2 =  z = ±1 t = t + 2t − = ⇔  ⇔ ⇔ t = −3  z = ±i  z = −3  Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, −i 3, i Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: ∆ = -4 = 4i2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i 3i − + + i 3i − − − i = 2i ; z2 = = −1 + i ⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 2 Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 Giải: Ta có z + z + 10 = ⇔ ( z + 1) = −9 ⇔ ( z + 1) = ( 3i ) 2  z = −1 + 3i ⇔  z = −1 − 3i z1 = −1 + 3i ⇒ z1 = ( −1) + 32 = 10 z2 = −1 − 3i ⇒ z2 = 10 2 Vậy A = z1 + z2 = 20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z+i Giải:  z = + 2i 2 z − z + 13 = ⇔ ( z − 3) = −4 ⇔ ( z − 3) = ( 2i ) ⇔   z = − 2i Với z = + 2i ta có z + 6 = + 2i + = + i = 17 z+i + 3i Với z = − 2i ta có z + 6 = − 2i + = 24 − 7i = z+i 3−i Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z − + 7i = z − 2i (tham khảo) z −i Giải Điều kiện: z ≠ −1 Phương trình cho tương đương với z − ( + 3i ) z + + 7i = Phương trình có biệt thức ∆ = ( + 3i ) − ( + 7i ) = − 4i = ( − i ) 2 Phương trình có hai nghiệm là: z = + 2i z = + i  Bài tập tự luyện Bài Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị biểu thức 2 z + z2 A= ( z1 + z2 )2 (1 + i ) 2009 z + 2i = tập số phức (Tham khảo) Bài Giải phương trình: z − (1 − i ) 2008 Bài Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z − z + = Tính: ( z1 − 1) 2011 + ( z2 − 1) 2011 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z = z = ⇔ Giải: z – 27 = ⇔ (z – 1) (z + 3z + 9) = ⇔   z = −3 ± 3i z + z + =   2,3 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: z − z + z − z − 16 = Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 ( ) Phương trình cho tương đương với ( z − ) ( z + 1) z + = Giải ta bốn nghiệm: z = −1; z = 2; z = ±2 2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y ∈ R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = ⇔ -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được: −  2y + 4y = giải hệ ta nghiệm y =   − y + y + y − 10 = Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i ⇒ vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b ∈ R) đồng hoá hai vế ta giải a = b =  z = 2i  z = 2i  ⇔  z = −1 − 2i ⇒ (1) ⇔ (z – 2i)(z +2z + 5) = ⇔  z + 2z + =  z = −1 + 2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình z − ( − i ) z − ( − i ) z + 16 − 2i = biết phương trình có nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: z03 − ( − i ) z02 − ( − i ) z0 + 16 − 2i =  z0 − 3z0 − z0 + 16 = ⇔ ⇔ z0 = −2 z + z − =  o ( ) Khi ta có phương trình ( z + ) z − ( − i ) z + − i = Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình z − ( − 3i ) z + ( − 2i ) z + 9i = biết phương trình có nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b ∈ R Thay vào phương trình ta được: ( bi ) − ( − 3i ) ( bi ) + ( − 2i ) ( bi ) + 9i = 2b + 6b = ⇔ 2b + 6b + ( −b3 − 3b + 3b + ) i = ⇔  ⇔ b = −3 − b − b + b + =  ⇒ z = −3i ( ) Phương trình phân tích thành ( z + 3i ) z − z + = Các nghiệm phương trình z= -3i; z = ± 2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  −1 + 23i z =  z + z − =  t = −6 −1 − 23i ⇔ ⇔ z = t2 + 4t – 12 = ⇔  t = z + z − =  z =   z = −2  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t = z t2 +2zt – 3z2 = ⇔ (t – z)(t+3z) = ⇔  t = −3z  z = −1 + 5i + Với t = z ⇔ z + 3z +6 –z = ⇔ z + 2z + = ⇔   z = −1 − 5i 2  z = −3 + + Với t = -3z ⇔ z2 + 3z +6 +3z = ⇔ z2 + 6z + = ⇔   z = −3 − Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( z − z )( z + 3)( z + 2) = 10 , z ∈ C Giải: PT ⇔ z ( z + 2)( z − 1)( z + 3) = 10 ⇔ ( z + z )( z + z − 3) = Đặt t = z + z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t = z + z Khi phương trình (8) trở thành t − 3t − 10 = t = −2  z = −1 ± i ⇔ ⇒ t =  z = −1 ± Vậy phương trình có nghiệm: z = −1 ± ; z = −1 ± i z2 Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức z − z + + z +1 = Giải: (tham khảo) Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z ≠ 1 ) − ( z − ) + = (2) z z 1 2 2 Đặt t=z- Khi t = z + − ⇔ z + = t + z z z Phương trình (2) có dạng: t2-t+ = (3) ∆ = − = −9 = 9i 2 + 3i − 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 2 + 3i 1 + 3i ⇔ z − (1 + 3i ) z − = (4) Với t= ta có z − = z Có ∆ = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i ) 2 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( z + (1 + 3i) + (3 + i ) (1 + 3i) − (3 + i) i − = + i ,z= = 4 − 3i 1 − 3i ⇔ z − (1 − 3i ) z − = (4) Với t= ta có z − = z 2 Có ∆ = (1 − 3i ) + 16 = − 6i = − 6i + i = (3 − i ) PT(4) có nghiệm: z= (1 − 3i) + (3 − i ) (1 − 3i) − (3 − i ) −i − = − i ,z= = 4 i −1 −i − Vậy PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 PT(4) có nghiệm: z=  Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết phương trình có nghiệm ảo.(tham khảo) Bài Cho phương trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = Biết phương trình có nghiệm thực 2 Gọi z1, z2, z3 nghiệm phương trình Hãy tính z1 + z2 + z3 Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z − z − z + z − = tập số phức tính tổng S = 1 1 + + + z12 z22 z32 z42 Bài Giải phương trình tập số phức:  z +i a)  ÷ =1 i−z b) (z2+1)2+(z+3)2=0 c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = ... 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z = x + yi với x, y ∈ R Ví dụ 1: Tìm số phức z... diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ... biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − i = z − 3i − Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z