Kì thi học sinh giỏi cấp trường Môn: Toán 6. ( năm học 2007-2008) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề bài: Bài 1: Chứng tỏ rằng: a) 4 2008 + 4 2007 + 4 2006 chia hết cho 21. b) 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + . + 5 207 + 5 208 chia hết cho 6. Bài 2: Tìm x, biết: a) 360 : ( x – 7 ) = 10 . 3 2 b) x 2 1 3 − x = 7 20 − c) ( x + 5) - ( x - 9 ) = x + 2 d) 2 x + 3 + 2 x = 144 Bài 3: Hiện nay tuổi cha là 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi lúc nào thì tuổi cha gấp 7 lần tuổi con? Bài 4: Một bể có hai vòi nước, vòi thứ nhất chảy 7 giờ thì bể đầy, vòi thứ hai chảy 9 giờ thì bể đầy. Bể đang cạn, nếu mở hai vòi cùng một lúc thì sau 2 1 3 giờ lượng nước có được trong bể bao nhiêu? Bài 5 : Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không, nếu: a) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm. b) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Bài 6: Cho đoạn thẳng MN dài 6 cm. Trên tia MN lấy điểm D sao cho MD = 4 cm. Trên tia NM lấy hai điểm P, Q sao cho: NP = 1 cm, NQ = 4 cm. a) Đường tròn ( Q; 2cm ) có đi qua điểm D không? b) chứng tỏ rằng: Điểm P nằm ngoài đường tròn ( Q ; 2cm ) và nằm trong đường tròn đường kính MN. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức cách hợp lý  1313 10   130 1515  26.35 − 92.43 A = + − + a) b) B =  ÷  ÷:  1414 160   140 1616  − 1 1 + + + + > Chứng minh C = 101 102 103 200 12 Bài 2: (4,0 điểm) Cho a b số nguyên thỏa mãn: (2a + 7b) M3 Chứng tỏ (4a + 2b) M3 Biết p l0p +1 số nguyên tố (p > 3) Chứng tỏ 5p +1 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) 1 1 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x.(x + 3) 18 n +1 2.Tìm giá trị nguyên n để biểu thức D = đạt giá trị lớn ? n−2 Tìm số tự nhiên x, biết: Bài 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM a) Tính BN BM = 2cm b) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ tia Ax Ay cho · · · · BAx = 400 , BAy = 1100 Tính yAx, NAy c) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn Bài 5: (1,0 điểm) 11111 43 ; số b = 100 05 4 với n số tự nhiên, n > Cho số a = 14 n - chữ số n chữ số Chứng minh a.b + số phương Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng n + Đề thi chọn HSG môn toán lớp 6 Năm học 2007 - 2008 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: ( 4 điểm) 1/ Tính tổng các số nguyên x biết: 30x và 1x 2/ Tính tích: 2 2 2 2 A = 1 1 1 1 5 7 9 2009 ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ Bài 2: (5 điểm) 1/ Tìm các số tự nhiên n để phân số 3 5 4 8 n n là phân số tối giản. 2/ Tìm hai chữ số tận cùng của tổng . S = 1 2 3 4 7 7 7 . 7 k + + + + với k N , k 1 Bài 3: (5 điểm). 1/ Cho M = a b c a b b c c a + + + + + với a, b,c là các số nguyên dơng bất kì. Chứng minh rằng M không thể là số nguyên. 2/ Tổng sau có thể là số chính phơng hay không? giải thích? 4 44 444 4444 4 44 444 4444 2007+ + + + ( Trong đó: Số chính phong là bình phơng của một số nguyên) Bài 4: (6 điểm) 1/ Trên đờng thẳng xx lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx vẽ tia Oy sao cho góc xOy < 90 0 . Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOy, cung trên nửa mặt phẳng đó ta vẽ tia On tạo với tia Om một góc 90 0 a) Chứng tỏ tia On là tia phân giác của góc yOx. b) Cho ã ã , 2 3 mOy nOx= . Tính các góc nhọn có trong hình vẽ. 2/ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC . Chứng tỏ rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC Trờng THCS Nguyễn Hiền đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 6(vòng2) môn : toán (thời gian làm bài : 90 phút ) Câu1: Cho tập hợp A = }{ 8;5;1 a/ Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A b/ Hãy chỉ ra tập hợp B gồm các số chẵn có 2 chữ số mà các chữ số lấy trong tập A (mỗi chữ số lấy 1 lần) c/ Trong tập hợp B vừa nêu, hãy chỉ ra các số chia hết cho5, chia hết cho9 Câu 2: Tính bằng cách hợp lý : 1/ A = 262.656157 951 4.369.32.437.6194.12 ++++++ ++ 2/ B = 1.2+2.3 + 3.4 + .+ 99.100 Câu3 : Khi cộng 2 số tự nhiên, một học sinh đã vô ý đặt số nọ dới số kia lệch đi 1 hàng chữ số (đặt chữ số hàng đơn vị của số này dới chữ số hàng chục của số kia) nên đã cộng nhầm thành 5255. Biết rằng tổng đúng là số có 4 chữ số mà số tạo bởi 2 chữ số đầu hơn số tạo bởi 2 chữ số cuối là 7 đơn vị và tổng của 2 số có 2 chữ số tạo thành nh trên là 35. Tìm 2 số mà học sinh đó đã làm phép cộng. Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề này gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1(2 điểm) Tính tổng: 2450 1 2352 1 . 20 1 12 1 6 1 2 1 ++++++= S Câu 2 (2 điểm) Tính tích sau: = 100 1 1 99 1 1 . 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1P Câu 3 (4 điểm) Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3 2 + 3 3 ++ 3 118 + 3 119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Câu 4 (3 điểm): Khi viết liền nhau hai số 2 2008 và 5 2008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao nhiêu chữ số? Câu 5 (5 điểm) a)Tính: A = 2 100 - 2 99 - 2 98 - 2 97 - - 2 2 - 2 1 b) Tìm x biết: 312 =+ x Câu 6 (4 điểm) Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100 a) Tính giá trị của biểu thức C? b) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức: D = 2 2 +4 2 +6 2 ++98 2 .Hết . Mã ký hiệu Đ01T-08-HSG6 Hớng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Câu 1(2 điểm) Tính tổng: 2450 1 2352 1 . 20 1 12 1 6 1 2 1 ++++++= S 50.49 1 49.48 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 +++++= S 50 1 49 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 ++++= S 50 1 1 = S 50 49 = S Câu 2 (2 điểm) Tính tích: = 100 1 1 99 1 1 . 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1P 100 99 . 99 98 . 5 4 . 4 3 . 3 2 . 2 1 = P 100.99 .5.4.3.2 99.98 .4.3.2.1 = P 100 1 = P Câu 3 (4 điểm) Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3 2 + 3 3 ++ 3 118 + 3 119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Giải: a) (2 điểm) M = 1 +3 + 3 2 + ++ 3 118 + 3 119 3M = 3.(1 +3 + 3 2 + ++ 3 118 + 3 119 ) = 3 + 3 2 ++ 3 119 + 3 120 3M- M =(3 + 3 2 ++ 3 119 + 3 120 ) - (1 +3 + 3 2 + ++ 3 118 + 3 119 ) 2M = 3 120 1 2 13 120 = M b) (2 điểm) M = 1 +3 + 3 2 + ++ 3 118 + 3 119 = (1 +3 + 3 2 )+( 3 3 +3 4 +3 5 )++(3 117 +3 118 + 3 119 ) = (1 +3 + 3 2 )+3 3 (1 +3 + 3 2 )++3 117 (1 +3 + 3 2 ) = 13 + 3 3 .13 + + 3 117 . 13 = 13( 1+ 3 3 ++ 3 117 ) 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Mã ký hiệu HD01T-08-HSG6 Vậy M chia hết cho 13. M = 1 +3 + 3 2 + ++ 3 118 + 3 119 = (1 +3 + 3 2 +3 3 ) +(3 4 +3 5 +3 6 +3 7 ) + +( 3 116 +3 117 +3 118 + 3 119 ) = (1 +3 + 3 2 +3 3 )+3 4 (1 +3 + 3 2 +3 3 )++3 116 (1 +3 + 3 2 +3 3 ) = 40 + 3 4 .40 ++3 116 .40 = 40(1+3 4 ++ 3 116 ) Vậy 40M , mà 40 5M nên 5M M Câu 4 (3 điểm) Khi viết liền nhau hai số 2 2008 và 5 2008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao nhiêu chữ số? Giả sử số 2 2008 , 5 2008 khi viết dới dạng thập phân có x, y chữ số (x, y > 0, x,yN) Ta có 10 x < 2 2008 < 10 x+1 10 y < 5 2008 < 10 y+1 Do đó 10 x+y < 2 2008 .5 2008 < 10 x+1 .10 y+1 Hay 10 x+y < 10 2008 < 10 x+y+2 x+y < 2008 < x+y+2 2006 < x+y < 2008 x+y= 2007 ( Do x+y N ) Vậy khi viết liền nhau hai số 2 2008 và 5 2008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có 2007 chữ số 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 5 (4 điểm) a) (2 điểm)Tính: A = 2 100 - 2 99 - 2 98 - 2 97 - - 2 2 - 2 1 A = 2 100 ( 2 99 + 2 98 + .+ 2 + 1) Đặt B = 2 99 + 2 98 + 2 97 + + 2 2 + 2 + 1 Ta có: 2B =2(2 99 + 2 98 + 2 97 + + 2 2 + 2 + 1) = 2 100 +2 99 + + 2 2 + 2 2B - B = (2 100 +2 99 + + 2 2 + 2) (2 99 + 2 98 + + 2 + 1) B = 2 100 1 Vậy A= 2 100 (2 100 1) = 1 b) (2 điểm) Tìm x biết: 312 =+ x Ta có: 2x + 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3 Xét 2x + 1 = 3 1 = x Xét 2x + 1 = -3 2 = x Vậy x=1 hoặc x=-2 Câu 6 (5 điểm) Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100 c) Tính giá trị của biểu thức C? d) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức: D = 2 2 +4 2 +6 2 ++98 2 Giải: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a) (2,5 ®iÓm) C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3.99.100 =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ (99.100.101- 98.99.100) = 99.100.101 C= (99.100.101) : 3 C= 33.100.101= 36300 b) (2,5 ®iÓm) C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 = (1.2 + 2.3) + Phòng Giáo dục Kiến xơng Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 2008 Môn : Toán 8 (thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) x 2 4x + 3 2) x 8 - 2 8 Bài 2 (5đ). Giải phơng trình, bất phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 x 3 x 1 2 1) x 4 x 2 6x 8 x 2) x 2 x 4 x 1 0 3) x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1 + + = + + + + + = Bài 3 (4đ) 1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh: a 3 + b 3 + 3abc > c 3 2)Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn: 1 1 1 a b c a b c + + = + + và abc = 1 Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số bằng 1 Bài 4 (4đ) Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi O là trung điểm của Bc, trên cạnh AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho OB 2 = BD.CE 1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng . 2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi khi D,E di động trên AB, AC Bài 5(3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam giác ABC. Cho GM vuông góc với AC, D là trung điểm của BC. Chứng minh BM vuông góc với AD. Đáp án và biểu điểm Bài 1 1) 2điểm = (x- 1)(x 3) 2) 2điểm x 8 2 8 = (x 4 ) 2 (2 4 ) 2 = =(x 4 + 16)(x 2 + 4)(x -2 )(x + 2) Bài 2 1) 2,5đ 2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 1) x 4 x 2 6x 8 x x 4 x 2 (x 2)(x 4) + + + = + = (1) (0,5đ) MTC (x-2)(x-4); TXĐ = { } x / x 2,x 4 .Phơng trình (1) trở thành (0,25đ) (x+3) (x-2) + (x -1)(x 4) = 2 (0,5đ) (0,5đ) x = 0; x = 2 (loại) (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ) 2) 1đ Ta thấy x = -2 là 1 nghiệm của bpt (0,25đ) Với x 2 thì (x -2) 2 > 0 khi đó ta có : (x + 4)(x 1) 0 (0,25đ) x + 4 0 và x -1 0 hoặc x + 4 0 và x - 1 0 x 1 hoặc x - 4 (0,25đ) Vậy nghiệm của bpt là x = - 2 hoặc x 1 hoặc x - 4 (0,25đ) 3 1,5 đ Ta thấy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1+ + + = (0,25đ) Đặt x 2 + 3x 4 = a; 2x 2 5x + 3 = b. Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 a 3 + b 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 ab( a+ b) = 0 a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = -b (0,25đ) +. Với a = 0 ta có x 2 + 3x 4 = 0 => x = 1; x = - 4 (0,25đ) +.Với b = 0 ta có 2x 2 5x + 3 = 0 => x = 1; x = 3/2 (0,25đ) +. Với a = - b x 2 + 3x 4 = -2x 2 + 5x 3 3x 2 2x 1 = 0 x = 1; x = -1/3 (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là 1 3 S 4; ;1; 3 2 = (0,25đ) Bài 3 ý Nội dung Điểm 1 a 3 + b 3 + 3abc = (a+b) (a 2 ab + b 2 ) + 3abc >c(a 2 - ab +b 2 )+3abc = c (a + b) 2 >c . c 2 = c 3 1 0,25 0,5 2 Từ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1) Theo giả thiết : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c và abc = 1 => a + b + c (ab + bc + ca) = 0 (2). Cộng theo 2 vế của (1) và (2). Ta có abc (ab + bc + ca) + (a + b + c) 1 = 0 (a-1)(b-1)(c- 1) = 0 a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 0,25đ B C A D O E H K ý Nội dung Điểm 1 Từ giả thiết có : OB 2 = BD.CE => OB.OC = BD.CE => OB BD EC OC = Xét CBDV và ECOV có à à B C= (vì tam giác ABC cân tại B) OB BD EC OC = => CBDV ~ ECOV (c.g.c) 0,75 0,75 0,5 2 Ta có ã ã ã ã ã ã DOC DOE COE;DOC OBD BDO= + = + Mà ã ã ã ã BDO COE(cmt) DOE OBD= => = Xét tam giác ODE và Tam giác BDO có ã ã DOE OBD= (cmt) OD OE BD OB = (cmt) => V ODE ~ V BDO (cgc) => ã ã BDO ODE= nghĩa là DO là phân giác của ã BDE => OH = OK ( Với OK AB) Mà OK không đổi nên OH không đổi khi D,E di động trên AB,AC 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 5 (3điểm) Hình vẽ : 0,25 đ Tam giác ADH có GM //DH; OD OE